Bài viết Tổng quan về mô đun nội xạ và các mở rộng của nó trình bày tổng quan về mô đun nội xạ và một số mở rộng của nó. Tác giả giới thiệu một số kết quả của các nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan và kết quả nghiên cứu gần đây của nhóm tác giả. Mục đích của bài báo nhằm giới thiệu một hướng nghiên cứu tiềm năng trong lý thuyết vành và mô đun hiện nay.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Thực phẩm 22 (4) (2022) 149-155 TỔNG QUAN VỀ MÔ ĐUN NỘI XẠ VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA NÓ Nguyễn Quốc Tiến*, Đào Thị Trang Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP.HCM *Email: tiennq@hufi.edu.vn Ngày nhận bài: 15/6/2022; Ngày chấp nhận đăng: 25/7/2022 TĨM TẮT Bài báo trình bày tổng quan mô đun nội xạ số mở rộng Tác giả giới thiệu số kết nghiên cứu ngồi nước có liên quan kết nghiên cứu gần nhóm tác giả Mục đích báo nhằm giới thiệu hướng nghiên cứu tiềm lý thuyết vành mơ đun Từ khóa: Mơ đun nội xạ, mô đun tựa nội xạ, mô đun bất biến đẳng cấu GIỚI THIỆU Khái niệm mô đun nội xạ R Baer đưa vào năm 1940, lớp mơ đun nội xạ có vị trí trung tâm đặc biệt lý thuyết vành mô đun mà từ nhà tốn học ln tìm cách mở rộng theo nhiều hướng khác có nhiều lớp mơ đun mở rộng đời Những năm gần đây, nước, nhóm nghiên cứu Lê Văn Thuyết, Trương Công Quỳnh đưa thêm nhiều tính chất lớp mơ đun tựa nội xạ, giả nội xạ, giả nội xạ cốt yếu, giả C -nội xạ, giả C + -nội xạ, giả S -nội xạ, vận dụng chúng để đặc trưng cho nhiều lớp vành; giới nhiều nhà toán học tiêu biểu Er, Singh, Srivastava, Asensio, Kosan, Lee, Zhou, liên tục cho kết liên quan Khi xem vành R R mô đun phải iđêan phải R -mô đun Năm 1969, Jain Singh nghiên cứu lớp vành mà iđêan phải tựa nội xạ, lớp vành gọi q-vành phải họ số đặc trưng quan trọng cho lớp vành [1] Sau đó, G Ivanov tổng quát lớp q-vành, gọi fq-vành phải, lớp vành mà iđêan phải hữu hạn sinh tựa nội xạ Tác giả Ivanov nghiên cứu fq-vành liên kết với khái niệm lũy đẳng nguyên thủy trù mật lũy đẳng không suy biến, từ tác giả thu số kết thú vị [2] Mở rộng lớp vành nói theo hướng từ tính tựa nội xạ đến tính bất biến đẳng cấu, tác giả Kosan, Quỳnh Srivastava giới thiệu lớp vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu, lớp vành gọi a-vành phải họ thu nhiều kết cấu trúc đẹp cho lớp vành Chẳng hạn, a-vành phải tổng trực tiếp vành nửa đơn phương đầy đủ vành khơng phương phải Các tác giả thu định lý cấu trúc cho a-vành phải khơng phân tích được, Artin phải, khơng suy biến phải biểu diễn vành ma trận tam giác khối [3] Tiếp tục nghiên cứu theo hướng này, Quỳnh, Abyzov Trang đưa lớp vành mà iđêan phải hữu hạn sinh bất biến đẳng cấu gọi lớp favành phải Các kết liên quan đến fa-vành phải nghiên cứu [4] Từ thấy rằng, việc nghiên cứu mô đun nội xạ mở rộng cịn mẻ cần nghiên cứu làm rõ Trong báo tổng quan mô đun nội xạ mở rộng nhà nghiên cứu ngồi nước công bố Đồng thời đưa số kết cho lớp mô đun 149 Nguyễn Quốc Tiến, Đào Thị Trang NỘI DUNG Khái niệm mô đun nội xạ R Baer đưa vào năm 1940 Theo đó: Định nghĩa 2.1 Mô đun U gọi M -nội xạ với mô đun K M , đồng cấu v : K → U mở rộng đến đồng cấu v : M → U Tức là, sơ đồ sau giao hoán ( vf = v ): Mô đun U gọi nội xạ U M -nội xạ với mô đun M R Vành R gọi tự nội xạ phải RR nội xạ Ngoài ra, Baer đưa tiêu chuẩn để nhận biết R -mơ đun M nội xạ, là: Định lý 2.2 [Tiêu chuẩn Baer] Mô đun M R nội xạ với iđêan phải I R , đồng cấu f : I R → M R mở rộng đến đồng cấu g : RR → M R Liên quan đến mô đun nội xạ, chứng minh kết sau đây: Định lý 2.3 Cho R vành Goldie phải nửa nguyên tố M R -mô đun phải Khi đó, mơ đun suy biến Z (M ) mơ đun xoắn t (M ) mô đun M Hơn nữa, Z (M ) mơ đun đóng M Chứng minh Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố Xét m t (M ) , tồn phần tử x không ước thuộc R cho mx = Khi đó, mxR = nên xR rR (m) Do x phần tử không ước thuộc R nên theo ([5], Lemma 6.11) xR e RR , suy rR (m) e RR , m Z (M ) Ngược lại, xét m Z (M ) suy rR (m) e RR Theo ([5], Proposition 6.13), rR (m) chứa phần tử r R không ước suy mr = nên m t (M ) Như vậy, t (M ) = Z (M ) Theo chứng minh trên, ta có t (M / Z (M )) = Z (M / Z (M )) Áp dụng ([5], Proposition 7.8) suy Z (M / Z (M )) = Gọi L mô đun M thỏa mãn điều kiện Z (M ) e L M , L / Z (M ) mô đun suy biến nên L / Z (M ) = Z (L / Z (M )) Mặt khác, Z (L / Z (M )) = Z (M / Z (M )) L / Z (M ) = 0, suy L = Z (M ) Vậy, Z (M ) mơ đun đóng mơ đun M Mệnh đề 2.4 Cho R vành Goldie phải nguyên tố, N R -mô đun M R -mô đun khác không, không suy biến Khi đó, N M -nội xạ N R -mô đun nội xạ Chứng minh Do R vành Goldie phải nguyên tố, ta t (M ) = Z (M ) Vì M khơng suy biến nên Z (M ) = , hay M R -mơ đun phải khơng xoắn Do đó, theo Định lý ([5], Lemma 7.17) M có mơ đun A đẳng cấu với iđêan phải I R Theo giả thiết, N M -nội xạ nên N A -nội xạ, N I -nội xạ với I iđêan phải R Ta thu N mô đun nội xạ Năm 1961, Johnson Wong [6) đưa khái niệm mô đun tựa (tự) nội xạ Mô đun M gọi tựa nội xạ M M -nội xạ Johnson Wong chứng minh được: Định lý 2.5 [6] M mô đun tựa nội xạ M bất biến qua tất tự đồng cấu bao nội xạ 150 Tổng quan mơ đun nội xạ mở rộng Dựa kết này, nhà tốn học có ý tưởng thay tự đồng cấu tự đẳng cấu Năm 2013, hai tác giả Lee Zhou đưa khái niệm mơ đun bất biến đẳng cấu, theo đó: Định nghĩa 2.6 [7] Mô đun M gọi bất biến đẳng cấu M bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ Hai tác giả Lee Zhou phát biểu tương đương với định nghĩa mô đun bất biến đẳng cấu: Định lý 2.7 ([7], Theorem 2) Cho M R -mơ đun Khi đó, điều kiện sau tương đương: 1) M mô đun bất biến đẳng cấu 2) Với đẳng cấu hai mơ đun cốt yếu M mở rộng thành tự đồng cấu M 3) Với đẳng cấu hai mô đun cốt yếu M mở rộng thành tự đẳng cấu M Các tác giả tính chất cho lớp mơ đun này: Mệnh đề 2.8 [7] Cho M , M1 , M R -mơ đun Khi đó: 1) Hạng tử trực tiếp mô đun bất biến đẳng cấu M bất biến đẳng cấu 2) Nếu tổng trực tiếp M1 M bất biến đẳng cấu M M -nội xạ M M nội xạ 3) Mô đun M tựa nội xạ M M mô đun bất biến đẳng cấu Tiếp theo sau đó, tác giả N Er, S Singh, A K Srivastava nghiên cứu lớp mô đun bất biến đẳng cấu đưa khẳng định: Định lý 2.9 [8] Cho M mô đun bất biến đẳng cấu Khi đó: 1) Nếu bao nội xạ M có dạng E(M ) = E1 E2 E3 thỏa mãn điều kiện E1 E2 , M = (M E1 ) (M E2 ) (M E3 ) 2) Nếu A, B hai mơ đun đóng M thỏa mãn A B = , A B hai mô đun nội xạ tương hỗ Hơn nữa, đơn cấu h : A → M với A h( A) = 0, h( A) mơ đun đóng M Như biết với M mô đun tựa nội xạ J (End (M )) gồm tất tự đồng cấu M có nhân cốt yếu End (M ) / J (End (M )) vành quy von Neumann tự nội xạ phải Asensio Srivastava mở rộng kết mô đun bất biến đẳng cấu: Mệnh đề 2.10 ([9], Proposition 1) Cho M mô đun bất biến đẳng cấu Khi đó, vành End (M ) / J ( End (M )) vành quy von Neumann luỹ đẳng nâng modulo J (End (M )) Hơn nữa, J (End (M )) gồm tất tự đồng cấu M có nhân cốt yếu, tức là: J ( End (M )) = {s End (M ) | Ker (s) e M } Chúng ta lưu ý rằng, End (M ) / J (End (M )) không thiết vành tự nội xạ phải trường hợp M mô đun tựa nội xạ Một mơ đun gọi khơng phương khơng chứa tổng trực tiếp hai mơ đun khác không mà đẳng cấu với Hai mô đun gọi trực giao với chúng không chứa mô đun khác không đẳng cấu với Khi M N -nội xạ N M -nội xạ ta nói ngắn gọn M N hai mô đun nội xạ tương hỗ 151 Nguyễn Quốc Tiến, Đào Thị Trang Sau đây, có số kết liên quan đến khái niệm nói trên: Định lý 2.11 ([8], Theorem 3) Cho M mô đun bất biến đẳng cấu Các phát biểu sau đúng: 1) M = X Y với X mô đun tựa nội xạ Y mơ đun khơng phương mà trực giao với X Trong trường hợp này, X Y hai mô đun nội xạ tương hỗ 2) Nếu mô đun M không suy biến phải với hai mô đun D1 , D2 Y thỏa mãn D1 D2 = Hom(D1 , D2 ) = 3) Nếu mô đun M khơng suy biến phải Hom( X , Y ) = = Hom(Y , X ) Từ khái niệm mô đun bất biến đẳng cấu, có khái niệm vành bất biến đẳng cấu phải, vành R mà bất biến qua tất tự đẳng cấu bao nội xạ RR Lớp vành bất biến đẳng cấu mở rộng thực lớp vành tự nội xạ Ta có kết sau liên quan đến vành bất biến đẳng cấu, nhà toán học nước nghiên cứu: Từ Mệnh đề 2.10 ta suy kết sau vành bất biến đẳng cấu: Hệ 2.12 Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải R / J ( R) vành quy von Neumann, lũy đẳng nâng modulo J (R) Z (RR ) = J (R) Năm 2019, Quynh, Kosan, Thuyet nghiên cứu vành bất biến đẳng cấu phải với điều kiện dây chuyền thu số kết sau đây: Bổ đề 2.13 ([10], Lemma 1) Cho R vành bất biến đẳng cấu phải Khi đó, hai phần tử x, y R thỏa mãn rR ( x) = rR ( y) , Rx = Ry Định lý 2.14 ([10], Theorem 1) Nếu R vành bất biến đẳng cấu phải R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải R vành nửa nguyên sơ Năm 1969, Jain Singh nghiên cứu lớp vành mà iđêan phải tựa nội xạ, lớp vành gọi q -vành phải họ kết thú vị sau đây: Mệnh đề 2.15 ([1], Theorem 2.3) Các điều kiện sau tương đương vành R: 1) R q -vành phải 2) R vành tự nội xạ phải iđêan phải R có dạng eI với e phần tử lũy đẳng R I iđêan hai phía R 3) R vành tự nội xạ phải iđêan phải đối cốt yếu R iđêan hai phía Định lý 2.16 ([1], Theorem 2.6) Vành đơn R q -vành phải R vành Artin Năm 1996, tác giả G Ivanov tổng quát lớp q -vành phải, gọi fq-vành phải, lớp vành mà iđêan phải hữu hạn sinh tựa nội xạ, tác giả ra: Định lý 2.17 ([2], Lemma 1.4) Một fq-vành phải không suy biến phải vành quy von Neumann Định lý 2.18 ([2], Theorem 1.9) Một fq-vành phải không suy biến lũy đẳng tổng trực tiếp vành có tập trù mật lũy đẳng abelian vành khơng có lũy đẳng abelian Gần đây, tác giả Kosan, Quỳnh Srivastava nghiên cứu lớp vành mà iđêan phải bất biến đẳng cấu, lớp vành gọi a-vành phải, tác giả số kết quan trọng sau đây: Mệnh đề 2.19 ([3], Proposition 3.1) Các phát biểu sau tương đương vành R: 152 Tổng quan mô đun nội xạ mở rộng 1) R a -vành phải 2) Với iđêan phải cốt yếu R bất biến đẳng cấu 3) Với R vành bất biến đẳng cấu phải iđêan phải cốt yếu R T -mô đun trái với T vành R sinh phần tử khả nghịch Năm 2022, tác giả Quỳnh, Abyzov Trang nghiên cứu lớp vành mà iđêan phải hữu hạn sinh bất biến đẳng cấu đặt tên cho lớp vành fa-vành phải, lớp vành công bố [4] Định nghĩa 2.20 Vành R gọi fa-vành phải iđêan phải hữu hạn sinh R bất biến đẳng cấu Chúng đặc trưng cho lớp vành này, tiêu biểu kết sau đây: Định lý 2.21 [4] Một fa-vành phải không suy biến phải R vành quy von Neumann Chứng minh Do R fa-vành phải nên bất biến đẳng cấu, suy R / J ( R) vành quy von Neumann J (R) = Z ( RR ) Mặt khác, R không suy biến phải nên J ( R) = , R vành quy von Neumann Mệnh đề 2.22 [4] Cho R vành có chiều Goldie hữu hạn Khi đó, điều kiện sau tương đương: 1) R fa-vành phải 2) Mỗi iđêan phải hữu hạn sinh cốt yếu R bất biến đẳng cấu 3) Vành R bất biến đẳng cấu phải iđêan phải hữu hạn sinh cốt yếu R T -mô đun trái, với T vành R sinh phần tử khả nghịch Chứng minh (1) (2) hiển nhiên (2) (1) Gọi A iđêan phải hữu hạn sinh R Tồn iđêan phải B R cho A B e R Vì R có chiều Goldie hữu hạn, tồn iđêan phải hữu hạn sinh I R cho I e B , A I e R Theo (2), ta có A I mô đun bất biến đẳng cấu Khi đó, A bất biến đẳng cấu Suy R fa-vành phải (2) (3) Nếu iđêan phải hữu hạn sinh cốt yếu I R bất biến đẳng cấu R vành bất biến đẳng cấu phải E( I ) = E( R) Gọi T vành R sinh phần tử khả nghịch R Khi đó, T vành End (E(R) ) Do TI = I , suy I T -mô đun trái (3) (2) Nếu I iđêan phải hữu hạn sinh cốt yếu R Khi E( I ) = E( R) Gọi tự đẳng cấu E(R) Khi (R) R R −1 ( R) Do đó, (R) = R Vì 1 R nên tồn x R cho ( x) = Do (1x) = (1) x = Tức (1) khả nghịch R Theo (3), ta có (I ) = (1I ) = (1)I I Do đó, I bất biến đẳng cấu Hệ 2.23 Cho R vành Nơte Khi đó, R fa-vành phải iđêan phải hữu hạn sinh cốt yếu R bất biến đẳng cấu Định lý 2.24 Cho R fa-vành phải cho phần tử lũy đẳng R thuộc vào tâm R Khi đó, R vành khơng phương phải Chứng minh Giả sử R fa-vành phải Khi đó, theo ([4], Theorem 3.8), có eRe đẳng cấu vành R , (1 − e) R(1 − e) vành khơng (1 − e) Re (1 − e) R (1 − e) 153 Nguyễn Quốc Tiến, Đào Thị Trang phương phải, với e phần tử lũy đẳng R Vì phần tử lũy đẳng R thuộc tâm nên (1 − e)Re = Giả sử S = eRe = , áp dụng ([4], Theorem 3.8) suy S vành phương phải đầy đủ Do đó, tồn hai iđêan phải khác khơng A, B S cho A B A B = Ta có, S vành tự nội xạ phải nên E( A) E(B) hai hạng tử trực tiếp S , tồn phần tử lũy đẳng e1 , e2 S cho e1 S = E( A) e2 S = E(B) Ta có e1e2 e1 S e2 S nên e1e2 = , suy e2 rS (e1 ) = (1 − e1 )S , nên tồn s1 S cho e2 = (1 − e1 )s1 Xét đồng cấu : e1 S → (1 − e1 )s1 S xác định (e1 s) = (1 − e1 )s1e1 s Đặt = i đồng cấu với : S → e1 S toàn cấu tắc i : (1 − e1 )s1 S → S đơn cấu tắc Ta có (s) = i (e1 s) = (e1 s) = (1 − e1 )s1 s, suy ( (s)) = (e1 (1 − e1 )s1 s) = 0, s S Do = , suy = Như vậy, = kéo theo A = B = (điều mâu thuẫn) Chứng tỏ S = eRe = Do đó, R vành khơng phương phải Hệ 2.25 Nếu R fa-vành phải cho phần tử lũy đẳng R thuộc tâm R R thỏa mãn tính chất trực tiếp- hữu hạn Cuối cùng, chúng tơi có sơ đồ biểu diễn mối quan hệ lớp vành giới thiệu trên: TÀI LIỆU THAM KHẢO Jain S.K and Singh S - Rings in which every right ideal is quasi-injective, Pacific J Math 31 (1969) 73-79 Ivanov G - On a generalisation of self-injective von Neumann regular rings, Proc Amer Math Soc 124 (1996) 1051-1060 Kosan M.T., Quynh T.C and Srivastava A.K - Rings with each right ideal automorphisminvariant, J Pure Appl Algebra 220 (2016) 1525-1537 Quynh T C., Abyzov A.N., Trang D.T - Rings all of whose finitely generated ideals are automorphism-invariant, Journal of Algebra and Its Applications (2022) 2250159, doi: 10.1142/S0219498822501596 Goodearl K.R., Warfield R.B., Jr - An introduction to noncommutative Noetherian rings, 2nd edition, London Mathematical Society Student Texts 61, Cambridge University Press, Cambridge, 2004 Johnson R E and Wong E.T - Quasi-injective modules and irreducible rings, J Lond Math Soc 36 (1961) 260-268 Lee T.K and Zhou Y.- Modules which are invariant under automorphisms of their injective hulls, J Algebra Appl 12 (2013) Er N., Singh S., Srivastava A.K - Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls, J Algebra 379 (2013) 223-229 154 Tổng quan mô đun nội xạ mở rộng Guil Asensio P.A and Srivastava A.K - Automorphism-invariant modules satisfy the exchange property, J Algebra 388 (2013) 101-106 10 Quynh T.C., Kosan M.T., Thuyet L.V - On automorphism- invariant rings with chain conditions, Vietnam Journal of Mathematics (2019), doi: 10.1007/S10013-019-00336-8 ABSTRACT AN OVERVIEW OF THE CLASS OF INJECTIVE MODULES AND ITS GENERALIZATIONS Nguyen Quoc Tien*, Dao Thi Trang Ho Chi Minh City University of Food Industry *Email: tiennq@hufi.edu.vn In this paper, we introduce to the class of injective modules and some its generalizations We introduce to some related results of domestic and foreign studies and some our recent research results The purpose of this paper is introduced to potential research directions in ring and module theory Keywords: Injective module, quasi-injective module, automorphism-invariant module 155 ... ): Mô đun U gọi nội xạ U M -nội xạ với mô đun M R Vành R gọi tự nội xạ phải RR nội xạ Ngoài ra, Baer đưa tiêu chuẩn để nhận biết R -mơ đun M nội xạ, là: Định lý 2.2 [Tiêu chuẩn Baer] Mô đun. .. thu N mô đun nội xạ Năm 1961, Johnson Wong [6) đưa khái niệm mô đun tựa (tự) nội xạ Mô đun M gọi tựa nội xạ M M -nội xạ Johnson Wong chứng minh được: Định lý 2.5 [6] M mô đun tựa nội xạ M bất biến... Z (M ) mơ đun đóng mơ đun M Mệnh đề 2.4 Cho R vành Goldie phải nguyên tố, N R -mô đun M R -mô đun khác không, không suy biến Khi đó, N M -nội xạ N R -mô đun nội xạ Chứng minh Do R vành Goldie