SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2021 2022 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian lầm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 Rút gọn biểu thức [.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ THI MƠN : TỐN Thời gian lầm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) x 12 x x P x 3 x x Câu Rút gọn biểu thức (với x 0, x 9, x 64) y x 3, y 6 x Câu 2.Cho hàm số y mx (với m 0) có đồ thị đường thẳng d1 , d d m Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d m cắt hai đường thẳng d1 d hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm điểm B có hồnh độ dương Câu Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z 1 xy yz zx xyz Tính giá trị biểu thức B x y y15 z15 z 2021 x 2021 Câu Giải phương trình x x x x x Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 2x m 2m x 2x x y 2 xy x y x y x 12 y x Câu Giải hệ phương trình Câu 7.Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M , N theo thứ tự trung HM , CK 3 điểm cạnh AC HC, K đối xứng với A qua N Cho Tính độ dài đoạn thẳng BK Câu 8.Cho tam giác ABC vng C có BAC 30 , Gọi H điểm đối xứng với B qua C Trên cạnh AB, AH lấy điểm I K Hai đường thẳng BK HI cắt E Biết diện tích tứ giác AKEI diện tích tam giác BEH Tính IEB Câu 9.Cho tam giác ABC vuông cân B Gọi O trung điểm AC I điểm tùy ý cạnh BC (I khác B C) Đường thẳng d qua C, song song với AB cắt đường thẳng AI K Gọi E giao điểm hai đường thẳng OI BK Chứng minh CE vng góc với BK Câu 10 Cho ba số thực dương a, b, c a11 b11 c11 a b6 c6 2 2 Chứng minh bc ca ab a b c ĐÁP ÁN x 12 x P x 3 x Câu Rút gọn biểu thức x 12 x x P x 3 x x x 2 x8 (với x 0, x 9, x 64) x 2 x x 24 x x x 3 x x 3 x x 3 x x x 3 x 3 x x x x x 24 x 2 x y x 3, y 6 x Câu 2.Cho hàm số y mx (với m 0) có đồ thị d1 , d d m m đường thẳng Tìm tất giá trị tham số để đường thẳng d m cắt hai đường thẳng d1 d hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm điểm B có hồnh độ dương Điều kiện để d m đô thị hàm số bậc m 0 Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d m : 0,5 x mx m 0,5 x 3 Điều kiện để phương trình có nghiệm âm m 1 0 m 2 Phương trình hồnh độ giao điểm d d m : x mx m 1 x 6 Điều kiện để phương trình có nghiệm dương m m Vậy điều kiện cần tìm m 0,5; m 0 Câu Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z 1 xy yz zx xyz Tính giá trị biểu thức B x y y15 z15 z 2021 x 2021 x y z 1 1 z 1 x y xy yz zx xyz xy yz zx xyz Ta có : x z y zx y 1 y y xz y 1 y 1 xz y y 1 0 xz y *) y 1 x z x 2021 z 2021 x 2021 z 2021 0 B 0 *) xz y 0 1 x xz z 1 x z z 1 0 z 1 x 1 0 x 1 y z 0 y15 z15 0 B 0 3 z 1 x y 0 x y 0 B 0 x x x x x Câu Giải phương trình x x x x x x 4 x x x x x x 4 x x x x x 7;5 x 2 x x 4 x x x x 10 x 25 0 x 5(tm) x x 7(tm) Vậy Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2m x x có hai nghiệm phân biệt 2m x2 2x m x x Đặt t x x Phương trình thành : 2m t 2m t 2t mt 2m t m t 2m 0 t x2 2x m m2 4m 8m m Để phương trình đề có hai nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm t m 0 m 2m Vậy m thỏa đề x y 2 xy x y x y x 12 y x Câu Giải hệ phương trình x y 2 xy x y 1 2 x y x 12 y x 1 x y 2 xy x y x xy y x y 0 2 x y x y 0 x y 1 0 y x Thay vào (2) ta có : x3 x 1 x 12 x 1 x x3 3x x x 11 x x x3 3x 3x x x x x x 1 x 1 3 x 8 3 x 17 x x 0 x 1 x x x 3 x y 17 Câu 7.Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AC HC, K đối xứng với A qua N Cho HM , CK 3 Tính độ dài đoạn thẳng BK A M B H N C K AHCK hình bình hành nên CK BC AC HM AC 5 1 2 AB 3, 75 BC AB AI 6, 25 AH AB AC 769 BK BC CK (cm) Câu 8.Cho tam giác ABC vuông C có BAC 30 , Gọi H điểm đối xứng với B qua C Trên cạnh AB, AH lấy điểm I K Hai đường thẳng BK HI cắt E Biết diện tích tứ giác AKEI diện tích tam giác BEH Tính IEB A K I E H C B CAH CAB 30 BAH 60 ABH BAH can tai A Vì B, H đối xứng qua AC nên S BEI S AIEK S BEI S S S BAK S BEH S AIKE BEH BHI S BEH S HEK S AIEK S HEK S AHI S BHK Vì BH BI sin HBI BH BI S BHI AB AK sin BAK AB AK S BAK Lại có : mà SCHI SCAK BH BI BA.AK Mà BH AB (do ABH đều) BI AK , mà AB AH AB BI AK AH AI HK Xét BHI ABK có: BH AB; B A 60 , BI AK BHI ABK (c.g c) ABK BHI IBE IHB IBE ∽ IHB ( g g ) IEB IBH 60 Câu 9.Cho tam giác ABC vuông cân B Gọi O trung điểm AC I điểm tùy ý cạnh BC (I khác B C) Đường thẳng d qua C, song song với AB cắt đường thẳng AI K Gọi E giao điểm hai đường thẳng OI BK Chứng minh CE vng góc với BK A O I C B E x K CK / / AB CK BC AB BC xBK BCE (cùng phụ với CBE ) mà xBK CKE (hai góc so le Ax / /CK ) BCE CKE mà BCE ECK 90 ECK CKE 90 CEK vuông E CE BK Câu 10 Cho ba số thực dương a, b, c a11 b11 c11 a b6 c6 2 2 Chứng minh bc ca ab a b c a11 a11 abc 2 abc 2a bc Sử dụng bất đẳng thức Cơ si ta có bc 11 b11 c abc 2b , abc 2c ab Tương tự ta có : ca a11 b11 c11 2 a b c 3abc Từ suy bc ca ab Vậy ta cần chứng minh Hay a b6 c6 a b c 3abc a b6 c a 2b c 2 6abc 9 abc 2 6 2 Ta sử dụng bất đẳng thức Co-si : a b c 3a b c Do ta cần chứng minh Đặt t abc, t 0, BDT trở thành 9a b c 9t 6abc 9 abc 2 6t 9 t2 Sử dụng bất đẳng thức Cosi ta : 9t 6 6t 9t t 1 6t 12 9( dfcm) t t t Đẳng thức xảy a b c 1