Nắm trọn chuyên đề môn toán năm 2021 mũ logarit và tích phân phần 2

CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT CHỦ ĐỀ 5: BPT MŨ, BPT LOGARIT LÝ THUYẾT Định nghĩa: • Bất phương trình mũ có dạng ax  b (hoặc a x  b , a x  b , a x  b ) với a  0, a  Định lí, quy tắc: Ta xét bất phương trình dạng ax  b • Nếu b  bất phương trình vơ nghiệm • Nếu b  bất phương trình tương đương với ax  aloga b ▪ Với a  nghiệm bất phương trình x  log a b (Hình 1) ▪ Với  a  nghiệm bất phương trình x  log a b (hình 2) Hình • Hình Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình ax  b cho bảng sau: Tập nghiệm ax  b 0a1 a 1 b0 ( log b0 a ( −; log b ) b; +  ) a Phương pháp đưa số • f x g x Nếu gặp bất phương trình a ( )  a ( ) xét hai trường hợp: ▪ f x g x Trường hợp 1: Nếu a  bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) ▪ f x g x Trường hợp 2: Nếu  a  bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) Phương pháp đặt ẩn phụ • 2f x f x Ta thường gặp dạng: m.a ( ) + n.a ( ) + p  0,(1) ▪ f x Đặt t = a ( ) , t  đưa pt ( 1) dạng phương trình bậc 2: mt + nt + p  ▪ Giải bất phương trình tìm nghiệm t kiểm tra điều kiện t  sau tìm nghiệm x ▪ f x f x f x f x m.a ( ) + n.b ( ) + p  , a.b = Đặt t = a ( ) , t  , suy b ( ) = t ▪ ▪ 172 m.a f ( x) + n ( a.b ) f ( x) + p.b f ( x)  Chia hai vế cho b f ( x) a đặt   b f ( x) =t 0 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Phương pháp hàm số, đánh giá • Định nghĩa ▪ Hàm số f gọi đồng biến K u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) ▪ Hàm số f gọi nghịch biến ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) • Định lí, quy tắc: ▪ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến khoảng ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; f ( u )  f ( v )  u  v ▪ Nếu hàm số f nghịch biến khoảng ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; f ( u )  f ( v )  u  v ▪ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến đoạn  a; b  f ( x ) = f ( a ) max f ( x ) = f ( b )  a ; b   a ; b  ▪ Nếu hàm số f nghịch biến đoạn  a; b  f ( x ) = f ( b ) max f ( x ) = f ( a )  a ; b   a ; b  • Nhận xét ▪ Khi tốn u tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm với x  D m  max f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) D D ▪ Khi tốn u tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm với x  D m  max f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) D D Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 173 CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: x x 1 a)    32 2 2x 1 x +1 b)    9 d) 2x + 2x+1  3x + 3x−1 e) 5 c)   7 3x  3x − f) 11 x2 − x +1 x+6 5   7 2x −1  11x Lời giải x −5 x 1 1 1 a) Ta có:    32        x  −5 2 2 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; −5 ) b) Điều kiện: x  −1 x 2x 2x 1 2x 2x   −2 x x +1 x +1     −2 x   + 2x   2x  + 1    x+1 x+1 9  x+1   2x ( x + ) x+1  x  −2 0  −1  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; −2 )  ( −1; ) 5 c) Ta có:   7 x2 − x +1 5   7 2x −1  x − x +  2x −  x − 3x +    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 1; ) x d) Ta có: + x x +1 3 +3 x x −1 3  3.2  3x      x  2 x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 1; ) e)  3x  x  3x 3x − 3 x 0 x  x −2 −2    x  log Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;log )  (1; + ) f) Ta có: 11 x+6  11x 11 x+6 x  −6  x    x +  x  11  x +  x    x   −6  x   x    −2  x      x +  x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −  6;  174 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: a) 16x − 4x −  b) 4x − 3.2x +  d) 2x + 4.5x −  10x e) x − 21− x c) 1  x +1 + −1 x 1 f) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình: x + ( m − 1) x + m  nghiệm x  Lời giải a) Đặt t = 4x ( t  ), bất phương trình cho tương đương với t − t −   −2  t    t   x  log Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;log 3 2x  x  b) Ta có: − 3.2 +    x    x  x x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;0 )  ( 1; + ) c) Đặt t = 3x ( t  ), bất phương trình cho tương đương với 3t −  1     t   −1  x  t + 3t − 3t −  t + Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −1;1 ( ) ( ) d) Ta có: x + 4.5x −  10 x  x − 10 x + 4.5x −   x − x − − x  (  − 5x )(  1 − 5x   5x  x  x  2 −   2 x −4 0     x x  1 −   5  x  2 −   2 x   ) 1 4 x   1 x  4 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; )  ( 2; + ) e) Điều kiện: x  Ta có: x − 21− x 1 x − 2 x 1 ( ) Đặt t = t  t  ( )  t −   t − t −    t       t  x Do x   t  x    x Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  0;1) f) Đặt log x − log x   log x  0  x  −1 0  bất phương trình log x ( log x − 1) x  log x  cho thành: t + ( m − 1) t + m  nghiệm t   t2 − t  − m nghiệm t  t +1 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 175 CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Xét hàm số g ( t ) = t − + 2 , t  3, g ' ( t ) = −  0, t  t +1 t + ( ) 3 Hàm số đồng biến  3; + ) g ( ) = Yêu cầu toán tương đương −m   m  − 2 VÍ DỤ a) Giải bất phương trình 3.2x + 7.5x  49.10x − b) Tìm tất giá trị m để bất phương trình m.4x + (m − 1).2x+ + m −  nghiệm với x  c) Cho bất phương trình 4x − 2018m.2x−1 + − 1009m  Tìm giá trị nguyên dương nhỏ tham số m để bất phương trình cho có nghiệm là? Lời giải x a) Ta có 3.2 x + 7.5x  49.10 x −  x x x 3.2 x + 7.5x + 1 1    49    +   +    49 x 10 5 2  10  x x 1 1   Xét hàm số f ( x ) =   +   +   , x  5 2  10  x x x 1 1 1 1  1  1 Mặt khác: f  ( x ) =   ln   +   ln   + 2.  ln    0, x  5 5 2 2  10   10   Hàm số f ( t ) nghịch biến Mặt khác f ( −1) = 49  f ( x )  f ( −1)  x  −1 Vậy nghiệm bất phương trình x  −1 b) Ta có: m.4 x + ( m − 1).2 x + + m −   m  4.2 x + ( 1) x + 4.2 x + Đặt 2x = t , t   Bất phương trình ( 1)  m  Xét hàm số f (t ) = 4t + t + 4t + 4t + −4t − 2t ,  t  0; + f '( t ) = có ( ) t + 4t + t + 4t + ( )  0,  t  (0; +)  Hàm số f ( t ) nghịch biến khoảng (0; + ) Ta có bảng biến thiên Từ ta có  f ( t )  1, t  ( 0; + ) Để (1) nghiệm với x thuộc tập m  c) Đặt t = 2x ( t  ) 176 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Khi bất phương trình trở thành t − 1009mt + − 1009m   1009 m  t2 + t +1 t2 + t + 2t − , t  ( 0; + ) có f  ( t ) = Xét hàm số f ( t ) = , t +1 ( t + 1) t = Giải phương trình: f  ( t ) =  t + 2t − =   t = −3  ( L ) Ta có bảng biến thiên: Bất phương trình có nghiệm 1009m  f ( t ) =  m  ( 0; + ) 1009 Vậy m = số nguyên dương nhỏ thỏa yêu cầu tốn Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 177 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT Định nghĩa: • Bất phương trình lơgarit đơn giản có dạng log a x  b (hoặc loga x  b, log a x  b, log a x  b ) với a  0, a  Định lí, quy tắc: • Ta xét bất phương trình dạng loga x  b ▪ Nếu a  log a x  b  x  ab (Hình 1) ▪ Nếu  a  log a x  b   x  a b (Hình 2) Hình • Hình Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình log a x  b cho bảng sau: Tập nghiệm log a x  b a 1 0a1 x  ab  x  ab Phương pháp đưa số • Nếu gặp bất phương trình log a f ( x )  log a g ( x ) xét hai trường hợp: ▪  g ( x )  Trường hợp Nếu a  bất phương trình    f ( x )  g ( x ) ▪  f ( x )  Trường hợp Nếu  a  bất phương trình   f x  g x ( ) ( )  Phương pháp đặt ẩn phụ • Nếu gặp bất phương trình m.log 2a f ( x ) + n log a f ( x ) + p  0, (1) ▪ Đặt t = log a f ( x ) , đưa ( 1) dạng mt + nt + p  ; giải tìm t từ tìm nghiệm x Ngồi ra, cịn sử dụng linh hoạt quy tắc hàm số, phương pháp đánh giá nêu phương trình mũ, phương trình logarit bất phương trình mũ Việc sử dụng đa dạng phương pháp giúp em tối ưu hóa toán trở nên đơn giản dễ dàng 178 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: ( ) a) log ,4 (5 x + 2)  log ,4 ( x + ) b) + log ( x − )  log x − x + c) 2log x +  − log ( x − ) d) log x − x −  log 0,5 ( x − 1) + ( ) e) log ( log ( x − 1) )  Lời giải a) Điều kiện: x  − Ta có: log ,4 (5 x + 2)  log ,4 ( x + )  5x +  3x +  2x   x    Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình là: S =  − ;    ( ) log x2 − 3x + − log ( x − )  b) Ta có: + log ( x − )  log x − x +    x  ( ) log ( x − 1)     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ( 2; )  x  c) Ta có: 2log x +   x +  − log ( x − )   x −  log x + + log x −  ) ) 2(  2(  x  x   x     2x3  x − x −  ( x + 1)( x − )  −2  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ( 2;  d) Điều kiện : x  ( ) ( ) log x − x −  log 0,5 ( x − 1) +  log  x − x − ( x − 1)      1−  x   x − x − ( x − 1) −   x − x − x     x  + ( ) ) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = 1 − 2;   1 + 2; +    2 x −   x  e) Điều kiện:  log (2 x − 1)  Ta có: log ( log ( x − 1) )   log ( log ( x − 1) )  log 1 2 log (2 x − 1)  0  x −    1 x  2 x −  log (2 x − 1)  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 179 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT  3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  1;   2 VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: b) log x − log x  a) log 02 ,2 x − 5log ,2 x  −6 2 c) 2log x − 10 x log x +3  Lời giải a) Điều kiện: x  log 0,2 − 5log 0,2 x  −6   log 0,2 x   1 x 125 25 b) Điều kiện : x  0; x  1; x  log x  0  x  −1 0  log x ( log x − 1) x  log x  log x − log x   c) Điều kiện: x  (*) Đặt u = log x  x = 2u ( ) Bất phương trình cho trở thành 2u − 10 2u −u +   2u − 10 2u +  (1) t  −5 (l) u  2  u   u2    Đặt t = 2u , t  (1)  t + 3t − 10    t  u  Với u   log x   x  Với u  −1  log x  −1  x  Kết hợp điều kiện (*), ta nghiệm bất phương trình cho x   x  VÍ DỤ a) Tìm số nghiệm phương trình log ( )   x − +  log  + 8  x −1  b) Có tất cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 x2 − x − −log3 = 5−( y + )   4 y − y − + ( y + )  c) Có số nguyên dương m đoạn −  2018 ; 2018  cho bất phương trình (10 x ) m+ log x 10 11  10 10 log x với x  ( 1;100 ) Lời giải x −  x2 a) Điều kiện xác định:  x −  VT = log 180 ( ) x − +  log ( ) = Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Ta có x   x −   x −1 1 x −1 +89   VP = log  +   log =  x −1   x−2 =0 VT =  Suy VT   VP Do phương trình có nghiệm   x=2 = VP =   x −1 Vậy x = nghiệm 3 x2 −2 x−3 −log3 = 5−( y + 4) (1)  b)  4 y − y − + ( y + )  ( ) Biến đổi phương trình ( 1) ta Do x − x −  0, x  3 x2 − x − x2 − x − = 5− y −  1, x   5− y −   − y −   y  −3 Với y  −3 , ta có bất phương trình ( )  −4 y + y − + ( y + )   y + y   y  −3  x = −1  y = −3  x − x − =   x = Vậy có hai cặp ( x; y ) thỏa mãn ( 3; −3 ) , ( −1; −3 ) c) (10x ) m+ log x 10 11  10 10 log x  log x  11  m+  ( log x + 1)  log x 10  10   ( log x + 10 m )( log x + 1) − 11log x   10 m ( log x + 1) + log x − 10log x  Do x  ( 1;100 )  log x  ( ; ) 10m ( log x + 1) + log x − 10log x   10 m  Đặt t = log x , t  ( ; ) Xét hàm số f ( t ) = Đạo hàm: f  ( t ) = 10 − 2t − t ( t + 1) 10t − t , t  ( 0; ) t +1  t  ( 0; )  Hàm số f ( t ) đồng biến Do f ( )  f ( t )  f ( )   f ( t )  Để 10m  10log x − log x log x + 16 10log x − log x 16 với x  ( 1;100 ) 10m   m  15 log x + 8  Do m   ; 2018  hay có 2018 số thỏa mãn  15  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 181 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT 182 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Câu 1: Có số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log ( x + mx + 1) = log ( x + m ) có hai nghiệm thực phân biệt A 18 Câu 2: Có số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình D log ( mx ) = có hai nghiệm thực phân log ( x + 1) C 15 B D 23 Có số ngun khơng âm m để phương trình ln ( x + mx + m ) = ln ( x + ) có hai nghiệm phân biệt A Câu 5: C Vô số B biệt A 22 Câu 4: D 16 Có số nguyên m để phương trình + log ( x + 1) = log ( mx + x + m ) có nghiệm thực A Câu 3: C 17 B 19 B C Tập tất giá trị thực m để phương trình log D ( x + m + 1) = log ( m2 − x + 4mx ) có nghiệm thực  −2 3  A   ;      −2 3  D   ;  42      −2 3  C   ;  4+2    Câu 6:  −2 3  B  ;  42     Hỏi có giá trị nguyên m nằm đoạn  −2017; 2017  để phương trình log ( mx ) = log ( x + 1) có nghiệm A 2017 Câu 7: C 2018 B 4014 Cho phương trình log 9+ ( 2x − x − 4m + 2m ) + log −2 D 4015 x + mx − 2m = Tìm tập hợp giá trị thực tham số m để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22  2 1 2  A ( −;0 )   ; +   B ( −1;0 )   ;  5 2 5  Câu 8: 1  D  −1;  2  Có số nguyên dương m để phương trình log ( 64 x + m ) − = log ( x ) có nghiệm thực A 10 Câu 9:  2 C  0;   5 B C 11 D Có số nguyên m để phương trình log ( x + m ) = log ( x ) có hai nghiệm thực phân biệt A 23 B Vô số C 21 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D 22 183 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 10: Có số nguyên m  2018 để phương trình log ( 2018 x + m ) = log (1009 x ) có nghiệm thực? A 2019 C 2017 B 2018 D 2020 ( ) Câu 11: Có tất số nguyên m để phương trình log ( m − x ) = 3log − x − có hai nghiệm thực phân biệt A B C D Câu 12: Gọi S tập tất giá trị thực tham số m cho 10m log mx −5 ( x − x + ) = log A 15 Câu 13: Tìm mx −5 (x B 14 tập hợp giá phương trình + x − ) có nghiệm thực Tìm số phần tử S C 13 trị thực D 16 tham số m để log1+ ( x + m − 1) + log −1 ( x − mx + 2m − 1) = có hai nghiệm phân biệt phương trình 1  A  ; +  \ 1 2   1 C  0;   1  2 B ( 0; + ) \ 1  1 D  0;   2 Câu 14: Có số nguyên m  ( −2018; 2018 ) để phương trình log ( mx ) = 3log ( x + 1) có hai nghiệm thực phân biệt? A 2011 B 2012 Câu 15: Tập log 3+ hợp giá ( x + m − 1) + log3−2 1  A  ; +  \ 1 2  trị C 4028 thực để m x − mx + 2m − 1) = có nghiệm ( B ( 0; + ) \ 1 tham D 2017 số  1 C  0;   1  2 Câu 16: Có số nguyên m để phương trình log mx −1 ( x + 1) = log A C Vơ số B Câu 18: Có số nguyên m để phương trình A B C 19 trình  1 D  0;   2 mx −1 (2 x − 3x + 3) có nghiệm D Câu 17: Có số nguyên m (−20;20) để phương trình log mx −1 ( x + 1) = log có hai nghiệm thực phân biệt A 18 B 17 phương mx −1 (2 x − 3x + 3) D 16 ln(mx − 8) = có hai nghiệm thực phân biệt ln( x − 1) C D Câu 19: Có số m ngun để phương trình log5 (6 x + m) = log (x + 1) có hai nghiệm thực phân biệt? A B C Vơ số D Câu 20: Có số nguyên m để phương trình ln(x + 2) = ln(x − x + m) có ba nghiệm thực phân biệt? A 184 B C D Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 21: Có số nguyên m để phương trình log (mx − x ) + log (−14 x + 29 x − 2) = có nghiệm A 18 B Vô số C 23 D 22 1  Câu 22: Có số nguyên m để phương trình ln  x −  = ln ( mx − ) có hai nghiệm thực phân biệt x  A B C D 10 Câu 23: Có số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log ( x ) = log ( x + m ) có nghiệm thực A 18 C B 20 D 19 Câu 24: Có số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log ( mx ) = log ( x + ) có nghiệm thực A 18 C 12 B 20 Câu 25: Có số nguyên m ( 20; 20) để phương trình log ( mx) thực phân biệt A 18 B 20 D 19 D 19 C 12 Câu 26: Có số nguyên m ( 20; 20) để phương trình log x bốn nghiệm thực phân biệt A B hai nghiệm thực phân biệt A B C log x mx C 32 Câu 27: Có số nguyên m ( 20; 20) để phương trình log x có hai nghiệm log x mx có mx có D 34 log x mx D ( ) Câu 28: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình log (mx) = log x + x + có nghiệm thuộc ( 0; + ) A (3 + 2; +) Câu 29: Có số log 3+ 2 ( x + m − 1) + log 3− A 18 C ( 6; +  ) B [6; +) nguyên m  ( −20; 20 ) ) D 3 + 2; + để phương trình ( mx + x ) = có nghiệm 2 B 19 C 21 D 20 Câu 30: Biết phương trình log ( x − + m) = + log ( m + x − x ) có nghiệm Mệnh đề đúng? A m (0;1) B m (1;3) C m (3;6) D m (6;9) Câu 31: Có số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log x + log ( m − x ) = có nghiệm thực A 24 B 14 C 23 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D 15 185 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 32: Có số nguyên m  ( −20; 20 ) để phương trình log x + log ( m − x ) = có hai nghiệm thực phân biệt A 12 C 13 B 11 D 10 Câu 33: Cho phương trình 3log 27  x − ( m + 3) x + − m  + log  x − x + − 3m  = Số giá trị ngun m cho phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2  15 là: A 14 B 11 D 13 C 12 Câu 34: Tập hợp tất giá trị thực m để phương trình log ( 2sin x − 1) + log ( cos x + m ) = có nghiệm −5 A  ; +   2   −1  B  ;  2  Câu 35: Có số nguyên m để phương trình 3x  −1  C  ; +     − x + m +1  −1  D  ;    ( + 3x − m+1 = 3x −3 x phân biệt, đồng thời tích ba nghiệm nhỏ 27? A B C 10 Câu 36: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m log mx −5 ( x − x + 12 ) = log A mx −5 ) + có ba nghiệm thực D thỏa phương trình x + có nghiệm Tìm số phần tử S B C D Câu 37: Cho phương trình x = m.2 x.cos ( x ) − Phương trình có nghiệm thực m = m0 , mệnh đề đúng? A m0  −5 B m0  C m0   −5; −1) ( D m0   −1;0 ) ) Câu 38: Có số nguyên m để phương trình 9.32 x − m 4 x + x + + 3m + 3x + = có nghiệm thực phân biệt? A Vô số B C D Câu 39: Tìm tất giá trị thực tham số a cho phương trình x + = a3x cos ( x ) có nghiệm thực A a = −6 B a = C a = −3 D a = Câu 40: Tìm tất giá trị thực tham số a cho phương trình 10 x + 102− x = a cos ( x ) − có nghiệm thực A a = −20 B a = 18 C a = −22 D a = 22 Câu 41: Có giá trị nguyên dương tham số m để tồn hai số thực x , y thỏa mãn đồng thời e3x+5 y −10 − ex+3 y −9 = − x − y log 52 ( 3x + y + ) − ( m + ) log ( x + ) + m + = ? A 186 B C D Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT )( ( ) Câu 42: Cho phương trình e3m + e m = x + − x + x − x Tìm tập hợp giá trị tham số m để phương trình có nghiệm   A  0; ln    1  B  ln 2; +  2    D  −; ln     1 C  0;   e Câu 43: Cho phương trình 2x + x −2 x+m − 2x + x + x3 − 3x + m = Tập tất giá trị thực m để phương trình có nghiệm phân biệt có dạng ( a; b ) Tổng a + 2b A C −2 B D Câu 44: Có số nguyên a  ( −200; 200 ) để phương trình e x + e x + a = ln (1 + x ) − ln ( x + a + 1) có nghiệm thực A 399 B 199 D 398 C 200 Câu 45: Có số ngun m để phương trình log nghiệm phân biệt lớn A B 3x + 3x + m + 2x − x +1 C = x − x + − m có hai D Câu 46: Phương trình 52 x + 1− x − m.51− 1− x = 4.5 x có nghiệm m   a ; b  Giá trị biểu thức b − a A B C D Câu 47: Có cặp số nguyên ( a; b ) thỏa mãn  a, b  100 cho đồ thị hai hàm số 1 1 y = x + y = x + cắt hai điểm phân biệt b a b a A 9704 B 9702 C 9698 D 9700 Câu 48: Có số nguyên m để phương trình sau có ba nghiệm thực phân biệt: ( mx + ) log3 ( x + 1) ( mx + ) = − ( x − 1) ( mx + ) ? A B 10 C Câu 49: Có số nguyên m thực phân biệt? A 19 Câu 50: Biết log a 11 + log A a  ( 6;9 ) ( 20; 20 để phương trình 3x 1 x C 21 B 20 có D ) số thực x m có ba nghiệm D 18 x thoả mãn bất phương trình x + ax + 10 + log a ( x + ax + 12 )  Mệnh đề đúng? B a  ( 0;3) C a  ( 3; ) Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D a  ( 9; + ) 187 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A  x + m  Ta có: log x + mx + = log ( x + m )    x + mx + = x + m (*) ( ) (*)  m ( x − 1) = − x + x − Với Với x  1, (*)  m = − x − Xét f ( x ) = − x − x =  phương trình vơ nghiệm x −1 x = 1 ; f  ( x ) = −1 + =0 x −1 ( x − 1) x = Bảng biến thiên Để phương trình log ( x + mx + 1) = log ( x + m ) có hai nghiệm thực phân biệt   x  −m x  m  −1 x  x + x −1      m   m   m  m    m    m  −3        m  −3   m  −3   m  −3 Vậy có 18 giá trị m  ( −20; 20 ) để phương trình log ( x + mx + 1) = log ( x + m ) có hai nghiệm thực phân biệt Câu 2: Chọn B  x +  Ta có : + log ( x + 1) = log ( mx + x + m )   2 6 ( x + 1) = mx + x + m (*) 2 ( *)  ( − m ) x − x + − m = Với m =  x = Với m   phương trình có nghiêm  = − ( − m )     m  Vậy có giá trị m Câu 3: Chọn C  x  −1 log ( mx )  Điều kiện:  mx  Ta có: =  mx = x + x + 1(*) log ( x + 1) x   Với x =  phương trình (*) vô nghiệm Với x   m = 188 x2 + x + x Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Đặt f ( x ) = x = x2 + x + 1 , f ( x) = 1− ; f ( x) =   x x  x = −1 Bảng biến thiên Để phương trình log ( mx ) = có hai nghiệm thực phân biệt m  log ( x + 1) Vậy có 15 số nguyên m  ( −20; 20 ) Câu 4: Chọn D  x  −2  x  −2 PT     2 (2)  f ( x) = x + ( m − ) x + ( m − ) = ln ( x + mx + m ) = ln ( x + ) Để phương trình (2) cho có hai nghiệm thực lớn −2 ( m − ) − ( m − )       m  Vì  m  0;1; 2;3  f (−2)   4 − ( m − )   S  −4   − ( m − )  −2 Câu 5: Chọn C Ta có: log  x  −m − ( x + m + 1) = log ( m2 − x + 4mx )   2  ( x + m + 1) = m − x + 4mx   x  −m −    g ( x ) = x − ( 2m − ) x + + m = (2) Để phương trình (2) cho có nghiệm thực lớn −m − Trường hợp 1: Phương trình (2) có hai nghiệm thoả x1  −m −  x2   f ( −m − 1) = 3m −    3     S = 2m −  ( −m − 1)   3m − =  m   − ;  3       f ( −m − 1)   m  Trường hợp 2: Phương trình (2) nghiệm kép thoả x1,2  − m −  −2 3   = 4m2 − 32m + 32 =  m = + 2 Vậy m     ;  4+2 m −  −m −   Chọn C  x  −1  x  −1  Ta có: log ( mx ) = log ( x + 1)    2 mx = ( x + 1)  f ( x) = x + (2 − m) x + =  Câu 6:  (2) Để phương trình (2) cho có nghiệm thực lớn −1 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 189 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT   f ( −1) = m    (2) có hai nghiệm thoả x1  −1  x2   S = m −  −2   m =  m   f −1   m   ( )   = m − 4m =  m=4 (2) nghiệm kép thoả x1,2  −1   m −  −1   Vậy m   −2017; −1  4 , có 2018 số nguyên thoả Câu 7: Chọn A Ta có log 9+  log  log ( +2 +2 ) ( 2x ( 2x ( 2x 2 − x − 4m + 2m ) + log − x − 4m2 + 2m ) + log − x − 4m + 2m ) = log ( +2 −2 +2 (x ) − x + mx − 2m = x + mx − 2m2 = + mx − 2m )  x2 − x − 4m2 + 2m = x2 + mx − 2m2  x − ( m + 1) x − 2m + 2m = Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt  ( m + 1) − ( −2m + 2m )  2  9m2 − 6m +   ( 3m − 1)   m  Theo Vi-ét ta có:  x1 + x2 = m +  x x = m − m  Theo ta có: x + x   ( x1 + x2 ) Câu 8: 2 2  m  − x1 x2   ( m + 1) − ( 2m − 2m )   5m − 2m    m  2 Chọn A Ta có log ( 64 x + m ) − = log ( x )  log ( 64 x + m ) = log ( x ) + 64 x + m = 2t (1)  log ( 64 x + m ) = log ( 729 x ) = t   t ( 2) 729 x = Từ (2) ta có x = 3t = 3t −6 thay vào (1) ta : 64.3t −6 + m = 2t  2t − 64.3t −6 = m 729 Khảo sát hàm số f ( t ) = 2t − 64.3t −6 ta suy điều kiện để phương trình có nghiệm là: 32 = 10, ( )  m = 1; 2; ;10 ( m nguyên dương ) Suy có 10 giá trị nguyên dương tham số m thỏa mãn điều kiện đề 0m Câu 9: Chọn D 5 x + m = 5t (1) Ta có log5 ( x + m ) = log ( x ) = t   t ( 2)  x = Thay (2) vào (1) ta : 5.3t + m = 5t  5t − 5.3t = m 190 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Khảo sát hàm số f ( t = ) 5t − 5.3t ta BBT: suy điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt : −22,  m  Suy có 22 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện đề Câu 10: Chọn D t  1009 x = Có log ( 2018 x + m ) = log (1009 x ) = t    m + 2.4t = 6t t 2018 x + m =     2ln   Khi m = −2.4t + 6t  f ( t ) = f  log     −2, 0136   ln   Vậy m  −2; −1; ; 2017 có tất 2020 số nguyên thỏa mãn Câu 11: Chọn B  − 2x −   Phương trình tương đương với  m − x = − x − ( ) 3 19  x  2  m = x + − x −  ( ) ( *) 2t + t − 8t + 19 t − 8t + 19 Khi (*) thành m = 2  t =1 2t + t − 8t + 19 Xét hàm f ( t ) = với  t  có f  ( t ) = 3t + t − =   t = −  Bảng biến thiên: Đặt t = − x − 3, (  t  )  x = x y' + 131 y 19 Từ bảng biến thiên ta thấy (*) có hai nghiệm  m  19 , mà m   m  8;9 Vậy có hai giá trị m thỏa u cầu tốn Câu 12: Chọn A Ta có: Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 191 ... = x + mx − 2m2 = + mx − 2m )  x2 − x − 4m2 + 2m = x2 + mx − 2m2  x − ( m + 1) x − 2m + 2m = Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt  ( m + 1) − ( −2m + 2m )  2  9m2 − 6m +  ... , có 20 18 số nguyên thoả Câu 7: Chọn A Ta có log 9+  log  log ( +2 +2 ) ( 2x ( 2x ( 2x 2 − x − 4m + 2m ) + log − x − 4m2 + 2m ) + log − x − 4m + 2m ) = log ( +2 ? ?2 +2 (x ) − x + mx − 2m = x... “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” D 22 183 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 10: Có số nguyên m  20 18 để phương trình log ( 20 18 x + m ) = log (1009 x ) có nghiệm thực? A 20 19 C 20 17 B 20 18 D 20 20 ( ) Câu