Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thanh hóa năm 2011 môn Toán ppt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số 322 (1) (4 )12yx m x mx m=−+ −− −− ( m là tham số thực), có đồ thị là (). m C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1.m = − 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị () m C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II . (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: cos 2 cos3 sin cos 4 sin 6 . x xx x x + −− = 2) Giải bất phương trình: 242 6( 3 1) 1 0xx xx − ++ + +≤ ().x ∈  3) Tìm số thực a để phương trình: 99 3cos() xx ax π += , chỉ có duy nhất một nghiệm thực .Câu III . (2,0 điểm). Tính tích phân: () 2 3 0 sin . sin 3cos x Idx xx π = + ∫ Câu IV . (6,0 điểm). 1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt , A Mx= AN y= . Tìm , x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2) Trên mặt phẳng toạ độ ,Oxy cho đường thẳng :50 x y Δ −+= và hai elíp 22 1 (): 1 25 16 xy E += , 22 2 22 (): 1( 0) xy Eab ab + =>> có cùng tiêu điểm. Biết rằng 2 ()E đi qua điểm M thuộc đường thẳng . Δ Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp 2 ()E có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3) Trong không gian ,Oxyz cho điểm (0;2;0)M và hai đường thẳng 12 12 32 :22(); : 12() 1, , xt x s ytt y ss zt zs =+ =+ ⎧⎧ ⎪⎪ Δ=− ∈ Δ=−− ∈ ⎨⎨ ⎪⎪ =− + = ⎩⎩   . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục Ox, sao cho (P) cắt hai đường thẳng 12 , Δ Δ lần lượt tại A, B thoả mãn 1AB = . Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực ,,abc thoả mãn: 222 6 3. abc ab bc ca ⎧ ++= ⎨ + +=− ⎩ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 666 .Pabc = ++ HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm . SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điêm Với 1,m =− ta được hàm số 3 31.yx x = −+ Tập xác định: . Giới hạn tại vô cực: lim , lim . xx yy →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ Sự biến thiên: 2 '3 30 1.yx x=−=⇔=± 0,5 '0 ( ;1)(1; ).yx>⇔∈−∞−∪ +∞ Hàm số đồng biến trên các khoảng (1)−∞ − và (1; )+∞ . '0 (1;1).yx<⇔∈− Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1). − Điểm cực đại của đồ thị (1;3), − điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).− 0,5 Bảng biến thiên: 0,5 1) 2,0đ Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 0,5 Ta có 22 '3 2( 1) 4 , y xmx m=− +−+ là tam thức bậc hai của x. y' có biệt số 2 ' 2 2 13.mmΔ=− + + Nếu '0Δ≤ thì '0,yx≥∀, suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn. 0,5 Nếu 133133 '0 ; 22 m ⎛⎞ −+ Δ> ⇔ ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ , thì '0y = có hai nghiện 12 1 2 ,( ). x xxx< Dấu của y': 0,5 Câu I 4,0 đ 2) 2,0đ Chọn 012 0 (; ) '() 0.xxx yx∈⇒< Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao cho 0 '( ). '( ) 1yxyx =− ⇔ pt: 22 0 1 32(1)4 0 '( ) xmxm yx − +−++ = (1) có 0,75 -2 -1 -1 1 1 3 2 x y O x y' y − ∞ − ∞ +∞ +∞ 1 − 1 − 1 3 0 0 − + + x - ∞ + ∞ ' y 1 x 2 x 0 0 − + + nghiệm . Pt (1) có: 2 1 0 3133133 '2 213 0, ; . '( ) 2 2 mm m yx ⎛⎞ −+ Δ=− + + − > ∀∈ ⎜⎟ ⎝⎠ Vậy giá trị cần tìm của m là 133133 ; 22 m ⎛⎞ −+ ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ . 0,25 PT 0)3cos.3sin23(cossin)4cos2(cos = − + − −⇔ xxxxxx 0)3cos3cos3sin2()sin3sinsin2( = − − −⇔ xxxxxx 0,5 0)3cos)(sin13sin2( = − −⇔ xxx 0,5 1) 2,0đ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−= += += += ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= = ⇔ π π ππ ππ ππ π kx kx kx kx xx x 4 28 3 2 18 5 3 2 18 2 cos3cos 2 1 3sin ().k ∈  0,5 0,5 Tập xác định:  BPT () 22 22 62( 1) ( 1) 6( 1)( 1) 0xx xx xx xx⇔−+−+++−+++≤ 0,5 22 22 16( 1) 12. 6 0 11 xx xx xx xx −+ −+ ⇔+ −≤ ++ ++ (vì 2 10, x xx + +> ∀ ) 0,5 Đặt: 2 2 6( 1) 1 xx t xx −+ = ++ (t > 0), ta được 2 260tt + −≤ 3 0 2 t ⇔ <≤ . 0,5 Câu II 6,0 đ 2) 2,0đ BPT đã cho tương đương với 2 2 2 6( 1) 9 11 21 11 21 51150 ; . 1 4 10 10 xx xx x xx ⎛⎞ −+ − + ≤⇔ − +≤⇔∈ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ 0,5 2 9 9 3 cos( ) 3 3 .cos( ) (2). xx xx ax ax ππ − += ⇔ + = Nhận xét: Nếu 0 x là nghiệm của (2) thì 0 2 x − cũng là nghiệm của (2), 0,5 suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là 000 21.xxx = −⇔= Với 0 1x = , thì từ (2) suy ra 6.a = − 0,5 3) 2,0đ Với 6,a =− thì phương trình (2) trở thành 2 3 3 6cos( ) (3). xx x π − +=− Ta có (3) 6, (3) 6.VT VP≥≤ Vậy 2 33 6 (3) 1. 6cos( ) 6 xx x x π − ⎧ += ⇔ ⇔= ⎨ −= ⎩ Vậy 6.a =− 1,0 Ta có: 13 sin (sin 3cos ) (cos 3sin ) 44 x xx xx=+ − − 13 (sin 3 cos ) (sin 3 cos )'. 44 x xxx=+−+ 0,5 Câu III 2,0đ Suy ra 22 23 00 11 3(sin3cos)' 44 (sin 3 cos ) (sin 3 cos ) xx Idx dx xx xx ππ + =− ++ ∫∫ 0,25 2 2 2 2 0 0 11 3 16 8(sin 3 cos ) cos 6 dx xx x π π π =+ + ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 0,75 2 0 13 tan 16 6 12 x π π ⎛⎞ =−+ ⎜⎟ ⎝⎠ 333 . 12 12 6 =+= 0,5 Kẻ DH ⊥ MN , do (DMN) ⊥ (ABC) suy ra DH ⊥ (ABC). Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. 0,5 Ta có: S AMN = 2 1 .AM.AN.sin60 0 = xy 4 3 ; S AMN = S AMH + S ANH = 2 1 .AM.AH.sin30 0 + 2 1 .AN.AH.sin30 0 = 3 3 . 4 1 (x+y). Suy ra xy 4 3 = 3 3 . 4 1 (x+y) ⇒ x+y= 3xy (0 ≤ x,y ≤ 1 ). 0,5 1) 2,0đ Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN: S = S AMD + S AND + S DMN + S AMN = 2 1 AD.AM.sin60 0 + 2 1 AD.AN.sin60 0 + 2 1 DH.MN + 2 1 AM.AN.sin60 0. = 3xy + )1xy3(xy3 6 6 − . Từ 24 32 . 39 xy x y xy xy xy=+≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Suy ra 3(4 2) min , 9 S + = khi 2 . 3 xy = = 0,5 0,5 Hai elíp có các tiêu điểm 12 ( 3;0), (3;0).FF − 0,5 Điểm 212 () 2 M EMFMFa∈⇒+ = . Vậy 2 ()E có độ dài trục lớn nhỏ nhất khi và chỉ khi 12 M FMF + nhỏ nhất. 0,5 Gọi (;)Nxy là điểm đối xứng với 1 F qua Δ , suy ra (5;2).N − Ta có: 12 22 M FMF NMMF NF+=+≥ (không đổi). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 MNF = ∩Δ 0,5 2) 2,0đ Toạ độ điểm 17 430 17 8 5 :;. 50 8 55 5 x xy MM xy y ⎧ =− ⎪ +−= ⎧ ⎪ ⎛⎞ ⇔⇒− ⎨⎨ ⎜⎟ −+= ⎝⎠ ⎩ ⎪ = ⎪ ⎩ 0,5 Câu IV 6,0đ 3) 2,0đ Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt. 12 (1 2 ;2 2 ; 1 ); (3 2 ; 1 2 ; ).AAtttB Bsss∈Δ ⇒ + − − + ∈Δ ⇒ + − − Suy ra () 22( );32( );1( )AB st st st=+ −−− − +− uuur 0,5 H A B C D M N GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 22 1 9( ) 22( ) 14 1 13 . 9 st AB s t s t st −=− ⎡ ⎢ ⇒=−+−+=⇒ ⎢ −=− ⎣ 0,5 Với 1(0;1;0)st AB−=−⇒ = − ⇒ uuur (P) có một vtpt 1 ; (0;0;1)nABi ⎡⎤ == ⎣⎦ u ruuurr , suy ra (): 0Pz= (loại do (P) chứa trục Ox ). 0,5 Với 13 8 1 4 ;; 9999 st AB − −− ⎛⎞ −=− ⇒ = ⎜⎟ ⎝⎠ uuur , suy ra ()P có một vtpt 2 41 ;(0;;) 99 nABi − ⎡⎤ == ⎣⎦ u ur uuurr , suy ra ():4 8 0Pyz−−= (thỏa mãn bài toán). 0,5 Từ giả thiết suy ra : 0abc + += 0,25 Ta có: ,,abc là ba nghiệm thực của phương trình ()()()0xaxbxc − −−= 33 30311 x x abc x x abc⇔−− =⇔−+= + (3) 0,5 Từ đồ thị hàm số 3 31,yx x = −+ suy ra pt (3) có ba nghiệm thực ,,abc khi và chỉ khi 1132 2.abc abc−≤ +≤ ⇔−≤ ≤ 2abc = − , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2. 2abc = , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2. 0,5 666 2 3( )P a b c P abc=++⇒− 222444222222 ()( )a b c a b c ab bc ca=++ ++− − − . 2223 222222222 ( ) 3( )( ) 216 18.9 54a b c a b c ab bc ca=++ − ++ + + = − =. 0,5 Câu V 2,0đ 2 3( ) 54 max 66,P abc P=+⇒= khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2, hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2. 0,25 . THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: . coi thi không giải thích gì thêm . SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12. thi: 24/03 /2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số 322 (1) (4 )12yx m x mx m=−+ −− −− ( m là tham số thực), có đồ thị là (). m C 1) Khảo sát sự biến thi n và