Luận án tiến sĩ môt số tích chập suy rộng với hàm trọng hermite của các biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−−−−−−−− NGUYỄN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG HERMITE CỦA CÁC BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2012 z Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Phản biện 1: GS.TSKH Lê Hùng Sơn Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam Phản biện 3: TS Cung Thế Anh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án tiến sĩ họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội z2 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI FOURIER, FOURIER-SINE, FOURIER-COSINE VÀ HARTLEY 15 1.1 Biến đổi tích phân Fourier 15 1.1.1 Định nghĩa tính chất 15 1.1.2 Tích chập 22 1.2 Biến đổi tích phân Fourier-sine, Fourier-cosine 28 1.3 Biến đổi Hartley 38 Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHÉP BIẾN 49 ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER 2.1 Tích chập suy rộng biến đổi Fourier Fourier ngược 2.2 Tích chập suy rộng liên kết biến đổi Fourier Hartley 2.3 Tích chập suy rộng biến đổi Fourier-sine Fourier-cosine 2.4 Tích chập suy rộng với hàm trọng tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm Hermite Chương ỨNG DỤNG 3.1 Cấu trúc vành định chuẩn L1 (Rd ) 3.2 Giải phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 3.3 Đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân KẾT LUẬN 49 55 81 95 97 97 104 131 141 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 142 z TÀI LIỆU THAM KHẢO 143 z CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN • d số nguyên dương cho trước • x, y ∈ Rd : x = (x1 , x2 , , xd ), y = (y1 , y2 , , yd ), −x = (−x1 , −x2 , , −xd ), x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xd + yd ) R • L1 (Rd ) := {f : Rd → C : Rd |f (x)|dx < +∞}, tích phân lấy theo độ đo Lebesgue R • L2 (Rd ) := {f : Rd → C : Rd |f (x)|2 dx < +∞}, tích phân lấy theo độ đo Lebesgue R • Với f (x) ∈ L1 (Rd ), kf k = d Rd |f (x)|dx (2π) • fˇ(x) := f (−x) • xy := hx, yi = x1 y1 +x2 y2 +· · ·+xd yd tích vơ hướng x, y ∈ Rd , |x|2 := hx, xi = x21 + x22 + · · · + x2d • cas xy := cos xy + sin xy • α = (α1 , , αd ) ∈ Nd đa số, |α| := α1 + · · · + αd • S = {f ∈ C ∞ (Rd ) : sup sup (1 + |x|2 )N |(Dα f )(x)| < ∞, ∀ N = |α|≤N x∈Rd 0, 1, 2, } không gian Schwartz (không gian hàm giảm nhanh vơ cùng) • 2 Φα (x) := (−1)|α| e |x| Dxα e−|x| hàm Hermite đa chiều, Dxα = ∂ |α| α α1 ∂x1 ···∂xd d • C ∞ (Rd ) = {f : Rd → C : Dα f ∈ C(Rd ), ∀α đa số} • C0 (Rd ) không gian hàm liên tục Rd , triệt tiêu vô lấy giá trị C với chuẩn ||f ||∞ = sup |f (x)| x∈Rd z • Cho Φα hàm Hermite Đặt Nα := R d (2π) d Rd |Φα (x)|dx Rõ ràng, Nα > Các chuẩn (0), (1) f ∈ L (R ) định nghĩa sau: Z Nα kf k0 := |f (x)|dx, (0) d (2π) Rd Z 2Nα kf k1 := |f (x)|dx (1) d (2π) Rd • γ(x) = Φ0 (x) = e− |x| (hàm dạng Gauss) z MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lý lựa chọn đề tài Lý thuyết tích chập biến đổi tích phân nghiên cứu thời gian dài, áp dụng nhiều lĩnh vực toán học, vật lý, y học, sinh học Cho đến nửa đầu kỷ 20, tích chập tìm thấy tích chập khơng có hàm trọng cho biến đổi tích phân, nhiều biến đổi tích phân quen biết chưa tìm tích chập cho Sang nửa sau kỷ 20, nhiều tích chập suy rộng biến đổi tích phân ứng dụng chúng nghiên cứu thành công nhiều tác giả Đặc biệt, I N Sneddon (xem [24]) người xây dựng thành công tích chập suy rộng cho phép biến đổi tích phân xem xét ứng dụng chúng Đó tích chập suy rộng hai hàm f g xác định (0, +∞) biến đổi tích phân Fourier-sine Fourier-cosine Z +∞ f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > (f ∗ g)(x) = √ 2π Tích chập thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(x) = (Fs f )(x)(Fc g)(x), ∀ x > 0, phép biến đổi Fourier-sine (Fs ), biến đổi Fourier-cosine (Fc ) hàm f xác định (0, +∞) cho công thức sau (xem [8]) r Z +∞ f (y) sin(xy)dy, (Fs f )(x) = π r Z +∞ (Fc f )(x) = f (y) cos(xy)dy, x > π Ý tưởng xây dựng tích chập sau Y Ya Vilenkin phát triển vào năm 1958, lần xây dựng tích chập với hàm trọng biến đổi tích phân Mehler Fox (xem [55]) z Gần 10 năm sau, năm 1967 V A Kakichev đề xuất phương pháp kiến thiết để xác định tích chập cho biến đổi tích phân K với hàm trọng δ(x) dựa đẳng thức nhân tử hóa δ K(f ∗ g)(x) = δ(x)(Kf )(x).(Kg)(x) Năm 1998, V A Kakichev N X Thảo đưa kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng ba biến đổi tích phân K1 , K2 , K3 (theo thứ tự đó), địi hỏi K1 phải phép biến đổi với nhân k1 (x, y) có phép biến đổi ngược K1−1 với nhân k1−1 (u, v) xác định (xem [28]) Nói chung, tích chập biến đổi đối tượng để nghiên cứu Ví dụ, biến đổi Hilbert tích chập hàm f (t) với hàm g(t) = 1/(πt), biến đổi Weierstrass xác tích chập hàm f (t) với hàm dạng Gauss e− t (xem [38]) Ta biết tích hai hàm số thuộc L1 (Rd ) chưa thuộc L1 (Rd ) Ví dụ sau minh chứng cho kết luận Ví dụ: Cho hàm số   √1 , x 6= 0, |x| ≤    |x| f (x) = 0, x =    1, |x| > x2 Dễ dàng kiểm tra f ∈ L1 (R), f 6∈ L1 (R) Như vậy, phép nhân hai hàm khơng đóng kín L1 (Rd ) Bên cạnh đó, phương trình tích phân dạng chập thuộc lĩnh vực quan tâm lý thuyết phương trình tích phân tốn học Đặc biệt phương trình tích phân với nhân hàm dạng Gauss thu hút quan tâm nhiều tác giả như: [10] F Garcia-Vicente, J M Delgado, and C Rodriguez (2000), "Exact analytical solution of the convolution integral equation for a general profile fitting function and Gauss detector kernel", Phys Med Bio, (45), 645–650 [17] G Arfken (1985), Mathematical Methods for Physicists, Academic Press [34] P S Cho, H G Kuterdem, and R J Marks II (1998), "A spherical dose model for radio surgery plan optimization", Phys Med Bio, (43), 3145–3148 z [48] T Kailath, B L, L Ljung, M Morf (1978), "Fast time-invariant implementations of Gauss signal detectors", IEEE Trans Information Theory, 24 (4), 469–477 Các phương trình tích phân với nhân hàm dạng Gauss có nhiều ứng dụng vật lý như: ứng dụng truyền sóng xạ, lý thuyết lọc tuyến tính, thủy lực học, số lĩnh vực y học, sinh học Từ kết công trình liên quan đến tích chập, tích chập suy rộng mà ta nhắc đến cho thấy biến đổi tích phân Fourier, Fouriersine, Fourier-cosine Hartley có ứng dụng hầu hết lĩnh vực khoa học kỹ thuật Các biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine Hartley không gian L1 (Rd ) định nghĩa sau (xem [8, 26, 35, 52]) Z f (y)e−ixy dy, fˆ(x) = (F f )(x) := d (2π) Rd Z −1 (F f )(x) := fˆ(y)eixy dy, d (2π) Rd Z cos(xy)f (y)dy, (Tc f )(x) := d (2π) Rd Z sin(xy)f (y)dy, (Ts f )(x) := d (2π) Rd Z (H1 f )(x) := cas(xy)f (y)dy d (2π) Rd Dễ dàng kiểm tra (F fˇ)(x) = (F −1 f )(x) (F f )(x) = (F −1 fˇ)(x) Ngoài ra, ta thấy biến đổi Fourier, Hartley tổng đại số hai biến đổi độc lập Fourier-sine Fourier-cosine Mối liên hệ biến đổi thể qua cơng thức Euler sau F + F −1 Tc = , iF − iF −1 Ts = , (1 + i)F + (1 − i)F −1 H1 = 10 z Vì lý nên ta gọi chung biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier-cosine, Fourier-sine Hartley biến đổi tích phân dạng Fourier Xung quanh biến đổi này, nhóm nghiên cứu V A Kakichev, V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa xây dựng số tích chập, tích chập suy rộng nghiên cứu ứng dụng chúng biến đổi Fourier-sine, Fourier-cosine không gian L1 (R+ ) số khơng gian hàm có trọng khác (xem [42, 44, 50]) R N Bracewell đưa tích chập biến đổi Hartley khơng gian L1 (R) (xem [35, 36]) Các kết luận án B T Giang xây dựng tích chập, tích chập suy rộng nghiên cứu ứng dụng chúng cho biến đổi Fourier, Fourier-sine, Fourier-cosine, Hartley không gian L1 (Rd ) với hàm trọng hàm lượng giác (xem [12, 13, 14, 15]) Từ lý thuyết tích chập biến đổi tích phân đời, ngồi cơng trình ta liệt kê trên, lượng lớn báo, sách trình bày tích chập, tích chập suy rộng, đa chập ứng dụng chúng xuất nhiều tác R N Bracewell, L E Britvina, R V Churchill, H J Glaeske, S Saitoh, S B Yakubovich, V K Tuấn, N X Thảo, N M Tuấn, B T Giang, (xem [6, 7, 18, 20, 25, 27, 29, 35, 36, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 54, 56]) Qua cơng trình ta thấy bật lên nhóm nghiên cứu: L E Britvina, Jorge J Betancor cộng với số công trình liên quan đến biến đổi Hankel, Fourier-cosine (xem [29, 31]) S B Yakubovich, Y Luchko với cơng trình liên quan đến biến đổi Kontorovich Lebedev (xem [40, 41]) V A Kakichev, V K Tuấn, N X Thảo, N M Khoa, Trịnh Tuân, N Thanh Hồng với cơng trình tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier, Fourier-cosine, Fourier-sine, Hankel, Kontorovich Lebedev, Stieltjes biến đổi I nửa không gian (xem [21, 27, 32, 42, 43, 44, 45, 49, 50, 51, 56]) Quan tâm đến biến đổi Việt Nam cịn có Phan Tăng Đa (xem [6]) S Saitoh cộng với số công trình liên quan đến biến đổi Weierstrass, Laplace (xem [38, 39, 47, 54]) 11 z + sin x(−u + v + t)]Φα (t)dudvdt + i|α| Z Z Z f (u)g(v)[cos x(u + v − t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd + sin x(u + v − t)]Φα (t)dudvdt + = i|α| Z Z Z f (u)g(v)[cos x(u − v + t) 3d 4(2π) Rd i|α| Rd + sin x(u − v + t)]Φα (t)dudvdt Z Z h (cos xy + sin xy)dy Φα (y − u − v) Z 3d 2(2π) Rd Rd Rd Rd − Φα (y + u + v) + Φα (y − u + v) i + Φα (y + u − v) f (u)g(v)dudv Φα = H1 (f ∗ g)(x) H1 Chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.26) Ta có Φα (x)(F f )(x)(F g)(x) Z Z Φα (x) = f (u)g(v)(cos xu − i sin xu)(cos xv − i sin xv)dudv (2π)d Rd Rd Z Z Z (−i)|α| f (u)g(v)(cos xu − i sin xu)× = 3d (2π) Rd Rd Rd = i|α| Z Z 3d 2(2π) Rd × (cos xv − i sin xv)(cos xt + sin xt)Φα (t)dudvdt Z f (u)g(v)[(1 + i) cos x(u + v + t) Rd Rd + (1 − i) cos x(u + v − t) + (1 − i) sin x(u + v + t) = i|α| Z 3d 2(2π) − (1 + i) sin x(u + v − t)]Φα (t)dudvdt Z Z f (u)g(v)[cos x(u + v + t) Rd Rd Rd + sin x(u + v + t)]Φα (t)dudvdt + i|α|+1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(−u − v − t) 3d 2(2π) Rd Rd Rd + sin x(−u − v − t)]Φα (t)dudvdt − i|α|+1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(u + v − t) 3d 2(2π) Rd Rd Rd 71 z + sin x(u + v − t)]Φα (t)dudvdt + i|α| Z Z Z f (u)g(v)[cos x(−u − v + t) 3d 2(2π) Rd Rd Rd + sin x(−u − v + t)]Φα (t)dudvdt Z Z Z h i|α| (cos xy + sin xy)dy f (u)g(v) Φα (y − u − v) = 3d d d 2(2π) Rd R R i + iΦα (−y − u − v) − iΦα (−y + u + v) + Φα (y + u + v) dudv Z Z Z i|α| = (cos xy + sin xy)dy f (u)g(v)× 3d 2(2π) Rd Rd Rd h i × (1 − i)Φα (y − u − v) + (1 + i)Φα (y + u + v) dudv = H1 (f Φα ∗ g)(x) H1 ,F,F Ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa tích chập (2.27), đẳng thức nhân tử hóa tích chập (2.28)–(2.30) chứng minh tương tự chứng minh đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập trường hợp |α| chẵn Chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.27) Với |α| lẻ, ta có Φα (x)(H1 f )(x)(F g)(x) Z Z Φα (x) = f (u)g(v)(cos xu + sin xu)(cos xv − i sin xv)dudv (2π)d Rd Rd Z Z Z (−i)|α|−1 = f (u)g(v)(cos xu + sin xu)× 3d d d d (2π) R R R = i|α|−1 Z 3d 2(2π) Rd × (cos xv − i sin xv)(cos xt + sin xt)Φα (t)dudvdt Z Z f (u)g(v)[cos x(u + v − t) + cos x(u − v − t) Rd Rd − i sin x(u + v − t) + i sin x(u − v − t) + sin x(u + v + t) + sin x(u − v + t) − i cos x(u − v + t) + i cos x(u + v + t)]Φα (t)dudvdt Z Z Z (1 + i)i|α|−1 = f (u)g(v)[cos x(u + v + t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd + sin x(u + v + t)]Φα (t)dudvdt 72 z + (−1 + i)i|α|−1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(−u − v − t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd Z Z + sin x(−u − v − t)]Φα (t)dudvdt + (1 + i)i |α|−1 Z f (u)g(v)[cos x(u − v − t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd + sin x(u − v − t)]Φα (t)dudvdt + (1 − i)i |α|−1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(−u + v + t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd + sin x(−u + v + t)]Φα (t)dudvdt + (1 − i)i |α|−1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(u + v − t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd + sin x(u + v − t)]Φα (t)dudvdt + (1 + i)i |α|−1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(−u − v + t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd + sin x(−u − v + t)]Φα (t)dudvdt + (1 − i)i|α|−1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(u − v + t) 3d 4(2π) Rd Rd Rd + sin x(u − v + t)]Φα (t)dudvdt − = (1 + i)i |α|−1 Z Z Z f (u)g(v)[cos x(−u + v − t) 3d 4(2π) i|α|−1 Rd Z 3d 4(2π) Rd Rd + sin x(−u + v − t)]Φα (t)dudvdt Z Z h (cos xy + sin xy)dy (1 + i)Φα (y − u − v) Rd Rd Rd + (−1 + i)Φα (−y − u − v) + (1 + i)Φα (−y + u − v) + (1 − i)Φα (y + u − v) + (1 − i)Φα (−y + u + v) = i|α| 3d 2(2π) + (1 + i)Φα (y + u + v) + (1 − i)Φα (y − u + v) i − (1 + i)Φα (−y − u + v) f (u)g(v)dudv Z Z Z h (cos xy + sin xy)dy Φα (y − u − v) Rd Rd Rd − iΦα (y + u + v) − Φα (y − u + v) i − iΦα (y + u − v) f (u)g(v)dudv 73 z = H1 (f Φα ∗ H1 ,H1 ,F g)(x) Đẳng thức nhân tử hóa (2.27) chứng minh Định lý chứng minh Chú ý 2.5 Nếu xem tích chập (2.23), (2.24), (2.25) (2.26) tổ hợp tuyến tính bốn tích phân mà nhân có chứa hàm Hermite Φα (x + u + v), Φα (x + u − v), Φα (x − u + v) Φα (x − u − v) định thức hệ số tích chập i −i 1 i −i ... tích chập suy rộng số biến đổi tích phân dạng Fourier với hàm trọng hàm Hermite Cụ thể là: xây dựng tích chập suy rộng biến đổi Fourier, Fourier ngược; tích chập suy rộng liên kết biến đổi Fourier. .. dạng Fourier ứng dụng" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án xây dựng số tích chập suy rộng số biến đổi tích phân dạng Fourier nói với hàm trọng hàm Hermite Sử dụng tích chập đó, luận án. .. 15, 16, 46]) luận án xây dựng số tích chập với hàm trọng Hermite số phép biến đổi tích phân dạng Fourier, sử dụng tích chập xây dựng luận án tốn đánh giá bán kính phổ số tốn tử tích phân dẫn đến