§¹i häc Quèc gia Hµ Néi Tr−êng §¹i häc khoa häc tù nhiªn TrÞnh Tu©n Hµm d¹ng I víi nhiÒu ®èi sè ma trËn vµ tÝch chËp suy réng cña phÐp biÕn ®æi I luËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc Hµ Néi 2009 z §¹i häc Quèc gi[.]
Đại học Quốc gia Hà Nội Trờng Đại học khoa häc tù nhiªn Trịnh Tuân Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận tích chập suy rộng phép biến đổi I luận án Tiến sĩ Toán học Hà Nội - 2009 z Đại học Quốc gia Hà Nội Trờng Đại học khoa học tự nhiên Trịnh Tuân Hàm dạng I với nhiều đối sè ma trËn vµ tÝch chËp suy réng cđa phÐp biến đổi I Chuyên ngành: Toán Giải tích M số: 62.46.01.01 TËp thĨ h−íng dÉn khoa häc: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo GS TSKH Nguyễn Văn Mậu luận ¸n TiÕn sÜ To¸n häc Hµ Néi - 2009 z Mơc lơc Danh mơc c¸c kÝ hiƯu Danh mục hàm hàm đặc biệt Mở đầu I Chương : Hàm dạng 1.1 Hàm dạng I 13 víi nhiỊu ®èi sè ma trËn 25 víi nhiỊu ®èi sè ma trËn 25 1.2 TÝch chËp ®èi víi phÐp biÕn ®ỉi KÕt luËn ch¬ng M 41 45 Chương : Phép biến đổi I tích chập suy réng ®èi víi phÐp biÕn ®ỉi I 46 2.1 PhÐp biÕn ®ỉi I 47 2.2 TÝch chËp suy réng ®èi víi phÐp biến đổi Kết luận chương I 53 68 Ch¬ng : Các tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev ngược vµ cosine (K −1 ), Fourier sine (Fs ) (Fc ) 69 3.1 TÝch chËp suy réng víi hµm träng phép biến đổi tích phân K , Fs , Fc ứng dụng giải lớp hệ phương trình tích phân 70 3.2 TÝch chËp suy réng víi hµm trọng phép biến đổi tích phân Fc , K ứng dụng giải số hệ phương trình tích phân 82 KÕt luËn ch¬ng KÕt luËn chung Danh môc công trình công bố Tài liệu tham khảo 97 98 100 101 z Danh mục kí hiệu ã N = {1, 2, } tập số tự nhiên; Z tập số nguyên ã R+ = {x|x > 0}: tập số thực dương ã = i, i2 = • (f ∗ g)(x): tÝch chËp cđa hai hµm f ã (f g)(x): tích chập hai hàm f k • (f ∗ g)(x): tÝch chËp cđa hai hµm f vµ g vµ g víi hµm träng vµ g theo chØ sè k • F : phÐp biÕn ®ỉi tÝch ph©n Fourier (F f )(y) = √ 2π Z+∞ f (x)e−iyx dx, y ∈ R −∞ • Fc : phép biến đổi tích phân Fourier cosine r Z+∞ (Fc f )(y) = f (x) cos(xy)dx, y > ã Fs : phép biến đổi tÝch ph©n Fourier sine r Z+∞ (Fs f )(y) = f (x) sin(xy)dx, y > π • M : phép biến đổi tích phân Mellin Z+ f ∗ (x) = (M f )(y) = f (x)xy−1 dx ã M : phép biến đổi Mellin ngược (M −1 g)(x) = 2πi c+i∞ Z g(s)x−s ds ci z (x) ã L: phép biến đổi Laplace Z+∞ (Lf )(y) = e−xy f (x)dx • L1 : phép biến đổi Laplace ngược c+i Z (L−1 f )(x) = 2πi exy f (y)dy c−i∞ −α • (xα Λ−1 + x )(.): phÐp biÕn ®ỉi Laplace biÕn d¹ng Z 1 α −1 −α (x Λ+ x )f (x) = f ∗ (s)x−s ds 2πi Γ(s + α) σ ®ã Re(α) > − ã H : phép biến đổi Hilbert Z+ (Hf )(y) = π f (x) dx x−y −∞ • H : phép biến đổi Hilbert ngược (H −1 f )(x) = π Z+∞ f (y) dy x−y ã S : phép biến đổi Stieltjes Z+ (Sf )(y) = f (x) dx x+y • K : phÐp biÕn ®ỉi Kontorovich - Lebedev Z+∞ (Kf )(y) = Kix (y)f (x) dx, y > 0 z ã K phép biến đổi Kontorovich - Lebedev ngỵc (K −1 f )(x) = x sh(πx) π Z+∞ Kix (y)y −1 f (y)dy, x > 0 ã Kix hàm Macdonald Phép biến ®æi M: Z (det Z)ρ− Mρ (f ) = m+1 f (Z)dZ, Z>0 ã Re > PhÐp biÕn ®ỉi m−1 G n (Gf )(x) =Gm pq (α)1,p (β)1,p ! f (t) (x) Z ψ(s)f ∗ (s)x−s ds = 2πi σ mn ®ã Gp q lµ hµm G− Meijer, n 1o σ = s ∈ C : Re(s) = , n p; m q; n m Q Q Γ(βj + s) Γ(1 − αj − s) j=1 j=1 ψ(s) = p q Q Q Γ(αj + s) (1 j s) j=n+1 f ã j=m+1 biến đổi Mellin f Re( ) + > 0, j = 1, m; j Re(αj ) + > 0, j = n + 1, p; 2 − Re(αj ) > 0, − Re(βj ) > 0, j = 1, n m + 1, q TÝch ph©n Mellin - Barnes xác định sau: +i Z f (z) = 2πi Γ(a1 + A1 s) Γ(an + An s) Γ(c1 + C1 s) Γ(cp + Cp s) γ−i∞ Γ(b1 − B1 s) Γ(bn − Bn s) s z ds Γ(d1 − D1 s) Γ(dq − Dq s) thực, Aj , Bj , Cj , Dj dương ì z ã L(R+ ) = {f (x) : +∞ R |f (x)|dx < +∞} • L(R+ , δ(x)) = {f (x) : +∞ R |δ(x)||f (x)|dx < +∞}: kh«ng gian víi träng δ • M−1 f ∗ (s)x−s ds c,γ (L) = f (x) : f (x) = 2πi σ n 1o víi σ = s cho Re s = vµ f ∗ (s) lµ f (x) vµ |s|γ f ∗ (s)eπc|s| ∈ L(σ) R z phÐp biÕn đổi Mellin Danh mục hàm hàm đặc biệt ex + e−x ch x = ; ex − e−x ; • sh x = 1, • sign(x) = • x>0 0, −1, x=0 x 0 ã Hàm q Gamma xác định sau q (x) (x, q)∞ lµ (q; q)∞ (1 − q)1−x , x (q ; q) q chuỗi xác định (a; q) +∞ Y = (1 − aq k ) k=0 • Hàm siêu bội r Fs = r Fs (a1 , ar ; b1 , bs ; z) = +∞ X (a1 )k (ar )k z k k=0 • (b1 )k (bs )k k! Hàm Bessel loại + X (−1)m ( z2 )ν+2m Jν (x) = m!Γ(ν + m + 1) m=0 ã Hàm Bessel biến dạng loại ba (hµm Macdonald) Kν (z) = π I−ν (x) − Iν (z) sin(νπ) ®ã +∞ X ( z2 )ν+2m Iν (z) = m!Γ(ν + m + 1) m=0 z ã Hàm Macdonald dạng tích phân Z+∞ Kiτ (x) = e−x ch u cos τ u du, x > 0, τ > 0 n • Gm pq lµ hµm G− Meijer, ! ... tích chập phép biến đ? ?i z M cho hai 16 hàm v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận Đây ví dụ minh hoạ cho hàm nằm lớp hàm dạng I v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận Kết đạt chương nhận hàm dạng I v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận. .. dựng hàm đặc biệt v? ?i đ? ?i số ma trận [22, 23] Hàm dạng I v? ?i nhiều đ? ?i số ma trận nhận luận án mở rộng số hàm đặc biệt trước hàm dạng H Fox [9], hàm dạng H nhiều biến số [18, 44], hàm dạng I nhiều. .. số chẳng hạn phép biến đ? ?i Mellin, phép biến đ? ?i Kontorovich - Lebedev [54], phép biến đ? ?i G [21] phép biến đ? ?i H [6] chiều nhiều chiều Sự khác biệt phép biến đ? ?i tích phân n? ?i so v? ?i phép biến