Giáo trình Toán kỹ thuật

TS Trn Vn Long (ch biờn) TS Hong Vit Long, TS Nguyn Huy Hong GIO TRèNH TON K THUT (BN THO) Li núi u Nhm mc ớch phc v cho vic hc cỏc mụn hc chuyờn ngnh cho sinh viờn cỏc ngnh K thut thụng tin v truyn thụng, K thut vin thụng, chỳng tụi biờn son giỏo trỡnh Toỏn k thut Giỏo trỡnh ny cung cp cho hc viờn mt s kin thc v cỏc hm s c bit, phng trỡnh o hm riờng, quỏ trỡnh ngu nhiờn, quỏ trỡnh Poisson v lý thuyt xp hng Giỏo trỡnh bao gm nhiu chuyờn khỏc ca toỏn hc v c biờn son trờn c s cỏc bi ging ca cỏc thy cụ ó tham gia ging dy mụn hc Toỏn k thut cho sinh viờn khoa in - in t Chỳng tụi c gng biờn son giỏo trỡnh bỏm sỏt nhng c thự ca sinh viờn k thut nhm ỏp ng ti a nhu cu hc ca sinh viờn Cỏc ni dung giỏo trỡnh c vit k cng dn dt tng bc, ú sinh viờn cú th d dng tip cn v t hc c Cỏc hc viờn cao hc v cỏc nghiờn cu sinh ca khoa in - in t cng cú th tỡm thy nhng kin thc b ớch t giỏo trỡnh ny Ni dung ca giỏo trỡnh c biờn son bi cỏc ging viờn thuc B mụn i s - Xỏc sut thng kờ, Khoa Khoa hc c bn, Trng i hc Giao thụng Vn ti TS Trn Vn Long (ch biờn) biờn son cỏc chng 1, v TS Hong Vit Long biờn son cỏc chng 3, v TS Nguyn Huy Hong biờn son chng Mc dự cỏc tỏc gi ó c gng c tham kho nhiu giỏo trỡnh toỏn k thut dnh cho cỏc ngnh in t vin thụng v ngoi nc, quỏ trỡnh biờn son chỳng tụi cng nhn c nhiu ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ B mụn Tuy nhiờn nhng thiu sút l khụng th trỏnh khi, cỏc tỏc gi mong nhn c s úng gúp ý kin ca bn c giỏo trỡnh c hon thin hn cỏc ln tỏi bn sau Mi thụng tin úng gúp xin gi v B mụn i s - Xỏc sut thng kờ, Khoa Khoa hc c bn, Trng i hc Giao thụng Vn ti Website: http://bmdaiso-gtvt.edu.vn Chỳng tụi xin chõn thnh cm n H Ni, thỏng nm 2013 Cỏc tỏc gi Mc lc Li núi u i Mc lc iii Mt s hm c bit, phộp bin i Laplace, v phộp bin i Fourier Hm Gamma 1.1.1 Mt s dng biu din ca hm Gamma 1.1.2 Mt s tớnh cht ca hm Gamma 1.2 Hm Bờ-ta 1.1 1.2.1 nh ngha 1.2.2 Mt s tớnh cht 1.3 Hm li v hm i li 1.3.1 Hm li 1.3.2 Hm i li 1.4 Cỏc hm Bessel 1.4.1 Phng trỡnh Bessel 1.4.2 Mt s tớnh cht ca hm Bessel 13 1.4.3 Mt s dng khỏc ca phng trỡnh Bessel 13 1.5 Hm bc nhy n v v hm Delta 15 1.5.1 Hm bc nhy n v 15 1.5.2 Hm Delta 18 1.6 Phộp bin i Laplace 19 1.6.1 nh ngha phộp bin i Laplace 19 1.6.2 Mt s tớnh cht ca phộp bin i Laplace 20 MC LC iv 1.6.3 Phộp bin i Laplace ca mt s hm thng gp 21 1.6.4 Phộp bin i Laplace ca mt s dng súng thng gp 24 1.7 Phộp bin i Laplace ngc 26 1.7.1 Khỏi nim phộp bin i Laplace ngc 26 1.7.2 Mt s vớ d 27 1.8 Phộp bin i Fourier 29 1.8.1 Khỏi nim v phộp bin i Fourier 29 1.8.2 Mt s dng c bit ca phộp bin i Fourier 30 1.8.3 Mt s tớnh cht ca phộp bin i Fourier 31 1.8.4 Bin i Fourier ca mt s hm thng gp 33 PHNG TRèNH O HM RIấNG 2.1 39 Cỏc khỏi nim c bn 39 2.1.1 Gii thiu v phng trỡnh o hm riờng 39 2.1.2 Nghim ca phng trỡnh o hm riờng - bi toỏn biờn v bi toỏn giỏ tr ban u 45 2.2 Phng trỡnh ta tuyn tớnh cp mt 49 2.3 Phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh cp hai 56 2.3.1 Dng chớnh tc ca phng trỡnh tuyn tớnh cp hai 56 2.3.2 Cỏc bi toỏn v dao ng ca mt dõy 59 2.3.3 Bi toỏn truyn nhit trờn mt cht rn 70 2.3.4 Phng trỡnh Laplace 76 2.4 Phng trỡnh o hm riờng phi tuyn 80 2.4.1 Cỏc phộp bin i ca phng trỡnh phi tuyn 80 2.4.2 Nghim súng chy v nghim t ng dng 84 QU TRèNH NGU NHIấN 3.1 95 Gii thiu 95 3.2 Khỏi nim v quỏ trỡnh ngu nhiờn 95 3.3 Hm trung bỡnh, hm t tng quan v hm hip phng sai 98 3.4 Quỏ trỡnh tng, quỏ trỡnh m v bc ngu nhiờn 100 3.4.1 Quỏ trỡnh ngu nhiờn c lp cựng phõn phi 101 MC LC 3.4.2 v Quỏ trỡnh tng 102 3.5 Quỏ trỡnh Gauss, quỏ trỡnh Wiener 103 3.5.1 Quỏ trỡnh Gauss 103 3.5.2 Quỏ trỡnh Wiener 105 3.6 Quỏ trỡnh dng 106 3.6.1 Quỏ trỡnh dng 106 3.6.2 Quỏ trỡnh dng theo ngha rng 107 3.7 Tớnh liờn tc, o hm v tớch phõn ca quỏ trỡnh ngu nhiờn 111 3.7.1 Tớnh liờn tc theo ngha bỡnh phng trung bỡnh 111 3.7.2 Phộp tớnh vi phõn ca quỏ trỡnh cp 112 3.8 Tớch phõn ca quỏ trỡnh cp hai 114 3.9 Trung bỡnh theo thi gian ca quỏ trỡnh ngu nhiờn 117 3.10 Mt ph cụng sut 120 3.10.1 Mt ph cụng sut ca quỏ trỡnh ngu nhiờn liờn tc 121 3.10.2 Mt ph cụng sut ca quỏ trỡnh ngu nhiờn ri rc 123 3.10.3 B lc tuyn tớnh 123 QU TRèNH POISSON 4.1 129 Gii thiu 129 4.2 Quỏ trỡnh Poisson 129 4.2.1 Khỏi nim quỏ trỡnh Poisson 129 4.3 Cỏc phõn phi liờn quan n quỏ trỡnh Poisson 4.3.1 132 Thi im n v thi gian n trung gian 132 4.4 Mt s ng dng ca quỏ trỡnh Poisson in t vin thụng 134 4.5 Quỏ trỡnh Poisson phc hp 138 Xớch Markov 5.1 142 Quỏ trỡnh Markov 142 5.2 Xớch Markov vi thi gian ri rc 146 5.2.1 Xỏc sut chuyn sau n bc 149 5.2.2 Cỏc xỏc sut trng thỏi 5.2.3 Xỏc sut trng thỏi vng 153 150 MC LC vi 5.3 Phõn loi trng thỏi, tớnh cht hi quy v xỏc sut gii hn 154 5.3.1 Phõn loi trng thỏi 154 5.3.2 Tớnh cht hi quy 155 5.3.3 Xỏc sut gii hn 158 5.4 Xớch Markov vi thi gian liờn tc 161 5.4.1 Thi gian gi trng thỏi 163 5.4.2 Tc chuyn v xỏc sut trng thỏi ph thuc thi gian164 5.4.3 Xỏc sut trng thỏi bn vng v phng trỡnh cõn bng ton cc 168 5.4.4 Xỏc sut gii hn ca xớch Markov liờn tc 169 Lý thuyt xp hng 6.1 177 Khỏi nim 178 6.1.1 Cu trỳc h thng xp hng 178 6.1.2 Ký hiu Kendall 6.1.3 Cỏc tham s ca h thng 180 6.1.4 nh lý Little 182 179 6.2 Mụ hỡnh M/M/k 184 6.2.1 Lut phõn phi ca s khỏch hng h thng 185 6.2.2 Mụ hỡnh M/M/k/k 189 6.2.3 Mụ hỡnh M/M/k/N 191 6.2.4 Mụ hỡnh M/M/ 194 6.3 Mụ hỡnh M/G/1 194 6.3.1 Mụ hỡnh M/M/1 199 6.3.2 Mụ hỡnh M/Hk /1 200 6.3.3 Mụ hỡnh M/D/1 201 6.3.4 Mụ hỡnh M/Ek /1 202 6.4 Mụ hỡnh G/M/1 203 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 207 6.5.1 Phng trỡnh Pollaczek-Khinchin m rng 207 6.5.2 Thi gian ch trung bỡnh 210 Ti liu tham kho 217 Chng Mt s hm c bit, phộp bin i Laplace, v phộp bin i Fourier Trong chng ny chỳng ta lm quen vi mt s hm s c bit hm Gamma, hm Beta, hm li, hm i li, hm Bessel, v hm Delta Cỏc hm s ny thng xuyờn c s dng cỏc bi toỏn x lý thụng tin tớn hiu ngnh in t vin thụng Cỏc phộp bin i Laplace v phộp bin i Fourier cng c gii thiu túm tt tin s dng cho cỏc phn tip theo ca giỏo trỡnh 1.1 Hm Gamma nh ngha 1.1 Vi mi s thc hoc s phc x vi x = 0, 1, 2, ta gi hm Gamma l hm s xỏc nh bi cụng thc sau: n!nx n x(x + 1)(x + 2) (x + n) (x) = lim 1.1.1 (1.1) Mt s dng biu din ca hm Gamma a) Cụng thc Euler Vi mi s thc (hoc s phc cú phn thc dng) x, hm Gamma c biu din di dng tớch phõn sau (gi l cụng thc 1.1 Hm Gamma Euler) (x) = et tx1 dt (1.2) Tht vy, ta cú th vit cụng thc Euler di dng (x) = et tx1 dt = lim n ( n t )n x1 t dt, n 0 ta i bin t = sn ta thu c 1 (1 s) (ns) n (x) = lim n x1 nds = lim n (1 s)n sx1 ds x n (1.3) Bng cụng thc tớnh tớch phõn tng phn ta cú sx (1 s)n sx1 ds = (1 s)n x 1 + sx n n(1 s)n1 ds = x x nn1 xx+1 (1 s)n1 sx ds 0 = 1 (1 s)n2 sx+1 ds = ã ã ã = nn1 = xx+1 x+n1 sx+n1 ds nn1 1 = xx+1 x+n1x+n n! = x(x + 1) (x + n) Thay vo cụng thc (1.3) ta nhn c n!nx , n x(x + 1)(x + 2) (x + n) (x) = lim ú chớnh l cụng thc (1.1) b) Cụng thc Weierstrass Vi mi s thc hoc s phc x vi x = 0, 1, 2, , hm Gamma c biu din di dng tớch sau (gi l cụng thc Weierstrass) 6.4 Mụ hỡnh G/M/1 204 Xỏc sut chuyn pi0 = pij = a0 a1 ã ã ã Ma trn xỏc sut j=1 chuyn p00 p10 P = p20 p30 a0 0 a1 a0 0 a2 a1 a0 a3 a2 a1 a0 (6.47) Khi h thng hot ng n nh v xớch Markov {Yn } cú phõn phi dng k = Tng t mụ hỡnh = (0 , , ) vi iu kin chun húa k=0 M/G/1, xột hm B A(z) = E[z ] = ak z k = LI (à(1 z)), k=0 vi LI (x) = E[exI ] l bin i Laplace ca hm mt fI (t) Phõn phi dng ca xớch Markov tha phng trỡnh = P , xột t ct th hai tr i ta cú j = i pij = i=0 i ai+1j , j 1, (6.48) i=j1 T (6.46) v (6.48) ta cú j = i=j1 i eàt (àt)i+1j fI (t)dt, j 1, (i + j)! (6.49) Ta tỡm phõn phi dng cú dng j = cj Thay th vo cụng thc (6.49) ta c j c = c àt e (àt)i+1j ) fI (t)dt = c (i + j)! i=j1 ( T ú ta cú i = e àt ( eà(1)t fI (t)dt = LI (à(1 )), j1 àt e ) fI (t)dt 6.4 Mụ hỡnh G/M/1 205 ú l nghim ca phng trỡnh z LI (à(1 z)) = 0, |z| < (6.50) Nu phng trỡnh (6.50) cú nghim < thỡ h thng n nh T iu kin c ta cú c = Phõn phi dng ca chun húa = j = c j = j=0 j=0 xớch Markov l j = (1 )j , j = 0, 1, 2, (6.51) Tip theo ta tỡm phõn phi ca N , pj = P [N = j], j = 0, 1, 2, tỡm pj , trc ht ta thy tc chuyn dch t trng thỏi (j 1) sang trng thỏi j bng tc chuyn dch t trng thỏi j sang trng thỏi (j 1) Tc di chuyn t (j 1) sang j bng tớch ca vi t l cú j khỏch hng tỡm n h thng Núi cỏch khỏc tc ny bng j1 Tc di chuyn t j sang (j 1) bng tớch ca t l m h thng cú j khỏch nhõn vi tc phc v àpj T ú ta cú phng trỡnh j1 = àpj , j 1, ú pj = j1 = (1 )j1 , j (6.52) Theo iu kin chun húa 1= pj = p0 + j=0 pj = p0 + j=1 (1 )j1 = p0 + j=1 ta cú p0 = S khỏch hng trung bỡnh h thng l E[N ] = j=0 jpj = j(1 )j1 = j=1 (6.53) Thi gian ch trung bỡnh ca khỏch hng l E[W ] = k=0 E[W |Y = k]P [Y = k] = k k=0 (1 )k = , à(1 ) (6.54) 6.4 Mụ hỡnh G/M/1 206 ú E[W |Y = k] l thi gian ch trung bỡnh ca khỏch hng hng i m cú k khỏch hng hng i Tc phc v cú phõn phi m vi 1 thi gian trung bỡnh l nờn thi gian ch trung bỡnh l E[W |Y = k] = k = à k Thi gian trung bỡnh ca khỏch hng h thng l E[T ] = E[W ] + E[S] = à(1 ) Theo nh lý Little, ta cú s khỏch hng trunh bỡnh hng i l E[Nq ] = E[W ] = (6.55) Vớ d 6.7 Xột mụ hỡnh M/M/1, ú ta cú fI (x) l hm mt cú phõn phi m vi tham s , v ta cú LI (x) = x+ T phng trỡnh (6.50) ta cú z= à(1 z) + Gii phng trỡnh trờn ta c z = = = Ta thu c cỏc cụng thc tớnh cỏc s o hiu nng mụ hỡnh M/M/1 Vớ d 6.8 Xột mụ hỡnh Ek /M/1 Do I cú phõn phi Erlang bc k nờn bin ( k )k T phng trỡnh (6.50) ta cú i Laplace LI (x) = x + k ( )k ( )k k k z= = àz + k z + k Phng trỡnh trờn luụn cú mt nghim z = Ta mun tỡm cỏc nghim nm ng trũn n v Xột vi k = 1, thỡ ú chớnh l mụ hỡnh M/M/1 m ta ó xột trờn Vi trng hp k = 2, ú phng trỡnh tng ng vi )2 ( z= + z hay (z 1)(z (1 + 4)z + 42 ) = 0, phng trỡnh trờn cú nghim |z| < l + z== + Nghim < v ch < ú chớnh l iu kin h thng n nh 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 6.5 207 Mụ hỡnh G/G/1 Trong phn ny ta xột mụ hỡnh tng quỏt G/G/1, gi tn l thi im ca khỏch hng th n n h thng, v In = tn+1 tn l thi gian n trung gian Ta luụn coi rng dóy bin ngu nhiờn {In } l c lp v cựng hm phõn phi vi I cú hm mt fI (x) vi E[I] = , D[I] = I2 Ta gi thi gian phc v ca khỏch hng th n l Sn , ta cú th coi dóy {Sn } l dóy cỏc bin ngu nhiờn c lp, cựng hm phõn phi S cú hm mt fS (x) vi E[S] = , D[S] = S2 t Un = Sn In l dóy ngu nhiờn c lp cựng hm phõn phi vi U cú hm mt fU (x), ta cú E[U ] = 1 , D[U ] = D[S] + D[I] = S2 + I2 Ta s dng tham s = l cng lu thụng Ngi ta cng chng minh c rng h thng hot ng n nh < hay E[U ] = 6.5.1 1 < Phng trỡnh Pollaczek-Khinchin m rng Ta minh thi gian ch ca khỏch hng nh mụ hỡnh Ta xột hai trng hp Th nht, khỏch hng n h thng h thng ang bn Gi s rng khỏch hng th (n + 1) n h thng Thi gian ch ca khỏch hng th (n + 1) c xỏc nh bi Wn+1 + In = Wn + Sn Wn+1 = Wn + (Sn In ) = Wn + Un Trng hp th hai, khỏch hng n h thng v h thng ang trng Gi s khỏch hng th n + n h thng Khi ú khỏch hng c phc v 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 208 Hỡnh 6.10: Thi gian ch ca khỏch hng hng i Hỡnh 6.11: Thi gian ch ca khỏch hng hng i v thi gian ch Wn+1 = v iu ny xy dn tn+1 hay Wn + Sn In hay Tn In Tn In , ngha l thi gian h thng ca khỏch hng th n hn thi gian n trung gian ca khỏch hng th n Khi ú ta cú mi liờn h sau { Wn + Sn In nu Wn + Sn In > Wn+1 = nu Wn + Sn In Wn+1 = max{Wn + Sn In , 0} 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 209 Ta thy giỏ tr ca Wn+1 ph thuc vo dóy cỏc bin ngu nhiờn W1 , W2 , , Wn ch thụng qua giỏ tr ca Wn v bin ngu nhiờn Un = Sn In c lp vi cỏc bin ngu nhiờn Wi , i n Do ú Wn l mt quỏ trỡnh Markov t Rn = min{0, Wn + Sn In } ú l khong thi gian ri ca h thng trc khỏch hng th n + n h thng Gi R l chu k ri ca h thng, v Rn > thỡ Rn = R Ta luụn cú h thc max{Wn + Sn In , 0} + min{Wn + Sn In , 0} = Wn + Sn In , nờn Wn+1 Rn = Wn + Sn In Wn+1 Rn = Wn + Un Ta cú E[ex(Wn+1 Rn ) ] = E[ex(Wn +Un ) ] = E[exWn ]E[exUn ], (6.56) vỡ Wn v Un = Sn In l c lp Mt khỏc, Rn > thỡ Wn+1 = 0, nờn E[ex(Wn+1 Rn ) ] = E[ex(0Rn ) |Rn > 0]P [Rn > 0]+E[ex(Wn+1 0) |Rn = 0]P [Rn = 0] t a0 = P [Rn > 0] = P [ khỏch hng n h thng trng] l xỏc sut h thng trng Khi Rn > thỡ Wn+1 = nờn E[exWn+1 |Rn > 0] = v E[exWn+1 ] = E[exWn+1 |Rn = 0]P [Rn = 0] + E[exWn+1 |Rn > 0]P [Rn > 0] = E[exWn+1 |Rn = 0]P [Rn = 0] + a0 E[exWn+1 |Rn = 0]P [Rn = 0] = E[exWn+1 ] a0 T ú ta cú E[ex(Wn+1 Rn ) ] = E[ex(Rn ) |Rn > 0)]a0 + E[exWn+1 ] a0 T (6.56) v (6.57) ta cú E[exWn ]E[exUn ] = E[ex(Rn ) |Rn > 0]a0 + E[exWn+1 ] a0 Khi Rn > thỡ Rn = R, cho n , ta c E[exW ]E[exU ] = E[ex(R) ]a0 + E[exW ] a0 (6.57) 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 210 t LW (x) = E[exW ], LR (x) = E[exR ], LU (x) = E[exU ] = LS (x)LI (x), ta cú LW (x)LS (x)LI (x) = LR (x)a0 + LW (x) a0 , Ta cú xỏc sut h thng trng a0 = E[S] = LW (x) = (1 ) LR (x) LS (x)LI (x) (6.58) Phng trỡnh trờn gi l phng trỡnh Pollaczek-Khinchin m rng Nhn xột 6.2 Trong cụng thc trờn ta thy phộp bin i Laplace ca hm mt ca W ph thuc vo cỏc hm mt ca thi gian phc v, hm mt ca thi gian n trung gian v hm mt ca chu k ri ca h thng Trong h thng tng quỏt nh trờn vic xỏc nh hm mt ca chu k ri R l mt rt khú 6.5.2 Thi gian ch trung bỡnh Ta cú Wn+1 Rn = Wn + Un Do tớnh dng ca dóy nờn E[Wn+1 ] = E[Wn ] suy E[Rn ] = E[Un ] Ta cú E[Rn ] = E[R]P [ h thng trng ] = E[R]a0 Khi ú, E[Rn ] E[Un ] E[R] = = = = a0 a0 a0 a0 Ta li xut phỏt t dng thc Wn+1 Rn = Wn + Un , bỡnh phng hai v ri ly k vng ta thu c h thc E[Wn+1 ] + E[Rn2 ] 2E[Rn Wn+1 ] = E[Wn2 ] + E[Un2 ] + 2E[Wn Un ] Ta luụn cú Rn Wn+1 = 0, E[Rn2 ] = E[R2 ]a0 , v tớnh dng E[Wn ] = E[W ], ] = E[Wn2 ] ta cú E[Wn+1 a0 E[R2 ] = E[U ] + 2E[W ]E[U ], Do ú E[W ] = a0 E[R2 ] E[U ] E[R2 ] E[U ] = 2E[U ] 2E[R] 2E[U ] (6.59) 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 211 E[U ] = a0 E[R] T cỏc ng thc E[U ] = 1 (1 )2 , D[U ] = S2 + I2 , E[U ] = A2 + B2 + Thay vo cụng thc (6.59) ta nhn c E[W ] = E[R2 ] (S2 + I2 ) + (1 )2 2(1 ) 2E[R] (6.60) Trong cụng thc (6.60) thi gian trung bỡnh ca khỏch hng h thng ph thuc vo E[R2 ] v E[R] Vn xỏc nh phõn phi ca chu k ri R l rt phc Do ú phn ny ta ỏnh giỏ cn trờn ca thi gian ch trung bỡnh E[W ] E[U ] Do a0 t cụng thc E[R] = , suy a0 1 E[R] = Mt khỏc, E[R2 ] (E[R])2 + D[R] E[R] = 2E[R] 2E[R] 2 T (6.60) ta thu c cn trờn ca E[W ] E[W ] (S2 + I2 ) 2(1 ) (6.61) Vớ d 6.9 Mụ hỡnh M/G/1 Nu quỏ trỡnh n l quỏ trỡnh Poisson vi cng , ú phõn phi ca chu k ri R chớnh l phõn phi ca thi gian n trung gian I, ta cú E[R] = , E[R2 ] = , I2 = T (6.60), ta cú thi gian ch trung bỡnh l E[W ] = Ta cú E[R] = LI (x) = + S2 (1 + CS2 ) = E[S] 2(1 ) 2(1 ) a0 = Do R, I cú phõn phi m nờn LR (x) = a0 Thay vo cụng th Pollaczek-Khinchin m rng (6.58) ta cú x+ (1 )x /( x) = LW (x) = (1 ) LS (x)/( x) x + LS (x) Khi ú ta thu c cỏc cụng thc mụ hỡnh M/G/1 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 212 BI TP Bi 6.1 Gi s h thng xp hng trng ti thi im t = Thi gian n ca khỏch hng u tiờn ti thi im t1 = 1, t2 = 3, t3 = 4, t4 = 7, t5 = 8, t6 = 15, thi gian phc v cỏc khỏch hng ny tng ng l S1 = 3.5, S2 = 4, S3 = 2, S4 = 1, S5 = 1.5, S6 = Tớnh cỏc Ti , Wi , di , i = 1, 2, , Bi 6.2 Gi s quỏ trỡnh n l quỏ trỡnh Poisson vi cng Gi tk l thi gian n h thng xp hng th k Chng minh hm mt ca tk cú phõn phi Erlang bc k vi tham s , ngha l cú hm mt ftk (t) = (t)k1 et , t (k 1)! Tỡm bin i Laplace ca hm mt ca tk Chng minh E[tk ] = k Chng minh rng thi gian n trung gian ca khỏch hng th k l Ik cú phõn phi m vi tham s , ngha l fIk (t) = et , t Bi 6.3 M/M/1 Tỡm cụng thc tớnh xỏc sut P [N n] vi h thng Tỡm giỏ tr ln nht cú th ca tc n mụ hỡnh M/M/1 vi thi gian phc v l nu yờu cu P [N 10] = 103 Bi 6.4 Tớnh xỏc sut P [N k + c] mụ hỡnh M/M/k Bi 6.5 Trong mụ hỡnh M/M/k Tỡm s trung bỡnh cỏc im phc v bn v ri Bi 6.6 Chng minh cỏc cụng thc sau: B(k, a) = aB(k1,a) c+aB(k1,a) C(k, a) = kB(k,a) ka(1B(k,a)) 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 213 C(k, a) > B(k, a.) Bi 6.7 Gi s mt ca hng cú khỏch hng n l quỏ trỡnh Poisson vi tc 12 ngi/gi Ca hng cú nhõn viờn bỏn hng, vi thi gian phc v khỏch hng cú phõn phi m vi thi gian trung bỡnh phỳt mt khỏch hng Tỡm xỏc sut khỏch hng n phi ch c phc v Tỡm s lng khỏch hng trung bỡnh ca hng Tỡm thi gian trung bỡnh ca khỏch hng ca hng Tỡm xỏc sut ca hng cú ớt nht khỏch hng Bi 6.8 Ti mt phũng thụng tin du lch cú cỏc khỏch du lch gi in n hi thụng tin l quỏ trỡnh Poisson vi tc 10 ngi/ phỳt Thi gian tr li mi cõu hi cú phõn phi m vi thi gian trung bỡnh l 30 giõy Hi phi t bao nhiờu mỏy phc v thi gian ca cỏc khỏch hng h thng khụng quỏ phỳt, v vi xỏc sut 90% khỏch hng khụng phi ch quỏ phỳt? Tỡm xỏc sut h thng bn Tỡm xỏc sut h thng ri Bi 6.9 Trong h thng mng chia s ngang hng P2P, nhng ngi dựng ng nhp vo h thng vi tc 10 ngi/giõy Mi ngi s dng mng vi thi gian trung bỡnh l gi Tỡm hm phõn phi n nh ca nhng ngi s dng h thng H thng ú cú t c s n nh khụng? Bi 6.10 thit k h thng in thoi ti mt nh ga, ngi ta tin hnh kho sỏt thy cú khong 80 ngi/gi mun c phc v Thi gian thc hin cuc gi cú phõn phi m vi thi gian trung bỡnh l phỳt Hi phi lp t ti thiu bao nhiờu mỏy in thoi thi gian ch phc v khụng quỏ phỳt? Bi 6.11 Mt h thng xp hng M/M/3/7 cú t n = 40 v tc phc v = 30 V s chuyn dch trng thỏi 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 214 Tỡm xỏc sut ca phõn phi dng Tỡm thi gian trung bỡnh T ca khỏch hng h thng Bi 6.12 Mt h thng xp hng M/M/3/6 cú t n = 60 v tc phc v = 20 V s chuyn dch trng thỏi Tỡm cng lu thụng, tc n thc s ca h thng Tỡm cng t chi phc v Bi 6.13 Tỡm k vng v phng sai i vi bin ngu nhiờn cú (x)k1 x Phõn phi Erlang vi hm mt f (x) = e , x k! n pi i ei x , pi Phõn phi m hn hp vi hm mt f (x) = 0, n i=1 pi = i=1 Bi 6.14 Tỡm bin i Laplace ca hm mt i vi i lng ngu nhiờn Phõn phi m f (x) = àeàx , x > Phõn phi Erlang vi hm mt f (x) = (x)k1 x e , x k! Phõn phi m hn hp vi hm mt f (x) = n pi i ei x , i=1 pi 0, n pi = i=1 Bi 6.15 Tỡm bin i Laplace ca hm mt i vi i lng ngu nhiờn cú phõn phi Erlang hn hp vi hm mt f (x) = n i=1 pi 0, n i=1 pi = i (i x)ki ei x , pi (ki 1)! 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 215 Bi 6.16 Tớnh cỏc s o hiu nng cho mụ hỡnh G/M/1 vi G = D thi gian phc v l hng s G = Ek thi gian phc v cú phõn phi Erlang bc k G = Hk thi gian phc v cú phõn phi m hn hp Bi 6.17 Tớnh cỏc s o hiu nng cỏc mụ hỡnh tng quỏt G/G/1 Mụ hỡnh D/D/1 Mụ hỡnh D/Ek /1 Mụ hỡnh D/Hm /1 Mụ hỡnh Ek /Hm /1 Mụ hỡnh Hm /Ek /1 Hỡnh 6.12: Phõn phi m hn hp Bi 6.18 Thi gian phc v mụ hỡnh M/G/1 c chn mt hai phõn phi m vi xỏc sut tng ng nh Hỡnh 6.12 Tớnh cỏc s o hiu nng ca h thng Bi 6.19 Khỏch hng n mt im phc v l quỏ trỡnh Poisson vi cng Trong ú cú mt t l p khỏch hng c phc v vi thi gian hng s D v cú p t l khỏch hng c phc v tuõn theo lut phõn phi m vi thi gian trung bỡnh 1/à H thng cú mt im phc v Tớnh cỏc s o hiu nng ca h thng 6.5 Mụ hỡnh G/G/1 216 Bi 6.20 Gi s cỏc tin nhn cú di khụng i ca mt h thng nhn tin l mt quỏ trỡnh Poisson vi cng Thi gian truyn mt tin nhn thnh cụng l D Nu mt tin nhn c gi thnh cụng thỡ tip tc gi tin nhn tip theo Nu tin nhn khụng truyn thnh cụng thỡ h thng tip tc gi li tin nhn ú Bit xỏc sut gi tin nhn khụng thnh cụng bng p v cỏc ln gi tin nhn l c lp Tỡm k vng v phng sai ca thi gian phc v Tớnh cỏc s o hiu nng ca h thng Ti liu tham kho [1] Lờ Bỏ Long, Toỏn chuyờn ngnh, Hc vin Bu chớnh vin thụng, 2006 [2] Nguyn Duy Tin, Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng: Phn I- Xớch markov v ng dng, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2000 [3] Nguyn Duy Tin, ng Hựng Thng Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng: Phn II- Quỏ trỡnh ngu nhiờn v ng dng, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2001 [4] Nguyn Duy Tin, Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng: Phn III- Gii tớch ngu nhiờn, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni, 2001 [5] Alberto Leon Garcia, Probability, Statistics and Random Processes for Electrical Engineering, Third Edition, Pearson Prentice Hall, 2008 [6] Steven M Kay, Intuitive Probability and Random Processes using MATLAB, Springer, 2006 [7] Tyn Myint-U and Lokenath Debnath, Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Birkhăauser Boston, 2007 [8] Lokenath Debnath, Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Birkhăauser Boston, 2005 [9] Andrei D Polyanin and Alexander V Manzhirov, Handbook of Mathematics for engineers and scientists, Chapman & Hall/CRC, 2007 [10] Gerhard Freiling and Vjatcheslav Yurko, Lectures on the differential equations of mathematical physics, Nova Science Publishers, Inc, 2008 [11] Alan Jeffrey, Advanced Engineering Mathematics, Harcourt/Academic Press, 2002 [12] Steven T Karris, Signals and Systems with MATLAB and Applications, Second Edition, Orchard Publications, 2003 TI LIU THAM KHO 218 [...]... Phương trình Bessel Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 x2 y ′′ + xy ′ + (x2 − α2 )y = 0, (1.19) gọi là phương trình Bessel cấp α với tham số α ≥ 0 Ta đã biết phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, nếu y1 , y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính thì nghiệm tổng quát của phương trinh có dạng y = C1 y1 + C2 y2 , với C1 , C2 là các hằng số Nghiệm của phương trình. .. =(αx)2 Jα′′ (λx) + (λx)Jα′ (λx) + ((λx)2 − α2 )Jα (λx) = 0 Xét trường hợp đặc biệt với λ = i với i là đơn vị ảo, phương trình (1.32) trở thành phương trình x2 y ′′ + xy ′ − (x2 + α2 )y = 0 (1.33) Ta gọi phương trình trên là phương trình Bessel biến dạng Ta biết nghiệm của phương trình trên có dạng Jα (ix) = ∞ ( ix )α ∑ = iα Đặt Iα (x) = ( ix )2n (−1)n 2 n!Γ(n + 1 + α) 2 n=0 ∞ ( x )α ∑ ( x )2n 1 2 n=0... Bessel 10 Thay vào phương trình Bessel (1.19) ta có (ρ2 − α2 )a0 xρ + [(ρ + 1)2 − α2 ]a1 xρ+1 ∞ ( ) ∑ [(ρ + n)2 − α2 ]an + an−2 xρ+n = 0 n=2 Từ đó ta nhận được hệ phương trình sau:  2 2  a0 (ρ − α ) a1 [(ρ + 1)2 − α2 ]   an [(ρ + n)2 − α2 ] + an−2 = 0, = 0, = 0, n ≥ 2 (1.20) Từ phương trình thứ nhất và a0 ̸= 0 ta có ρ = α hoặc ρ = −α Trường hợp 1: Với ρ = α thay vào phương trình thứ hai trong (1.20)... ∂I−α (x) ∂Iα (x) ] − 2 ∂α ∂α α=k Nghiệm tổng quát của phương trình Bessel biến dạng là y = C1 Iα (x) + C2 Kα (x), với C1 , C2 là hằng số 1.5 Hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta 15 Xét phương trình Bessel biến dạng với tham số λ (còn được gọi là phương trình Kelvin) x2 y ′′ + xy ′ − (λ2 x2 + α2 )y = 0 (1.36) Ta dễ dàng kiểm tra được phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát y = C1 Iα (λx) + C2 Kα (λx),... (1.31) Jα−1 (x) + Jα+1 (x) = Các công thức trên cũng đúng với hàm Bessel loại 2 Yα (x) 1.4.3 Một số dạng khác của phương trình Bessel Xét phương trình Bessel cấp α với tham số λ có dạng x2 y ′′ + xy ′ + (λ2 x2 − α2 )y = 0 (1.32) Ta sẽ chỉ ra rằng y = Jα (λx) là nghiệm của phương trình (1.32) Thật vậy, ta kiểm tra trực tiếp với y ′ = λJα′ (λx) y ′′ = λ2 Jα′′ (λx) 1.4 Các hàm Bessel 14 và (αx)2 Jα′′... ∞ cos te 0 −st e−st (cos t + s sin t) s2 + 1 e−st (sin t − s cos t) dt = s2 + 1 ∞ = 0 ∞ = 0 s2 1 +1 s s2 + 1 Để thuận tiện cho việc tính toán người ta thường tính sẵn một số hàm số thường được sử dụng Bảng 1.1 liệt kê một số hàm thường xuyên sử dụng trong giáo trình này 1.6 Phép biến đổi Laplace 23 ∫∞ f (t) F (s) = f (t)e−st dt 0 n! 1 tn 2 tn e−at 3 tα e−at 4 e−at sin (ωt) 5 e−at cos(ωt) 6 e−at sinh... Laplace ngược 27 là phép biến đổi Laplace ngược của hàm F (s) Việc sử dụng tích phân đường của hàm biến phức (1.55) để tìm phép biến đổi Laplace ngược là tương đối khó khăn Đối với hầu hết các bài toán trong kỹ thuật người ta thường phân tích hàm F (s) thành tổng của các hàm thường gặp và sử dụng Bảng 1.1 để tìm phép biến đổi Laplace ngược 1.7.2 Một số ví dụ Trong nhiều trường hợp hàm F (s) có dạng phân... ( x )α ∑ ( x )2n 1 2 n=0 ∞ ( x )α ∑ 2 n=0 n!Γ(n + 1 + α) 2 ( x )2n 1 , n!Γ(n + 1 + α) 2 (1.34) hàm số trên gọi là hàm Bessel biến dạng cấp α kiểu 1 Tương tự như trường hợp phương trình Bessel, nghiệm tổng quát của phương trình Bessel biến dạng với α ̸∈ N là y = C1 Iα (x) + C2 I−α (x), với C1 , C2 là hằng số Đối với trường hợp α = k ∈ N, ta xét hàm Bessel biến dạng bậc α kiểu 2   π I−α (x) − Iα (x)... L’Hôpital ta có thể tính Yk (α) theo công thức ∂J−α (x) ] 1 [ ∂Jα (x) Yk (x) = − (−1)k π ∂α ∂α α=k (1.25) Định lý 1.2 Với α ≥ 0 thì Yα (x) là nghiệm của phương trình Bessel và độc lập tuyến tính với Jα (x) Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là y = C1 Jα (x) + C2 Yα (x) Ví dụ 1.5 Tìm hàm J0 (x) Giải: Khi α = k ∈ N ta có ∞ ∞ ( x )k ∑ ( x )2n ∑ (−1)n (−1)n ( x )2n+k Jk (x) = = 2 n=0 n!Γ(n... (1.41) 0 Vì số phức e−iωt = cos(ωt) − i sin(ωt) có modun bằng 1; tức là |e−iωt | = 1, nên điều kiện hội tụ của tích phân (1.41) trở thành ∫ ∞ f (t)e−σt dt < ∞ (1.42) 0 Trong hầu hết những ứng dụng trong kỹ thuật điện tử thì hàm f (t) là có bậc lũy mũ; tức là tồn tại các hằng số k và σ0 sao cho |f (t)| < keσ0 t , với mọi t ≥ 0 Khi đó ∫ ∞ −σt f (t)e 0 ∫ ∞ ke dt < σ0 t −σt e ∫ ∞ dt = k e(σ0 −σ)t dt < ∞ (1.43)