Luận Văn Thạc Sĩ Bài Toán Lọc, Dừng Tối Ưu Và Điều Khiển Tối Ưu Quá Trình Ngẫu Nhiên .Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN THẮNG ĐƯỜNG Bài toán lọc, dừng tối ưu điều khiển tối ưu quỏ trỡnh ngu nhiờn luận văn thạc sĩ TON HC Hµ néi - 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN THẮNG ĐƯỜNG Bài toán lọc, dừng tối ưu điều khiển tối ưu trình ngẫu nhiên Mã s : 60 46 15 luận văn thạc sĩ TON HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Hµ néi - 2012 z Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Chuyển động Brownian 1.1.3 Tính chất chuyển động Brownian 1.2 Tích phân Itơ 1.2.1 Tích phân Itơ 1.2.2 Một số tính chất tích phân Itơ 1.3 Tích phân ngẫu nhiên cơng thức Itơ 1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.5 Một số ví dụ Bài toán lọc 2.1 Đặt vấn đề 2.2 Bài toán lọc tổng quát 2.2.1 Phát biểu toán lọc tổng quát 2.2.2 Giải toán lọc tổng quát 2.3 Bài toán lọc Kalman-Bucy 2.3.1 Phát biểu toán 2.3.2 Giải toán lọc Kalman-Bucy 2.4 Một số ví dụ Bài toán dừng tối ưu 3.1 Đặt vấn đề 3.2 Bài toán dừng tối ưu 3.3 Các bước giải toán 3.3.1 Bước 3.3.2 Bước 3.3.3 Bước 3.4 Ví dụ minh hoạ 3.5 Ví dụ áp dụng thực tế 4 5 5 7 10 16 16 16 16 17 18 18 19 30 36 36 36 37 37 38 41 45 46 Điều khiển tối ưu hệ ngẫu nhiên 51 4.1 Đặt vấn đề 51 4.2 Bài toán điều khiển tối ưu 52 z 4.3 4.4 4.5 Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman 53 Ví dụ minh hoạ 58 Ví dụ áp dụng thực tế 60 A Lời giải số tập chương z 63 Lời mở đầu Xác suất thống kê phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên, lĩnh vực toán học ứng dụng Ngày nay, Xác suất thống kê trở thành ngành toán học lớn, chiếm vị trí quan trọng lý thuyết ứng dụng Nó có vai trị quan trọng vật lý phạm vi khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật quân sự, ngành kỹ thuật khác nhau, kinh tế học Lý thuyết trình ngẫu nhiên lý thuyết quan trọng xác suất thống kê Quá trình ngẫu nhiên xem hàm ngẫu nhiên mơ tả hàm ngẫu nhiên thường thơng qua phương trình vi phân ngẫu nhiên Tính tốn ngẫu nhiên phục vụ đắc lực đóng vai trị then chốt nghiên cứu hàm ngẫu nhiên nói chung phương trình vi phân ngẫu nhiên nói riêng Bài tốn lọc, dừng tối ưu, điều khiển tối ưu trình ngẫu nhiên thuộc vào loại tốn có quan hệ mật thiết với ứng dụng Cơ sở để để giải toán tính tốn ngẫu nhiên Vì lý hướng dẫn GS TSKH Đặng Hùng Thắng em chọn đề tài: "Bài toán lọc, dừng tối ưu điều khiển tối ưu trình ngẫu nhiên" Luận văn em gồm phần mở đầu, phần kết luận bốn chương: •Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương nhằm giới thiệu tích phân Itơ, cơng thức vi phân Itơ, phương trình vi phân ngẫu nhiên Đây kiến thức sở chuẩn bị cho nội dung chương 2,3,4 •Chương 2: Bài tốn lọc Chương giới thiệu toán lọc, cách giải tốn lọc Kalman-Bucy •Chương 3: Bài tốn dừng tối ưu Chương giới thiệu toán dừng tối ưu, bước giải toán dừng tối ưu •Chương 4: Bài toán điều khiển tối ưu hệ ngẫu nhiên Chương giới thiệu toán điều khiển tối ưu, phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman, cách giải tốn điều khiển tối ưu Tuy nhiên, trình độ thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý phê bình thầy, để luận văn em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn tới thầy, khoa Tốn-Cơ-Tin, môn Xác suất-Thống kê Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng tận tình bảo, giúp đỡ em hồn thành luận văn z Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Một trình ngẫu nhiên họ biến ngẫu nhiên {Xt }t∈T phụ thuộc tham số t ∈ T không gian xác suất (Ω, F , P) T tập đường thẳng thực, tức T thuộc tập sau: (−∞, +∞), [a, +∞), (−∞, b], [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Chú ý với t ∈ T ta có biến ngẫu nhiên ω → Xt (ω ); ω ∈ Ω Đồng thời với ω ∈ Ω ta có hàm t → Xt (ω ); t ∈ T Hàm phân phối trình ngẫu nhiên X = {Xt }t∈T hàm đo µt1 ,t2 , ,tk xác định không gian Rnk , k = 1, 2, ,: µt1 ,t2 , ,tk (F1 × F2 × × Fk ) = P[Xt1 ∈ F1 , , Xtk ∈ Fk ]; ti ∈ T F1 , , Fk tập Borel Rn Định lý 1.1 Với t1 , t2 , , tk ∈ T hoán vị σ {1, 2, , k}, cho họ độ đo xác suất νt1 ,t2 , ,tk Rnk thoả mãn νtσ(1) ,tσ(2) , ,tσ(k) (F1 × F2 × × Fk ) = νt1 ,t2 , ,tk (Fσ −1 (1) × × Fσ −1 (k) ) νtσ(1) , ,tσ(k) (F1 × × Fk ) = νt1 , ,tk ,tk+1 , ,tk+m (Fσ −1 (1) × × Fσ −1 (k) × Rn × × Rn ) Khi ln tồn khơng gian xác suất (Ω, F , P) trình ngẫu nhiên {Xt } với Xt : Ω → Rn thoả mãn νt1 ,t2 , ,tk (F1 × F2 × × Fk ) = P[Xt1 ∈ F1 , , Xtk ∈ Fk ]; ti ∈ T với ti ∈ T, k ∈ N tập Borel Fi Định nghĩa 1.2 Cho {Xt } {Yt } trình ngẫu nhiên khơng gian (Ω, F , P) Khi ta nói {Xt } {Yt } P({ω ; Xt (ω ) = Yt (ω )}) = với t z 1.1.2 Chuyển động Brownian Năm 1828 Robert Brown quan sát chuyển động tưởng chừng không theo quy luật hạt phấn hoa Chuyển động giả thiết giống chuyển động hạt chất lỏng đồng chất Biểu diễn chuyển động người ta sử dụng q trình ngẫu nhiên Bt (ω ) để hạt phấn hoa ω thời điểm t Ta xây dựng {Bt } định lý Kolmogorov với độ đo xác suất {νt1 ,t2 , tk } Với x ∈ Rn ta xác định n p(t, x, y ) = (2πt)− exp(− |x − y|2 ) với y ∈ Rn , t > 2t Nếu ≤ t1 ≤ t2 ≤ ≤ tk xác định độ đo {νt1 ,t2 , tk } Rnk νt1 ,t2 , tk (F1 × × Fk ) = Z p(t1 , x, x1 )p(t2 − t1 , x1 , x2 ) p(tk − tk−1 , xk−1 , xk )dx1 dxk F1 × ×Fk Chúng ta sử dụng ký hiệu dy = dy1 dyk độ đo Lebesgue p(0, x, y )dy = δx (y ) R Từ p(t, x, y )dy = với t ≥ theo định lý Kolmogorov tồn không gian xác Rn suất (Ω, F , Px) q trình ngẫu nhiên {Bt } Ω có hàm phân phối {Bt } Z x p(t2 − t1 , x1 , x2 ) p(tk − tk−1 , xk−1 , xk )dx1 dxk P (Bt1 ∈ F1 , , Btn ∈ Fn ) = F1 × ×Fk Q trình gọi chuyển động Brownian bắt đầu x (quan sát ban đầu Px (B0 = x) = 1) Quá trình Bt = (Bt(1) , , Bt(n) ) gọi chuyển động Brownian n-chiều trình {Bt(j) }; t ≥ 0, ≤ j ≤ n độc lập với chuyển động Brownian 1-chiều 1.1.3 Tính chất chuyển động Brownian Bt trình Gaussian tức với ≤ t1 ≤ ≤ tk biến ngẫu nhiên Z = (Bt1 , , Btk ) ∈ Rnk có phân phối chuẩn Bt có số gia độc lập, tức Bt1 , Bt2 − Bt1 , , Btk − Btk−1 độc lập với ≤ t1 < t2 ta có: P[ sup [|Mt | ≥ λ] ≤ 0≤t≤T λp E[|MT |p ] Tính chất Cho f ∈ N (0, T ) Giả sử tồn t-liên tục f thoả mãn: Zt f (s, ω )dBs(ω ); ≤ s ≤ T Khi tồn q trình ngẫu nhiên liên tục Jt (Ω, F , P) thoả mãn: P[Jt = Zt f dB ] = với ∀t : ≤ t ≤ T 1.3 Tích phân ngẫu nhiên công thức Itô Định nghĩa 1.4 Cho Bt chuyển động Brownian 1-chiều không gian (Ω, F , P) Tích phân ngẫu nhiên 1-chiều trình ngẫu nhiên Xt có dạng: Xt = X0 + Zt u(s, ω )ds + Zt z v (s, ω )dBs v ∈ N thoả mãn: Zt P[ v (s, ω )ds < ∞ với ∀t ≥ 0] = u Ht -thích nghi thoả mãn: Zt P[ |u(s, ω )|ds < ∞ với ∀t ≥ 0] = Khi ta nói Xt có vi phân ngẫu nhiên dXt = udt + vdBt Định lý 1.2 Công thức Itô 1-chiều(xem [3], [5], [8], [10]) Cho Xt q trình ngẫu nhiên có vi phân Itơ: dXt = udt + vdBt Giả sử g (t, x) ∈ C ([0, ∞) × R) Khi Yt = g (t, Xt ) q trình ngẫu nhiên Itơ dYt = ∂g ∂g ∂2g (t, Xt )dt + (t, Xt )dXt + (t, Xt )(dXt )2 ∂t ∂x ∂x2 dt.dt = dt.dBt = dBt dt = 0; dBt dBt = dt Bây ta mở rộng B (t, ω ) = (B1 (t, ω ), , Bm (t, ω ) chuyển động Brownian m-chiều, X = (X1 , X2 , Xn ) vi phân ngẫu nhiên Itô-n chiều biểu diễn bởi:   dX1 = u1 dt + v11 dB1 + + v1m dBm              dXn = un dt + vn1 dB1 + + vnm dBm hay dạng ma trận dX = udt + vdBt   X1      X=     Xn   u1 .    u= . . un   v=   v11 v1m    vn1 vnm z   dB1      dB =      dBn ... toán dừng tối ưu, bước giải tốn dừng tối ưu •Chương 4: Bài tốn điều khiển tối ưu hệ ngẫu nhiên Chương giới thiệu tốn điều khiển tối ưu, phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman, cách giải toán điều. .. phương trình vi phân ngẫu nhiên Tính tốn ngẫu nhiên phục vụ đắc lực đóng vai trị then chốt nghiên cứu hàm ngẫu nhiên nói chung phương trình vi phân ngẫu nhiên nói riêng Bài toán lọc, dừng tối ưu, điều. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NGUYỄN THẮNG ĐƯỜNG Bài toán lọc, dừng tối ưu điều khiển tối ưu trình ngẫu nhiên Mã số : 60 46 15 luận văn thạc sĩ TON HC Ngi hng dn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng