BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ MẪU THI TỐT NGHIỆP THPT
NĂM 2013
Trường THPT Núi Thành Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung
học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể
thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7điểm)
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số
3
2
x
y
x
có đồ thị ( C )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng (d):
1 1
4 2
y x
.
Câu 2 (3,0 điểm).
1) Giải phương trình
2
2 2
log 2log (2 1) 0
x x
2) Tính tích phân
1
0
( )
x
I x x e dx
3) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x(lnx -2 ) trên
đoạn
2
1
;e
e
é ù
ê ú
ê ú
ë û
.
Câu 3 (1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)
cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC đều cạnh a. Góc giữa (SBC) và
(ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và đường sinh là đoạn thẳng SA.
II. PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2).
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
x 2 3t
(d ) : y 1 t
z 1 t
ì
ï
= +
ï
ï
ï
= - +
í
ï
ï
= -
ï
ï
î
và
2
x t '
(d ) : y 2 t '
z 1 2t '
ì
ï
= -
ï
ï
ï
= +
í
ï
ï
= +
ï
ï
î
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
2) Tìm hình chiếu vuông góc của M(1;0;-1) lên đường thẳng d
1
Câu 5.a (1,0 điểm).Tìm nghiệm phức của phương trình z
2
-4z +5 = 0 (*).
Gọi z
1
và z
2
là 2 nghiệm của pt(*), tính
1 2
1 1
A
z z
.
2. Theo chương trình nâng cao:
Câu 4.b ( 2,0 điểm).Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng :
x 1 2t
(d) : y 1 t
z 2 t
ì
ï
= +
ï
ï
ï
= - +
í
ï
ï
= -
ï
ï
î
và mặt phẳng
(P) : x 3y 2z 1 0
- - + =
.
1) Chứng minh rằng đường thẳng d cắt mặt phẳng (P).Tìm tọa độ giao
điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B(1;0;-2) , biết rằng mặt cầu
(S) cắt đường thẳng d tại hai điểm C và D sao cho:
2
6
CD .
Câu 5.b (1,0 điểm).Cho số phức
1 3
z i
.Viết số phức z dưới dạng
lượng giác và tính z
6
.
ĐÁP ÁN- BIỂU ĐIỂM
Câu Nội dung Điểm
1 1. (2,0 điểm)
3,0
điểm
Tập xác định : D=
\ 2
R
0,25
Sự biến thiên:
•Chiều biến thiên:
2
1
'
( 2)
y
x
>0,
x D
Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ;2)
và
(2; )
•Cực trị: Hàm số không có cực trị
0,25
0,25
•Giới hạn:
lim lim 1
x x
y y
;
2
lim
x
y
và
2
lim
x
y
Suy ra, đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng x=2, và một
tiệm ngang là đường thẳng y =1
0,25
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
•Đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (3;0) và cắt trục tung
tại điểm (0;
3
2
)
- Đồ thị nhận điểm I(2;1) (là giao điểm của hai đường tiệm
cận) làm tâm đối xứng
0,50
2
x
y'
y
1
1
4
2
-2
-4
-10
-5
5
10
3
1
2
0
2. (1,0 điểm )
+Phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm M(x
0
;y
0
) là:
y = y’(x
0
).(x-x
0
)+y
0
+
song song với d suy ra
0
0
2
0
0
0
1 1 1
y’ x
4
4 4
2
x
x
x
0,25
0,25
- Với
0 0
3
0
2
x y
, suy ra được pttt thứ nhất
1 3
4 2
y x
( thỏa)
- Với
0 0
1
4
2
x y
, suy ra được pttt thứ nhất
1 1
4 2
y x
(loại
vì trùng d)
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa đề là:
1 3
4 2
y x
0,25
0,25
2
3,0
điểm
1. (1,0 điểm)
-ĐK:
2
0
0
1
2 1 0
2
x
x
x
x
0,25
2
2 2
log 2log (2 1) 0
x x
2 2
2 2
log log (2 1)
x x
2 2
(2 1)
x x
1
1
3
x
x
0,25
0,25
-Kết hợp điều kiện suy ra
1
3
x
là nghiệm của phương trình,
0,25
2. (1,0 điểm)
Ta có: I=
1
0
x xdx
+
1
0
x
xe dx
Tính I
1
=
1
0
x xdx
=
1
3
2
0
x dx
=
1
5
2
0
2
5
x
=
2
5
0,25
0,25
Tính I
2
=
1
0
x
xe dx
Chọn
x
u x
dv e dx
khi đó
x
du dx
v e
1
1
2
0
0
1
x x
I xe e dx
0,25
Do đó: I=
7
5
0,25
3. (1,0 điểm)
-Ta có : y' = lnx - 1 0,25
2
1
y ' 0 x e ;e
e
æ ö
÷
ç
÷
= Û = Î
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
0,25
2
1 3
y ;y(e) e;y(e ) 0
e e
æ ö
÷
ç
÷
= - = - =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
0,25
Vậy : Maxy = y(e
2
) = 0 và Miny = y(e)= -e 0,25
3
1,0
điểm
M
C
B
A
S
Ta có :
( ) ( ),( ) ( )
SAB ABC SAC ABC
mà
( ) ( ) ( )
SAB SAC SA SA ABC
-Gọi M là trung điểm của BC , ta có:
(1)
( ) (2)
BC AM
BC SAM BC SM
BC SA
-Từ (1) và (2) suy ra: góc giữa (SBC) và (ABC) chính là góc
giữa SM và AM , đó cũng chính là
·
SMA
, theo đề bài suy ra:
·
0
60
SMA
.
-Ta có thể tích khối trụ cần tính là: V
KT
= S
đ
.h
2
. .
R h
0,25
2 2 3
.
3 3 2
3
a a
R AM
0,25
-Xét tam giác vuông SAM tại S có:
· ·
3
tan .tan
2
SA a
SMA SA AM SMA
AM
hay h =
3
2
a
Suy ra: V
KT
=
2 3
3
. .
3 2 2
a a a
(đvtt)
0,25
0,25
4.a 1. (1,0 điểm)
2,0
điểm
d
1
nhận vtcp
1
u (3;1; 1)
= -
uur
d
2
nhận vtcp
2
u ( 1;1;2)
= -
uur
Ta có:
1
u
uur
và
2
u
uur
không cùng phương.
Xét hệ phương trình:
2 ' 2 '
1 2 ' ' 1
1 1 2 ' 2
t t t t
t t t
t t t
( hệ vô nghiệm)
Vậy d
1
và d
2
chéo nhau.
0,25
0,25
0,50
2. (1,0 điểm)
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d
1
Þ
mp(P) nhận vtcp
1
u (3;1; 1)
= -
uur
của d
1
làm véc tơ pháp tuyến.
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là: 3x+y-z-4=0
0,25
Toạ độ hình chiếu M' của M lên d
1
là nghiệm của hệ phương
trình :
x 2 3t
y 1 t
z 1 t
3x y z 4 0
ì
ï
= +
ï
ï
ï
= - +
ï
ï
í
ï
= -
ï
ï
ï
+ -- =
ï
ï
î
x 2 3t x 2
y 1 t y 1
z 1 t z 1
3(2 3t) ( 1 t) (1 t) 4 0 t 0
ì ì
ï ï
= + =
ï ï
ï ï
ï ï
= - + = -
ï ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
= - =
ï ï
ï ï
ï ï
+ + - + --- = =
ï ï
ï ï
î î
Vậy M'(2;-1;1) là điểm cần tìm.
0,50
0,25
5.a
1,0
điểm
-Ta có :
2 2
' 2 1.5 1
i
Suy ra
'
có hai căn bậc là i và -i
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là :
0,25
1
2
2
1
i
z i
,
2
2 ( )
2
1
i
z i
0,25
1 2
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
i i
A
z z i i i i
4 4
5 5
(Có thể dùng VIET)
0,25
0,25
4.b 1. (1,0 điểm)
2,0
điểm
( ) ( ) ( )
x 1 2t
x 1 2t
y 1 t
y 1 t
z 2 t
z 2 t
x 3y 2z 1 0
1 2t 3 1 t 2 2 t 1 0
ì
ì
ï
ï
= +
= +
ï
ï
ï
ï
ï
ï
= - +
= - +
ï
ï
ï ï
Û
í í
= -ï ï
= -
ï ï
ï ï
ï ï
- - + =
+ -- + -- + =
ï ï
ï
î
ï
î
x 1
y 2
z 3
t 1
ì
ï
= -
ï
ï
ï
= -
ï
ï
Û
í
ï
=
ï
ï
ï
= -
ï
ï
î
0,50
0,25
Vậy d cắt (P) tại điểm A(-1;-2;3). 0,25
2. (1,0 điểm)
H
dD
C
B
-Gọi H là trung điểm của CD
1
6
BH d
HC HD
-Xét tam giác BHD tại H có:
2 2 2 2
BD BH HD R BH HD
0,25
Ta có: d qua M(1;-1;2) và nhận vtcp
(2;1; 1)
u
r
,
,
77
6
B d
BM u
BH d
u
uuuur r
r
suy ra
13
R
0,5
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
2 2 2
( 1) ( 2) 13
x y z
0,25
5.b
1,0
điểm
1 3
1 3. 2
2 2
z i i
2 os .sin
3 3
c i
2 os .sin
3 3
c i
.
0,25
0,25
6 6
6 6
2 os .sin
3 3
z c i
6
2 1 .0 64
i
0,25
0,25
. 0 ì ì ï ï = + = + ï ï ï ï ï ï = - + = - + ï ï ï ï Û í í = - ï = - ï ï ï ï ï ï - - + = + - - + - - + = ï ï ï î ï î x 1 y 2 z 3 t 1 ì ï = - ï ï ï = - ï ï Û í ï = ï ï ï = - ï ï î 0,50 . + ï ï ï = - + ï ï í ï = - ï ï ï + - - = ï ï î x 2 3t x 2 y 1 t y 1 z 1 t z 1 3(2 3t) ( 1 t) (1 t) 4 0 t 0 ì ì ï ï = + = ï ï ï ï ï ï = - + = - ï ï ï ï Û Û í í ï ï = - = ï ï ï ï ï ï + + - + - - - = = ï. DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ MẪU THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2013 Trường THPT Núi Thành Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN