(Luận Văn Thạc Sĩ) Hiện Tượng Bùng Nổ Nghiệm Trong Thời Gian Hữu Hạn Cho Phương Trình Truyền Nhiệt Phi Tuyến.pdf

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẶNG MINH HIẾU Đặng Minh Hiếu TỐN ỨNG DỤNG HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NĂM 2022 Hà Nội - 2022 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Đặng Minh Hiếu HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Dương Giao Kỵ PGS TS Hoàng Thế Tuấn Hà Nội - 2022 Luan van i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi, trau dồi kiến thức thân hướng dẫn tận tình thầy Dương Giao Kỵ thầy Hoàng Thế Tuấn Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2022 Học viên Đặng Minh Hiếu Luan van ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Dương Giao Kỵ, người thầy định hướng giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài thầy Mặc dù thầy gặp khó khăn mặt địa lý, thầy ln quan tâm, cố gắng để giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Hoàng Thế Tuấn, người thầy đồng hướng dẫn tơi, thầy góp ý giúp đỡ tơi nhiều lúc tơi gặp khó khăn học tập Viện Toán học, q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Quỹ Đổi sáng tạo VinIF hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ Bên cạnh đó, q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cô, anh chị bạn bè ngồi Viện Tốn học Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam suốt trình thực luận văn Tơi xin tỏ lịng biết ơn vô hạn tới mẹ tôi: bà Phạm Thị Cẩm, mẹ kiên nhẫn thương yêu vô điều kiện Cuối xin gửi luận văn đến hai bác: bà Phạm Thị Thơi ông Phạm Văn Khiêm, người mà coi bố mẹ thứ hai Con xin cảm ơn bố mẹ yêu thương che chở cho suốt chặng đường qua Luan van iii Danh sách ký hiệu Ký hiệu Tên gọi R tập hợp số thực ∥·∥ chuẩn vectơ ma trận ∥ · ∥L2ρ chuẩn không gian L2ρ C([a, b]) không gian hàm liên tục [a, b] Cc∞ (Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω L∞ khơng gian hàm khả tích bậc vơ hạn ∆ tốn tử Laplace O(.) vô bé bậc o(.) vô bé bậc lớn Luan van iv Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii Mục lục v Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa thức Hermite 1.2 Nửa nhóm cho toán tử Laplace 1.3 Nửa nhóm cho tốn tử Fokker-Planck PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VỚI HỆ SỐ PHI TUYẾN HẰNG 2.1 Giới thiệu vấn đề 2.2 Lập luận hình thức 10 2.3 Xây dựng toán 14 2.4 Xây dựng tập co 15 2.5 Một vài ước lượng khai triển 15 2.6 Sự rút gọn đến toán hữu hạn chiều 24 2.7 Chứng minh Định lý 2.1 36 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VỚI HỆ SỐ PHI TUYẾN KHÔNG HẰNG 38 3.1 Giới thiệu vấn đề 38 3.2 Lập luận hình thức 39 3.3 Xây dựng toán 43 Luan van v 3.4 Xây dựng tập co 43 3.5 Xây dựng hàm giá trị ban đầu 44 3.6 Chứng minh Định lý 3.1 46 3.7 Sự rút gọn đến toán hữu hạn chiều 47 Kết luận 52 Luan van Lời mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu cần thiết tiến hành nghiên cứu: Tình hình nghiên cứu giới Việt Nam: Về hướng nghiên cứu này, có TS Dương Giao Kỵ, Đại học An Giang - ĐHQG TP Hồ Chí Minh mở rộng phát triển phương pháp [1] đến mơ hình tổng qt có nhiều ứng dụng vật lý, sinh học kỹ thuật, xem [2] Gần với lĩnh vực này, có nhóm nghiên cứu TS Phan Quốc Hưng Đại học Duy Tân việc thiết lập ước lượng tỷ lệ bùng nổ cho phương trình truyền nhiệt định lý kiểu Liouville cho nghiệm bùng nổ, xem [3]; nhóm PGS TS Lê Xuân Trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh nghiên cứu tồn nghiệm bùng nổ cho lớp phương trìnnh tiến hóa dạng p-Laplacian, xem [4] Trên giới, nhóm nghiên cứu Giáo sư Hatem Zaag, Đại học Sorbonne Paris Nord chuyên gia hàng đầu lĩnh vực xây dựng nghiệm kỳ dị cho phương trình truyền nhiệt truyền sóng với cơng trình [1],[5] nhóm nghiên cứu TS Tej-Eddine Ghoul TS Nguyễn Văn Tiên ĐH New York Abu Dhabi với cơng trình [6],[7], TS Nejla Nouaili với cơng trình [8],[9] Hướng nghiên cứu nhận quan tâm cộng đồng toán học 20 năm qua ngày mở rộng đến nhiều mơ hình gần với thực tế hơn, từ thể tính mạnh mẽ phương pháp Do đó, chúng tơi chọn để nghiên cứu phương pháp phát triển đến mơ hình tổng quát gần với thực tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Luan van Bài toán xây dựng nghiệm bùng nổ cho phương trình truyền nhiệt, phổ tốn tử tuyến tính, lý thuyết bậc tơ-pơ Nội dung nghiên cứu: Trong luận văn xét toán    ut = ∆u + f (x)|u|p−1 u, (x, t) ∈ R × (0, T ),   u(0) = u (0) ∈ L∞ (R) , (0.1) xét p > 1, f : R → R khả vi bị chặn Khi đó, mơ hình từ [1], tương ứng với f ≡ Với giả thiết f khả vi bị chặn, f (0) = a > 0, mong muốn mở rộng phương pháp [1] để xây dựng nghiệm bùng nổ cho (0.1), với giả thiết tổng quát Cấu trúc dự kiến kết đạt luận văn: Ngoài phần Danh sách ký hiệu, Lời mở đầu, Lời cảm ơn, Lời cam đoan, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Phương trình truyền nhiệt với hệ số phi tuyến • Chương 3: Phương trình truyền nhiệt với hệ số phi tuyến khơng Luan van CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương giới thiệu số kiến thức để phục vụ cho chứng minh chương sau 1.1 Đa thức Hermite Chúng ta xét không gian L2ρ (R) định nghĩa sau:     Z  
2 Lρ (R) = f ∈ Lloc (R) : f (y) ρ (y) dy < ∞ ,     (1.1) R với hàm trọng ρ ρ (y) = e− |y|2 (1.2) (4π) Chúng ta xét đa thức Hermite định nghĩa sau: hm (y) = [ m2 ] X n=0 m! (−1)n y m−2n , n!(m − 2n)! y ∈ R (1.3) Dễ thấy h0 = 1, h1 = y ,h2 = y − 2, h3 = y − 6y Đặc biệt, có đẳng thức sau: Z hn (x)hm (x)ρ(x)dx = 2n n!δnm , R Luan van với m.n ∈ N, v− (σ) θe (s) ∞ ≤ Ces−σ  2 s vj (σ) + s  L + |y|3 ∞ j=0 L s−σ + Ce− p ve (σ) L∞ Chứng minh Xem Bổ đề 2.7 [11] Luan van (1.11) CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHI TUYẾN HẰNG 2.1 Giới thiệu vấn đề Trong chương nghiên cứu phương trình truyền nhiệt phi tuyến    ∂t u = ∆u + |u|p−1 u, p > 1,   u(x, 0) = u ∈ L∞ (R), (2.1) p > 1, u(t) : R → R với t ≥ Phương trình sử dụng mơ hình chuẩn nghiên cứu đốt cháy, truyền khuếch tán nhiệt (xem thêm [1]) n o Dựa vào lý thuyết nửa nhóm giải tích et∆  t>0 , chứng minh phương trình (2.1) đặt chỉnh địa phương L∞ (R) Hơn nữa, với u0 ∈ L∞ (R), hai mệnh đề sau đúng: (i) Nghiệm toàn cục u(t) ∈ L∞ (R) với t ∈ [0, ∞) (ii) Nghiệm bùng nổ thời gian hữu hạn, tức tồn Tmax ∈ (0, ∞), cho u(t) ∈ L∞ (R) với t ∈ [0, Tmax ) u (t) ∞ → ∞ t → Tmax L Luan van (2.2) 10 Khi tượng (2.2) xảy ra, người ta quan tâm đến việc nghiệm bùng nổ với tốc độ nào? Và quan trọng dáng điệu bùng nổ nghiệm mơ tả hay khơng? Sau trình bày lại kết [1] chứng minh tồn nghiệm bùng nổ thời gian hữu hạn mô tả dáng điệu tiệm cận nghiệm gần miền bùng nổ nghiệm Định lý 2.1 Tồn T0 > cho với T ∈ (0, T0 ] tồn giá trị ban đầu u0 ∈ L∞ (R) cho phương trình (2.1) có nghiệm u(·, t) [0, T ) Đặc biệt nghiệm bùng nổ gốc tọa độ thời gian hữu hạn T , ta có dáng điệu tiệm cận sau: ! | · | (T − t) p−1 u(·, t) − φ0 p (T − t)| ln(T − t)| ≤p L∞ (R) C , | ln(T − t)| (2.3) φ0 (z) = p−1+ (p − 1) |z|2 4p !− p−1 Nhận xét 2.2 Từ (2.3) thấy u(0, t) ∼ κ(T − t)− p−1 t → T, với κ = (p − 1)− p−1 Hơn u(·, t) → u∗ (·) ∈ C (R\{0}) t → T , tập compact R\{0} dáng điệu u∗ gần điểm bùng nổ sau: " #− p−1 2 (p − 1) |x| u∗ (x) ∼ x → 8p | ln |x|| Độc giả tham khảo thêm chứng minh [13] 2.2 Lập luận hình thức Trong phần đưa lập luận hình thức để giải thích cho việc tìm ước lượng (2.3) Luan van 11 Đặt T > ta xét u nghiệm phương trình (2.1) Sử dụng phép biến đổi đồng dạng w(y, s) = (T − t) p−1 u(x, t) với y = √ x s = − log(T − t) (2.4) T −t Từ (2.1) suy w thỏa mãn phương trình sau: w ∂s w = ∆w − y∇w − + |w|p−1 w p−1 (2.5) Kết từ [14] có w(y, s) → ±κ s → ∞, tập compact {|y| ≤ K, K > 0}, κ định nghĩa   p−1 κ= (2.6) p−1 Chú ý có dấu ± tính đối xứng phương trình (2.1) Khơng giảm tính tổng qt, xét w → κ s → ∞ Chúng ta đặt w¯ = w − κ, điều dẫn đến w ¯ → s → ∞ Sử dụng (2.5) suy ¯ w), ∂s w¯ = Lw¯ + B( ¯ (2.7) L = ∆ − y∇ + 1, ¯ B(w) ¯ = (w¯ + κ)p − κp − pκp−1 w ¯ (2.8) (2.9) ¯ w) Đặc biệt, |w| ¯ ≤ phần phi tuyến B( ¯ (2.7) đánh sau: p ¯ w) B( ≲w ¯3 ¯ − w ¯ 2κ (2.10) Chúng ta có tốn tử L tự đồng dạng D(L) ⊂ L2ρ (R) ⟨Lf, g⟩L2ρ = ⟨f, Lg⟩L2ρ , Luan van (2.11) 12 L2ρ (R) định nghĩa (1.1) Đặc biệt, phổ L rời rạc định nghĩa sau:   m :m∈N spec(L) = − Tương ứng với giá trị riêng − m 2, có hàm riêng tương ứng đa thức Hermite cho (1.3),   m Lhm = − hm Với w ¯ ∈ L2ρ (R) biểu diễn sau: w(·, ¯ s) = w¯0 (s)h0 + w ¯1 (s)h1 + w ¯2 (s)h2 + X w¯j (s)hj (2.12) j≥3 Sử dụng lập luận từ [15] đủ để xét w ¯ có dạng w(·, ¯ s) = w¯0 (s)h0 + w ¯2 (s)h2 (2.13) Do giả thiết w ¯ → L2ρ s → ∞, nên w¯0 w¯2 → s → ∞ Chúng ta sử dụng phép chiếu lên h0 h2 cho phương trình (2.13) với đánh giá (2.10) suy hệ phương trình vi phân cho w ¯0 w¯1 sau:   ¯ 0⟩  w ¯ ′0 = ⟨∂∥hs w,h = w¯0 + 0∥ Lρ   ¯ ′2 = w ⟨∂s w,h ¯ 2⟩ ∥h2 ∥L2 ρ =0+  ... CÔNG NGHỆ Đặng Minh Hiếu HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NGHIỆM TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... lệ bùng nổ cho phương trình truyền nhiệt định lý kiểu Liouville cho nghiệm bùng nổ, xem [3]; nhóm PGS TS Lê Xuân Trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh nghiên cứu tồn nghiệm bùng nổ cho lớp phương. .. 2.7 [11] Luan van (1.11) CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHI TUYẾN HẰNG 2.1 Giới thiệu vấn đề Trong chương nghiên cứu phương trình truyền nhiệt phi tuyến    ∂t u = ∆u + |u|p−1