ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CHU MINH THÀNH NGUYÊN LÝ TỰA ĐỘ LỆCH TRONG HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỈNH, ĐƠN ĐIỆU VÀ PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Một số vấn đề 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Sự hội tụ không gian Banach 1.1.3 Không gian phản xạ 1.1.4 Đạo hàm Fréchet 1.1.5 Không gian lồi chặt 1.1.6 Không gian Ephinmov Stechkin (ES) 1.1.7 Tính lồi trơn khơng gian Banach 1.1.8 Bổ đề Minty 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Bài toán đặt không chỉnh 1.3.1 Khái niệm 1.3.2 Ví dụ 10 1.4 Phương pháp hiệu chỉnh 11 1.4.1 Khái niệm toán tử hiệu chỉnh 11 1.4.2 Chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch 11 Hiệu chỉnh cho phương trình với tốn tử đơn điệu c 16 ii 2.1 2.2 Bài tốn khơng chỉnh với tốn tử đơn điệu 16 2.1.1 Thuật toán 16 2.1.2 Nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 24 2.1.3 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 33 Nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình khơng chỉnh đơn điệu phi tuyến 38 2.2.1 Mô tả phương pháp 38 2.2.2 Sự hội tụ 40 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 c iii Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người đặt đề tài tận tình hướng dẫn để luận văn hồn thành Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi q trình học tập tơi Tơi xin cảm ơn nhiệt tình giảng dạy giảng viên suốt thời gian học tập Tôi xin cảm ơn anh chị em lớp Cao học Tốn khóa 2013-2015, chun ngành Tốn ứng dụng ln động viên chia sẻ khó khăn với suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới đại gia đình, bạn bè anh chị em đồng nghiệp, người ln động viên khích lệ giúp tơi hồn thành luận văn c Mở đầu Trong thực tế, có tốn mà cần thay đổi nhỏ từ kiện ban đầu dẫn đến sai khác lớn nghiệm, đơi làm tốn trở nên vơ nghiệm vô định Người ta gọi tốn đặt khơng chỉnh Việc nghiên cứu tốn cho ta nhìn thấy ứng dụng rộng rãi Toán học thực tế sống Bởi tầm quan trọng lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh mà có nhiều nhà tốn học dành tâm sức vào việc tìm phương pháp giải tối ưu cho tốn Tiêu biểu kể đến Alber Ya.I., Atkinson K.E., Bakushinskii A.B., Baumeiser J., Engl H.W nhà toán học Việt Nam nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết này, tiêu biểu GS.TS Nguyễn Bường, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Trong khuôn khổ luận văn này, xin trình bày vấn đề nằm lý thuyết trên, “Nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình khơng chỉnh đơn điệu phi tuyến” Mục tiêu đề tài nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nguyên lý tựa độ lệch hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho họ phương trình khơng chỉnh, đơn điệu phi tuyến Bố cục luận văn gồm chương: • Chương Một số vấn đề • Chương Hiệu chỉnh cho phương trình với tốn tử đơn điệu Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường Mặc dù tác giả cố gắng vấn đề nghiên cứu phức tạp, mẻ khả hạn chế thân nên khó c tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp q thầy bạn đọc Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2015 Chu Minh Thành Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015 Chun ngành Tốn ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Email: chuminhthanhsp@gmail.com c Chương Một số vấn đề 1.1 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Khơng gian định chuẩn khơng gian tuyến tính X ứng với phần tử x ∈ X có số kxk gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: (1) kxk > với x 6= Đẳng thức kxk = xảy x = (2) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ X (3) kαxk ≤ |α| kxk với x ∈ X α ∈ R Không gian định chuẩn đầy đủ gọi khơng gian Banach Ví dụ 1.1 Không gian Lp [a, b] với ≤ p < +∞ không gian Banach với chuẩn b p1 Z p kϕk = |ϕ(x)| dx , ϕ ∈ Lp [a, b] a 1.1.2 Sự hội tụ không gian Banach Dãy phần tử {xn } không gian Banach X gọi hội tụ đến phần tử x0 ∈ X n → +∞, kx − x0 k → n → +∞, kí hiệu xn → x0 Sự hội tụ theo chuẩn gọi hội tụ mạnh c Dãy {xn } gọi hội tụ yếu đến x0 , kí hiệu xn * x0 , với f ∈ X ∗ không gian liên hợp X, ta có f (xn ) → f (x0 ) n → +∞ Tính chất 1.1 Từ định nghĩa ta có tính chất sau • Từ hội tụ mạnh dãy suy hội tụ yếu dãy • Giới hạn yếu có dãy • Nếu xn * x0 sup kxn k < ∞ kxk ≤ lim kxn k n→∞ 1≤n