Luận văn thạc sĩ bài toán chứng minh tính vuông góc, song song trong hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGỌC THỊ HÀ BÀI TỐN CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 c i Mửc lửc M Ưu Kián thực côn bÊn 1.1 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh vng gâc, song song h¼nh håc ph¯ng 1.1.1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1.2 CĂc tẵnh chĐt và tẵnh vuổng gõc, song song h¼nh håc ph¯ng 1.1.3 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh song song v  vng gâc h¼nh håc ph¯ng 1.2 9 Mët sè bi toĂn liản quan án tẵnh vuổng gõc, song song h¼nh håc ph¯ng 17 C¡c b i to¡n chùng minh vuæng gâc c¡c · thi Håc sinh giäi 35 C¡c b i to¡n chùng minh song song c¡c · thi Håc sinh giäi 62 K¸t luªn 79 T i li»u tham kh£o 81 c ii Líi cÊm ỡn Trữợc tiản em xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt tợi PGS.TS Trnh Thanh HÊi, ngữới thƯy vợi lỏng nhiằt huyát  luổn ch bÊo tên tẳnh cho em tứ nhỳng ngy Ưu tiản, ỗng thới ữa nhỳng lới khuyản bờ ẵch giúp em hon thiằn luên vôn ny Em cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi cĂc thƯy cổ, têp th cĂn bở khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Ban lÂnh Ôo v cĂc ỗng nghiằp Trung tƠm Hữợng nghiằp v GiĂo dửc thữớng xuyản tnh QuÊng Ninh, cĂc bÔn hồc viản lợp cao håc To¡n K11D, ¢ khỉng ch¿ trang bà cho em nhỳng kián thực bờ ẵch m cỏn luổn giúp ù, tÔo iÃu kiằn thuên lủi quĂ trẳnh em hồc têp tÔi trữớng Cuối em xin cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b ngữới thƠn l nhỳng ngữới luổn ừng hở, ởng viản em vữủt qua nhỳng khõ khôn  em hon thnh tốt luên vôn ThĂi Nguyản, ngy 26 thĂng nôm 2019 c M Ưu Trong hẳnh hồc phng, cĂc dÔng bi têp và chựng minh t½nh song song hay chùng minh t½nh vng gâc ln l cĂc bi têp thú v thữớng rĐt khõ °c bi»t l  nhúng b i to¡n, · thi d nh cho hồc sinh giọi thẳ hồc sinh phÊi nưm ữủc cĂc kián thực nƠng cao, Ơy l cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt v cĂc phữỡng phĂp chựng minh khổng cõ chữỡng trẳnh Ôi tr cụng nhữ chữỡng trẳnh nƠng cao bêc cỡ s Trong thới gian vứa qua,  câ nhi·u håc vi¶n cao håc lüa chån c¡c chõ à và hẳnh hồc  trin khai luên vôn thÔc sắ nhỳng chữa cõ hồc viản no nghiản cựu mởt c¡ch h» thèng v· c¡c b i to¡n chùng minh t½nh song song, vuổng gõc  phĂt trin thnh luên vôn thÔc sắ chuyản ngnh Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp Vợi mong muốn tẳm hiu cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt cụng nhữ phữỡng phĂp chựng minh tẵnh song song, tẵnh vuổng gâc qua mët sè b i to¡n, · thi håc sinh giọi  lm ti liằu cho viằc giÊng dÔy cừa b£n th¥n v  l m t i li»u tham kh£o cho håc sinh tü håc, tỉi chån chõ ·: Ph÷ìng ph¡p chùng minh t½nh song song, t½nh vng gâc qua vi»c gi£i mët sè b i to¡n, · thi håc sinh giäi cho luên vôn thÔc sắ cừa mẳnh Luên vôn têp trung nghiản cựu cĂc vĐn à sau: ã Tẳm hiu cĂc nh lỵ, cĂc tẵnh chĐt liản quan án iÃu kiằn  hai ữớng thng song song (hay vuổng gõc) vợi cơng nh÷ c¡c h» qu£ câ ÷đc tø vi»c hai ữớng thng song song (hay vuổng gõc) ã Sữu t¦m c¡c b i to¡n luy»n thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh hồc phng liản quan án tẵnh song song, tẵnh vuổng gõc ã Trẳnh by lới giÊi mởt số bi toĂn luy»n håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi toĂn và hẳnh hồc phng liản quan án tẵnh song song, tẵnh vuổng gõc Trong õ cố gưng ữa lới giÊi tữớng minh ối vợi nhỳng bi toĂn, à thi m  t i li»u tham kh£o ch¿ câ líi gi£i vưn tưt hoc nh hữợng lới giÊi c ã ối vợi mởt vi bi toĂn, cố gưng ữa nhiÃu lới giÊi  minh hồa tẵnh linh hoÔt viằc vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ vo chựng minh b i to¡n v· t½nh song song, t½nh vng gâc Vợi mửc tiảu nghiản cựu nhữ vêy, bố cửc cừa luên vôn bao gỗm chữỡng: Chữỡng Kián thực chuân b Nởi dung chữỡng ny nhơm hằ thống hoĂ cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ v phữỡng phĂp chựng minh cĂc bi toĂn và tẵnh vuổng gõc (ữớng thưng, gõc) v tẵnh song song hẳnh hồc phng CĂc nh lỵ v tẵnh chĐt cỡ bÊn nhữ nh lỵ Thales Êo, nh lỵ Pythagoras, nh lỵ Ceva  chựng minh cĂc ữớng thng ổi mởt song song hoc ỗng quy, nh lỵ Menelaus tam giĂc v tự giĂc, nh lỵ Carnot thu ữủc tứ cĂc ữớng thng vuổng gõc nơm trản cĂc cÔnh cừa tam giĂc ỗng thới cụng ữa mởt số bi têp Ăp dửng cĂc nh lỵ trản  chựng minh tẵnh vuổng gõc v song song Chữỡng CĂc bi toĂn chựng minh tẵnh vuæng gâc c¡c · thi Håc sinh giäi Nëi dung chữỡng trẳnh by mởt cĂch tữớng minh viằc vên dửng cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt  chựng minh mởt số bi toĂn liản quan án tẵnh vuổng gõc Sữu tƯm cĂc bi toĂn luyằn thi ởi tuyn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giäi to¡n và hẳnh hồc phng liản quan án tẵnh vuổng gõc Chữỡng CĂc bi toĂn chựng minh tẵnh song song c¡c · thi Håc sinh giäi Nëi dung ch÷ìng cừa luên vôn trẳnh by mởt cĂch tữớng minh viằc vên dửng cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt º chùng minh mët sè b i to¡n li¶n quan án tẵnh song song Sữu tƯm cĂc bi toĂn luyằn thi ëi tuyºn håc sinh giäi, c¡c · thi håc sinh giọi toĂn và hẳnh hồc phng liản quan án tẵnh song song Vẳ iÃu kiằn thới gian giợi hÔn nản phÔm vi nghiản cựu cừa luên vôn têp trung chừ yáu l cĂc bi toĂn thuởc Hẳnh hồc phng ThĂi Nguyản, ngy 26 thĂng nôm 2019 TĂc giÊ luên vôn Ngồc Th H c Chữỡng Kián thực côn bÊn 1.1 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh hồc phng 1.1.1 Kián thực chuân b Trữợc tiản, s nhưc lÔi cĂc khĂi niằm cỡ bÊn  ữủc à cêp cĂc chữỡng trẳnh giĂo dửc phờ thổng và hai ÷íng th¯ng song song, hai ÷íng th¯ng vng gâc v  cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chúng nh nghắa 1.1 Hai ÷íng th¯ng xx0, yy0 c­t v  c¡c gõc tÔo thnh cõ mởt gõc vuổng ữủc gồi l hai ữớng thng vuổng gõc v ữủc kỵ hiằu l xx0 yy0 ữớng thng vuổng gõc vợi mởt oÔn thng tÔi trung im cừa nõ ữủc gồi l ữớng trung trỹc cừa oÔn thng Đy nh nghắa 1.2 Hai ÷íng th¯ng song song l  hai ÷íng th¯ng khỉng câ im chung Hai ữớng thng phƠn biằt thẳ hoc cưt hoc song song vợi c Nhên xt 1.1 (i) Hai gõc A1 Tứ hẳnh v dữợi Ơy chóng ta x¡c ành c¡c c°p gâc sau ¥y v  B3 cơng nh÷ hai gâc A4 v  B2 ÷đc gåi l  hai gâc so le (ii) C°p gâc A1 v B1 ữủc gồi l cĂc cp gõc ỗng v Tữỡng tỹ ta cõ cĂc cp gõc ỗng v khĂc l  A2 v  B2 ; A3 v  B3 ; A4 v B4 nh nghắa 1.3 Náu ữớng thng c c­t hai ÷íng th¯ng a, b v  c¡c gâc tÔo thnh cõ mởt cp gõc so le bơng (hoc mởt cp gõc ỗng v bơng nhau) thẳ a v b song song vợi Tiản à 1.1 (Tiản à Euclide) Qua mởt im ngoi mởt ữớng thng ch cõ mởt ữớng thng song song vợi ữớng thng õ Hai oÔn thng AB v CD gồi l t lằ vợi hai oÔn thng A0 B v C 0D0 n¸u câ t¿ l» thùc AB A0 B = 0 CD CD ho°c AB CD = A0 B C 0D0 ành ngh¾a 1.4 Cho ữớng thng d Php bián hẳnh bián mội im M thuởc d thnh chẵnh nõ, bián mội im M khổng thc d th nh M cho d l  ÷íng trung trỹc cừa oÔn thng M M ữủc gồi l  ph²p èi xùng qua ÷íng th¯ng d hay ph²p èi xùng trưc d Ph²p èi xùng trưc th÷íng ÷đc kẵ hiằu l d nh nghắa 1.5 Cho im I Php bián hẳnh bián im I thnh chẵnh nõ, bi¸n méi iºm M kh¡c I th nh M cho I l trung im cừa oÔn thng c ữủc gồi l php ối xựng tƠm I Php ối xựng tƠm thữớng ữủc kẵ hiằu l I MM0 nh nghắa 1.6 Cho im O v gõc lữủng giĂc Php bián hẳnh bián O thnh chẵnh nõ, bián méi iºm M kh¡c O th nh iºm M cho OM = \ OM v  gâc l÷đng gi¡c (OM, OM ) = α ÷đc gåi l  ph²p quay t¥m O gâc α Ph²p quay t¥m O gâc thữớng ữủc kẵ hiằu l Q(O,) nh nghắa 1.7 Cho trữợc mởt im O vsốthỹc k6=0 Php bián hẳnh bián mồi im M thnh im M cho OM = kOM ÷đc gåi l  ph²p tỹ tƠm O t số k v ữủc kẵ hiằu l  V(O,k) iºm M ÷đc gåi l  £nh cõa im M, M ữủc gồi l tÔo Ênh cừa M 0, O l  t¥m cõa ph²p tü, k l  t¿ sè tü Nhªn x²t 1.2 Ph²p tü t số k cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) Bián ba iºm th¯ng h ng th nh ba iºm th¯ng h ng v  b£o to n thù tü giúa c¡c iºm â (ii) Bi¸n ữớng thng thnh ữớng thng song song hoc trũng vợi nõ, bián tia thnh tia, bián oÔn thng thnh oÔn thng (iii) Bián tam giĂc thnh tam giĂc ỗng dÔng vợi nõ, bián gõc thnh gõc bơng nõ c nh nghắa 1.8 Cho ữớng trỏn (O; R) v im M cè ành, OM = d Mët ÷íng th¯ng thay ời qua M cưt ữớng trỏn tÔi hai im A v  B Khi â, M A.M B = M O2 R2 = d2 R2 Ôi lữủng khæng êi M A.M B = M O2 − R2 = d2 R2 gồi l phữỡng tẵch cừa im M ối vợi ữớng trỏn (O; R), kẵ hiằu PM/(O) Kát quÊ cừa cĂc nh lỵ sau Ơy thữớng ữủc dịng º chùng minh c¡c b i to¡n h¼nh håc ph¯ng v· t½nh song song v  vng gâc, chóng ta s bọ qua phƯn chựng minh nh lỵ 1.1 Cho tam gi¡c ABC (H» thùc l÷đng tam gi¡c vuổng) vuổng tÔi A, ữớng cao AH , ta cõ AB = BC.BH, AC = BC.HC, AH = BH.CH, BC.AH = AC.AH, 1 = + AH AB AC nh lỵ 1.2 Khi M nơm ngoi ữớng trỏn (O) ta v ữủc tiáp tuyán M T tợi ữớng trỏn Khi õ PM/(O) = M A.M B = M T c 67 0N C = O CN (vẳ 4OBC cƠn tÔi O ) v  OBC \ \ \ = OCB \ (v¼ O N C , hai gâc n y lÔi ỗng v, õ \=O \ 4OBC cƠn tÔi O) Suy OBC AB k M N Khi â B i to¡n 3.7 Tø iºm M n¬m ngo i ữớng trỏn tƠm O, v án hai tiáp tuyán (Tuyn sinh lợp 10 chuyản ToĂn  ỗng Nai nôm hồc 2016  2017) M A, M B v  c¡t tuy¸n M CD (C n¬m giúa M v  D) Gåi H l  giao iºm M O v  AB ÷íng th¯ng CH cưt () tÔi im thự hai E khĂc C Chùng minh AB k DE Chùng minh Theo gi£ thi¸t M A, M B l  ti¸p tuy¸n cõa (ω) n¶n AH ⊥ M O v  M A2 = M C.M D Do â, AH l  ÷íng cao cõa tam gi¡c AM O, ¡p dưng h» thùc l÷đng, ta câ AM = M H.M O M C.M D = M H.M O Vêy tự giĂc CDOH nởi tiáp Dạ thĐy M O AB Do vêy viằc chựng minh AB k DE tữỡng ữỡng vợi chựng minh M O ⊥ DE Theo h» thùc l÷đng tam gi¡c M AO , ta câ Do â AH = AH.HB = M H.HO M  tù gi¡c ACBE cõ AB giao CE tÔi H nản AH.HB = CH.HE M H.HO = CH.HE \ \ M OE = M CE hay Tø (3.3) v  (3.4) suy ti¸p, suy (3.4) Do â tù gi¡c \ \ M OE = M CH V¼ tù gi¡c CDOH (3.3) M COE nởi (3.5) nởi tiáp nản ta cõ \ =M \ HOD CH c hay \ \ M OD = M CH (3.6) 68 \ \ M OD = M OE Kát hủp vợi OD = OE chúng M D = M E Vªy, M O l  trung trỹc oÔn CE nản M O DE Tứ (3.5) v  (3.6) suy suy ta B i to¡n 3.8 Cho ữớng trỏn (O) ữớng kẵnh AB, dƠy CD vuổng gõc vợi AB tÔi _ (Tuyn sinh vo lợp 10 Chuyản QuÊng Nam nôm hồc 2016  2017) nơm giỳa O v A LĐy im E bĐt kẳ trản cung nhọ BD, gồi M l hẳnh chiáu cừa B lản CE Chựng minh rơng HM k AE H \ \ = 90◦ n¶n CHM B l  tù Chùng minh Theo gi£ thi¸t, ta câ CM B = CHB gi¡c nëi ti¸p Suy \ = BCM \ = BCE \ BHM \ = BAE \ K¸t hủp ACBE l tự giĂc nởi tiáp nản BCE \ = BAE \ tứ õ dăn án HM k AE H ∈ BA suy BHM M°t kh¡c, v  B i to¡n 3.9 (3.7) vỵi (2.5) Cho (Chån ởi tuyn Kiản Giang nôm hồc 2012  2013) hẳnh thang ABCD câ ¡y lỵn l  CD Qua A v³ AK k BC (K ∈ CD) v  qua B k´ BI k AD (I CD; BI cưt AC tÔi F, AK cưt BD tÔi E Chựng minh KD = CI v  EF k AB Chùng minh Theo gi£ thi¸t AK k BC, BI k AD v  ABCD l  h¼nh thang AB k CD, suy c¡c tù gi¡c ABCK, ABID l  h¼nh b¼nh h nh Do â DI = CK (cịng b¬ng AB ), suy DI + IK = CK + IK Vêy DK = CI nản c 69 Vẳ 4AEB 4KED (g.g) nản AE AB = EK KD V¼ 4AF B ∼ 4CF I (g.g) n¶n AF AB = FC CI M°t kh¡c, KD = CI n¶n AF AE = ⇒ EF k KC EK FC (nh lỵ Thales Êo) Bi toĂn 3.10 Cho (Chån håc sinh giäi An Giang n«m håc 2013  2014) ữớng trỏn tƠm O ữớng kẵnh AB LĐy mởt im M trản ữớng trỏn \ = 30 Tiáp tuyán vợi ữớng trỏn tÔi im A v im M cưt cho BAM tÔi C CM cưt AB tÔi D Chựng minh rơng BM k OC \ = 30◦ , tam gi¡c AM B vuổng tÔi M Chựng minh Theo à bi ta cõ BAM (gõc nởi tiáp chưn nỷa ữớng trỏn) suy \ M BO = 60◦ (3.8) \ M OB c¥n câ M BO = 60◦ n¶n tam gi¡c M OB l  tam gi¡c ·u, \ = 120◦ suy AOM Ta câ CA, Cm l  hai ti¸p tuy¸n cịng xuĐt phĂt tứ im C nản CO l \ , hay CO l phƠn giĂc cừa gõc AOM \ nản ữớng phƠn giĂc cừa gõc ACM Tam giĂc \ = 60◦ COA Tø (3.8) v  (3.9) suy B i to¡n 3.11 BM k OC (3.9) (hai gõc ỗng v) (Câm Thõy  Thanh Hâa n«m 2012) Cho tam gi¡c ABC , ÷íng th¯ng d c­t AB , AC v  trung tuyán AM theo thự tỹ tÔi E, F, N GiÊ sỷ ữớng thng d k BC Trản tia èi cõa tia F B l§y iºm K , ữớng thng KN cưt AB tÔi P , ữớng thng KM cưt AC tÔi Q Chựng minh rơng P Q k BC c 70 Chùng minh Khi d k BC ⇒ EF k BC â N l  trung iºm cõa EF Tø F k´ ÷íng th¯ng song song vợi AB cưt KP tÔi L Ta cõ 4N F P = 4N F L (c.g.c) ⇒ EP = LF Do â EP LF KF = = (3.10) PB PB KB Tø B k´ ÷íng th¯ng song song vợi AC cưt KM tÔi H Ta cõ 4BM H = 4CM Q (c.g.c) ⇒ BH = QC Do â FQ KF FQ = = (3.11) QC BH KB EP FQ Tø (3.10) v  (3.11) suy = ⇒ P Q k BC PB QC B i to¡n 3.12 Cho hai (Chồn ởi tuyn Hỏa Bẳnh nôm håc 2016 - 2017) ÷íng trán (O1) v  (O2) c­t tÔi A, B CD l tiáp tuyán chung cừa hai ữớng trỏn (O1) v (O2); vợi C thuởc (O1), D thc (O2) v  B g¦n CD hìn A Gåi E l  giao iºm cõa BC v  AD, F l  giao iºm cõa DB v  AC Chùng minh r¬ng EF k CD \ = CAB \ v  BCD \ = BAD \ M°t kh¡c, Chùng minh º þ r¬ng BCD \ + BDC \ + CBD \ = 180◦ ⇒ EAF \ + EBF \ = 180◦ BCD \ \ = BCD \ Suy tù gi¡c AEBF nëi ti¸p, â EF B = BAE EF k CD c Do vªy, 71 B i to¡n 3.13 (Trung hồc phờ thổng Chuyản Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi Cho tam gi¡c ABC ÷íng trán (I) nëi tiáp tam nôm hồc 2016 - 2016) giĂc ABC tiáp xúc vợi BC, CA, AB tÔi D, E, F ữớng thng DI cưt ữớng trỏn tƠm A bĂn kẵnh AE tÔi M, N (N nơm giỳa M v D) CĂc ữớng thng AD, EF cưt tÔi P CĂc ữớng thng M A, N P cưt tÔi Q Gåi H l  giao iºm thù hai cõa AD v  (I) ÷íng th¯ng qua trung iºm cõa DH, DE cưt AC tÔi L Chựng minh rơng DL k EF Chựng minh Gồi J, G lƯn lữủt l trung iºm cõa HD, ED th¼ HE k JG k \ = JLD [ Thªt vªy AEH \ = ALJ [ = ADE \ suy JL Ta c¦n chùng minh HEF tù gi¡c JDLE l  tù gi¡c nëi ti¸p n¶n [ = JED [ JLD (3.12) Ngo i ra, [ = AJE [ = AF \ \ \ 180◦ − EJD E=F DE = 180◦ − EF H [ = EHF \ ⇒ EJD M°t kh¡c \ \ ⇒ HEF \ = JDE [ HF E = HDE Tø (3.12) v  (3.13) ta suy B i to¡n 3.14 (3.13) DL k EF (Chuyản Lam Sỡn  Thanh Hõa nôm hồc 2015  2016) Cho tam giĂc ABC vuổng tÔi A v (C) l ữớng trỏn tƠm C bĂn kẵnh CA LĐy im D thuởc ữớng trỏn (C) v nơm tam gi¡c ABC Gåi M l  \ = ACD \ ; N l  giao iºm cõa ÷íng im trản cÔnh AB cho BDM thng M D vợi ữớng cao AH cừa tam giĂc ABC ; E l  giao iºm thù hai cõa ÷íng th¯ng BD vợi ữớng trỏn (C) Chựng minh rơng M N k AE c 72 Chùng minh X²t ÷íng trán (C) ta câ \ = ACD \ AED _ (gõc nởi tiáp bơng nỷa gõc tƠm chưn cung AD) (3.14) Tø (3.14) v  (3.15) suy \ \ = ACD BDM \ = BDM \ AED (3.15) â M N k AE (v¼ câ hai gõc ỗng v bơng nhau) Bi toĂn 3.15 (à thi hồc sinh giọi tnh QuÊng NgÂi nôm 2010) Cho tam giĂc ABC cƠn tÔi A, ữớng trỏn (O) tiáp xúc vợi AB, AC tÔi B, C Trản _ cung BC nơm tam giĂc ABC lĐy mởt iºm M (M 6= B, C) Gåi I, K, H lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa M trản BC, AB, CA v  P l  giao iºm cõa M B vỵi IK, Q l  giao iºm cõa M C vỵi IH Chùng minh P Q k BC Chùng minh Do tự giĂc BIM K v CIM H nởi tiáp nản \ = KBM \ , HIM \ = HCM \ ,P [ \ + HIM \ = KBM \ + HCM \ KIM IG = KIM _ \ = ICM \ (cịng b¬ng s BM ), HCM \ = IBM \ (cịng b¬ng M°t kh¡c KBM _ \ \ + IBM \ = 180◦ n¶n P\ [ s P M ) Hìn núa, P M Q + ICM MQ + P IG = \ \ 180◦ Do â tù gi¡c M P IQ nëi ti¸p nản ta cõ M QP = M IK (cũng bơng _ \ \ \ ) n¶n M \ \ s P M ) M  M IK = M IC (cịng b¬ng KBM QP = M CI Suy P Q k BC c 73 B i to¡n 3.16 (à thi hồc sinh giọi tnh LƠm ỗng nôm hồc 2014  2015) Cho ữớng trỏn (C1) tƠm I LĐy im O trản (C1), dỹng ữớng trỏn (C2) tƠm O cho (C2) cưt (C1) tÔi C v D Tiáp tuyán vợi (C2) tÔi C cưt (C1 ) tÔi A v tiáp tuyán vợi (C1 ) tÔi C cưt (C2 ) tÔi B ữớng thng AB cưt (C1 ) tÔi F (F 6= A) v cưt (C2 ) tÔi E (E 6= B) ữớng thng CE cưt (C1 ) tÔi G (G 6= C), ữớng thng CF cưt ữớng thng GD tÔi H Chựng minh CG k F D \ = 90◦ Do â AC, AD Chựng minh Vẳ tự giĂc OCAD nởi tiáp nản OAD l  c¡c ti¸p tuy¸n cõa ( (C2 ) Suy AC = AD Ta câ \ = CAE \ BCF \ = BCF \ ⇒ CEF \ = CF \ ⇒ ACE E \ = ACE \ CBF c 74 M°t kh¡c ( \ = CEF \ = CF \ \ AEG E = ACD \ = AGE \ = ADC \ = ACD \ ⇒ AEG \ \ AEG = ADC Do â Tù gi¡c CF DG B i to¡n 3.17 nëi \ = GAE \ ⇒ CGD \ = GCF \ CAD \ \ = GCF \ ti¸p â HF D = CGD Vªy F D k GC (· thi håc sinh giäi Long An B£ng B n«m 2016) Cho tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån (AB < AC), düng v· ph½a ngo i tam gi¡c ABC cĂc tam giĂc ABD vuổng cƠn tÔi A, tam giĂc ACE vuổng cƠn tÔi A Gồi I l giao im cừa BE v CD Gồi M, N lƯn lữủt l  trung iºm cõa BC v  DE Chùng minh r¬ng AI k M N Chùng minh Ta câ ( Gồi F, K thoi (vẳ lƯn lữủt l trung im BAD Do õ F vuổng tÔi BD  CD = BE CD⊥BE CE Khi â tù gi¡c M F N K M F = F N = N K = KM = CD) suy M N ⊥ F K Tam gi¡c BD Q(A,900 ) (D) = B ⇒ Q(A,900 ) (DC) = BE ⇒ Q(A,900 ) (C) = E A v  tam v  gi¡c thuởc trung trỹc cÔnh BID vuổng tÔi I nản l h¼nh (3.16) FA = FI = AI CAE vng tÔi A v tam giĂc CIE vuổng tÔi I nản KA = KI = CE Do â K thuëc trung trỹc cÔnh AI Vêy F K thuởc trung trỹc cÔnh AI nản AI F K (3.17) Tam gi¡c Tø (3.16) v  (3.17) suy AI k M N c 75 B i to¡n 3.18 (· thi håc sinh giäi T¿nh ­c L­c n«m håc 2016  2017) Cho ữớng trỏn (O) DƠy AB cố nh khổng phÊi ữớng kẵnh Gồi I l trung [ im cừa oÔn AB Trản cung nhọ AB lĐy hai im C, E cho gâc CIA [ l  gâc nhån CI cưt ữớng trỏn (O) tÔi im D khĂc C EI cưt v EIB ữớng trỏn (O) tÔi im F khĂc E CĂc tiáp tuyán vợi ữớng trỏn (O) tÔi C v D cưt tÔi M , cĂc tiáp tuyán vợi ữớng trỏn (O) tÔi E v F cưt tÔi N Nối OM cưt CD tÔi P v ON cưt EF tÔi Q Chựng minh rơng M N k AB Chùng minh Ta câ OC = OD M C = M D (v¼ trüc cõa CD , õ (vẳ l bĂn kẵnh), M C, M D l tiáp tuyán cưt nhau) nản OM l  trung OM ⊥ DP \ = 90◦ (v¼ M D l tiáp tuyán cừa (O) tÔi D), Xt 4ODM câ ODM OM ⊥ DP suy OD2 = OP.OM Chùng minh t÷ìng tü ta ÷đc OF = OQ.ON v  OD = OF Do â OP.OM = OQ.ON ⇒ X²t 4OP Q v  4ON M câ b O chung, OP ON = OQ OM OP ON = OQ OM n¶n 4OP Q ∼ 4ON M n¶n \ \ OP Q = ON M Theo chùng minh tr¶n tù gi¡c OP IQ (3.18) [I = OQI [ = 90◦ Vªy OM ⊥ DP, ON ⊥ F Q nản OP nởi tiáp nản [ = QP [I QOI Tø (3.18) v  (3.19) suy c (3.19) 76 Do õ MN, 4ON T vuổng tÔi mt khĂc Bi toĂn 3.19 T (T OI ⊥ AB (v¼ l  giao iºm cõa OI IA = IB = AB ) v  Vªy M N ) Suy OI ⊥ M N k BC Cho tam giĂc (Vỏng loÔi Sharygin nôm 2016, lợp 8, [2]) nhồn ABC, ữớng cao BD v CE P l hẳnh chiáu cừa D trản AB, Q l hẳnh chiáu cừa P trản BC P Q cưt BD tÔi K Chựng minh rơng EK k AC Chùng minh Gåi H l  trüc t¥m tam giĂc ABC Q l hẳnh chiáu cừa P tr¶n BC v  AH ⊥ BC â AH k P Q DP ⊥ AB n¶n DP k CE Theo ành l½ Thales ta BH BE = Ta câ ¯ng thùc BD BP BK BK BH BP BE BE = = = BD BH BD BA BP BA Ta câ, Theo ành l½ Thales £o ta câ B i to¡n 3.20 EK k AC câ BK BP = BH BA v  Cho tam gi¡c nhån ABC cõ (IMO Shortlist nôm 2012, [1]) cĂc ữớng cao AD, BE, CF Gồi M, N l tƠm ữớng trỏn nëi ti¸p tam gi¡c BF D, CDE v  P, Q l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ABM, ACN Chùng minh r¬ng M N k P Q \ v  Chựng minh Vẳ AD, BE, CF l cĂc ữớng cao n¶n F\ BD = DEC \ \ BF D = ECD â 4BF D ∼ 4ECD Theo gi£ thi¸t ữớng trỏn nởi tiáp hai tam giĂc õ nản FD DM \ \ = , M DN = F DC CD DN Do â 4DM N ∼ 4DF C , suy \ \ \ DM N = DF C = DAC c M, N l  t¥m 77 M°t kh¡c, 1\ \ \ \ \ D + DF C BM N = BM D + DM N = 90◦ + BF 1\ \ = 180◦ − ACB \ = 90◦ + ACB + 90◦ − ACB 2 \ = 180◦ − N CB Do vªy, tù gi¡c BM N C nởi tiáp K l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp 4AEF , tữỡng tỹ suy cĂc tự gi¡c BM KA, AKN C l  c¡c tù gi¡c nëi tiáp, õ AK l dƠy chung cừa hai ữớng trán (BM KA) v  (AKN C) Theo gi£ thi¸t P, Q l tƠm cừa ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ABM, ACN suy P, Q chẵnh l tƠm cừa hai ÷íng trán (BM KA) v  (AKN C) ⇒ AK ⊥ P Q M°t kh¡c, ba iºm M, N, K l tƠm cừa ữớng trỏn nởi tiáp cĂc tam giĂc BDF, CDE, AEF nản M, N, K nơm trản BI, CI, AI , suy Gåi Do â 1\ \=N \ IKN CA = ACB 1\ \ \ \ = IM \ IM N =N CB = ACB Vêy IKN N Tữỡng tỹ, ta cõ \ \ \ = IN \ IM K = IN K, IKM M Suy I l  trüc t¥m cõa B i to¡n 3.21 ABC 4KM N ⇒⇒ KI⊥M N ⇒ P Q k M N (IMO nôm 2018) Cho ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc nhồn CĂc im D, E lƯn lữủt nơm trản AB v AC cho AD = AE _ _ Trung trüc BD v  CE cưt cung nhọ AB v AC cừa tÔi F v  G Chùng minh r¬ng DE v  F G song song ho°c tròng c 78 \ [ , m  AIF [ =F \ Chùng minh Ta _câ F\ BD = F DB = ADI BA (gâc nëi ti¸p [ =F \ [ = AID [ Vªy tam gi¡c F A) hay AID BD Suy ADI A n¶n AD = AI Chùng minh t÷ìng tü ta câ AE = AH chưn cung AID cƠn tÔi Ta câ AD = AE; AD = AI; AE = AH ⇒ AE = AH = AD = AI Suy tự giĂc HDEI nởi tiáp ữớng trỏn tƠm [ = HGF \ HIF ữớng trỏn tƠm A bĂn kẵnh AD hay A, b¡n k½nh [ = HGF \ HID Ta câ (3.20) câ [ = HED \ HID Tø (3.20) v  (3.21) suy AD \ = HGF \ ⇒ ED HED GF c (3.21) song song ho°c trũng 79 Kát luên Vợi mửc tiảu tỹ chuân b cho bÊn thƠn mởt chuyản à  phửc vử bÊn thƠn dÔy hồc toĂn Trung hồc phờ thổng v xuĐt phĂt tứ thỹc tiạn cho thĐy gƯn Ơy hồc sinh rĐt sủ hẳnh hồc, nhĐt l cĂc bi toĂn chựng minh nản tổi  chồn chừ Ã: Bi to¡n chùng minh song song v  vng gâc h¼nh hồc. Luên vôn  hon thnh cĂc nhiằm vử sau: Tẳm hiu cĂc nh lỵ, cĂc tẵnh chĐt liản quan án iÃu kiằn  hai ữớng thng song song (hay vuổng gõc) vợi cụng nhữ cĂc hằ quÊ câ ÷đc tø vi»c hai ÷íng th¯ng song song (hay vuổng gõc) Sữu tƯm cĂc à thi hồc sinh giọi cõ liản quan án viằc chựng minh song song hay vuổng gõc Trản cỡ s õ, luên vôn  Ôt ữủc nhỳng kát quÊ sau: Giợi thiằu mởt số nh lỵ, tẵnh chĐt, hằ quÊ v mởt vi k thuêt chựng minh thữớng ữủc sỷ dửng  chựng minh song song hay vng gâc Tr¼nh b y mët c¡ch câ chån låc c¡c · thi tuyºn sinh v o lợp 10 cừa cĂc trữớng Chuyản trản cÊ nữợc qua c¡c n«m; · thi chån ëi tuyºn; · thi Håc sinh giọi nữợc v quốc tá qua cĂc nôm håc v  líi gi£i cõa c¡c · thi håc sinh giọi toĂn và hẳnh hồc phng liản quan án tẵnh song song, t½nh vng gâc, â câ nhi·u · thi hồc sinh giọi cừa nhỳng nôm gƯn Ơy  minh hồa cho ngữới ồc thĐy dÔng bi toĂn chựng minh song song, vuæng gâc l  nhúng b i to¡n cỡ bÊn cừa hẳnh hồc văn l mởt chuyản · nâng vi»c chån håc sinh giäi èi vợi mởt vi bi toĂn, luên vôn  cố gưng ữa lới giÊi chi tiát hỡn ti liằu tham kh£o (º håc sinh Trung håc cì sð d¹ d ng hìn åc c¡c líi gi£i) èi vỵi mët v i à thi hồc sinh giọi, luên vôn cụng  cố gưng ữa nhiÃu lới giÊi  minh hồa tẵnh linh hoÔt viằc vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ vo chựng minh bi toĂn và tẵnh song song, tẵnh vuổng gõc c 80 Hữợng nghiản cựu cừa luên vôn l m, trữợc hát l cĂc bi toĂn và chùng minh song song, vng gâc h¼nh håc ph¯ng v Ơy cụng l nhiằm vử tiáp theo cừa hồc vi¶n º câ nhúng chuy¶n · phưc vư cỉng vi»c giÊng dÔy ToĂn cừa mẳnh Trữớng c 81 Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt Rn luyằn phĂt trin tữ thỉng qua gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc ph¯ng, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc Viằt Nam [2] Nguyạn BĂ ang (2018), PhĂt trin khÊ nông giÊi toĂn hẳnh hồc phng dnh cho bêc THCS, nh xuĐt bÊn Ôi hồc sữ phÔm TP Hỗ Chẵ Minh [1] Nguyạn BĂ ang (2018), Ti¸ng Anh [3] Viktor Prasolov (2006), Problems in plane and solid Geometry Trans- lated and edited by Dimitry Leites, Moscow textbooks On the Notion of Oriented Angles in Plane Elementary Geometry and Some of its Applications, MM Research Preprints, 112 [4] Wu W.T (2005), KLMM, AMSS, Academia Sinica Vol 24 c ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGỌC THỊ HÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC, SONG SONG TRONG HÌNH HỌC Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC... thng song song thẳ nõ cụng vuổng gõc vợi ữớng thng Tẵnh chĐt 1.6 Hai ữớng thng phƠn biằt song song vợi mởt ữớng thng thự ba thẳ chúng song song vợi 1.1.3 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh song song... chùng minh tẵnh song song, vuổng gõc  phĂt trin thnh luên vôn thÔc sắ chuyản ngnh Phữỡng phĂp toĂn sỡ cĐp Vợi mong muốn tẳm hiu cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt cụng nhữ phữỡng phĂp chựng minh tẵnh song song,