ISSN 1859 1531 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84) 2014, QUYỂN 1 87 THUẬT TOÁN ĐẨY LUỒNG TRƯỚC TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG HỖN HỢP MỞ RỘNG PUSH PREFLOW MAXFLOW ALGORITHM ON EXTEND[.]
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84).2014, QUYỂN 87 THUẬT TỐN ĐẨY LUỒNG TRƯỚC TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG HỖN HỢP MỞ RỘNG PUSH-PREFLOW MAXFLOW ALGORITHM ON EXTENDED MIXED NETWORKS Trần Quốc Chiến1, Trần Ngọc Việt2, Nguyễn Đình Lầu2 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng; Email: tqchien@dce.udn.vn Trường Cao đẳng Giao thông Vận tải II; Email: trviet01@yahoo.com, launhi@gmail.com Tóm tắt - Đồ thị cơng cụ tốn học hữu ích ứng dụng nhiều lĩnh vực giao thông, truyền thông, công nghệ thông tin, kinh tế, … Cho đến nay, đồ thị xét đến trọng số cạnh, đỉnh cách độc lập, độ dài đường tổng trọng số cạnh đỉnh đường Tuy nhiên, thực tế, trọng số đỉnh không giống với đường qua đỉnh đó, mà cịn phụ thuộc vào cạnh đến cạnh khỏi đỉnh Bài viết giới thiệu mơ hình mạng hỗn hợp mở rộng để áp dụng mơ hình hóa tốn thực tế xác, hiệu hơnvà định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểu tương ứng mạng hỗn hợp mở rộng [10,11] Kết viết thuật tốn đẩy luồng trước tìm luồng cực đại Abstract - Graph is a powerful mathematical tool applied in many fields as transportation, communication, informatics, economy… In an ordinary graph the weights of edges and vertexes are considered independently where the length of a path is the sum of weights of the edges and the vertexes on this path However, in many practical problems, weights at a vertex are not the same for all paths passing this vertex, but depend on coming and leaving edges The paper introduces a model of mixed extended network that can be applied to modelizing many practical problems more exactly and effectively, and the Maxflow-Mincut theorem on extended mixed networks The main contribution of this paper is the Push-Preflow maxflow algorithm Từ khóa - đồ thị; mạng; luồng; luồng cực đại; thuật toán Key words - graph; network; flow; maximal flow; algorithm Đặt vấn đề Mạng luồng mạng công cụ tốn học hữu ích ứng dụng nhiều lĩnh vực giao thông, truyền thông, công nghệ thông tin, kinh tế,… Cho đến mạng cổ điển xét đến trọng số tuyến nút cách độc lập Tuy nhiên, nhiều tốn thực tế, trọng số nút khơng giống với đường qua nút đó, mà cịn phụ thuộc vào tuyến đến tuyến khỏi nút Vì cần xây dựng mơ hình mạng mở rộng để áp dụng mơ hình hóa tốn thực tế xác hiệu Trên sở nghiên cứu toán luồng cực đại [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] đồ thị mở rộng [8, 9, 10,11], báo phát triển thuật tốn đường tăng luồng tìm luồng cực đại mạng hỗn hợp mở rộng Mạng hỗn hợp mở rộng Cho đồ thị hỗn hợp G=(V, E) với tập nút V tập cạnh E Các cạnh có hướng vơ hướng Ký hiệu R* tập số thực dương.Trên đồ thị cho hàm sau Hàm khả thông hành cạnhce: E→R , với ce(e) khả thông hành cạnh e E * Hàm khả thông hành nútcv:V→R , với cv(u) khả thông hành nút u V * Hàm chi phí cạnhbe: E→R*, với be(e) chi phí phải trả để chuyển đơn vị phương tiện qua cạnh e Với nút vV, ký hiệu Ev tập cạnh liên thuộc nút v Hàm chi phí nút bv: VEvEv→R*, với bv(u,e,e’) chi phí phải trả để chuyển đơn vị phương tiện từ tuyến e qua nút u sang tuyến e’ Bộ (V, E, ce, cv, be, bv) gọi mạng hỗn hợp mở rộng Luồng cạnh mạng hỗn hợp mở rộng Cho mạng hỗn hợp mở rộng G = (V, E, ce, cv, be, bv) Giả thiết G có đỉnh nguồn s đỉnh đích t.Tập giá trị {f(x,y) | (x,y)E} gọi luồng cạnh mạng G thoả mãn: (i) f(x,y) ce(x,y) (x,y)E (ii) Với đỉnh z khơng phải nguồn đích: f ( v, z ) = f ( z , v ) ( v , z )E ( z ,v )E (iii) Với đỉnh z khơng phải nguồn đích: f (v, z ) cv(z) ( v , z )E • Định lý 3.1 Cho f = {f(x,y) | (x,y)E} luồng cạnh mạng G với nguồn s đích t Khi đó: f ( s , v ) − f ( v, s ) = f ( v, t ) − f ( t , v ) ( s ,v )E ( v , s )E ( v ,t )E ( t ,v )E Tức tổng luồng khỏi đỉnh nguồn tổng luồng đến đỉnh đích Chứng minh [11] •Giá trị luồng Biểu thức: val ( f ) = f ( s, u ) − ( s ,u )E f ( u, s ) ( u , s )E Gọi giá trị luồng f • Bài tốn luồng cực đại: Cho mạng hỗn hợp mở rộng G = (V,E,ce,cv,be,bv) với đỉnh nguồn s đỉnh đích t Nhiệm vụ tốn tìm luồng cạnh có giá trị lớn Bài toán luồng cực đại tốn quy hoạch tuyến tính Giá trị luồng bị giới hạn tổng khả thông hành cung từ đỉnh nguồn, ta khẳng định định lý sau: • Định lý 3.2 Cho mạng hỗn hợpmở rộng G = (V,E,ce,cv,be,bv) với đỉnh nguồn s đỉnh đích t Khi tồn luồng cực đại Trần Quốc Chiến, Trần Ngọc Việt, Nguyễn Đình Lầu 88 Luồng cực đại lát cắt cực tiểu Cho mạng hỗn hợp mở rộng G = (V,E,ce,cv,be,bv) với đỉnh nguồn s đỉnh đích t Với tập S, T V, ký hiệu tập cạnh có hướngvà cạnh vơ hướng từ S vào T (S,T), tức (S,T) = {(x, y) E x S &y T} Nếu S, T V phân hoạch V, tức ST = V & ST = , s S, tT, tập (S,T) gọi lát cắt (nguồn−đỉnh) G Cho f = {f(x,y) | (x,y)E} luồng cạnh mạng G Ký hiệu: f ( S,T ) = f ( x, y ) thặng dư thông qua Gf từ đỉnh nguồn s đến đỉnh đích t, cho ta gửi luồng dương (t) từ s đến t • Định lý 5.1 Cho f = {f(x,y) | (x,y)E} luồng cạnh mạng G Khi đó: (i) Nếu tồn đường tăng luồng từ s đến t mạng thặng dư Gf, tồn luồng g = {g(x,y) | (x,y)E} có val(g) = val(f) + (t) (ii) Nếu không tồn đường tăng luồng từ s đến t mạng thặng dư Gf, luồng f luồng cực đại Chứng minh [11] ( x , y )( S ,T ) • Định lý 4.1 Cho mạng hỗn hợp mở rộng G = (V,E,ce,cv,be,bv) với đỉnh nguồn s đỉnh đích t Cho f = {f(x,y) | (x,y)E} luồng cạnh mạng G (S,T) lát cắt G Khi đó: val(f) = f(S,T) − f(T,S) Chứng minh [11] Cho lát cắt (S,T) Ký hiệu S(T) = {uS| vT, (u,v)(S,T)} • Định lý 4.2 Cho f = {f(x,y) | (x,y)E} luồng cạnh mạng G (S,T) lát cắt G Khi đó, với S’S(T) ta có: f ( S , T ) cV ( v ) + vS ' ( x , y )( S ,T )\( S ',T ) cE ( x , y ) Phương pháp đẩy luồng trước 6.1 Các khái niệm • Luồng trước (pre-flow) Cho mạng hỗn hợp mở rộng G = (V,E,ce,cv,be,bv) với đỉnh nguồn s đỉnh đích t Luồng trước tập hợp luồng cung f = {f(x,y) | (x,y)E} thỏa mãn: (i) f(x,y) ce(x,y) (x,y)E (ii) Với đỉnh z nguồn đích: (iii) Với đỉnh z khơng phải nguồn đích, luồng vào khơng nhỏ luồng ra, tức là: f ( v, z ) f ( z , v ) ( v , z )E Chứng minh [11] f ( v, z )£ cv ( z ) ( v , z )E ( z ,v )E Những đỉnh có luồng vào lớn luồng gọi đỉnh lệch (unbalanced) Hiệu luồng vào luồng đỉnh lệch gọi độ lệch luồng (excess) Khái niệm mạng thặng dư Gf luồng trước cũng định nghĩa tương tự đối = min{ cv ( v ) + ce ( x, y ) | S ’ S (T )} với luồng vS ' ( x , y )( S ,T )\( S ',T ) Ý tưởng phương pháp cân hóa luồng Gọi khả thơng qua lát cắt (S,T) vào luồng đỉnh lệch cách luồng dư đẩy xuôi theo cung đẩy ngược cung Từ định lý 4.1 định lý 4.2 suy vào Q trình cân hóa đỉnh lệch lặp lại • Định lý 4.3 Cho f = {f(x,y) | (x,y)E} luồng cạnh khơng cịn đỉnh lệch ta nhận dược luồng cực đại mạng G (S, T) lát cắt G Các đỉnh lệch lưu hàng đợi Một công cụ gọi Khi đó: val(f) cap(S,T), tức giá trị luồng nhỏ hàm độ cao sử dụng để giúp chọn cung mạng khả thông qua lát cắt thặng dư để loại đỉnh lệch Bây ta giả thiết tập đỉnh mạng ký hiệu V={0,1, ,|V|−1} Mạng thặng dư • Khả thông qua lát cắt Cho (S,T) lát cắt mạng mở rộng G Giá trị cap(S,T) Cho luồng cạnhf = {f(x,y) | (x,y)E} mạng hỗn hợp mở rộng G = (V,E,ce,cv,be,bv) với đỉnh nguồn s đỉnh đích t Ta định nghĩa mạng thặng dư thơng qua, ký hiệu Gf, mạng có tập đỉnh V tập cung Ef hàm khả thông qua cạnhcefvàhàm khả thông qua đỉnh cvfnhư sau: Với cạnh cung (u,v) E, f(u,v) > (v,u) Ef với khả thơng qua cef(v,u) = f(u,v) Với cạnh cung (u,v)E, ce(u,v)−f(u,v)>0 (u,v)Ef với khả thơng qua cef(u,v)=ce(u,v)−f(u,v) Với đỉnh vV, khả thông qua cv f ( v ) = cv ( v ) − f ( x, v ) ( x ,v )E • Đường tăng luồng Đường tăng luồng đường có hướng mạng Hàm độ cao (height function) luồng trước mạng G tập hợp trọng số đỉnh không âm h(0), , h(|V|−1) thỏa h(t) = với đỉnh đích t h(u) ≤ h(v)+1 với cung (u,v) mạng thặng dư Gf Những cung (u,v) thỏa điều kiện h(u) = h(v)+1 gọi cung ưu tiên Một hàm độ cao tầm thường h(0)= h(1) = = h(|V|−1) = Sau đặt h(u) = 1, cung luồng dương từ u ưu tiên Ta xây dựng hàm độ cao thú vị hơn: h(v) khoảng cách ngắn tính theo số cung từ v đến đỉnh đích t Gf Ta xác định hàm độ cao phương pháp duyệt đồ thị ngược Gf theo chiều rộng xuất phát từ đỉnh đích t Hàm thực hàm độ cao h(t) = với cung (u,v) mạng thặng dư Gf, h(u) ≤ h(v) + 1, đường từ u đến t bắt đầu cung (u,v) theo đường ngắn từ v đến t (h(v)+1) phải không ngắn đường ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84).2014, QUYỂN ngắn từ u đến t (h(u)) • Định lý 6.1: Cho luồng trước f mạnghỗn hợp mở rộng G hàm độ cao h tương ứng Khi độ cao h(v) đỉnh v không lớn độ dài đường ngắn tính theo số cung từ v đến đỉnh đích t mạng thặng dư Chứng minh Cho đỉnh v Giả sử d độ dài đường ngắn từ v đến đỉnh đích t Gf Khi sẽ tồn đường (v=v1, v2, , vd, t) từ v đến t Ta có: h(v) = h(v1) ≤ h(v2) + ≤ h(v3) + : ≤ h(vd) + d− ≤ h(t) + d = d Vai trò hàm độ cao sau: Nếu độ cao đỉnh lệch nhỏ độ cao đỉnh nguồn đẩy luồng hướng đỉnh đích.Ngược lại, độ cao đỉnh lệch lớn độ cao đỉnh nguồn cần phải đẩy luồng ngược đỉnh nguồn • Định lý 6.2: Nếu độ cao đỉnh lớn |V| khơng tồn đường từ đỉnh đến đỉnh đích mạng thặng dư Gf 6.2 Phương pháp đẩy luồng trước Bây ta mơ tả phương pháp đẩy luồng trước tổng quát sau: (1) Khởi tạo: Xây dựng luồng trước xuất phát với cung (s, v) từ đỉnh nguồn s có luồng f(s,v)=min{ce(s,v),cv(v)}, cịn cung khác có luồng Chọn hàm độ cao h mạng G (2) Tiêu ch̉n dừng: Nếu khơng có đỉnh lệch, luồng trước f trở thành luồng cực đại Kết thúc Ngược lại, chọn đỉnh lệch u theo thứ tự Nếu tồn cung ưu tiên (u, v)Gf, sang bước (3), ngược lại sang bước (4) (3) Đẩy luồng: Ký hiệu delta độ lệch luồng đỉnh u - Trường hợp f(v,u)>0: Đẩy cung (u,v) luồng có giá trị min{delta,cef(u,v)}(tức giảm f(v,u)) - Trường hợp (u,v)E cvf(v)>0: Đẩy cung (u,v) luồng có giá trị min{delta, cef(u,v), cvf(v)} (tức tăng f(u,v)) (4) Tăng độ cao: Tăng độ cao đỉnh u sau: h(u) = + min{h(v) | (u,v) Gf} Quay lại bước (2) • Định lý 6.3: Phương pháp đẩy luồng trước bảo tồn tính chất hàm độ cao Chứng minh (i) Trường hợp tồn cung ưu tiên (u,v)Gf: Ta có h(u)=h(v)+1 Sau đẩy cung (u,v) luồng, (v,u)Gf ta vẫn có h(v) = h(u) − ≤ h(u) + (ii) Trường hợp không tồn cung ưu tiên từ u: Ta có v: (u,v) Gf h(u) < h(v) + 89 Sau tăng h(u):= + min{h(v) | (u,v) Gf} h(u) vẫn thỏa mãn v, (u,v) Gf : h(u) ≤ h(v) + • Định lý 6.4: Trong trình thực thuật tốn đẩy luồng trước, ln tồn đường định hướng từ đỉnh lệch đến đỉnh nguồn mạng thặng dư Gf, không tồn đường tăng luồng từ đỉnh nguồn đến đỉnh đích mạng thặng dư Chứng minh Chứng minh quy nạp theo lần hiệu chỉnh luồng trước Luồng trước xuất phát có cung (s,v) từ đỉnh nguồn s có luồng f(s,v)=min{ce(s,v),cv(v)}, cịn cung khác có luồng Khi đỉnh cuối cung từ đỉnh nguồn lệch Với đỉnh lệch v ta có (v,s)Gf khơng gửi luồng dương (s,v), suy tồn đường có hướng từ v đến s, không tồn đường tăng luồng từ đỉnh nguồn s đến đỉnh đích mạng thặng dư Gf Như mệnh đề với luồng xuất phát Tiếp theo, đỉnh lệch v xuất luồng đẩy từ đỉnh lệch cũ u cung ưu tiên (u, v) Khi mạng thặng dư sẽ có thêm cung (v, u) Do tồn đường có hướng từ u đến s mạng thặng dư theo giả thiết quy nạp, nên cũng tồn đường có hướng từ v đến s mạng thặng dư Để chứng minh không tồn đường tăng luồng từ đỉnh nguồn s đến đỉnh đích t mạng thặng dư Gf ta lập luận sau Trước tiên, với đỉnh v kề đỉnh nguồn s, (s,v)G, luồng xuất phát cung (s,v) f(s,v)=min{ce(s,v),cv(v)}, nên muốn (s,v)Gf, bước phải thực thao tác đẩy luồng ngược từ v s Khi (v,s) cung ưu tiên, tức h(v)=h(s)+1>h(s) Còn với đỉnh u kề đỉnh nguồn s, (u,s)G, muốn (s,u) Gf bước phải thực thao tác đẩy luồng xi từ u s Khi (u,s) cung ưu tiên, tức h(u)=h(s)+1>h(s) Như đỉnh kề s đạt từ s mạng thặng dư phải có độ cao lớn độ cao s Cho đỉnh bất kỳ u đạt từ s mạng thặng dư Tồn đường có hướng từ s đến u mạng thặng dư: (s→u1→u2→ uk→u) Lập luận tương tự ta có: h(u) > h(uk) > > h(u2) > h(u1) > h(s) Như đỉnh đạt từ s phải có độ cao lớn độ cao s Mặt khác độ cao đỉnh đích 0, nên khơng thể đạt từ s • Định lý 6.5: Độ cao đỉnh nhỏ 2.|V| Chứng minh.Ta cần xét đỉnh lệch, độ cao đỉnh khơng lệch không thay đổi, tăng so với độ cao đỉnh lệch thời điểm gần Lập luận tương tự chứng minh mệnh đề 6.1, đường từ đỉnh lệch đến đỉnh nguồn đảm bảo độ cao đỉnh lệch không lớn độ cao đỉnh nguồn cộng |V| −2 (đỉnh đích khơng thể nằm đường đi) Do độ cao đỉnh nguồn không thay đổi, không lớn |V|, nên độ cao đỉnh lệch không lớn 2.|V| − Suy độ cao đỉnh bất kỳ không lớn 2.|V| Trần Quốc Chiến, Trần Ngọc Việt, Nguyễn Đình Lầu 90 • Định lý 6.6 Phương pháp đẩy luồng trước Chứng minh Trước hết ta chứng minh phương pháp dừng sau hữu hạn bước Ta khẳng định sau hữu hạn bước sẽ khơng cịn đỉnh lệch Ta chứng minh phản chứng Giả sử dãy đỉnh lệch vơ hạn sẽ tồn đỉnh u xuất vơ hạn lần dãy Vì số đỉnh mạng hữu hạn nên sẽ tồn đỉnh vu cho có luồng đẩy cung (u,v) (v,u) vô hạn lần Do (u,v) (v,u) cung ưu tiên mạng thặng dư vô hạn lần nên từ quan hệ h(u) = h(v)+1 h(v) = h(u)+1 suy độ cao u v sẽ tăng vô hạn, điều mâu thuẫn với hệ Khi phương pháp dừng ta nhận luồng Theo mệnh đề 6.4, không tồn đường tăng luồng từ nguồn đến đích mạng thặng dư Theo thuật toán đường tăng luồng, luồng cực đại • Đợ phức tạp phương pháp đẩy luồng trước O(|V|2|E|) [10, tr.402] Ví dụ Cho sơ đồ mạng mở rộng Hình Mạng có nút, cạnh có hướng cạnh vô hướng Khả thông hành cạnh ce cho Bảng 1, khả thông hành nút cv cho Bảng 2, chi phí qua đỉnh cho Bảng Đỉnh nguồn 1, đỉnh đích Bảng Hàm độ cao xuất phát Đỉnh h 2 Luồng trước xuất phát cho Hình 10 0 0 0 Hình Luồng trước xuất phát Hàng đợi đỉnh lệch: > | > - Xét đỉnh lệch 2: Đẩy cung ưu tiên (2,5) luồng giá trị ta có luồng trước cho Hình 10 0 0 Hình Luồng trước Trong mạng thặng dư xuất phát từ cung (2,1) (đỉnh đã bão hòa) đặt h(2) = + = Hàm độ cao thay đổi cho Bảng Bảng Hàm độ cao Đỉnh h cE 10 7 10 10 10 7 0 0 0 Hình Luồng trước Đẩy đỉnh lệch vào hàng đợi Hàng đợi đỉnh lệch: >5 | > - Xét đỉnh lệch 3: Đẩy cung ưu tiên (3,4) luồng giá trị7 ta có luồng trước cho Hình Bảng Khả thông hành nút Đỉnh cv Đẩy cung ưu tiên (2,1) luồng giá trị ta có luồng trước cho Hình Hình Sơ đồ mạng mở rộng Bảng Khả thông hành cạnh Cạnh (1,2) (1,3) (2,3) (2,5) (3,4) (3,5) (4,6) (4,5) (5,6) Trong toán tìm luồng cực đại, tạm thời chưa sử dụng chi phí cạnh nút Chi phí nút cạnh sẽ sử dụng “Bài toán luồng cực đại chi phí cực tiểu” Thứ tự đỉnh sử dụng thuật toán 1, 2, 3, 4, 5, Hàm độ cao xuất phát h(v) độ dài đường ngắn từ v đến đỉnh đích cho Bảng 7 0 0 Hình Luồng trước Đẩy cung ưu tiên (3,5) luồng giá trị ta có luồng trước cho Hình ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 11(84).2014, QUYỂN 7 0 Hình Luồng trước Đẩy đỉnh lệch vào hàng đợi Hàng đợi đỉnh lệch: > | 5> - Xét đỉnh lệch 5: Đẩy cung ưu tiên (5,6) luồng giá trị9 ta có luồng trước cho Hình 7 9 Hình Luồng trước - Xét đỉnh lệch 4: Đẩy cung ưu tiên (6,6) luồng giá trị ta có luồng trước cho Hình 7 9 7 Hình Luồng trước Đến khơng cịn đỉnh lệch Luồng trước Hình trở thành luồng cực đại với giá trị 16 Kết luận Bài viết xây dựng mơ hình mạng hỗn hợp mở rộng để áp dụng mơ hình hóa tốn thực tế xác 91 hiệu Sau đó, thuật tốn đẩy luồng trước tìm luồng cực đại mạng hỗn hợp mở rộng xây dựng Một ví dụ cụ thể trình bày để minh họa thuật tốn đẩy luồng trước tìm luồng cực đại TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Robert Sedgewick, Algorithms in C, Part 5: Graph Algorithms Addison-Wesley 8-2001 [2] Trần Quốc Chiến, Bài toán tìm luồng cực đại mạng, Đề tài NCKH cấp Bộ, mã số B2005-16-34 [3] Trần Quốc Chiến,“Thuật toán hoán chuyển nguồn đích tìm luồng cực đại (1)”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà nẵng, 1(13)/2006, 53-58 [4] Trần Quốc Chiến,“Thuật tốn hốn chuyển nguồn đích tìm luồng cực đại (2)”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà nẵng, 3(15)-4(16)/2006, 77-82 [5] Trần Quốc Chiến,“Thuật tốn đích hướng nguồn tìm luồng cực đại”, Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ, Đại học Đà nẵng, 4(21)/2007, 1-6 [6] Trần Quốc Chiến, Hồ Xuân Bình,“Thuật tốn song song tìm luồng cực đại”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà nẵng, 5(22)/2007, 37-42 [7] Trần Quốc Chiến,“Thuật tốn hốn chuyển nguồn đích có trọng số tìm luồng cực đại”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà nẵng, 3(26)/2008, 99-105 [8] Trần Quốc Chiến,“Thuật tốn tìm đường ngắn đồ thị tổng qt”, Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ, Đại học Đà Nẵng, 12(61)/2012, 16-21 [9] Trần Quốc Chiến, Nguyễn Mậu Tuệ, Trần Ngọc Việt, “Thuật tốn tìm đường ngắn đồ thị mở rộng” Proceeding of the 6th National Conference on Fundamental and Applied Information Technology Research (FAIR), Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Quốc gia lần thứ VI “Nghiên cứu ứng dụng CNTT”, Huế, 2021/6/2013 NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ Hà Nội 2013 522-527 [10] Trần Quốc Chiến, Trần Ngọc Việt, Nguyễn Đình Lầu, “Thuật tốn tìm luồng cực đại mạng mở rộng” Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, 1(74)/2014, Quyển II, 1-4 (Số đặc biệt dành cho hội nghị RAIT 2014) [11] Trần Quốc Chiến, Trần Ngọc Việt, Nguyễn Đình Lầu, “Thuật tốn đường tăng luồng tìm luồng cực đại mạng hỗn hợp mở rộng”.accepted [12] Goldberg, A V (2008) "The partial augment-relabel algorithm for the maximum flow problem" Algorithms — ESA 2008 Lecture Notes in Computer Science 5193 pp 466–477 (BBT nhận bài: 27/03/2014, phản biện xong: 17/06/2014) ... đó, thuật tốn đẩy luồng trước tìm luồng cực đại mạng hỗn hợp mở rộng xây dựng Một ví dụ cụ thể trình bày để minh họa thuật tốn đẩy luồng trước tìm luồng cực đại TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Robert... lệch Luồng trước Hình trở thành luồng cực đại với giá trị 16 Kết luận Bài viết xây dựng mơ hình mạng hỗn hợp mở rộng để áp dụng mơ hình hóa tốn thực tế xác 91 hiệu Sau đó, thuật tốn đẩy luồng trước. .. Gf, luồng f luồng cực đại Chứng minh [11] ( x , y )( S ,T ) • Định lý 4.1 Cho mạng hỗn hợp mở rộng G = (V,E,ce,cv,be,bv) với đỉnh nguồn s đỉnh đích t Cho f = {f(x,y) | (x,y)E} luồng cạnh mạng