��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC �������o0o������� NGUY�N THÀ HÇNG HOA MËT SÈ B�T ��NG THÙC V� H�M LÇI V� ÙNG DÖNG LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N, 10/2018 c ��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍN[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ HÇNG HOA MËT SÈ BT NG THÙC V HM LÇI V ÙNG DƯNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, 10/2018 c I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ HÇNG HOA MËT SÈ BT NG THÙC V HM LÇI V ÙNG DƯNG Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp M số: 8460113 LUN VN THC S TON HC GIO VIN HìẻNG DN PGS.TS NGUYN THÀ THU THÕY THI NGUYN, 10/2018 c iii Mửc lửc BÊng kỵ hiằu M Ưu Chữỡng Hm lỗi v bĐt ng thực HermiteHadamard 1.1 1.2 Hm lỗi mởt bián v bĐt ng thực HermiteHadamard 1.1.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho hm lỗi 1.1.2 BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi khÊ vi ng dửng cừa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 14 1.2.1 Ùng döng ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh 14 1.2.2 Ùng dưng chùng minh mởt số bĐt ng thực chữỡng trẳnh toĂn phê thæng 17 Ch÷ìng H m lỗi suy rởng v ựng dửng 2.1 2.2 2.3 21 Hm J -lỗi 21 2.1.1 Hm lỗi trản Rn 21 2.1.2 Hm J -lỗi 23 Hm s-lỗi 26 2.2.1 nh nghắa Vẵ dử 26 2.2.2 Tẵnh chĐt cừa hm s-lỗi 28 B§t ¯ng thực HermiteHadamard cho hm s-lỗi 33 2.3.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard 33 2.3.2 Mët số bĐt ng thực mợi ữủc thiát lêp tứ bĐt ¯ng thùc HermiteHadamard 33 2.3.3 Mët sè ùng dưng cho gi¡ trà trung b¼nh c biằt 40 c iv Kát luên 41 Ti liằu tham khÊo 42 c BÊng kỵ hi»u R tªp sè thüc Lp [a, b] khỉng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc p trản oÔn [a, b] Co phƯn cừa têp C A trung bẳnh cởng G trung bẳnh nhƠn H trung bẳnh iÃu hỏa L trung b¼nh lỉgarit Lp trung b¼nh p-lỉgarit c Mð Ưu Hm lỗi v têp lỗi  ữủc nghiản cựu tứ lƠu bi Holder, Jensen, Minkowski c biằt vợi nhỳng cổng trẳnh cừa Fenchel, Moreau, Rockafellar vo cĂc thêp niản 1960 v 1970  ữa giÊi tẵch lỗi tr thnh mởt nhỳng lắnh vỹc phĂt trin nhĐt cừa toĂn hồc Bản cÔnh õ, mởt số hm khổng lỗi theo nghắa Ưy ừ cụng chia s mởt vi tẵnh chĐt no õ cừa hm lỗi Chúng ữủc gồi l cĂc hm lỗi suy rởng (generalized convex function) Mửc tiảu cừa à ti luên vôn l trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn và têp lỗi, hm lỗi mởt bián, hm lỗi nhiÃu bián, hm J -lỗi, hm s-lỗi, bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi khÊ vi, hm s-lỗi v ựng dửng chựng minh mët sè b§t ¯ng thùc to¡n phê thỉng, ¡nh giĂ cĂc giĂ tr trung bẳnh Luên vôn cụng trẳnh b y mët sè b§t ¯ng thùc suy rëng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m kh£ vi n-l¦n, h m J -lỗi, hm s-lỗi, hm s-lóm cĂc cổng trẳnh [7], [8] cỉng bè n«m 2012 v 2017 Nëi dung cõa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng trẳnh by v chựng minh cĂc bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi mởt bián, hm lỗi khÊ vi bêc nhĐt, bêc hai, bêc n v ựng dửng Ănh giĂ mët sè gi¡ trà trung b¼nh v chùng minh mët số bi têp bĐt ng thực chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Chữỡng trẳnh by khĂi niằm và hm J -lỗi v mởt số tẵnh chĐt cừa lợp hm J -lỗi, khĂi niằm hm s-lỗi, tẵnh chĐt cừa hm s-lỗi, vẵ dử và hm s-lỗi Trẳnh by cĂc bĐt ng thực HermiteHadamard cho hm s-lỗi, trẳnh by c chi tiát cĂc chựng minh cĂc bĐt ng thực ny, cịng mët sè ùng dưng cho gi¡ trà trung b¼nh c biằt Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt tĂc giÊ hồc têp, nghiản cựu TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án cĂc thƯy, cổ Khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản c biằt, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS Nguyạn Th Thu Thừy - Ngữới  tên tẳnh hữợng dăn tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny Xin cÊm ỡn nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh  hát sực thổng cÊm, chia s v tÔo iÃu ki»n tèt nh§t cho tỉi º tỉi câ thº håc têp, nghiản cựu v hon thnh nhỳng cổng viằc cừa m¼nh Tỉi cơng xin gûi nhúng líi c£m ìn °c biằt nhĐt tợi tĐt cÊ nhỳng ngữới bÔn thƠn yảu, nhỳng ngữới  yảu mán, chia s vợi tổi nhỳng khõ khôn tổi thỹc hiằn luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2018 TĂc giÊ luên vôn Nguyạn Th Hỗng Hoa c Chữỡng Hm lỗi v bĐt ng thực HermiteHadamard Chữỡng ny giợi thiằu khĂi niằm và hm lỗi; trẳnh by mởt số bĐt ng thực dÔng HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi khÊ vi v ùng dưng ¡nh gi¡ mët sè gi¡ trà trung b¼nh c biằt v chựng minh mởt số bi têp bĐt ng thực chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Nởi dung cõa ch÷ìng ÷đc têng hđp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4], [7], [8] v [10] 1.1 1.1.1 Hm lỗi mởt bián v bĐt ng thực HermiteHadamard BĐt ng thực HermiteHadamard cho hm lỗi nh nghắa 1.1.1 Hm f : [a, b] ⊂ R → R ÷đc gåi l h m lỗi náu vợi mồi x, y [a, b] v λ ∈ [0, 1] th¼ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) H m f ữủc gồi l hm lóm náu hm (f ) l lỗi Hằ quÊ 1.1.2 ([11, Hằ quÊ 2.1]) Hm f (x) khÊ vi hai lƯn trản khoÊng m l hm lỗi náu v ch náu Ôo hm cĐp hai cừa nõ khổng Ơm trản ton khoÊng (a, b) (a, b) ⊆ R R§t nhi·u b§t ¯ng thùc quan trång ữủc thiát lêp tứ lợp cĂc hm lỗi Mởt nhỳng bĐt ng thực nời tiáng nhĐt l bĐt ng thùc Hermite c Hadamard (cán gåi l b§t ¯ng thực Hadamard) BĐt ng thực kp ny ữủc phĂt biu nh lỵ sau nh lỵ 1.1.3 ([3, The HermiteHadamard Integral Inequality]) Cho f mởt hm lỗi trản [a, b] ⊂ R, a 6= b Khi â f a + b ≤ b−a Z b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) l (1.1) BĐt ng thực (1.1) cõ th viát lÔi dữợi dÔng: (b − a)f a+b Zb ≤ f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) (1.2) a Chựng minh Vẳ hm f lỗi trản oÔn [a, b], nản vợi mồi [0, 1] ta câ f λa + (1 − λ)b f (a) + (1 )f (b) LĐy tẵch phƠn hai vá theo trản oÔn [0, 1], ta nhên ữủc Z1 Z1 f a + (1 λ)b dλ ≤ f (a) Z1 V¼ Z1 Z1 (1 − λ)dλ = λdλ = (1 − λ)dλ λdλ + f (b) v bơng php ời bián x = a + (1 λ)b, suy Z1 f λa + (1 − λ)b dλ = b−a Zb f (x)dx a Kát hủp vợi (1.3) ta nhên ữủc bĐt ng thực thự hai cừa (1.1) Cụng tẵnh lỗi cừa hm f , 1 f (λa + (1 − λ)b) + f ((1 − λ)a + λb) λa + (1 − λ)b + (1 − λ)a + λb ≥f a+b =f c (1.3) Tẵch phƠn hai và bĐt ng thực ny theo trản oÔn [0, 1] ta nhên ữủc Z1 Z a+b ≤ f (λa + (1 − λ)b)dλ + f ((1 − λ)a + λb)dλ f 2 0 = b−a Zb f (x)dx a B§t ¯ng thùc thù nh§t cừa (1.1) ữủc chựng minh Náu g : [a, b] R l hm khÊ vi hai lƯn trản [a, b] ⊆ R v m ≤ g 00 (t) ≤ M vỵi måi x ∈ [a, b], m, M l hơng số xĂc nh, thẳ Hằ quÊ 1.1.4 (xem [3]) m (b − a)2 ≤ 24 b−a Zb g(x)dx − g a+b ≤ M (b − a)2 24 (1.4) a m x vỵi måi x ∈ [a, b] Khi â, f 00 (x) = g 00 (x) − m ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) Chùng minh °t f (x) = g(x) chựng tọ hm f l lỗi trản khoÊng m (a, b) p dưng b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m f ta nhên ữủc 2 a+b m a+b a+b − =f g 2 2 Zb h m 2i = g(x) − x dx b−a a = b−a Zb g(x)dx − m b3 − a3 3(b − a) g(x)dx − m a2 + ab + b2 a = b−a Zb a Do â, m a2 + ab + b2 m − a+b 2 ≤ b−a Zb g(x)dx − g a c a+b p p1 1q Z b Z b 1 x − a + b dx × ≤ | f (x) |q dx , b−a a b−a a â, Z b a p Z b a+b a+b x− f (x)dx = x− dx a+b 2 (b − a)p+1 = (a + 1)2p c Suy ra, p p1 1q Z b Z b a + b x − dx × | f (x) |q dx ... gi¡ mët sè gi¡ trà trung bẳnh v chựng minh mởt số bi têp bĐt ng thực chữỡng trẳnh toĂn phờ thổng Chữỡng trẳnh by khĂi niằm và hm J -lỗi v mởt số tẵnh chĐt cừa lợp hm J -lỗi, khĂi niằm hm s-lỗi,... niằm và hm lỗi; trẳnh by mởt số bĐt ng thực dÔng HermiteHadamard cho hm lỗi, hm lỗi khÊ vi v ựng dửng Ănh giĂ mởt sè gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t v chùng minh mởt số bi têp bĐt ng thực chữỡng... cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t 40 c iv Kát luên 41 Ti liằu tham khÊo 42 c BÊng kỵ hiằu R têp số thỹc Lp [a, b] khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc p trản oÔn [a, b] Co phƯn cừa têp C A trung bẳnh