Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh thpt năm 2021 2022 sở gddt lào cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI Câu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) x 1 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm của hai đường tiệm cận  C  3 x Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt  C  hai điểm phân biệt a/ Cho hàm số y  M , N cho tam giác MNI có trọng tâm nằm  C  Lời giải Chọn C Tập xác định D   \ 3 x 1 x  1  y  1 tiệm cận ngang đồ thị  C  lim y  lim  lim x  x   x x  1 x lim y    x  tiệm cận đứng đồ thị  C  1 x 3  I  3; 1 giao điểm của hai đường tiệm cận  C  x 1  x  m   x    m  x  3m    * 3 x Đường thẳng d : y  x  m cắt  C  hai điểm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt khác Phương trình hồnh độ giao điểm: 16    m   ; 8    0;   m  8m  Đường thẳng d : y  x  m cắt  C  hai điểm phân biệt M  x1 ; x1  m  , N  x2 ; x2  m  với x1 , x2 nghiệm phương trình * M , N , I tạo thành tam giác m  4  x  x  x1  x2  m    m   Tam giác MNI có trọng tâm G  ; ; m  1  3     m  m4 G  C   m     m  8m  12    8m m  Vậy m  2; m    b/ Cho hàm số y  f  x  liên tục  , biết f   x   x  x   x  x  m2  3m  , x   Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  f  x  có điểm cực trị x   f  x   x   g  x   x  x  m  3m    *  Hàm số y  f  x  có điểm cực trị  đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị nằm bên phải trục Oy  f   x   có hai nghiệm bội lẻ  PT * có hai nghiệm trái dấu khác PT * có nghiệm nghiệm cịn lại dương khác Trang 1/6 - WordToan   73  m  3m  16  m   PT * có hai nghiệm trái dấu khác     m   1;   m  3m    m   1;    m  1  PT * có nghiệm  m  3m     m  x  Với m  1  x  x    Vậy m  1 x   x  Với m   x  x    Vậy m  x   Vậy m   1; 4 Câu ( 4,0 điểm ) a) Giải bất phương trình 2.9 x  3.6 x  6x  4x b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình log3 2x 1  3x  x  m  có 27 x  54 x  9m 1  nghiệm phân biệt thuộc  ;   2  Lời giải a) Điều kiện:   x  x x x 3    x x x 2.9  3.6 2 3  Ta có: 2  Đặt t    , điều kiện t  t  x 6x  4x 2 2 1   3    x  log  t  2t  2t  5t  2 Bất phương trình cho trở thành: 2 0 2  t    x  log 1 1  t   t  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S   ;log   x  b) Điều kiện:  3 x  x  m    1     0;log  2   2x 1  3x  8x  m  27 x  54 x  9m  log (2 x  1)  log (3x  x  m)  3x  x  m  (*) log Đặt u  x  x  m, v  x  1 u  0, v   Khi phương trình (*) tương đương: log u  u  log v  v Vì hàm số y  f (t )  log t  t đồng biến khoảng (0; ) nên Trang 2/6 – Diễn đàn giáo viên Toán log3 u  u  log v  v  u  v Suy 3x  x  m  x   3x  x  m   Yêu cầu tốn trở thành tìm m để phương trình : 3x  x  m   có hai nghiệm phân biệt 1  thuộc khoảng  ;   2  Ta có x  x  m    m  3x  x  Xét hàm số g ( x)  3 x  x  có bảng biến thiên sau 13 1  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc  ;    m  2  Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , đường chéo AC  a Tam giác SAD tam giác cân S  SAD    ABCD  Biết SA tạo với đáy góc 45 a) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SC b) Gọi M trung điểm SD , lấy điểm N thuộc cạnh SC cho SN  NC , gọi P giao điểm  AMN  với BC Tính thể tích khối đa diện AMNPCD Lời giải: Trang 3/6 - WordToan S M L D A H N B J I C P Q a) Gọi H trung điểm AD   SAH   45  SH  AH  a Suy SH  AD  SH   ABCD    SA;  ABCD    SAH Ta có AB //CD  AB //  SCD   d  AB; SC   d  AB;  SCD    d  A;  SCD    2d  H ;  SCD   Đáy hình thoi cạnh a , đường chéo AC  a nên tam giác ACD Gọi I , J trung điểm CD, ID Khi HJ  CD Gọi L hình chiếu H lên cạnh SJ Khi ta chứng minh HL   SCD  Do d  H ;  SCD    HL  d  AB; SC   HL  Ta có tam giác ACD cạnh a nên AI  HS HJ  HS  HJ 1  HS  AI  2  1  HS   AI  2  a 2 a 1 a 3     2 2   Vậy d  AB; SC   2   a a       2  b) Gọi Q  MN  CD  P  BC  AQ Trong tam giác SDQ có MS  MD, SN  NC nên N trọng tâm tam giác SDQ Suy CD  CQ, PQ  PA Trang 4/6 – Diễn đàn giáo viên Tốn Ta có VQPNC VQAMD  QP QN QC   VAMNPDC  VQAMD QA QM QD 6 1 1 a a a3 Lại có VMADQ  VSADQ  SH S AQD  SH S ABCD   2 6 2 24 5a 3 Vậy VAMNPDC  VQAMD  144 Câu a) Có số hạng số nguyên khai triển  235  2002 b) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ tập A  0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Lấy ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để lấy số có dạng abcdef cho a.b.c.d e f  1400 Lời giải a) Có số hạng số nguyên khai triển Số hạng tổng quát khai triển  2  2002  235 là: Tk 1  C k 2002  2002 2002  k k k    k  3n  2022 k Để Tk 1  C2002  số nguyên ta có:  (m, n  )  2002  k   k  2m  2022  n  p Từ ta suy  , p 0  p  674 674 Vậy có   338 số p thoả mãn tức có 338 số hạng số nguyên khai triển 2002  k  235  2002 k b) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ tập A  0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9 Lấy ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để lấy số có dạng abcdef cho a.b.c.d e f  1400 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n     9.105 Gọi X biến cố lấy số có dạng abcdef cho a.b.c.d e f  1400 Ta có 1400  23.52.7  2.4.52.7.1  8.52.7.1.1 6! Trường hợp 1: a, b, c, d , e, f số: 2, 2, 2,5,5,7 có  120 số abcdef 3!.2!.1! 6! Trường hợp 2: a, b, c, d , e, f số: 2, 4,5,5,7,1 có  360 số abcdef 1!.1!.1!2!.1! 6! Trường hợp 3: a, b, c, d , e, f số: 8,5,5, 7,1,1 có  180 số abcdef 2!2!.1!.1! Vậy số phần tử tập X n  X   120  360  180  660 Xác suất biến cố X P  X   660 22  9.10 3.104 Câu (2,0 điểm) Cho a, b số thực thỏa mãn a  ab  b  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  a  b4  a  b2  Trang 5/6 - WordToan Lời giải: Theo giả thiết: a  ab  b    a  b   3ab  (1) 2 s  a  b Đặt  Điều kiện: s  p  p ab  Khi ( 1) trở thành: s  p   s  p    p   Mà s  p nên p   p  p  Ta có: a  ab  b   a  b   ab a  b    a  b   2a 2b   1  ab    ab   Suy 1  ab  P f  p     ab   1  p   p   p  p   p  1    p2 p2 p2  ab  Xét hàm số f  p  ' 2  p  1  2 với   p  p2  p  1 p     p  1  p  2 2   p2  p  2  p2  p 1  p  2   p2  p   p  2  p 1 f  p    p  p      p  5    ;1    16  1 Ta có: f      f 1  15  3 ab  a  b  Suy ra: Giá trị lớn P   a  b  2  a  b  1   3 a   a   ab   16    3 Giá trị nhỏ P     15 a  b  b   b    3 - Hết ' Trang 6/6 – Diễn đàn giáo viên Toán ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI Câu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) x 1 có đồ thị  C... 1  C k 2002  2002 2002  k k k    k  3n  2022 k Để Tk 1  C2002  số nguyên ta có:  (m, n  )  2002  k   k  2m  2022  n  p Từ ta suy  , p 0  p  674 674 Vậy... v Vì hàm số y  f (t )  log t  t đồng biến khoảng (0; ) nên Trang 2/6 – Diễn đàn giáo viên Toán log3 u  u  log v  v  u  v Suy 3x  x  m  x   3x  x  m   Yêu cầu tốn trở thành