LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Đặng Anh Tuấn người thầy đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này Em cũng[.]
www.VNMATH.com LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Đặng Anh Tuấn người thầy tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè người bên cạnh cổ vũ, động viên giúp đỡ em Đặc biệt cho em gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình người chăm lo, động viên cổ vũ tinh thần cho em Hà Nội, ngày 16 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Trịnh Thu Trang www.VNMATH.com Mục lục Mở đầu 1 Tích phân Lebesgue 1.1 Đại số 1.2 Độ đo 1.2.1 Độ đo σ -đại số tập hợp 1.2.2 Độ đo Lebesgue 11 1.3 1.4 Hàm đo Lebesgue 16 1.3.1 Hàm đo Lebesgue 16 1.3.2 Các phép toán hàm số đo 17 1.3.3 Cấu trúc hàm đo 19 1.3.4 Hội tụ hầu khắp nơi 20 1.3.5 Sự hội tụ theo độ đo 22 1.3.6 Mối liên hệ hội tụ 24 Tích phân Lebesgue 28 1.4.1 Tích phân hàm đơn giản 28 1.4.2 Tích phân hàm khơng âm 29 1.4.3 Tích phân hàm có dấu 29 1.4.4 Các tính chất sơ cấp 30 i www.VNMATH.com MỤC LỤC 1.4.5 Qua giới hạn dấu tích phân 33 1.4.6 Mối liên hệ tích phân Lebesgue Rie mann 36 Không gian Lp 38 2.1 Không gian Lp 38 2.2 Tính tách Lp 47 2.3 Biến đổi Fourier 50 2.3.1 Biến đổi Fourier L1 51 2.3.2 Biến đổi Fourier Lp 52 Kết luận 55 ii www.VNMATH.com Mở đầu Tích phân Lebesgue xuất vào kỷ XX nhằm giải vài nhược điểm tích phân Riemann, chẳng hạn hàm Dirichlet hàm đơn giản khơng khả tích Riemann Có điều thú vị ý tưởng xây dựng hai loại tích phân Hai loại tích phân xây dựng dựa hai cách nhìn khác hàm số: Bernhard Riemann nhìn hàm số miền xác định cịn Henri Lebesgue nhìn hàm số từ tập giá trị Khóa luận em nhằm tìm hiểu cách xây dựng tích phân Lebesgue lớp hàm khả tích Lebesgue có so sánh với kết học tích phân Riemann Khóa luận chia thành hai chương Trong Chương 1, em trình bày cách thức xây dựng tích phân Lebesgue từ độ đo Lebesgue, hàm đo Lebesgue tích phân Lebesgue hàm khả tích Lebesgue Trong chương có khái niệm hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo độ đo mở rộng khái niệm hội tụ điểm hội tụ Em đưa vào ví dụ cho thấy khác khái niệm hội tụ Phần gần cuối chương có đề cập đến kết quan trọng việc chuyển giới hạn qua dấu tích phân Beppo Levi, Pierre Fatou, đặc biệt Henri Lebesgue hội tụ chặn Em đưa ví dụ cho thấy kết học Giải tích việc chuyển giới hạn qua dấu lấy tích phân mở rộng thực Kết thúc chương kết mối quan hệ tích phân Lebesgue tích phân Riemann www.VNMATH.com Mở đầu Trong Chương 2, em trình bày khơng gian Lp , ≤ p ≤ ∞ tính chất Đây lớp khơng gian Banach (định chuẩn, đầy đủ) cịn tách (có tập đếm trù mật) ngoại trừ trường hợp p = ∞ Sau trình bày tính chất này, em trình bày phép biến đổi Fourier Lp , ≤ p ≤ Để xây dựng phép biến đổi Fourier em dựa vào Bất đẳng thức HausdorffYoung Trong trường hợp p > em đưa vào ví dụ cho thấy Bất đẳng thức khơng cịn Do thời gian có hạn việc nắm bắt kiến thức cịn hạn chế nên Khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, chẳng hạn em chưa đưa vào chứng minh Bất đẳng thức Hausdorff -Young chứng minh đòi hỏi nhiều kiến thức chuẩn bị (Lý thuyết nội suy không gian) Rất mong bảo thầy cô bạn bè khắp nơi www.VNMATH.com Chương Tích phân Lebesgue 1.1 Đại số Định nghĩa 1.1.1 [1]Cho tập X tập tùy ý khác rỗng Một họ C tập X gọi đại số tập X , C thỏa mãn ba điều kiện: i) X ∈ C, ii) A ∈ C X\A ∈ C, iii) A1 , A2 , A3 , An ∈ C n S Ak ∈ C k=1 Mệnh đề 1.1.1 Cho C đại số tập X thì: i) ∅ ∈ C, ii) A1 , A2 , An ∈ C n T Ak ∈ C, k=1 iii) A ∈ C, B ∈ C A\B ∈ C Chứng minh i) Do C đại số tập X nên theo điều kiện (i) đại số X ∈ C www.VNMATH.com Chương Tích phân Lebesgue Mà đại số kín với phép lấy phần bù nên X\X = ∅ ∈ C ii) Do A1 , A2 , An ∈ C nên X\A1 , X\A2 , X\An ∈ C Vì C kín với phép hợp hữu n n n n S S T T hạn nên (X\Ak ) ∈ C Mặt khác (X\Ak ) = X\( Ak ) nên X\( Ak ) ∈ C k=1 k=1 Mà C kín với phép lấy phần bù nên X\(X\ n T k=1 n T Ak ) = k=1 k=1 n T Ak ∈ C Vậy k=1 Ak ∈ C k=1 iii) Ta có A\B = A ∩ (X\B) Mà A, X\B ∈ C nên A ∩ (X\B) ∈ C (theo tính chất vừa chứng minh) Vậy A\B ∈ C Mệnh đề 1.1.2 Cho X = R, C = { n S ∆i : ∆i gian, i = 1, 2, , n, n ∈ N, i=1 ∆i ∩ ∆j = ∅ với i 6= j} đại số tập R Trong đó, gian R tập điểm có dạng sau (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞, a), (−∞, a], (a, +∞), [a, +∞), (−∞, +∞) với a, b ∈ R ∆ = [a, b] |∆| = a − b gọi độ dài ∆ R Chứng minh i)Chọn ∆1 = (−∞, 0), ∆2 = [0, +∞), ∆3 = (a, a) R = ∆1 ∪∆2 ∈ C ∅ = ∆3 ∈ C ii)Giả sử A ∈ C A hợp hữu hạn gian không giao Trường hợp A hợp hữu hạn gian có dạng ∆i = (ai , ai+1 ) với , ai+1 ∈ R n S Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < < a2n Khi A = ∆i i=1 R\A = (−∞, a1 ] ∪ [a2 , a3 ] ∪ ∪ [a2n , +∞) = n−1 [ [a2i , a2i+1 ] ∪ (−∞, a1 ] ∪ [a2n , +∞), i=1 hợp hữu hạn gian Một cách xây dựng tương tự với trường hợp lại tập A ta có R\A hợp hữu hạn gian Vậy C kín với phép lấy phần bù iii) Giả sử P, Q ∈ C Trước hết ta chứng minh P ∩ Q ∈ C n S T Đặt P = Ii , Ii gian Ii Ii0 = ∅ với i 6= i i=1 www.VNMATH.com Chương Tích phân Lebesgue Q= k S Jj , Jj gian Jj T Jj = ∅ với j 6= j Khi j=1 P ∩Q=P ∩( k [ Jj ) = j=1 k [ (P ∩ Jj ) = j=1 k n [ [ [( Ii ) ∩ Jj ] = j=1 i=1 k [ n [ (Ii ∩ Jj ) j=1 i=1 Mà Ii ∩ Jj = Lij (i = 1, n; j = 1, k) gian không giao đôi nên k S n S Lij ∈ C hay P ∩ Q ∈ C j=1 i=1 Theo chứng minh R\P, R\Q ∈ C nên (R\P ) ∩ (R\Q) ∈ C, hay R\(P ∪ Q) ∈ C Từ chứng minh (ii) có P ∪Q ∈ C Sử dụng quy nạp ta có A1 , A2 , An ∈ C n S Ai ∈ C i=1 Định nghĩa 1.1.2 [1]Cho X tập hợp khác rỗng, họ F tập X gọi σ -đại số, F thỏa mãn ba điều kiện: i) X ∈ F, ii) A ∈ F X\A ∈ F, iii) A1 , A2 , An , ∈ F +∞ S Ak ∈ F k=1 Ví dụ 1.1.1 Cho X = R, C = { n S ∆i : ∆i gian rời nhau, i = 1, n, n ∈ N} i=1 không σ -đại số Thật vậy, đặt Ak = [2k, 2k + 1], k ∈ N Ak ∈ C Ta cần chứng minh ∞ n S S Ak khơng có dạng ∆i , với ∆i gian k=1 i=1 Sử dụng phản chứng, giả sử ∞ S Ak = n S ∆i với ∆i gian ∆i ∩∆j = ∅ (i 6= j ) i=1 k=1 Giả sử ∆1 có đầu mút a1 , a2 ; ∆2 có đầu mút a3 , a4 ; ; ∆n có đầu mút a2n−1 , a2n Do gian rời nên khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < < a2n−1 < a2n ∞ S Nếu a2n < +∞, chọn k0 cho 2k0 > a2n Như 2k0 ∈ [2k, 2k + 1] k=1 www.VNMATH.com Chương Tích phân Lebesgue 2k0 ∈ / n S ∆i Điều vô lý i=1 Nếu a2n = +∞, chọn k0 cho 2k0 > a2n−1 ∞ S 3 / Như 2k0 + ∈ ∆n 2k0 + ∈ [2k, 2k + 1] Điều vô lý 2 k=1 Vậy điều giả sử sai, C không σ -đại số Ta xây dựng σ -đại số nhỏ chứa C Định nghĩa 1.1.3 [1]σ -đại số nhỏ bao hàm lớp tập mở không gian R gọi σ -đại số Borel không gian R tập thuộc σ -đại số gọi tập Borel không gian R Tập Borel tập xuất phát từ tập mở thực số hữu hạn hay đếm phép toán hợp, giao tập Theo định nghĩa σ -đại số tập tập Borel phần bù tập Borel Do tập mở tập Borel nên tập đóng tập Borel Do σ -đại số đóng với phép hợp giao đếm nên hợp số đếm tập đóng tập Borel giao số đếm tập mở tập Borel Mệnh đề 1.1.3 i) σ -đại số Borel không gian R σ -đại số nhỏ bao hàm lớp tập đóng ii) σ -đại số Borel R σ -đại số nhỏ bao hàm lớp khoảng iii) σ -đại số Borel R σ -đại số nhỏ bao hàm lớp gian Chứng minh i) Cho M lớp tập mở R Gọi F(M ) σ -đại số nhỏ bao hàm lớp M hay σ -đại số Borel N lớp tập đóng, F(N ) σ -đại số nhỏ bao hàm N Ta có N ⊂ F(M ) nên F(N ) ⊂ F(M ) www.VNMATH.com Chương Tích phân Lebesgue Mặt khác tập mở phần bù tập đóng nên M ⊂ F(N ) Do F(M ) ⊂ F(N ) Vậy F(M ) = F(N ) hay σ -đại số nhỏ bao hàm lớp tập đóng σ -đại số Borel ii) Cho M lớp tập mở R, N lớp khoảng Vì khoảng tập mở nên N ⊂ F(M ) với F(M ) σ -đại số nhỏ bao hàm M F(N ) ⊂ F(M ) Mà tập mở hợp hữu hạn hay đếm khoảng nên M ⊂ F(N ) F(M ) ⊂ F(N ) Vậy F(M ) = F(N ) hay σ -đại số nhỏ bao hàm lớp khoảng σ -đại số Borel iii) Cho G lớp gian, N lớp khoảng Gọi F(G), F(N ) σ -đại số nhỏ bao hàm tập Do gian chứa khoảng mở nên F(N ) ⊂ F(G) Mà gian lại biểu diễn thành hợp hữu hạn đếm tập mở đóng σ -đại số nhỏ bao hàm lớp tập mở σ -đại số nhỏ bao hàm tập đóng Do F(G) ⊂ F(N ) Vậy F(G) = F(N ) 1.2 1.2.1 Độ đo Độ đo σ-đại số tập hợp Cho X tập không gian R, F σ -đại số tập X Xét hàm tập µ : F → [0, +∞] Định nghĩa 1.2.1 [1] µ gọi cộng tính A, B ∈ F, A ∩ B = ∅, A ∪ B ∈ F µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) ... giới hạn dấu tích phân 33 1.4.6 Mối liên hệ tích phân Lebesgue Rie mann 36 Không gian Lp 38 2.1 Không gian Lp 38 2.2 Tính tách Lp ... xây dựng tích phân Lebesgue lớp hàm khả tích Lebesgue có so sánh với kết học tích phân Riemann Khóa luận chia thành hai chương Trong Chương 1, em trình bày cách thức xây dựng tích phân Lebesgue. .. Fourier Lp 52 Kết luận 55 ii www.VNMATH.com Mở đầu Tích phân Lebesgue xuất vào kỷ XX nhằm giải vài nhược điểm tích phân Riemann, chẳng hạn hàm Dirichlet hàm đơn giản không khả tích