Trang 1
Ước chungvàbộichung
I/ Kiến thức cơ bản.
1- Tính chất chia hết liên quan
a
m
a
n => a
m.n
(m,n)=1
a.b
m => b
m
(a, m) =1
2- Thuật toán Ơclit:
Ví dụ: Tìm ƯCLN của các cặp số sau:
11111 và 1111 342 và 266
11111 chia 1111 d- 1 342 chia 266 d- 76
11111 chia 1 d- 0 266 chia 76 d- 38
=> ƯCLN (11111; 1111) =1 76 chia 38 d- 0
=> ƯCLN (342; 266) = 38
I/ Bài tập.
Bài tập 1: 3 khối 6 7 8 theo thứ tự có 300 học sinh- 276 học sinh 252
học sinh xếp hàng dọc để điều hành sao cho hàng dọc mỗi khối nh- nhau. Có thể
xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc để mỗi khối không lẻ ? kho đó mỗi khối có
bao nhiêu hàng ngang?
Giải:
Số hàng dọc = ƯCLN (300; 276; 252) = 12
K6 có 300 : 12 = 25
K7 có 276 : 12 = 23
K8 có 252 : 12 = 21
Bài tập 2: CMR các cặp số sau nguyên tố cùng nhau với mọi n N
a) n; 2n + 1 c)3n + 2; 5n + 3
b) 2n + 3; 4n + 8 d) 2n + 1; 6n + 5
Bài tập 3: a) Biết a 5b
17 CMR 10a + b
17 (a, b N)
b) Biết 3a + 2b
17 CMR 10a + b
17 (a, b N)
Trang 2
Bài tập 4: Có 100 quyển vở và 90 bút chì đ-ợc th-ởng đều cho một số học sinh
còn lại 4 quyển vở và 18 bút chì không đủ chia đều. Tính số học sinh.
Giải:
Gọi số học sinh là a: => 100 4
a ; 90 18
a
Bài tập 5: Tìm n N sao cho:
a) 4n 5
13
b) 5n + 1
7
c) 25n + 3
53
Giải:
a) 4n 5
13 => 4n 5 +13
13 => 4n + 8
13
=> 4(n+2)
13
=> n + 2
13 => n + 2 + 13 b => n = 13b 2
b) 5n + 1
7 => 5n + 1 21
7 => 5n 20
7
=> 5(n - 4)
7 => n 4
7 => n = 7b + 4
c) T-ơng tự.
Bài tập 6: Tìm n sao cho a) n + 4
n + 1
b) n
2
+ 4
n + 2
Giải:
a) n + 4
n + 1 => (n + 1) + 3
n + 1 => 3
n + 1
b- n
2
+ 4
n + 2 => n
2
+ 2n 2n 2 + 6
n + 1
=> n(n + 2) 2 (n + 2) + 6
n + 1
Bài tập 7: Tìm x, y sao cho a) ( x + 1) (2y - 1) = 12
b) x 6 = y (x + 12)
Giải
b) (x + 2) 8 = y ( x + 2)
=> 8 = (x + 2) y ( x + 2) => 8 = (x + 2) (1 - y)
Bài tập 8: Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nó cho 15, cho 35 đ-ợc các
số d- là 8 và 13.
Giải
Gọi số phải tìm là a.
Trang 3
=> a - 8
15 => a 8 + 30
15 => a + 22
35
a 13
35 a 13 + 35
35 a + 22
15
Bài tập 9: Tìm dạng chung của số tự nhiên a sao cho chia 4; 5; 6 lần l-ợt có số
d- là 3; 4; 5 và chia hết cho 13
Giải
a + 1 BC (4; 5; 6)
=> a + 1
60 => a + 1 300
60 => a 299
60
và a
13 a 13 . 23
13 a 299
13
=> a 299
BCNN (60; 13)
a 299
780
=> a = 780b + 299 (b N)
Bài tập 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5; cho 7; 9 d- là 3; 4; 5
Giải
Gọi số phải tìm là a:
=> 2a chia cho 5; 7; 9 đều d- 1
2a 1 = BCNN (5; 7; 9) = 315
=> 2a 1 = 315 => a = 158
Bài tập 11: Một thiết bị điện tử 605 phát tiếng bíp; chiều thứ 2 625 bíp lúc 10h
sáng cả 2 cùng kêu hỏi lúc mấy giờ cả 2 cùng kêu (10h 31p)
Bài tập 12: Tìm n để các số sau nguyên tố cùng nhau
a) 9n + 24 và 3n + 4 b) 18n + 3 và 21n + 7
Giải:
a) giả sử d là -ớc của 9n + 24 và 3n + 4
=> 9n + 24
d => 12
d => d {3; 2}
3n + 4
d d P
d 3 vì 3n + 4
3
Vậy để (9n + 24; 3n + 4)= 1 => n lẻ
b) 18n + 3
d => 21
d => d {3; 7}
18n + 3
d
d 3 vì 21n + 7
3 => d = 7
Trang 4
18n + 3
7 => 18n + 3 21
7 => 18(n - 1)
7
=> n 7 b + 1
( 18n + 3; 21n + 7) = 1
Vậy để (9n + 24; 3n + 4)= 1 => n lẻ
Tìm 2 số tự nhiên biết
Bài tập 13: Hiệu bằng 84; ƯCLN bằng 28; nằm trong khoảng (300; 440)
a= 392 ; b= 308
Bài tập 14: ƯCLN bằng 16; số lớn là 96
(16 hoặc 80)
Bài tập 15: BCNN bằng 770; một số bằng 14
(770; 385; 110; 55)
Bài tập 16: (a, b) = 15; [a; b] = 2100(a, b)
(15; 31500) (45; 10500) (60; 7875) (150; 4500)
(180; 2625) (315; 1500) (375; 1260) (420; 1125)
Bài tập 17: a . b = 180; [a; b] = 20 (a; b)
(3; 60) (12; 15)
Bài tập 18: [a; b] (a; b) = 35
(1; 36) (4; 9) (5; 40) (7; 42) (14; 21) (35; 70)
Bài tập 19: a + b = 30 [a; b] = 6 (a; b)
. Trang 1 Ước chung và bội chung I/ Kiến thức cơ bản. 1- Tính chất chia hết liên quan a m a n => a . tập 12: Tìm n để các số sau nguyên tố cùng nhau a) 9n + 24 và 3n + 4 b) 18n + 3 và 21n + 7 Giải: a) giả sử d là -ớc của 9n + 24 và 3n + 4 => 9n + 24 d => 12 d => d {3; 2} 3n. + b 17 (a, b N) Trang 2 Bài tập 4: Có 100 quyển vở và 90 bút chì đ-ợc th-ởng đều cho một số học sinh còn lại 4 quyển vở và 18 bút chì không đủ chia đều. Tính số học sinh. Giải: Gọi