ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN
I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3
1
x
y
x
.
2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm
1;1
I và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao
cho I là trung điểm của đoạn MN.
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
cos3 sin 2 3 sin3 cos2
x x x x
.
2. Giải hệ phương trình
3 3
2 2
3 4
9
x y xy
x y
.
Câu III: (2,0 điểm)
1. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
2 2
2 1 1
m x x m
có nghiệm.
2. Chứng minh
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
với mọi số dương
; ;
a b c
.
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều
. ' ' '
ABC A B C
có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (A’BC) bằng
2
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
.
II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B.
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu Va: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua
2;1
M và
tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
4
.
Câu VI.a: (2,0 điểm)
1. Giải bất phương trình
2 2
2
1 log log 2 log 6
x x x
.
2. Tìm
2
ln
x dx
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm
1
3;
2
M
. Viết phương trình chính
tắc của elip đi qua điểm M và nhận
1
3;0
F
làm tiêu điểm.
Câu VI.b: (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình
2 2
1
2 3
x y
y x x y
.
2. Tìm nguyên hàm của hàm số
cos2 1
cos2 1
x
f x
x
.
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
Tập xác định:
\ 1
D R
.
0,25 đ
Sự biến thiên:
Giới hạn và tiệm cận:
lim 1; lim 1 1
x x
y y y
là TCN.
1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
là TCĐ
0,25 đ
2
4
' 0,
1
y x D
x
.
BBT: Hàm số đồng biến trên các khoảng
; 1 , 1;
Và không có cực trị.
0,25 đ
Ý 1
(1,0đ)
Đồ thị: ĐT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và đối xứng qua
1;1
.
0,25 đ
Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k
: 1 1
d y k x
.
Ta có: d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N
3
: 1
1
x
PT kx k
x
có 2 nghiệm PB khác
1
.
0,25 đ
Hay:
2
2 4 0
f x kx kx k
có 2 nghiệm PB khác
1
0
4 0 0
1 4 0
k
k k
f
.
0,25 đ
Mặt khác: 2 2
M N I
x x x
I là trung điểm MN với
0
k
.
0,25 đ
KL: PT đường thẳng cần tìm là
1
y kx k
với
0
k
.
0,25 đ
Câu I
(2,0đ)
Ý 2
(1,0đ)
Chú ý: Có thể chứng minh đồ thị ( C) có I là tâm đối xứng, dựa vào
đồ thị ( C) để kết luận kết quả trên.
Ta có: PT
cos3 3sin3 3cos2 sin2
x x x x
1 3 3 1
cos3 sin3 cos2 sin 2
2 2 2 2
x x x x
cos 3 cos 2
3 6
x x
.
0,50 đ
Do đó:
3 2 2 2
3 6 6
x x k x k
.
0,25 đ
Ý 1
(1,0đ)
Và:
2
3 2 2
3 6 10 5
k
x x k x
0,25 đ
Ta có :
2 2
9 3
x y xy
.
0,25 đ
Câu II
(2,0đ)
Ý 2
(1,0đ)
. Khi:
3
xy
, ta có:
3 3
4
x y
và
3 3
. 27
x y
Suy ra:
3 3
;
x y
là nghiệm PT
2
4 27 0 2 31
X X X
0,25 đ
Vậy ngiệm của PT là
3 3
2 31, 2 31
x y
Hay
3 3
2 31, 2 31
x y .
0,25 đ
Khi:
3
xy
, ta có:
3 3
4
x y
và
3 3
. 27
x y
Suy ra:
3 3
;
x y
là nghiệm PT
2
4 27 0( )
X X PTVN
0,25 đ
Đặt
2
1
t x
. ĐK:
1
t
, ta có:
2
2 1 1
m t t m
0,25 đ
Hay:
1
1
2
m t t
t
. Xét
2
1 1
' 1
2
2
f t t f t
t
t
0,25 đ
2
2
4 3
' , ' 0 1( ), 3( )
2
t t
f t f t t l t l
t
.
0,25 đ
Ý 1
(1,0đ)
Dựa vào BBT, ta kết luận
4
3
m
.
0,25 đ
Ta có:
2
1
2
2
a ab ab
a a a ab
a b a b
ab
(1) 0,50 đ
Tương tự:
2
1
2
b
b bc
b c
(2),
2
1
2
c
c ca
c a
(3).
0,25 đ
Câu III
(2,0đ)
Ý 2
(1,0đ)
Cộng (1), (2), (3), ta có:
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
0,25 đ
Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với A’M
Ta có:
( ' )
'
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA
.
0,25 đ
Mà ' ( ' )
2
a
AH A M AH A BC AH
.
0,25 đ
Mặt khác:
2 2 2
1 1 1 6
'
4
'
a
AA
AH A A AM
.
0,25 đ
Câu IV
(1,0đ)
KL:
3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V .
0,25 đ
Gọi d là ĐT cần tìm và
;0 , 0;
A a B b
là giao điểm của d với Ox,
Oy, suy ra:
: 1
x y
d
a b
. Theo giả thiết, ta có:
2 1
1, 8
ab
a b
.
0,25 đ
Khi
8
ab
thì
2 8
b a
. Nên:
1
2; 4 : 2 4 0
b a d x y
.
0,25 đ
Khi
8
ab
thì
2 8
b a
. Ta có:
2
4 4 0 2 2 2
b b b
.
Với
2
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
b d x y
0,25 đ
Câu Va
(1,0đ)
Với
3
2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0
b d x y
. KL
0,25 đ
Câu VIa
(2,0đ)
Ý 1
(1,0đ)
ĐK:
0 6
x
. BPT
2
2
2 2
log 2 4 log 6
x x x
.
0,25 đ
Hay: BPT
2
2 2
2 4 6 16 36 0
x x x x x
0,25 đ
Vậy:
18
x
hay
2
x
0,25 đ
So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là
2 6
x
.
0,25 đ
Đặt
2
2
ln
u x du dx
x
và
dv dx
chọn
v x
0,25 đ
Suy ra :
2 2 2
ln ln 2 ln 2
I x dx x x dx x x x C
0,50 đ
Ý 2
(1,0đ)
KL:
2 2
ln ln 2
I x dx x x x C
0,25 đ
PTCT elip có dạng:
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
0,25 đ
Ta có:
2 2
2 2
3
1
4
3 1
a b
a b
0,25 đ
Ta có:
4 2 2 2
3
4 3 0 1( ), ( )
4
b b b th b kth
0,25 đ
Câu Vb
(1,0đ)
Do đó:
2
4
a
. KL:
2 2
1
4 1
x y
0,25 đ
2 2
1 0 , 1
y x x y y x y x y x y x
.
0,50 đ
Khi:
1
y x
thì
2
6
2 3 6 9 log 9
x x x
x
0,25 đ
Ý 1
(1,0đ)
Khi:
y x
thì
1
2
3
2
2 3 3 log 3
3
x
x x
x
.
0,25 đ
Ta có:
2
tan
f x x
.
0,25 đ
2
1
1
cos
f x
x
.
0,25 đ
Câu VIb
(2,0đ)
Ý 2
(1,0đ)
KL:
tan
F x x x C
.
0,50 đ
…HẾT…
. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN I. PHẦN CHUNG D NH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7, 0 điểm) Câu I: (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của. 1 x f x x . Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Tập xác định: 1 D R . 0 ,25 đ Sự biến thi n: Giới hạn và tiệm cận: lim. 0 ,25 đ Vậy: 18 x hay 2 x 0 ,25 đ So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6 x . 0 ,25 đ Đặt 2 2 ln u x du dx x và dv dx chọn v x 0 ,25 đ Suy