PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM ĐIỆP – NINH BÌNH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2020 2021 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (6,0 điểm) a) Phân tích thành nhân tử 2 2 21 2 2a bc a[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM ĐIỆP – NINH BÌNH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN : TOÁN NĂM HỌC 2020-2021 Thời gian làm : 150 phút Bài (6,0 điểm) 2 a) Phân tích thành nhân tử : 2a 2bc a b c 3 b) Chứng minh x y z 3xyz chia hết cho x y z Tìm thương phép chia c) Giải phương trình x x 15 x 25 0 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức A x3 x 1 x2 x 1 x2 1 x2 x 1 x2 x (với x 1) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị x để A x 1 Bài (3,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c khác khác đôi thỏa mãn 1 0 a b c a) Chứng minh a 2bc a b a c b) Tính giá trị biểu thức A 2020a 2021bc 2020b 2021ac 2020c 2021ab a 2bc b ac c 2ab Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D AB CA a) Chứng minh BD AB b) Kẻ OM vng góc với CD M,từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,5 điểm) Cho số dương x, y, z có tổng Tìm giá trị nhỏ A xy xy ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) 2 d) Phân tích thành nhân tử : 2a 2bc a b c 2a 2bc a b c a 2a 1 b 2bc c 2 a 1 b c a b c a b c 3 e) Chứng minh x y z 3xyz chia hết cho x y z Tìm thương phép chia Ta có : A x3 y z xyz x y 3xy x y z 3xyz x y z 3xy x y 3xyz x y z x y x y z z 3xy x y z x y z x xy y xz yz z 3xy x y z x y z xy yz zx 2 Vậy A chia hết cho x y z, thương phép chia x y z xy yz zx f) Giải phương trình x x 15 x 25 0 x x 15 x 25 0 x3 x x 10 x x 25 0 x 5 x x x 0 x x 0( ktm) Vậy phương trình có tập nghiệm S 5 Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức A x3 x 1 x2 x 1 x2 1 x2 x 1 x2 x (với x 1) c) Rút gọn biểu thức A Với x 1 , ta có : A x3 x 1 x2 x 1 x2 1 x2 x 1 x2 x3 x x 1 x 1 1 x2 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x x 1 2x x 1 x2 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x d) Tìm tất giá trị x để A x Với x 1 để A x : 1 x x3 x x3 1 x 1 x 1 x x x3 x x x x x 0 x 0(tmdk ) x x x x 1 0 1 x x x x x x 2 Vậy x 0 giá trị cần tìm Bài (3,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c khác khác đôi thỏa mãn 1 0 a b c c) Chứng minh a 2bc a b a c Với ba số thực a, b, c khác khác đơi một, ta có : 1 ab bc ca 0 0 ab bc ca 0 bc ab ac a b c abc 2bc ab ac bc a 2bc a ab ac bc a bc a a b c a b a b a c Vậy a 2bc a b a c d) Tính giá trị biểu thức A 2020a 2021bc 2020b 2021ac 2020c 2021ab a 2bc b ac c 2ab Từ ý a) ta có a 2bc a b a c Chứng tương tự ta : b 2ac b c b a , c 2ab c b c a Khi : 2020a 2021bc 2020b 2021ac 2020c 2021ab A a 2bc b ac c 2ab 2020 a 2bc 2019bc 2020 b 2ac 2019ac 2020 c 2ab 2019ab a 2bc b 2ac c 2ab bc b c ac a c ab a b ac ab bc 6060 2019 6060 2019 a b a c b c a 2bc b 2ac c 2ab b c bc a c ac ab a b c a b c a b a b ab a b 6060 2019 6060 2019 a b a c b c a b a c b c a b c ac bc ab a b a c b c 6060 2019.1 4041 6060 2019 6060 2019 a b a c b c a b a c b c Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D D M C A I H O B E AB CA d) Chứng minh BD AB Xét ACO BOD có : CAO OBD 90 gt AOC BDO (cùng phụ với BOD ) AC BO AC.BD AO.BO AO BD AB AB AO BO Mặt khác O trung điểm AB AB AB AC AC.BD 2 BD AB e) Kẻ OM vng góc với CD M,từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH ACO ∽ BOD ( g.g ) Gọi E giao điểm CO, BD Xét OAC OBE có : OAC OBE 90 , AOC BOE (đối đỉnh), OA OB( gt ) OAC OBE ( g c.g ) OC OE DCE có DO vừa trung tuyến, vừa đường cao nên cân D DO phân giác ODM ODB Lại có OD cạnh chung, OMD OBD 90 ODM ODB(ch gn) DM DB; OM OB Mà OB OA OM OA OCA OCM (ch cgv ) CM CA Gọi I giao điểm BC , MH ta có : IH BI AC BC (hệ định lý talet) DM BI AB ) IM / / BD (cùng vng góc với DC BC (hệ định lý Talet) IM CM IM BD AB ) IM / / BD (cùng vng góc với BD CD CM CD (theo hệ định lý IH / / AC (cùng vng góc với AB) Talet) Chú ý CM CA, DM DB(cmt ) nên ta có : IH BI DM BD IM IM IH IM I AC BC DC DC CM AC trung điểm MH f) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Tứ giác ABDC hình thang vng có hai đáy AC , BD Đường cao AB nên có diện tích : S ABDC AC BD AB Mà theo chứng minh câu b) ta có AC CM , BD DM AC BD CM DM CD Mặt khác, theo quan hệ đường vng góc , đường xiên ta có : CD AB S ABDC AB 2 AB Vậy diện tích tứ giác ABDC nhỏ CD AB ABDC hình chữ nhật, AC BD CD AB OA 2 Vậy điểm C thuộc tia Ax cho AC OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,5 điểm) Cho số dương x, y, z có tổng Tìm giá trị nhỏ A xy xy Với số dương x, y, z có tổng ta có : x y z 1 x y z 1 1 Vì a b 2 0 a b 2ab a b 4ab với a, b nên ta có : x y z 4 x y z Từ (1) (2) ta có : 4 x y z x y 4 x y z 4.4 xy.z 16 xyz Vậy x y z Min A 16 x y x y z 1 x y z 1 x y 16 xyz