PHẦN CHUNG CHO MỌI THÍ SINH
Câu I (2 điểm). Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 1
y x x m x
có đồ thị là (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm những giá trị của m để đường thẳng
1
y x
cắt đồ thị (C
m
) tại 3 điểm phân biệt A(0;
1),
B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Câu II (2 điểm).
1. Giải hệ phương trình
3 3
3 3
x y
y x
2. Giải phương trình
2
1 cos
2(1 sinx)(1 tan )
sinx cos
x
x
x
Câu III (2 điểm)
1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm I(2;
2)
bán kính R = 1 quanh trục hoành.
2. Trong không gian cho hai điểm A, B cố định, độ dài đoạn AB = a > 0. Ax và By là hai nửa
đường thẳng vuông góc với nhau và cùng vuông góc với AB. Trên Ax và By lấy hai điểm M và
N sao cho MN = b (với b là một số cho trước và b > a).
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN.
b) Xác định vị trí của M và N sao cho tứ diện ABMN có thể tích lớn nhất.
Câu IV (1 điểm). Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
3 2
1 ( 1) (1 ) 1
x m x m x
.
PHẦN TỰ CHỌN: Mỗi thí sinh chỉ chọn câu Va hoặc Vb
Câu Va (3 điểm). Chương trình cơ bản
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm P(3; 1) và hai đường thẳng có phương trình là
1
:2 1 0
d x y
và
2
: 2 3 0
d x y
. Viết phương trình đường thẳng đi qua P và tạo với hai
đường thẳng
1 2
à
d v d
một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
1 2
à
d v d
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1 2 1
:
2 1 1
x y z
2
1 2 3
:
2 1 2
x y z
và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x -2y +6z + 5 = 0. Viết phương trình
mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) đồng thời song song với
1
và
2
.
3. Tìm phần thực của số phức
2009
1 i
Câu Vb. (3 điểm). Chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol
( )
H
có phương trình
2 2
2 2
1
x y
a b
và M là điểm
bất
kỳ thuộc (H). Gọi d
1
, d
2
là các đường thẳng đi qua M và song song với các đường tiệm cận của
(H). Chứng minh rằng hình bình hành tạo bởi d
1
, d
2
và các đường tiệm cận của (H) có diện tích
không đổi.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 3; - 2), B(0; 0; 1), C(2; 0; 1). Tìm t
ọa
độ của điểm M sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Giải bất phương trình
2 4
0,5 2 16
log 4log 4 log
x x x
. 1 :2 1 0 d x y và 2 : 2 3 0 d x y . Viết phương trình đường thẳng đi qua P và tạo với hai đường thẳng 1 2 à d v d một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 2 à d v d . 2 thuộc (H). Gọi d 1 , d 2 là các đường thẳng đi qua M và song song với các đường tiệm cận của (H). Chứng minh rằng hình bình hành tạo bởi d 1 , d 2 và các đường tiệm cận của (H) có diện tích không. x 2 + y 2 + z 2 + 4x -2 y +6z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) đồng thời song song với 1 và 2 . 3. Tìm phần thực của số phức 200 9 1 i Câu Vb. (3 điểm).