ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ L[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 5/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên, tháng 5/2018 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Chuẩn lôgarit ma trận 1.1 Chuẩn ma trận 1.1.1 Chuẩn véc tơ 1.1.2 Chuẩn ma trận Chuẩn lôgarit ma trận 1.2.1 Khái niệm chuẩn lôgarit 1.2.2 Một số tính chất chuẩn lơgarit Một số ứng dụng 16 1.3.1 Cận cho nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 16 1.3.2 Sai số phương pháp Euler ẩn 18 1.3.3 Sai số phương pháp Newton-Raphson 22 1.2 1.3 Chuẩn lôgarit cặp ma trận 25 2.1 Chuẩn lôgarit cho cặp ma trận 25 2.1.1 Khái niệm mở đầu 25 2.1.2 Định nghĩa chuẩn cặp ma trận 26 2.1.3 Chuẩn lôgarit cặp ma trận 35 i 2.2 Chuẩn lơgarit cho tốn tử tuyến tính vơ hạn chiều 40 2.3 Sự tăng nghiệm 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Bảng ký hiệu kxkp chuẩn p kxk∞ chuẩn vô kAkP chuẩn ma trận A P kA, BkV chuẩn cặp ma trận A, B V h·, ·i tích vơ hướng k · km b chuẩn véc tơ Rm Q> ma trận chuyển vị ma trận Q µ(A) chuẩn lơgarit ma trận A µP (A) chuẩn lơgarit P AP −1 Rn×n khơng gian ma trận vng cỡ n × n exp hàm lũy thừa số e B(x∗ ; r) hình cầu mở tâm x∗ , bán kính r σ(A, B) tập phổ cặp ma trận ρ(A, B) bán kính phổ cặp ma trận diag ma trận đường chéo Ir ma trận đơn vị cỡ r × r D+ đạo hàm bên phải bD A ma trận nghịch đảo Drazin Ab Mở đầu Khi nghiên cứu định lượng phương trình vi phân tuyến tính phương trình vi phân đại số, người ta quan tâm đến tính bị chặn nghiệm chúng Rõ ràng, đại lượng liên quan đến độ đo ma trận hệ số Thơng thường, việc làm ta liên tưởng đến chuẩn ma trận Song chuẩn ma trận đại lượng không âm nên không cho ta ước lượng chặt cho tính bị chặn nghiệm Việc giới thiệu sử dụng khái niệm chuẩn lôgarit ma trận giúp ta khắc phục điều Khơng vậy, cịn sử dụng nhiều đánh giá tính phân tích tính hội tụ số phương pháp số giải phương trình vi phân Mặc dù có tầm quan trọng vậy, chuẩn lôgarit không giới thiệu chương trình đại học cao học Chính lẽ đó, chúng tơi chọn đề tài “Về chuẩn lôgarit ma trận” để làm luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Chuẩn lôgarit ma trận Trước tiên, nhắc lại khái niệm chuẩn thông thường ma trận Sau đó, chúng tơi trình bày chi tiết định nghĩa nhiều tính chất phong phú Cuối cùng, Chương I kết thúc số ứng dụng chuẩn lôgarit ma trận Chương Chuẩn lôgarit cặp ma trận Chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn lơgarit cho cặp ma trận (A, B) tính chất chuẩn lơgarit cặp ma trận Khái niệm cịn mở rộng cho cặp tốn tử tuyến tính vơ hạn chiều Cuối cùng, nghiên cứu tăng nghiệm hệ vi phân đại số có hệ số thay đổi Luận văn kết thúc với phần kết luận tài liệu tham khảo Mặc dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý thầy để luận văn hồn chỉnh ý nghĩa Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10A; Nhà trường phòng chức Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lan Anh Chương Chuẩn lôgarit ma trận Chương trình bày khái niệm, phát biểu chứng minh tính chất số ứng dụng chuẩn lơgarit Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2–4, 7, 8] Đáng ý, chúng tơi tự chứng minh nhiều tính chất mà tài liệu liệt kê 1.1 Chuẩn ma trận Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm chuẩn ma trận Trước tiên, nhắc lại khái niệm chuẩn khơng gian tuyến tính Đây kiến thức học chương trình giải tích hàm Song trình bày đây, chúng tơi chọn nhấn mạnh đến khía cạnh tính tốn nên trình bày khơng gian hữu hạn chiều Khái niệm chuẩn ma trận sau trình bày dựa hai cách: chuẩn toán tử tuyến tính khơng gian hữu hạn chiều chuẩn véc tơ Để đảm bảo tính ngắn gọn, chứng minh cho phát biểu lược Người đọc tìm hiểu tài liệu chúng tơi tham khảo [3] 1.1.1 Chuẩn véc tơ Chuẩn sử dụng để tính tốn sai số phép tính ma trận, cần hiểu làm để tính tốn vận dụng chúng Định nghĩa 1.1.1 Chuẩn khơng gian tuyến tính Rn hàm k ·k : Rn −→ R, thỏa mãn tất tính chất sau đây: 1) kxk ≥ 0, kxk = x = 0; 2) kαxk = |α|kxk với vô hướng α; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk Ví dụ 1.1.2 Các chuẩn phổ biến kxkp = 1/p p i |xi | P với ≤ p < ∞ mà ta hay gọi chuẩn p, chuẩn kxk∞ = maxi |xi |, mà ta gọi chuẩn ∞ hay chuẩn vơ cực Ta chứng minh dễ dàng rằng, kxk chuẩn C ma trận không suy biến bất kỳ, kCxk chuẩn Bây ta định nghĩa tích vơ hướng, khái qt hóa tích vô hướng tiêu P chuẩn i xi yi phát sinh thường xuyên đại số tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Cho Rn khơng gian tuyến tính thực Hàm số h·, ·i : Rn ×Rn −→ R gọi tích vơ hướng tính chất sau thỏa mãn: 1) hx, yi = hy, xi; 2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi; 3) hαx, yi = αhx, yi với vô hướng α thực; 4) hx, xi ≥ 0, hx, xi = x = Ví dụ 1.1.4 Trên R, hx, yi = y > x = P i xi y i tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.5 x y trực giao hx, yi = Một tính chất quan trọng tích vơ hướng thỏa mãn bất đẳng thức p Cauchy-Schwartz Điều dẫn đến việc ta chứng minh hx, xi chuẩn 5 Bổ đề 1.1.6 Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz |hx, yi| ≤ Bổ đề 1.1.7 p p hx, xihy, yi hx, xi chuẩn Có tương ứng − tích vơ hướng ma trận đối xứng xác định dương định nghĩa Những ma trận xuất thường xuyên ứng dụng Định nghĩa 1.1.8 Một ma trận thực đối xứng A xác định dương x> Ax > với x 6= Ta viết tắt đối xứng xác định dương s.p.d Bổ đề 1.1.9 Cho B = Rn h·, ·i tích vơ hướng Thì có ma trận A s.p.d cỡ n × n mà hx, yi = y > Ax Ngược lại, A s.p.d y > Ax tích vô hướng Hai bổ đề cho phép so sánh chuẩn khác không gian hữu hạn chiều Bổ đề 1.1.10 Cho k · kα k · kβ hai chuẩn Rn Có số C1 , C2 > mà, với x, C1 kxkα ≤ kxkβ ≤ C2 kxkα Ta nói chuẩn k · kα k · kβ tương đương với số C1 , C2 Bổ đề 1.1.11 kxk2 ≤ kxk1 ≤ kxk∞ √ nkxk2 , √ ≤ kxk2 ≤ nkxk∞ , kxk∞ ≤ kxk1 ≤ nkxk∞ 1.1.2 Chuẩn ma trận Định nghĩa 1.1.12 k.k chuẩn ma trận ma trận cỡ m × n ma trận vectơ khơng gian m.n chiều: 1) kAk ≥ 0, kAk = A = 0; 2) kαAk = |α|kAk ; 3) kA + Bk ≤ kAk + kBk Ví dụ 1.1.13 maxij |aij | gọi chuẩn max P |aij |2 1/2 = kAkF gọi chuẩn Frobenius Định nghĩa hữu ích cho việc chặn chuẩn tích ma trận Định nghĩa 1.1.14 Cho k · km×n chuẩn ma trận ma trận m × n, k · kn×p chuẩn ma trận ma trận n × p Các chuẩn gọi tương thích kABkm×p ≤ kAkm×n kBkn×p , A ma trận m × n B ma trận n × p m Định nghĩa 1.1.15 Cho A ma trận m × n, k · km b chuẩn vectơ R k · knb chuẩn vectơ Rn Thì kAkm bn b = max x6=0 x∈Rn kAxkm b kxknb gọi chuẩn toán tử hay chuẩn cảm sinh Bổ đề cung cấp nguồn lớn chuẩn ma trận, ta sử dụng chúng cho giới hạn sai số Bổ đề 1.1.16 Một chuẩn toán tử chuẩn ma trận Định nghĩa 1.1.17 Một ma trận thực Q vuông trực giao Q−1 = Q> Bổ đề tóm tắt tính chất chủ yếu chuẩn ma trận giới thiệu Bổ đề 1.1.18 kAxk ≤ kAkkxk với chuẩn vectơ chuẩn tốn tử nó, 2− chuẩn vectơ chuẩn ma trận Frobenius; kABk ≤ kAkkBk với chuẩn toán tử chuẩn ma trận Frobenius Nói cách khác chuẩn tốn tử (hay chuẩn Frobenius) đồng với nó; Chuẩn max chuẩn Frobenius khơng chuẩn toán tử; kQAZk = kAk A Z trực giao hay đơn vị với chuẩn Frobenius với chuẩn toán tử sinh k · k2 Đây Định lý Pythagore; kAk∞ ≡ maxx6=0 P kAxk∞ = maxi j |aij | = giá trị lớn tổng giá trị tuyệt kxk∞ đối phần tử theo hàng; kAk1 ≡ maxx6=0 P kAxk1 = kA> k∞ = maxj i |aij | = giá trị lớn tổng kxk1 giá trị tuyệt đối phần tử theo cột; kAk2 ≡ maxx6=0 kAxk2 = kxk2 q λmax A> A , λmax biểu thị giá trị riêng lớn nhất; kAk2 = kA> k2 ; kAk2 = maxi |λi (A)| A chuẩn tắc, tức là, AA> = A> A; 10 Nếu A n × n, n−1/2 kAk2 ≤ kAk1 ≤ n1/2 kAk2 ; 11 Nếu A n × n, n−1 kAk2 ≤ kAk∞ ≤ n1/2 kAk2 ; 12 Nếu A n × n, n−1 kAk∞ ≤ kAk1 ≤ nkAk∞ ; 13 Nếu A n × n, kAk1 ≤ kAkF ≤ n1/2 kAk2 1.2 1.2.1 Chuẩn lôgarit ma trận Khái niệm chuẩn lôgarit Mệnh đề 1.2.1 Giả sử k.k chuẩn ma trận bất kì, E, A ma trận cỡ kEk = Khi giới hạn µ(A) = lim h→0+ kE + hAk − h tồn hữu hạn Chứng minh Với h ∈ R, ta định nghĩa hàm số ϕ(h) := kE + hAk Do chuẩn hàm liên tục nên dễ thấy ϕ hàm liên tục theo h Với số thực h1 , h2 , ta có ϕ h1 + h2 1 = (E + h1 A) + (E + h2 A) 2 1 ≤ kE + h1 Ak + kE + h2 Ak 2 1 = ϕ(h1 ) + ϕ(h2 ) 2 Do đó, ϕ hàm lồi R Từ tính chất hàm lồi [1], ϕ ln có đạo hàm phải hữu hạn điểm Nói riêng ϕ(h) − ϕ(0) h h→0+ kE + hAk − kEk = lim+ h h→0 kE + hAk − = lim+ = µ(A) h h→0 ϕ0 (0+ ) = lim tồn hữu hạn Từ phát biểu trên, xét trường hợp riêng E ma trận đơn vị, ta có định nghĩa chuẩn lôgarit 9 Định nghĩa 1.2.2 Cho A ma trận vng thực cỡ n × n, k.k chuẩn ma trận không gian ma trận vng Rn×n Khi đó, chuẩn lơgarit ma trận A ký hiệu µ(A) định nghĩa giới hạn µ(A) = lim h→0+ kI + hAk − h Nhận xét 1.2.3 Chuẩn lôgarit ma trận không thỏa mãn tiên đề chuẩn, chẳng hạn, số âm, hay µ(A) = không dẫn đến A = Tuy nhiên, tính chất số âm lại điểm lợi so với chuẩn khác sử dụng chuẩn để đánh giá tính bị chặn nghiệm phương trình vi phân Ngồi ra, có tính chất phong phú khác mà ta tìm hiểu mục 1.2.2 Một số tính chất chuẩn lơgarit Mệnh đề 1.2.4 Chuẩn lơgarit có tính chất sau (i) µ(I) = 1, µ(−I) = −1, µ(0) = 0; (ii) µ(A + cI) = µ(A) + c, c ∈ R; (iii) µ(A + B) ≤ µ(A) + µ(B); (iv) µ(αA) = |α|µ(sgn(α)A), ∀ α ∈ R, sgn(α) = −1 nói riêng, µ(αA) = αµ(A), ∀ α ≥ 0; (v) −kAk ≤ −µ(−A) ≤ µ(A) ≤ k(A)k; (vi) |µ(B) − µ(A)| ≤ max{|µ(B − A)|, |µ(A − B)|} ≤ kB − Ak; α ≥ ; α < 10 (vii) Một giá trị riêng λ A ln thỏa mãn −µ(−A) ≤ Reλ(A) ≤ µ(A); (viii) Với x ∈ Rn , kAxk ≥ max{−µ(−A), −µ(A)}kxk; (ix) Giả sử A ma trận khơng suy biến Khi ≥ max{−µ(−A), −µ(A)} kA−1 k Chứng minh (i) Thật vậy, ta có kI + hIk − (h + 1)kIk − = = 1, h h (1 − h)kIk − −h kI + h(−I)k − = = = −1 h h h Ta có kI + h0k − h h→0+ kIk − = lim = h h→0+ µ(0) = lim (ii) Thật vậy, ta nhận thấy kI + h(A + cI)k − = h kI + h Ak − 1 + hc + c h + hc Cho h → 0+ , khẳng định chứng minh (iii) Ta ln có 1 kI + h(A + B)k − = (I + 2hA) + (I + 2hB) − 2 1 ≤ (kI + 2hAk − 1) + (kI + 2hBk − 1) 2 Chia hai vế cho h > cho h → 0+ , ta suy (iii) 11 (iv) Với α > 0, Từ kI + h(αA)k − kI + (hα)Ak − = α, h hα với α > 1, cho h → ∞, ta suy µ(αA) = αµ(A) Trong trường hợp α = 0, µ(αA) = αµ(A) Với α < 0, ta có kI + hαAk − kI + h(−α)(−A)k − = (−α) h h(−α) Cho h → 0+ , ta µ(αA) = µ(−A)(−α) Kết hợp với chứng minh trên, ta suy µ(αA) = |α|µ(sgn(α)A) (v) Do µ(−A) ≤ kAk nên −µ(−A) ≥ −kAk Để chứng minh −µ(−A) < µ(A), ta xét quan hệ = kI + h(A − A)k − 1 (k(I + 2hA) + I + 2h(−A)k − 2) ≤ [(kI + 2hAk − 1) + (kI + 2h(−A)k − 1)] = Chia cho h > ta 0≤ kI + 2hAk − kI + 2h(−A)k − + 2h 2h Cho h −→ 0+ , ta ≤ µ(A) + µ(−A) hay −µ(−A) ≤ µ(A) Ta chứng minh µ(A) ≤ kAk Thật vậy, với h > 0, ta có kI + hAk − |kI + hAk − kIk| kI + hA − Ik khAk = ≤ = = kAk h h h h Cho h → 0+ , ta suy điều phải chứng minh 12 (vi) Bất đẳng thức thứ hai dễ dàng suy từ (v) tính chất k · k Xét bất đẳng thức thứ nhất, trước tiên ta kiểm tra µ(B − A) µ(A − B) trái dấu Nếu µ(B) − µ(A) ≥ Từ (iii) µ(B − A) + µ(A) ≥ µ(B) hay µ(B − A) ≥ µ(B) − µ(A) Nếu µ(B) − µ(A) < 0, từ (iii), ta có µ(B) + µ(A − B) ≥ µ(A) hay > µ(B) − µ(A) > −µ(A − B) (vii) Ta chứng minh Reλ(A) ≤ µ(A) Thật vậy, gọi x vec tơ riêng ứng với giá trị riêng λ có kxk = Khi đó, ∀ h ∈ R k(I + hA)xk = k(1 + hλ)xk = |1 + hλ| = p (1 + hReλ)2 + (hImλ)2 = + hReλ + O(h2 ) Vì thế, với h > Reλ = k(I + hA)xk − kI + hAk − + O(h) ≤ + O(h) h h Cho h → 0+ , ta suy điều phải chứng minh Ta chứng minh −µ(−A) ≤ Reλ(A) 13 Cho e ∈ Cn véc tơ đặc trưng A, ứng với giá trị riêng λ, Ae = λe kI + h(−A)k ≥ |e − hλe| Bởi vậy, − kI + h(−A)k − |e − hλe| − |1 − hλ| − ≤− =− h h h Khi h −→ 0, vế phải tiến đến Reλ vế trái tiến đến −µ(−A) ta bất đẳng thức thứ hai (viii) ∀h > 0, ta có kx − (I − hA)xk h kI − (I − hA)kkxk ≥ h kI − hAk − kIk ≥− kxk h kI − hAk − h→0+ kxk −−−−−−→ −µ(−A)kxk =− h kAxk = Tương tự, k((I + hA) − I)xk h k(I + hA) − Ik kxk ≥ h kI + hAk − h→0+ ≥− kxk −−−−−−→ µ(−A)kxk h kAxk = (ix) Thật vậy, 1 kAxk = = inf −1 yk = −1 kA kxk kA k x6=0 kxk sup kyk sup kAxk y6=0 x6=0 ≥ max{−µ(−A), −µ(A)} (theo tính chất (viii) Mệnh đề 1.2.5 Nếu A(t) hàm liên tục theo t [a, b] hàm γ(t) = µ(A(t)) hàm liên tục [a, b] 14 Chứng minh Với ε > 0, A hàm liên tục theo t, k.k hàm liên tục theo A nên ta chọn δ cho ∀t1 , t2 ∈ [a, b] mà |t1 −t2 | < δ kA(t1 )−A(t2 )k < ε Sử dụng tính chất (vi) Mệnh đề 1.2.4, ta suy |γ(t1 ) − γ(t2 )| = |µ(A(t1 )) − µ(A(t2 ))| ≤ kA(t1 ) − A(t2 )k < ε Mệnh đề 1.2.6 Chuẩn lôgarit hàm lồi Nghĩa là, ∀λ ∈ [0, 1] : µ(λA + (1 − λ)B) ≤ λµ(A) + (1 − λ)µ(B) Chứng minh Tính chất suy trực tiếp từ tính chất (iii) (iv) Mệnh đề 1.2.4 Ta tìm hiểu ảnh hưởng phép biến đổi tuyến tính chuẩn lôgarit ma trận Mệnh đề 1.2.7 Giả sử k.k chuẩn cho Rn Kí hiệu P ∈ Rn×n ma trận khơng suy biến Ta định nghĩa kxkP := kP xk kí hiệu µP (.) chuẩn lơgarit tương ứng Khi µP (A) = µ P AP −1 Chứng minh Ta có kAxkP x6=0 kxkP kAkP = sup kP Axk x6=0 kP xk = sup kP AP −1 P xk kP xk x6=0 = sup = kP AP −1 k 15 Từ kI + hAkP − h h→0 −1 kP P + hP AP −1 k − = lim+ h h→0 µP (A) = lim+ = µ(P AP −1 ) Mệnh đề 1.2.8 Kí hiệu µmax , µ1 µ2 chuẩn lôgarit ma trận ứng với chuẩn ma trận k.kmax , k.k1 k.k2 Khi đó, ta có n X |aij | aii + µmax (A) = max 1≤i≤n µ1 (A) = max ajj + n X 1≤j≤n ; j=1 j6=i |aij | ; i=1 i6=j µ2 (A) = max {λi (sgn(A))} 1≤i≤n A + A> λi giá trị riêng ma trận sgn(A) = Chứng minh Với h > 0, ta ln có kI + hAkmax = max i = max i = max i |1 + haii | + h n X p |aij | j=1 j6=i + 2haii + h2 |aii |2 + h n X |aij | j=1 j6=i + haii + h n X |aij | j=1 j6=i = + h max i n X j=1 j6=i aii + |aij |2 + O(h2 ) + O(h2 ) ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LAN ANH VỀ CHUẨN LÔGARIT CỦA MA TRẬN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS... chương trình đại học cao học Chính lẽ đó, chúng tơi chọn đề tài ? ?Về chuẩn lôgarit ma trận? ?? để làm luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Chuẩn lôgarit ma trận Trước tiên,... hiệu kxkp chuẩn p kxk∞ chuẩn vô kAkP chuẩn ma trận A P kA, BkV chuẩn cặp ma trận A, B V h·, ·i tích vơ hướng k · km b chuẩn véc tơ Rm Q> ma trận chuyển vị ma trận Q µ(A) chuẩn lơgarit ma trận A