Microsoft Word bia1 doc ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI 20[.]
ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 z ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Hà Tiến Ngoạn PGS TS Hoàng Quốc Toàn HÀ NỘI - 2012 z Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 LỚP NGHIỆM N -SOLITON KHÔNG TÁN XẠ CỦA HAI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHƠNG GIAN 17 1.1 Phương trình Korteweg-de Vries 18 1.1.1 Lớp nghiệm gợi ý từ lý thuyết tán xạ 18 1.1.2 Quy luật tiến hóa đa thức tán xạ Mj (x, t) 27 1.1.3 Một lớp nghiệm N -soliton khơng tán xạ phương trình Korteweg-de Vries nửa trục 37 1.1.4 Các ví dụ nghiệm N -soliton khơng tán xạ phương trình Korteweg-de Vries nửa trục 40 1.2 Phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn 46 1.2.1 Lớp nghiệm gợi ý từ lý thuyết tán xạ 47 1.2.2 Biểu diễn hàm F (x, t) G(x, t) 58 1.2.3 Quy luật tiến hóa đa thức tán xạ pj (x, t) 64 1.2.4 Một lớp nghiệm N -soliton khụng tỏn x ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến nửa trục 71 1.2.5 Các ví dụ nghiệm N -soliton khơng tán x ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn trờn na trc 76 NGHIỆM WRONSKIAN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP MKDV-SG TRÊN CẢ TRỤC KHÔNG GIAN 81 iv z 2.1 2.2 Dạng song tuyến tính phương trình hỗn hợp nghiệm Wronskian 2.1.1 Dạng song tuyến tính phương trình hỗn hợp 2.1.2 Nghiệm Wronskian với hệ phương trình điều kiện suy rộng 2.1.3 Hệ phương trình điều kiện tắc Các lớp nghiệm tường minh phương trình mKdV-sG 2.2.1 Ma trận Γm ma trận đường chéo thực 2.2.2 Ma trận Γm khối Jordan thực cấp m 2.2.3 Ma trận Γm khối Jordan dạng thực cấp hai 2.2.4 Ma trận Γ xây dựng từ khối Jordan dạng thực cấp hai 2.2.5 Ma trận Γm khối Jordan dạng thực cấp 2n 82 83 86 96 98 99 105 112 117 123 Kết luận kiến nghị 132 Kết luận 132 Kiến nghị nghiên cứu 133 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến Luận án 134 Tài liệu tham khảo 135 v z Bảng ký hiệu Đơn vị ảo i2 = −1 Phần ảo số phức ρ Liên hợp số phức a Tập hợp số thực Tập hợp số phức Tổng tất phần tử đường chéo ma trận vng A det A Định thức ma trận A W (φ) Định thức Wronskian theo biến x (cấp N ) có cột φ = (φ1 , φ2 , , N )T L(t) Toỏn t Schrăodinger ph thuc tham số vào biến t D(t) Toán tử Dirac phụ thuộc tham số vào biến t S(t) Tập liệu tán x ca toỏn t Schrăodinger L(t) hoc d liu tán xạ toán tử Dirac D(t) ACloc [0, ∞) Không gian hàm số liên tục tuyệt đối địa phương nửa khoảng [0, ∞) ACloc ([0, ∞), C ) Không gian hàm véc tơ hai chiều liên tục tuyệt đối địa phương nửa khoảng [0, ∞) L (0, ∞) Không gian hàm khả tích bậc hai (0, ∞) 2 L ((0, ∞), C ) Không gian hàm véc tơ hai chiều khả tích bậc hai (0, ∞) sign σ Dấu phép σ Res Thặng dư điểm ρj i Im ρ a ¯ R C tr A ρ=ρj X1 X2 m Y Tập hợp (ε1 , ε2 , , εm ) εj = ±1, εj = ... NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... ĐẦU Trong phương trình đạo hàm riêng mơ tả q trình truyền sóng có nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên phương trình soliton Về nguồn gốc vật lý, phương trình dẫn từ loạt toán thuộc nhiều... sở kết quy luật tiến hóa liệu tán xạ, lớp nghiệm u(x, t) tường minh không tán xạ phương trình (2) mơ tả Định lý 1.2.5 Mục tiêu thứ hai Luận án tìm nghiệm tường minh cho phương trình mKdV-sG (27)