ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THANH LOAN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU BA TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THANH LOAN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU BA TẬP HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THANH LOAN VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU BA TẬP HỢP Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học PGS.TS.HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2016 c i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác, tuân thủ qui định quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Lại Thanh Loan c ii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Ngun, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Lại Thanh Loan c iii Mục lục Mục lục iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 1.1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.2 Hai định lí quan hệ số khuyết 1.2 Hàm phân hình chung ba giá trị 1.2.1 Khái niệm mở đầu 1.2.2 Một số tính chất 10 Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp 13 2.1 Hàm phân hình chung ba giá trị 13 2.1.1 Chung kể bội 13 2.1.2 Chung có trọng số 23 2.2 Hàm phân hình chung ba tập hợp 28 2.2.1 Một số bổ đề liên quan 28 2.2.2 Vấn đề 30 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 c Mở đầu Năm 1929, R Nevanlinna chứng minh hai định lí tiếng vấn đề cho hàm phân hình, thường gọi Định lý năm điểm Định lý bốn điểm Về sau có nhiều nhà tốn học mở rộng kết Nevanlinna cho trường hợp khác nhau: hàm phân hình chung tập điểm, kể bội, không kể bội, Cho f hàm phân hình, a ∈ C ∪ {∞} Kí hiệu E(a, f ) tập không điểm kể bội f − a, E(a, f ) tập không điểm phân biệt f − a Cho S ⊂ C ∪ {∞} tập hợp phần tử khác Kí hiệu Ef (S) = ∪a∈S E(a, f ); E f (S) = ∪a∈S E(a, f ) R Nevanlinna chứng minh, hai hàm phân hình khác f , g thỏa mãn E (ai , f ) = E (ai , g) ∀i = 1, 5, giá trị phân biệt, f g phải trùng Vào năm 1976, H Yi ([15]) đặt câu hỏi: Có thể tìm thấy hay khơng ba tập hữu hạn Sj (j = 1, 2, 3) cho hai hàm phân hình thỏa mãn E (Sj , f ) = E (Sj , g) với j = (1, 2, 3) f ≡ g? Vào năm 1994, H Yi ([15]) đưa số kết để trả lời cho câu hỏi đặt Với mục đích tìm hiểu số kết nghiên cứu theo hướng này, chọn đề tài "Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp" Mục đích luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu H Yi ([16], [20]), W C Lin H Yi ([6]) điều kiện xác định hàm phân hình chung ba giá trị, ba tập hợp Luận văn chia thành hai chương: c Chương 1: Một số kiến thức bản, trình bày kiến thức sở, cần thiết cho việc chứng minh kết Chương như: lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình chung ba giá trị, ba tập hợp Chương 2: Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp, trình bày hàm phân hình chung ba giá trị kể bội chung có trọng số; trình bày lại chứng minh số điều kiện đủ tính hàm phân hình chung ba tập hợp c Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 1.1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất Trong luận văn ln kí hiệu C trường số phức Ta kí hiệu tập D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r}, D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r}, ∂D(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}, hình trịn, hình trịn đóng, đường trịn tâm z0 , bán kính r > Đặc biệt, z0 = 0, ta kí hiệu ngắn gọn DR = D(0, R); DR = D(0, R) Cho f hàm chỉnh hình mặt phẳng phức C, điểm z0 gọi không điểm bội k f tồn hàm chỉnh hình h(z) khơng triệt tiêu lân cận U z0 cho lân cận hàm f biểu diễn dạng: f (z) = (z − z0 )k h(z) Điều kéo theo f (z0 ) = f (z0 ) = = f (k−1) (z0 ) = f (k) (z0 ) 6= Với z ∈ C, z khơng điểm bội k hàm f ta kí hiệu ordf (z) = k, trường hợp khác ordf (z) = c f1 , f2 f1 , f2 hàm chỉnh hình Một điểm z0 gọi không điểm bội Cho f hàm phân hình mặt phẳng phức C, f = k f z0 khơng điểm bội k f1 , z0 gọi cực điểm bội k f z0 không điểm bội k f2 Với số thực x > 0, kí hiệu: log+ x = max{log x, 0} Khi log x = log+ x − log+ x1 Bây ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng hàm phân hình Cho f hàm phân hình DR số thực r > 0, < R ≤ ∞, r < R Dễ thấy: 2π Z2π 13 Chương Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp 2.1 Hàm phân hình chung ba giá trị Trong phần này, chúng tơi trình bày lại số kết vấn đề cho hàm phân hình chung ba giá trị số tác giả chứng minh thời gian gần 2.1.1 Chung kể bội Năm 1980, H Ueda chứng minh Định lý 2.1 ([9]) Cho f g hai hàm nguyên phân biệt khác cho f g chung 0, CM , cho a 6= 0, số phức hữu hạn Nếu a số khuyết f (1 − a) số khuyết g (f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a) Chú ý rằng, hai hàm nguyên chung giá trị ∞ Năm 1988, H Yi mở rộng Định lý 2.1 thu kết sau Định lý 2.2 ([11]) Cho f g hai hàm nguyên phân biệt khác cho f g chung 0, CM , cho a 6= 0, số phức hữu hạn Nếu δ(a, f ) > 1/3, a − a giá trị bỏ Picard f g, (f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a) c 14 Năm 1992, S Z Ye mở rộng định lí hàm phân hình thu kết sau Định lý 2.3 ([7]) Cho f g hai hàm phân hình khác cho f g chung 0, 1, ∞ CM Cho a 6= 0, số phức hữu hạn Nếu δ (a, f ) + δ (∞, f ) > 4/3, a, ∞ giá trị bỏ Picard f ; − a, ∞ giá trị bỏ Picard g (f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a) Định lý 2.4 ([7]) Cho f g hai hàm phân hình khác cho f g chung 0, 1, ∞ CM Cho a1 , a2 , , ap p (≥ 1) số phức hữu hạn phân biệt, aj 6= 0, (j = 1, 2, , p) Nếu p X δ (aj , f ) + δ (∞, f ) > j=1 (p + 1) , p+2 tồn ak a1 , a2 , , ap cho ak , ∞ giá trị bỏ Picard f ; − ak , ∞ giá trị bỏ Picard g (f − ak ) (g + ak − 1) ≡ ak (1 − ak ) Năm 1995, H Yi chứng minh định lý sau Định lý 2.5 ([16]) Cho f g hai hàm phân hình khác cho f g chung 0, 1, ∞ CM Cho a 6= 0, số phức hữu hạn Nếu N r, f −a 6= T (r, f ) + S (r, f ) N (r, f ) 6= T (r, f ) + S(r, f ), a, ∞ giá trị bỏ Picard f ; − a, ∞ giá trị bỏ Picard g (f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a) c 15 Chứng minh Từ giả thiết Bổ đề 1.1 ta có e−q − eq − , g = −p , f= p e −1 e −1 (2.1) p q hàm nguyên với ep 6≡ 1, eq 6≡ 1, eq−p 6≡ T (r, g) + T (r, ep ) + T (r, eq ) = O (T (r, f )) (r ∈ / E) (2.2) Ta xét bốn trường hợp sau Trường hợp 1: Giả sử ep ≡ c (6= 0, 1) Từ (2.1) ta có eq − f= c−1 (2.3) eq − − a (c − 1) f −a= c−1 (2.4) Nếu −1 − a (c − 1) 6= 0, từ (2.4) ta có N r, = T (r, f ) + S(r, f ), f −a điều mâu thuẫn giả thiết Định lí 2.5 Khi −1 − a(c − 1) = c = (a − 1)/a Mặt khác từ (2.1) ta f = a − aeq g = (1 − a) − (1 − a) e−q Vì a, ∞ giá trị bỏ Picard f ; − a, ∞ giá trị bỏ Picard g (f − a) (g + a − 1) ≡ a(1 − a) Trường hợp 2: Giả sử eq ≡ c (6= 0, 1) Từ (2.1) ta có f= c c−1 ep − ... S(r) (1.10) c 13 Chương Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp 2.1 Hàm phân hình chung ba giá trị Trong phần này, chúng tơi trình bày lại số kết vấn đề cho hàm phân hình chung ba giá trị số tác giả... trị Nevanlinna cho hàm phân hình chung ba giá trị, ba tập hợp Chương 2: Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp, trình bày hàm phân hình chung ba giá trị kể bội chung có trọng số; trình bày lại... 10 Vấn đề hàm phân hình chung ba tập hợp 13 2.1 Hàm phân hình chung ba giá trị 13 2.1.1 Chung kể bội 13 2.1.2 Chung có trọng số 23 2.2 Hàm phân hình chung