Tai lieu toan sieu khung

CHƯƠNG 02: BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ MŨ, LƠGARIT Ở chương tốn vận dụng cao rơi vào dạng Lãi suất, dạng tính số chữ số số … CHỦ ĐỀ 1: TÍNH SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Sau nghiên cứu ứng dụng Logarit tron việc tính số chữ số số tự nhiên Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm phần nguyên số Phần nguyên số: Xét số thức A, số nguyên lớn mà không vượt A người ta gọi phần nguyên A kí hiệu [A] Như dễ thấy [A]  A [A]  Cơng thức tính số chữ số số tự nhiên: Xét số tự nhiên A thời biểu diễn dạng mũ hay dạng mà ta khơng đếm chữ số Gỉ sử A có n chữ số ta có cơng thức sau đây: n [lg A]+1 Trước vào chứng minh, muốn nhắc lại cho bạn cách phân tích số tự nhiên dạng tổng lũy thừa số 10, ví dụ 423 4.10  2.10  3; 5678 5.10  6.10  7.10  Chứng minh: Giả sử số tự nhiên A có n chữ số: A an an  1an  a1 an 10n  an  1.10n   an  10 n    a1 Suy log  A log  an 10n   an  1.10n  an  10 n    a1   log  10 n  n log  A log  an 10 Từ hai điều ta có: Giữa n  an  1.10 n  an  10 n   a1  log  an 10 n  n  n  log  A  n  log  A   n log  A   log  A  , log  A   có số tự nhiên lớn log  A   log  A    n  log  A   1 Vậy Sau ta sử dụng công thức để giải số tốn sau: BÀI TỐN ÁP DỤNG M p 2 p  Bài 1: Số nguyên tố dạng , p số nguyên tố, gọi số nguyên tố Mec-xen Số M 6972593 phát năm 1999 Hỏi viết số hệ thập phân có chữ số? Trích đề thi thử Chuyên Hưng Yên lần A 2098960 chữ số C 6972593 chữ số Giải: B 2098961 chữ số D 6972592 chữ số n  log  A    Đầu tiên ta cần biết: Số tự nhiên A có n chữ số 6972593  có chữ số, ta thấy 26972593  26972593 chắn có Ta cần tính số chữ số, giống 213 213−1 có chữ số n  log  A    6972593 Từ lập luậ ta tính số chữ số công thức: Áp dụng công thức ta được: n  log 26972593    6972593.log 2  2098960 Chọn B Bài 2: Người ta qui ước lg x log x giá trị log10 x Trong lĩnh vực kỹ thuật, lg x sử dụng nhiều, kể máy tính cầm tay hay quang phổ Hơn nữa, toán học người ta sử dụng lg x để tìm số chữ số số ngun dương Ví dụ số A có n chữ số n  lg A  với  lg A nhiêu chữ số? A 9999 chữ số Giải: 2017 số nguyên lớn nhỏ A Hỏi số B 2017 có bao B 6666 chữ số C 9966 chữ số D 6699 chữ số n  lg A  Áp dụng cơng thức để tìm chữ số số A 2017 2017 log 2017 6665 Ta có: log B log 2017 Vậy B có 6666 chữ số Chọn B M 2 p  Bài 3: Số nguyên tố dạng p , p số nguyên tố gọi số nguyên tố Mec-sen (Mersenne Marin, 1588-1648, người Pháp) + Ơ-le phát M 31 năm 1750 + Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp) phát M 127 năm 1876 + M 1398268 phát năm 1996 Hỏi viết ba số hệ thập phân mỗ số có chữ số? A 10; 39; 420921 B 10; 49; 42092 C 10; 69; 420923 Giải: Giả sử số nguyên tố M p 2 p  viết hệ thập phân có n chữ số 2 p 10n p khơng chứa thừa số nguyên tố nên p  10n ) n p n Suy ra: lg10  lg  lg10 hay n   p.lg  n Thay p 31 , ta 31.lg 9,33 hay 10 n D 10; 59; 4209 10 n M p 10n Suy n 10 Vậy số nguyên tố M 31 viết hệ thập phân có 10 chữ số Làm tương tự ta thấy M 127 có 39 chữ số số M 1398269 có 420921 chữ số Chọn A 756839 Bài 4: Số p 2 chữ số? A 227831 chữ số Giải:  số nguyên tố Hỏi viết hệ thập phân số có B 227832 chữ số C 227834 chữ số D 227835 chữ số n  lg A  Áp dụng cơng thức để tìm chữ số số A p 2756839   log  p  1 log 2756839  log  p  1 756839.log 227831, 24 Vậy số p có 227832 chữ số chọn B Bài 5: Đầu năm 2016, Curtis Cooper cơng nhóm nghiên Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn thời điểm Số nguyên tố dạng số Mersenne, 74207281  Hỏi M có chữ số? có giá trị M 2 A 2233862 chữ số B 22338618 chữ số C 22338617 chữ số D 2233863 chữ số Giải: n  lg A  Áp dụng cơng thức để tìm chữ số số A 74207281 74207281.log 22338617 Ta có: log M log Do M có 22338617 chữ số Chọn B Bài 6: Nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat người đưa khai niệm số Fermat n Fn 22  với n số ngun dương khơng âm Fermat dự đốn Fn số nguyên tố, Euler chứng minh F5 hợp số Hãy tìm số chữ số F13 A 1243 chữ số Giải: B 1234 chữ số C 2452 chữ số D 2467 chữ số 13 Ta có: F13 2  13 13 log F  log  log 2466 Suy F13 có 2467 chữ số Chọn D 13 Suy CHỦ ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN LÃI SUẤT Lãi đơn Số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh V V0   r.n  Cơng thức tính lãi đơn: n Trong đó: Vn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; V0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % Lãi kép Là số tiền lãi khơng tính số tiền gốc mà cịn tính số tiền lãi tiền gốc sinh thay đổi theo định kỳ n T T0   r  a Lãi kép, gửi lần: n Trong đó: Tn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % nr b Lãi kép liên tục: Tn T0 e Trong đó: Tn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % c Lãi kép, gửi định kỳ Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng Bài tốn 1: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền thu bao nhiêu? Người ta chứng minh số tiền thu là: m n Tn     r   1  r  Chứng minh Tháng Đầu tháng Chưa gửi m Cuối tháng m m 1  r   m m 1  r   m 1  r   m … n … … n m   r    m   r   m Vậy sau tháng n ta số tiền m 1  r   m Tn m   r  n m    r     m   r   m n     r   1  , u 1, un   r  Ta thấy ngoặc tổng n số hạng cấp số nhân có qn  m n S n u1   un u1 Tn     r   1   q  r Ta biết rằng: nên n , q 1  r Bài toán 2: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tiền gửi tháng m bao nhiêu? Ar m n 1 r   Người ta chứng minh số tiền cần gửi tháng là: Chứng minh: m n Tn     r   1   , mà đề cho số tiền A r Áp dụng tốn ta có số tiền thu m Ar n A     r   1  m  n  r  1  r   nên Bài toán 3: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tháng năm n bao nhiêu?  Ar  n log1r   1 m   Người ta chứng minh số tháng thu đề cho là: Chứng minh: Áp dụng tốn ta có số tiền thu A Tn  m n   r   1  r , mà đề cho số tiền A m Ar Ar n n  Ar     r     n log1r   1   r   1  m  n r m  m  1  r   nên Như trường hợp ta cần nắm vứng cơng thức Bài tốn từ dễ dàng biến đổi công thức toán 2, Bài toán Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng Bài tốn 4: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền thu bao nhiêu? m n Tn     r   1   r   r  Người ta chứng minh số tiền thu là: Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng m Cuối tháng m 1  r  m 1  r   m m 1  r   m 1  r   m m 1 r   m 1 r   m 1 r  … n … … … n m   r    m   r  2 m 1 r   m1 r  Vậy sau tháng n ta số tiền: n n Tn m   r    m   r  m    r      r   m   r    1 r  n 1 r Bài toán 5: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tiền gửi tháng m bao nhiêu? Ar m n   r     r   1 Người ta chứng minh số tiền cần gửi tháng là: Chứng minh m n Tn     r   1   r    r Áp dụng toán Ta có số tiền thu là: , mà đề cho số tiền A m Ar n   r   1   r   m  n  r   r     r   1 nên Bài toán 6: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tháng năm n bao nhiêu? A  Ar  n log1r   1  m 1 r   Người ta chứng minh số tháng thu đề cho là: Chứng minh m n Tn     r   1   r   r  Áp dụng toán Ta có: số tiền thu là: , mà đề cho số tiền A A nên m Ar Ar n n  1  r   1   r   1   r   m  n r m1 r    r     r   1  Ar   n log1r   1  m 1 r   Như trường hợp ta cần nắm vững cơng thức tốn từ dễ dàng biến đổi cơng thức tốn 5, toán Trường hợp vay nợ trả tiền định kì đầu tháng Bài tốn 7: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền nợ bao nhiêu? n Người ta chứng minh số tiền nợ là: Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng A m A1  r   m1  r   m Tn  A   r   m   r  1  r  n 1 r Cuối tháng  A  m 1  r  A1  r   m 1  r  2 A1  r   m 1 r   m 1  r  A1  r   m 1 r   m 1 r   m A1  r   m 1  r   m 1  r   m 1  r  … n … … … n n A   r   m   r    m   r   m   r  2 3 Vậy sau tháng n ta nợ số tiền: n n Tn  A   r   m   r    m   r   m   r  n n  A   r   m    r      r     n A1  r   m 1  r  1 r  n 1 r Trường hợp vay nợ trả định kì cuối tháng Bài toán 8: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r % (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năn) số tiền nợ bao nhiêu? n Tn  A   r   m   r  Người ta chứng minh số tiền nợ là: Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng Cuối tháng A A1  r   m 1  r  n 1 r A1  r   m A1  r   m1 r   m A1  r   m 1  r   m 1  r   m … n … … … n n A   r   m   r    m   r   m 2 A1  r   m 1  r   m Vậy sau tháng n ta nợ số tiền: n Tn  A   r   m   r  n n A1  r   m  1  r   n A1  r   m 1  r    m   r   m n     r   1  1 r  n 1 r Sau tìm hiểu cách áp dụng lý thuyết vào tốn tính tiền lãi, tiền nợ phải trả ? BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Một người muốn gửi tiết kiệm ngân hàng hi vọng sau năm có 850 triệu đồng để mua nhà Biết lãi suất ngân hàng tháng thời điểm 0, 45% Hỏi người tháng phải gửi vào ngân hàng tối thiểu tiền để đủ số tiền mua nhà? (Giả sử số tiền tháng lãi suất năm không thay đổi) A 15,833 triệu đồng B 16,833 triệu đồng C 17,833 triệu đồng Giải: D 18,833 triệu đồng Giả sử người gửi tiền thời điểm t đó, kể từ thời điểm sau năm (48 tháng) ông muốn có số tiền 850 triệu Như rõ ràng ta coi tốn gửi tiền định kì đầu tháng Ar m n   r     r   1 Áp dụng tốn ta có số tiền phải gửi tháng là: r 0, 45%  2000 Theo đề: n =48 tháng, Tiền thu được: 850 triệu đồng thay vào: 850000000 0, 45% 15,833 48   0, 45%     0, 45%   1 Chọn A Bài 2: Trích đề thi HK Chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng (chuyển vào tài khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1% tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn số tiền (gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh tiền ? (kết làm trịn theo đơn vị nghìn đồng) A 50 triệu 730 nghìn đồng B 50 triệu 740 nghìn đồng C 53 triệu 760 nghìn đồng D 48 triệu 480 nghìn đồng Giải: Ta có tổng số tiền A thu được, ban đầu gửi vào a đồng, từ đầu tháng sau gửi thêm a đồng (không đổi) vào đầu tháng với lãi suấ r% n tháng: a n A a    r     r   1   r Áp dụng với a = triệu đồng, r 1%, n 11 (từ đầu tháng đến cuối tháng 12)??? m A 4000000 n (1  1%)    1%   1  4000000 50730012,05   1% Chọn A Bài 3: Trích đề Minh họa năm 2017 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng số tiền hoàn nợ lần trả hết tiền nợ sau ba tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ơng A hồn nợ 100  1,01 m A (triệu đồng)  1,01 m 1,01   B (triệu đồng) 100.1,03 m C (triệu đồng) D 120  1,12  m  1,12   (triệu đồng) Giải: Lãi suất 12%/năm tương ứng 1%/tháng nên r 0,01 (do vay ngắn hạn) T  T r  m T   r   m Số tiền gốc sau tháng là: Số tiền gốc sau tháng là:  T (1  r )  m   T (1  r )  m r  m T   r   m    r   1 Số tiền gốc sau tháng là: T   r   m    r    r  1 0   m Do đó: Chọn B T 1 r  1 r  3 1  r 1  T   r  r 1,013    r   1,013  (triệu đồng) Bài 4: Ông A muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 tài khoản lãi suất năm 6,05% Hỏi ông A cần đầu tư tiền trê tài khoản vào ngày 2/3/2007 để đạt mục tiêu đề ra? A 14.909.965,25 (đồng) B 14.909.965,26 (đồng) C 14.909.955,25 (đồng) D 14.909.865,25 (đồng) Giải: Gọi V0 lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn đầu tư năm nên ta có: 20.000.000 V0   0,0605   V0 20.000.000   0,0605  5 14.909.965, 25 đ Chọn A Bài 5: Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm lãi suất hàng năm nhập vào vốn Hỏi theo cách sau năm ông Tuấn thu tổng số tiền 20 triệu đồng (biết lãi suất không thay đổi) A năm B năm C năm D 10 năm Giải: n   Gọi P số tiền gửi ban đầu Sau n năm  , số tiền thu là: n Pn P   0,084  P  1,084  n Áp dụng với số tiền đề cho ta được: 20  20  n n 20 9,8  1,084    1,084    n log1,084   8,844 9,8  9,8  n số tự nhiên nên chọn n = Chọn A Bài 6: Ông Tuấn gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm lãi năm nhập vào vốn Hỏi sau năm ông Tuấn thu gấp đôi số tiền ban đầu: A B C D 10 Giải: Gọi a số tiền ba đầu mà người gửi vào ngân hàng n nhận tăng gấp đôi Theo công thức lãi lép, ta có phương trình:  n   số năm mà số tiền n  271  a   0,084  2a    2  n log 271  250  250 Vì lãi suất tính theo năm nên đến cuối năm người nhận tiền Do đó, n= Chọn B n Bài 7: Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Nếu cuối tháng, tháng thứ anh A trả 5500000đ chịu lãi suất số tiền chưa trả 0,5% / tháng sau tháng anh A trả hết số tiền A n 64 B n 60 C n 65 D n 64,1 Giải: Gọi số tiền anh A nợ ban đầu M, lãi suất hàng tháng r % , số tiền hàng tháng phải trả a Với đề coi : “người nợ tiền nợ vào đầu tháng” a n n M   r      r   1 0  r Người trả hết nợ, nghĩa là: Thay số bấn shift Slove tính n = 64 với: M=300.000.000, r = 0,5%, a=5500.000 Chọn A Bài 8: Một người lĩnh lương khởi điểm 700.000 đ/tháng Cứ năm lại tăng lương thêm &% Hỏi sau 36 năm làm việc lĩnh tất tiền A 450788972 B 450788900 C 450799972 D 450678972 Giải: Từ năm thứ đến năm thứ 3, nhận được: u1 700.000 36 Từ đầu năm thứ đến hết năm thứ 6, nhận được: u2 700.000   7%  36 Từ đầu năm thứ đến hết năm thứ 9, nhận được: u3 700.000   7%  36 … Từ đầu năm thứ 34 đến hết năm thứ 36, nhận được: 11 u12 700.000   7%  36 Vậy sau 36 năm nhận tổng số tiền là: