LỜI NÓI ĐẦU Khi xem xét vấn đề kỹ thuật, không riêng kỹ thuật Điện tử Viễn thơng mà tất ngành kỹ thuật nói chung, bị ràng buộc tượng vật lý Bản chất vật lý buộc nhà khoa học, kỹ sư phải thực khung giới hạn đối tượng vật lý cần miêu tả Tuỳ thuộc vào tượng vật lý khác chuyên ngành kỳ thuật phải xem xét mà sử dụng cơng cụ tốn học cho phù hợp nhằm mô tả tượng, ước lượng tối ưu hoá chung y nghĩa kỹ thuật Các mơ hình giả thiết tốn học hầu hết trường hợp tìm cách tiếp cận cách gần với chất vật lý tượng đơn giản hoá vân đề kỳ thuật điều kiện nhât định Với mục đích trang bị cho sinh viên kỹ thuật ncành Điện tử Viễn thơng kiến thức bàn tốn áp dụng kỹ thuật, Khoa Điện tử Viễn thông Trường Đại học Bách khoa Hà Nội xây dựng đề xuất chương trình khung mơn Tốn kỹ thuật Khi biên soạn sách này, tác giả tham khảo cập nhật kiến thức xuất vài năm gần giới, đồng thời dựa tiêu chí nhấn mạnh vào cơng cụ tốn học sử dụng nhiều ngành kỹ thuật, đặc biệt ngành Điện tử viễn thông Nội dung sách bao gồm ba chương, vào vấn đề sau: ■ Chương 1: Nhắc lại đại số tuyến tính, khơng gian vector; lập luận công thức chủ yếu dựa không gian vector số phức; làm rõ ý nghĩa vấn đề đại số tuyến tính ■ Chương 2: Đe cập đến phép biến đổi không gian hàm số không gian dãy số; phép biến đổi bao gồm biến đổi Laplace, biến đổi %, biến đổi Fourier cho không gian hàm số không gian dãy số ■ Chương 3: Hệ 'thống lại lý thuyết xác suất; giới thiệu q trình ngẫu nhiên đặc tính chúng Những nội dung dùng làm môn học sở cho môn học chuyên ngành Điện tử viễn thơng đồng thời sử dụng làm tài liệu tham khảo cho ngành kỹ thuật khác Tác giả cho nắm vững kiến thức toán học sách hữu ích cho sinh viên muốn học cao lên sau đại học Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp Bộ mơn Mạch Xử lý tín hiệu, đặc biệt Trưởng môn, Tiến sỹ Phạm Văn Bình, góp ý kiến q báu, động viên khích lệ q trình hồn thiện sách Nhóm íác giả Tơ Bá Đức (Chủ biên) Đào Lê Thu Thảo Nguyễn Hữu Phát MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH , 1.1 KHƠNG GIAN VECTOR 1.1.1 Khái niệm khơng gian vector 1.1.2 Phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính 1.1.3 Bao tuyến tính sở khơng gian vector 1.1.4 Biểu diễn vector 1.1.5 Không gian 9 10 10 11 12 1.2 TÍCH VƠ HƯỚNG 1.2.1 Định nghĩa tích vơ hướng 1.2.2 Phần bù trực giao không gian 14 14 15 1.3 NORM CỦA VECTOR 16 1.4 QUÁ TRÌNH TRỤC GIAO HOẢ GRAM-SCHMIDT 18 1.5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.5.1 Các khái niệm ánh xạ tuyến tính 1.5.2 Biểu diễn ánh xạ tuyến tính theo ma trận 1.5.3 Các ma trận đặc biệt 1.5.4 Biểu diễn ma trận ánh xạ tuyến tính trường hợp sở trực chuân 1.5.5 Rank Nullity cùa ma trận 1.5.6 Bài toán đổi sờ 19 19 21 22 1.6 BÓ SUNG THÊM VÈ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 27 1.7 TRỊ RIÊNG VÀ VECTOR RIÊNG 30 BÀI TẬP 35 23 24 25 Chương 2: CÁC PHÉP BIÊN ĐỔI 38 2.1 BIÊN ĐỎI LAPLACE 2.1.1 Biến đổi Laplace thuận 2.1.2 Sự tồn biến đổi Laplace 2.1.3 Các tính chất biến đổi Laplace 2.1.4 Bàng biến đổi Laplace thơng dụng 2.1.5 Biến đồi Laplace ngược 2.1.6 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số 2.1.7 Hàm nhảy đơn vị hàm xung đơn vị 2.1.8 Xem xét thêm phương trình vi phân tuyến tính hệ số 2.1.9 Tích chập 2.2 BIẾN ĐĨI £ 2.2.1 Dãy số 2.2.2 Biến đổi 2.2.3 Các tính chất cùa biến đổi £ 2.2.4 Bảng biến đổi £ thông dụng 2.2.5 Biến đồi £ ngược 2.3 CHUỎI FOURIER 2.3.1 Khai triển chuối Fourier 2.3.2 Định lý nhân định lý Parseval 2.4 BIÉN ĐỐI FOURIER 2.4.1 Tích phân Fourier 2.4.2 Cặp biến đổi Fourier 2.4.3 Các tính chất cùa biến đồi Fourier 2.4.4 Năng lượng công suất trung bình - Định lý Parseval 2.4.5 Biến đổi Fourier tổng quát 2.4.6 Biến đồi Fourier cho dãy số rời rạc 2.4.7 Biên đổi Fourier rời rạc BÀI TẬP 38 38 42 45 46 47 51 54 61 64 66 66 67 71 72 73 76 76 78 81 81 83 86 90 92 92 94 96 Chuông 3: XÁC SUẨT VÀ QUÁ TRÌNH NGẲU NHIÊN 99 3.1 KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT 3.1.1 Một số thuật ngữ 99 99 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.1.8 Lý thuyết tiên đề Xác suất giao Xác suất có điều kiện Xác suất toàn phần Định lý Bayes Độc lập thống kê Chuỗi phép thử Bernoulli * 99 100 101 102 102 103 104 3.2 BIÉN NGẪU NHIÊN 3.2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên 3.2.2 Hàm phân bố hàm mật độ 3.2.3 Một số biến ngẫu nhiên thông dụng 3.2.4 Hàm phân bố hàm mật độ có điều kiện 3.2.5 Các đặc số cùa biến ngẫu nhiên 105 105 105 107 111 113 3.3 VECTOR NGẢƯ NHIÊN 3.3.1 Khái niệm vector ngẫu nhiên 3.3.2 Hàm phân bố giao hàm mật độ giao 3.3.3 Độc lập thống kê 3.3.4 Định lý giới hạn tập trung 3.3.5 Các đặc số vector ngẫu nhiên 3.3.6 Vector ngẫu nhiên Gauss 117 117 118 120 121 122 127 3.4 CÁC QUÁ TRÌNH NGẢU NHIÊN 3.4.1 Đặt vấn đề 3.4.2 Khái niệm trình ngẫu nhiên 3.4.3 Các hàm phân bố hàm mật độ trình ngẫu nhiên 3.4.4 Hai trình ngẫu nhiên độc lập thống kê 3.4.5 Quá trình dừng 3.4.6 Trung bình theo thịi gian q trình ergodic 3.4.7 Các hàm tương quan hàm hiệp biến 3.4.8 Q trình ngẫu nhiên Gauss 3.4.9 Đặc tính phổ trình ngẫu nhiên 129 129 129 130 130 131 134 135 139 140 BÀI TẬP 147 TÀI LIỆU THAM KHẢO 151 C hư ng ĐẠI SỐ TU YẾN TÍNH 1.1 KHƠNG GIAN V ECTO R 1.1.1 Khái niệm không gian vector Một không gian vector (vector space) V trường vô hướng (scalar field) F tập khơng rỗng có chứa phần tử, gọi vector với luật: cộng vector nhân vô hướng Luật cộng vector pliải thoả mãn tiên đề sau: Với X ỹ thuộc không gian vector V, tồn vector tong z e V cho z = X + ỹ d u y m ộ t Luật cộng vector có tính kết hợp: (x + ỹ )+ z = x + (ỹ + z) Tồn vector khơng có tính chất sau: Õ+ X = X e V Với X V , tồn vector - X e V , cho Luật cộng vector có tính giao hoán: X X X với + (- x) = õ +ỹ= ỹ+X Luật nhân vô hướng phải thoả mãn tiên để sau: Với giá trị vô hướng a e F , vector vector ax e V X e V , tồn Luật nhân vơ hướng có tính kết hợp: a(bx)= (ab)x với a,b e F X e V Luật nhân vơ hướng có tính phân phối phép cộng vô hướng: (a + b)x = ax + bx Luật nhân vơ hướng có tính phân phối phép cộng vector: a(x + ỹ) = ax + aỹ 10 Tồn phần tử đcm vị (unit element) e F có tính chất sau: lx = X với X e V F cấu trúc đại số trường Điều có nghĩa: F nhóm Abel luật cộng- F nhóm Abel luật nhân; luật nhân F có tính chât phân phối l.uật cộng F Một số ví dụ trường vô hướng là: tập số hữu tỷ Q, tập Các s.ố thực R, tập số phức c, trường Galois Vi dụ: Tập hợp tam thức bậc hai ax2 + bx + c , với a, b, c hệ số, tạo thành không gian vector Tập hợp tam thức bậc hai hoàn toàn thoả mãn tiên đề liệt kê 1.1.2 Phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Cho tập vector Xj, x 2, , xn thuộc không gian vector V trường F Tập vector Xj, x 2, , x n phụ thuộc tuyến tính (linear dependent) tồn tập giá trị vô hướng a,, a 2, , a n, mà chúng có giá trị khác khơng, để a,x, + a 2x + + a nx n =Õ Nếu tập vector Xj, x 2, , x n phụ thuộc tuyến tính chúng gọi độc lập tuyến tính (linear independent) Nói cách khác, tập vector X,, x 2, , x n độc lập tuyến tính tương đương với mệnh đề sau: a , X |+ a 2x 2+ + a nx n = chi a, = a = = a n = 1.1.3 Bao tuyến tính CO’ s cùa không gian vector Cho A tập V Tập hợp hình thành tất tổ hợp tuyên tính vector năm A gọi bao tuyên tính hay span A ký hiệu span(A) Một sô tính chất span: ■ A c span(A) ■ Nếu A c B span(A) c span(B) ■ Neu tồn tập hữu hạn n vector độc lập tuyến tính X,, X ,, , x n có span bàng V tập vector độc lập tuyến tính lấy từ V có tối đa n phần tử Neu tập vector độc lập tuyến tính (khơng thiết phải có hữu hạn phần tử) có span nỏ V tập vector nói gọi sở (basis) V ÌO Một số tính chất sở: ■ Nếu khơng gian vector V có sở gồm hữu hạn n phần tử tất sở khác V có n phần tử số nguyên n gọi số chiều không gian vector V Ký hiệu n = dim(V) Trường hợp khơng gian vector có sở có vơ hạn phần tử khơng gian gọi không gian vô hạn chiều Không gian có số chiều nhỏ khơng gian có chứa Phất õ ■ Nếu không gian vector V có số chiều n, cịn gọi khơng gian n chiều, tập hợp V có chứa nhiều n + phần từ bắt buộc phải phụ thuộc tuyến tính ■ Nếu khơng gian vector V có hữu hạn chiều tổ hợp tuyến tính thuộc V mở rộng thành sở không gian vector V Vi dụ: Tập hợp tam thức bậc hai ax2 +bx + c hình thành khơng gian vector Cơ sở cùa lựa chọn sau sau: {l,x,x2} { l,x - l,x ( x - l) } 1.1.4 Biểu diễn vector Cho khơng gian vector V có sờ cùa ã , , ã 2, , ã n X vector thuộc V Cách biểu diễn sau nhất: ’ x l" X = n ' x i~ , l a n] x = ẳ * i a i = [ci| l a l i= l _x n _ _x n _ x2 Các giá trị Xị, x2, , -Y„ gọi toạ độ (coordinates) X Biểu diễn [x, |x | |.Y„]r gọi toạ độ vector (coordinate vector) Toạ độ vector dùng để biểu diễn thay cho vector xác định theo sở cho trước Hồn tồn viết x = [x, |x | |x n]T, x fc với k = l,2, ,n g ọ i thành phần (components) vector X II 1.1.5, Không giàn co.n Tập hợp vector w là-một tập không gian vector V thân w khơng gian vector w gọi không gian V Lưu ý w phải không gian vector trường vô hướng F giống không gian vector V Vi dụ: ■ Tập vector tự có chung gốc mặt phẳng (2 chiều), ký hiệu R2, không gian vector tập vector tự có chung gốc khơng gian chiêu, ký hiệu R ■ Tập nhị thức bậc không gian vector tập tam thức bậc hai Giao không gian Cho W | W không gian V Giao Wi VV2 định nghTa là: w , n W2 = {x V : X Wị x e W2} Ờ dễ dàng thấy tính chất quan trọng giao số lượng không gian vector không gian vector Cho X tập V, X không thiết phải không gian vector Luôn tồn tập không gian vector Wị c V chúng chứa X Giao tất khơng gian có chứa X, ký hiệu n wi , khơng gian nhị có chứa X Từ dẫn đến kết X c \Vj luận: n w = span(X) Xc\\, (1.1.2) Không gian tổng Cho Wị W không gian V Định nghĩa Wi + W tập hợp tất vector X, + x với X, e Wj x € W2 Lại dễ dàng thây Wi + \V đồng thời không gian V (dựa việc kiêm chứng tiên đề tiên đề không gian vector cho tập W | + w 2) Ở CĨ tính chất W | + YV2 = span(W jU w 2) với w , u w = {x e V : x e Wj X e W2} Hay nói cách khác Wi + 12 W không gian vector nhỏ có chứa Wi W Nói chung W, u Wj khơng phải không gian Co' sỏ' không gian Mọi sở không gian không gian vector V mở rộng để trở thành sờ V cách bổ sung thêm tập hợp vector độc lập tuyến tính Hai khơng gian Hai không gian Wi W bàng mệnh đề sau thoả mãn: ■ W, c W2 W, c W, * Cả hai không gian Wi W sinh sở có số chiều hữu hạn Cà hai khơng gian W| w có số chiều, giá trị sổ chiều hữu hạn, w^! c W2 Định lý số chiều không gian tổng Cho Wi w không gian cùa V thì: dim{w, + W ỉ }= dim{WI}+dim{Wỉ } -d im { W ,n W J} (1.1.3) Trong trường hợp đặc biệt, Wj n W2 có chứa vector khơng gian tổng gọi tồng trực tiếp (direct sum) ký hiệu Wị © W2 Khi ln có: dim{w, © w 2} = dim {w,} + dim{w2} Nếu (1.1.3a) Wị © W2 © © Wk chi có cách k sau: x = ^ X j với X, e Wj 1=1 Xe để phân tích Nếu Wi khơng gian V ln tồn khơng gian W để Wj © W2 = V , nhiên W chưa phải Tịnh tiến không gian Cho w không gian cùa V, cho x0 G V x0 Ể w Tập hợp 13 R xy (t, t + X) = E[X(t) Y(t + X)] (4.4.25) Nếu X(t) Y(t) trình dừng hàm tương qụan chéo phụ thuộc vào giá trị sai khác thời gian tương đôi thời diêm xét đến hay: R XV (t, t + X) = E[X(t) Y(t + x)] = R XY(X) (4.4.26) Trường hợp R XY(t, t + x) = trình trực giao (orthogonal) Trường hợp X(t) Y(t) độc lập thống kê trình dừng theo nghĩa rộng thì: R xy (t) = XY = hàng số Hàm tương quan chéo hai q trình dừng có tính chất sau: (4.4.27a) R yx(*) = R xy( - t) |R xv( x)|< V R xx(0)R yy(0) (4.4.27b) Từ dẫn đến bắt đẳng thức sau: | R xy(t > | < ^ [ R xx(0) + r yy(0)] (4.4.27c) Vi dụ: Xét trình X(t) = A cos(co0t) + B sin(co0t) Y(t) = Bcos(co0t)-A sin(co0t) với Mo hàng số, A B biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bàng có phương sai 2, A B không tương quan Chứng minh ràng X(t) Y(t) dừng G iò i: R XY(t,t + x) = E[X(t)Y(t + x)] = E[{ A cos(co„t) + Bsin(o>nt)} {Bcos(co„t + M0x) - A sin(ío0t + co0x)}] = E[ ABcos(oi,,t)cos(tól)t + co„t)] + E[B2sin(cout)cos(cout + co0x)] 138 -E [A cos(co0t)sin(cù0t + (o0T)]-E[ABsin(co0t)sin(co0t + co0T)] = E[AB]cos(2co0t + co0t) + E[B2]sin(co0T)cos(co0t + CD0t) - E[A2]cos(a>0t)sin(co0t + co0x) = G2sin(co0t)cos(co0t + co0T ) -ơ 2cos((o0t)sin(co0t + (o0T) = - 2sin(co0t) Do đó, X(t) Y(t) q trình dừng • Hàm tự hiệp biến Hàm tự hiệp biến (auto-covariance) cùa trình định nghĩa là: c xx (t, t + X) = E[{X(t) - E[X(t)]} {X(t + X) - E[X(t + X)]}] = R xx(t,t + x)-E[X (t)]E[X (t + T)] (4.4.28) Nếu X(t) dừng theo nghĩa rộng thì: c xx (t, t + X) = R xx (T) - X2 = Cxx (X) (4.4.29) hay hàm tự hiệp biến phụ thuộc vào giá trị sai khác thời gian tương đối trường hợp phương sai khơng đổi theo thời gian: Ơ 2X = • E[{X(t) - E[X(t)]}2] = Cxx(0) = R xx (0) - X (4.4.30) Hàm hiệp biến chéo Hàm hiệp biến chéo (cross-covariance) trình định nghĩa là: CXY(t, t + X) = E[{X(t) - E[X(t)]}{Y(t + X) - E[Y(t + x)]}] = R XY(t,t + x)-E[X (t)]E[Y(t + x)] (4.4.31) Nếu X(t) Y(t) hai trình dừng hàm hiệp biến chéo chi phụ thuộc vào biến số sai khác thời gian tương đôi bời: C XY(t.t + x) = R XY(x )-X Ỹ = CXY(x) (4.4.32) Hai trình dừng gọi không tương quan nếu: C XY(x) = 3.4.8 Quá trình ngẫu nhiên Gauss Một trình ngẫu nhiên Gauss nêu hàm mật độ bâc N thời diêm t|, t2, , , t N vector ngẫu nhiên Gauss: 139 [ x - X ] T[Cx ] ^ [ x - X ] l ^j(2 n)" |c x ' exP Ì_ Các phần từ ma trận hiệp biến Cx là: Cf t = C XiXk=E[(Xj -X,.)(X k- X k)] = c xx (t, , t k) = c xx (t,, t k) - E[X(t, )]E[X(tk)] Trong trường hợp đặc biệt, xét đến nhiều tốn kỹ thuật, q trình Gauss dừng theo nghĩa rộng thì: X, = E[X(tj)] = X = hàng số Bên cạnh đó, hàm tự tương quan hàm tự hiệp biển phụ thuộc vào biến thời gian sai khác tương đối thời điểm xét đến: R xx(tj’tk )- RxxOk *i) C xx(ti, t k) = C xx(tk —tj) 3.4.9 Đặc tính phổ q trình ngẫu nhiên Mật độ phổ cơng suẩt Nhắc lại hàm số xác định x(t), phổ biển đơi Fourier hàm số: X(jco) = d^{x(t)}= jx(t)e jm,dt (4.4.33) -Q O Hàm gốc ban đầu khơi phục từ hàm phổ cùa qua phép biến đổi Eourier ngược: _ x(t) = I 00 Ịx(jco)} = Y~ Jx(jtó)ej(úld(0 (4.4.34) -C O Năng lượng khoảng hữu hạn [-T,T] tính bằng: = ÍM N < 'r 140 (4.4.35a) Năng lượng hàm số toàn miền biến số tính theo cơng thức định lý Paserval: 00 , 00 Ex = j[x(t)]2dt = ệ - j]x(jco)|2dco (4.4.35b) |x(jco)|2 gọi hàm phổ mật độ công suất (power density spectrum) Cơng suất trung bình tính theo cơng thức: (4.4.36) Px “ Ị iĩỉr r Nếu giới hạn hàm số khoảng [-T,T] ta hàm số xT(t), biến đổi Fourier hàm sô là: X Tịj(o) = d?r '{xT(t)} = jx(t)e j(otdt (4.4.37) -T Khi cơng suất trung bình tính theo cơng thức: Px = Ị im ^ f J[x(t)]2dt = - ! - J d(0 271 / ĩ ^ co2 T _ ị (4.4.38) Khi xét đến trình ngẫu nhiên X(t) khơng cịn đcm hàm số xác định x(t) nữa, việc xét đên phô công suât cho tùng thể q trình ngẫu nhiên khơng có ý nghĩa lớn lăm Do ta định nghía cơng suất trung bình trình ngâu nhiên sau: Px x = li„ ,^ j[E [X = (.)]d (4.4.39) Từ công thức định nghĩa ta thấy công suất trung bình trung bình theo thời gian kỳ vọng cùa bình phương trinh ngẫu nhiên X(t) (4.4.40) p.xx = A { E [ X 2(t)]} Từ ta viết lại cơng thức tính cơng suất trung bình: Tr ,/ x 17 E||XT(jco)2 | (4.4.41) 141 Các biến đổi dẫn dẵí-tới định nghĩa hàm phổ mật độ công suất trình ngẫu nhiên: = M E k O c í] Sxx(co) = limT 2T | m E[xT’(jM)XT(jm)| “-♦« 2T -»0 (4.4.42) Và phổ mật độ cơng suất có quan hệ với cơng suất trung bình theo cơng thức: (4.4.43) Pxx = ^ - } Sxx(cù)dcứ Ví dụ: Tìm cơng suất phổ mật độ công suất của: X(t) = Acos(co0t + ) A C0o số, © biến ngẫu nhiên phân bố khoảng (0, ĩt/2) Giải: Xét trình ngẫu nhiên x 2(t) có kỳ vọng bàng: E[X2(t)] = A 2E[cos2(eo0t + 0)] - a {1+ E[cos(2 cV _+ 2011I n/ = — + — í—cos(2co0t + 20)d0 = — — sin(2(jừ0t) 2 0J n n Công suất trung bình: pxx = Ị i m ^ /E [X 2(t)]dt = ịim -Ị- J A i - A i sin(2c0ũt) dt = T-^ 2T _' t->m2T_{[ n A2 Để tìm mật độ phổ cơng suất, trước hết ta tính: X T(jco) = |A cos(o)ot + ) e 'J1,,'dt = — j(e ,