Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) Theo dõi quỹ đạo Quadrotor sử dụng Linear Nonlinear Model Predictive Control Nguyễn Cảnh Thanh, Ngơ Huy Hồng, Đặng Anh Việt Hồng Văn Xiêm Bộ mơn Kỹ thuật Robot, Khoa Điện tử - Viễn Thông Trường Đại học Công Nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội Email: canhthanhlt@gmail.com, ngoh52180@gmail.com, vietda@vnu.edu.vn, xiemhoang@vnu.edu.vn Tóm tắt—Theo dõi quỹ đạo xác đặc tính quan trọng cần thiết cho điều hướng an toàn Quadrotor trường lộn xộn bị nhiễu loạn Trong viết này, chúng tơi trình bày chi tiết hai tảng điều khiển dựa mô hình đại cho bám quỹ đạo: linearmodel-predictive controller (LMPC) nonlinear-modelpredictive controller (NMPC) Bên cạnh đó, mơ hình động học, động lực học quadrotor mơ tả đầy đủ Cuối cùng, hệ mô triển khai kiểm nghiệm tính khả thi, cho thấy hiệu hai điều khiển Từ khóa—Unmanned aerial vehicle, Model Predictive Control, Nonlinear Model Predictive Control, Trajectory Tracking I GIỚI THIỆU A Bối cảnh động lực Quadrotor trở thành phương tiện bay không người lái (UAV) phổ biến [1], góp phần định hình lại ngành cơng nghiệp, hậu cần, nơng nghiệp, [2], [3] Do cấu trúc đơn giản khả bay linh hoạt, quadrotor dần đóng vai trị quan trọng trọng đời sống nghiên cứu, tiêu biểu Hoa Kỳ có 300.000 máy bay khơng người lái thương mại đăng ký tính đến năm 2021 theo dự kiến tiếp tục tăng từ 4,4 tỷ lên 63,6 tỷ USD giai đoạn 2018-2025 [2], [4] Yêu cầu tối quan trọng điều khiển quadrotor mơi trường nhiễu động bên ngồi ảnh hưởng nặng nề đến hiệu suất bay đặc biệt khu vực lân cận với công trình [5] Hơn việc áp dụng máy bay khơng người lái trình diễn đặc biệt kiện lớn địi hỏi cần có khả theo đõi đối tượng, quỹ đạo chuyển động cách nhanh chóng linh hoạt Tuy nhiên, hầu hết phương pháp gặp khó khăn việc xử lý hiệu ứng chung chuyến bay nhanh, chẳng hạn động lực học phi tuyến, hiệu ứng khí động học giới hạn truyền động [3] Gần đây, model predictive control (MPC) biến thể thu hút nhiều ý cho điều khiển quadrotor nhờ tiến hiệu phần cứng ISBN 978-604-80-7468-5 56 thuật tốn [6], [7] Ngồi ra, MPC hoạt động vấn đề đa cảm biến, xem xét hạn chế đầu vào trạng thái công thức với đặc điểm mạnh mẽ, thích nghi tốt với rối loạn, phi tuyến tính lỗi mơ hình [8] B Các nghiên cứu liên quan Vấn đề điều khiển quadrotor nghiên cứu rộng rãi có nhiều cách tiếp cận khác Các phương pháp điều khiển tuyến tính điều khiển proportial-integral-derivative (PID), linear quadratic regulator (LQR) [9], [10] triển khai với mục đích đạt tầm bay ổn định đạt hiệu suất đủ tốt Tuy nhiên, phương pháp điều khiển tuyến tính khơng cịn hiệu quỹ đạo đường phức tạp Các điều khiển phi tuyến đề xuất tiêu biểu backstepping [11] feedback linearzation [12] Phương pháp MPC phương pháp điều khiển dựa tối ưu hóa, tạo lệnh điều khiển theo kiểu đường chân trời rút lui giúp giảm thiểu lỗi theo dòng đường chân trời Tuy nhiên MPC đòi hỏi nhiều mặt tính tốn so với phương pháp kể Các nghiên cứu linear MPC [13], [14] sử dụng điều khiển vị trí điều khiển mơ hình tuyến tính hóa Các nghiên cứu Nonlinear MPC [5], [15] nhằm điều khiển vị trí xyz vị trí góc (yaw, pitch, roll) Các phương pháp Nonlinear MPC cho hiệu hoạt động tốt so với Linear MPC C Đóng góp báo Đóng góp báo trình bày, so sánh điều khiển linear MPC nonlinear MPC cho vấn đề theo dõi quỹ đạo robot quadrotor bên cạnh việc mơ tả chi tiết mơ hình động học, động lực học robot Mục đích so sánh nhấn mạnh lợi ích việc xem xét mơ hình động lực học quỹ đạo chuyển động Kết mô thực môi trường MATLAB hiển thị xác minh tính hiệu điều khiển MPC Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) D Bố cục báo Cấu trúc báo xếp theo thứ tự sau: Đầu tiên, vấn đề theo dõi quỹ đạo với mơ hình quadrotor trình bày phần II Tiếp theo, điều khiển linear MPC nonlinear MPC mô tả chi tiết phần III IV Trong phần V đưa môi trường giả lập thảo luận kết bám quỹ đạo thuật toán Cuối cùng, kết luận nêu rõ phần VI II PHÁT BIỂU VẤN ĐỀ A Ký hiệu W RB =W RzB ·W RyB ·W RP xB Cψ Cθ Cψ Sθ Sϕ − Sψ Cϕ = Sψ Cθ Sψ Sθ Sϕ + Cψ Cϕ −Sθ Cθ Sϕ Cψ Sθ Cϕ + Sψ Sϕ Sψ Sθ Cϕ − Cψ Sϕ Cθ Cϕ (1) Phương trình động học tịnh tiến định nghĩa sau: (2) v W =W RB · v B , T v W = vx vy vz vận tốc tuyến tính khung W Phương trình động học xoay định nghĩa sau: ˙ ϕ Sϕ Tθ Cϕ Tθ p ˙ C −S q , ω , η˙ = W −1 = θ ϕ ϕ B η Sϕ /Cθ Cϕ /Cθ r ψ˙ ˙ ϕ p −Sθ ˙ q = 0 Cϕ Cθ Sϕ θ˙ , ω B = W η η, r −Sϕ Cθ Cϕ ψ˙ (3) W η gọi ma trận Euler biến đổi vận tốc góc từ khung W sang khung B [16] C Mơ hình động lực học Vận tốc góc rotor thứ i ký hiệu wi tạo lực fi tổng lực đẩy T B theo phương trục z rotor 4 X X fi = kωi2 , T = fi = k ωi2 , T B = (4) i=1 i=1 T Hình 1: Định nghĩa hệ tọa độ khung thân khung qn tính quadrotor Chúng tơi biểu thị đại lượng vô hướng chữ thường m, vector chữ thường in đậm v, ma trận chữ hoa in đậm R Chúng định nghĩa hai khung tọa độ W - khung tọa độ quán tính, B - khung tọa độ thân Hình với hệ trực chuẩn {xw , y w , z w } Khung B vị trí trọng tâm quadrotor với giả thiết tất bốn cánh quạt nằm T mặt phẳng xy khung B Vector ξ = x y z đại diện cho vị trí tuyệt đối quadrotor khung quán tính W Tiếp theo, vị tríTgóc định nghĩa theo vector Euler η = ϕ θ ψ Các góc khớp giới hạn sau: góc roll (−π/2 < ϕ < π/2), góc pitch (−π/2 < θ < π/2), góc yaw (−π < ψ < π) Chúng viết tắt Sx = sin(x), T Cx = cos(x), Tx = tan(x) Vector q = ξ η ∈ R6 bao gồm vị trí góc vị trí qn tính Trong khung B, vận tốc tuyến tính vận tốcTgóc xác T định v v v p q r v B = xB , wB = yB zB ISBN 978-604-80-7468-5 B Mơ hình động học Ma trận xoay khung B khung W định nghĩa theo ba ma trận xoay theo hướng: 57 Phương trình Lagrange-Euler biểu diễn phương trình chuyển động dựa khái niệm động bao gồm lượng động tịnh tiến Etrans , lượng động xoay Erot lượng Epot L(q, q) ˙ = Etrans + Erot − Epot , T = (m/2)ξ˙ ξ˙ + (1/2)ω TB Iω B − mgz (5) Như trình bày [17], [18], phương trình Euler-Lagrange với lực mơ-men là: ∂L d ∂L fξ − , (6) = τη dt ∂ q˙ ∂q τ η ∈ R3 đại diện cho mô-men roll, pitch, yaw f ξ lực tịnh tiến tác dụng lên quadrotor Phương trình Euler-Lagrange tuyến tính sau: f ξ =W RB T B + αT = mă + mg + T , (7) Hi nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) T αT = Ax Ay Az vector nhiễu động bên ngồi Từ phương trình (7) ta có vector trạng thái ξ sau: x ă C S C + S S yă = −g 0 + T Sψ Sθ Cϕ − Cψ S , (8) m ză C C m, g trọng lượng quadrotor gia tốc trọng trường Ma trận Jacobian J η từ ω B tới η˙ biểu thị lượng quay khung quán tính định nghĩa sau: Ixx Iyy Cϕ2 + Izz Sϕ2 J η = W Tη IW η = −Ixx Sθ (Iyy − Izz )Cϕ Sϕ Cθ −Ixx Sθ , (Iyy − Izz )Cϕ Sϕ Cθ 2 2 Ixx Sθ + Iyy Sϕ Cθ + Izz Cϕ Cθ (9) Ixx 0 I = Iyy ma trận đường chéo 0 Izz Ixx = Iyy Sau đó, cơng thức động học xoay xác định theo công thức: (10) Erot = ăT J ă Phng trỡnh gúc Euler-Lagrange l: ¨ + C(η, η) ˙ η, ˙ τ η = J ηη với ma trận C(η, η) ˙ ma trận Coriolis: C11 C12 C13 C(η, η) ˙ = C21 C22 C23 , C31 C32 C33 ϕ Do đó, mơ hình chuyển động quay quadrotor a nh sau: ă = J η) ˙ η (τ η − C(η, η) Trong phần này, toán linear MPC xây dựng tốn lập trình bậc hai Chúng tơi định nghĩa vector trạng thái x ∈ R12 sau: T x = {ξ T , η, ξ˙ , η˙ T } ˙ ϕ Sϕ + ψS ˙ Cθ ) C12 = (Iyy − Izz )(θC ϕ ˙ θ ˙ Cθ − Ixx ψC + (Izz − Iyy )ψC (14) vector đầu vào u ∈ R : u = {ω12 , ω22 , ω32 , ω42 } (15) Sau tuyến tính hóa rời rạc hóa, mơ hình khơng gian trạng thái tuyến tính xác định theo công thức: xk+1 = Axk + Buk + V d F e,k , (16) F e,k lực bên ngoài, B d ma trận nhiễu loạn LMPC xây dựng quy trình tối ưu hóa (OCP) lặp lặp lại với giả định ràng buộc đầu vào áp dụng khơng có ràng buộc trạng thái Hàm chi phí mục tiêu J(x, u) định nghĩa sau: J(x, u) = (12) (13) III LINEAR MPC (11) đó: C11 = N −1 X NX u −1 k=0 k=0 (∥e xk ∥2Q ) + (∥uk ∥2R ) + ∥e xN ∥2P , (17) với: xk+1 = f (xk , uk , F e,k ) F e,k+1 = F e,k ∀k ∈ [0, N − 1] , (18) umin ⩽ uk ⩽ umax x0 = x(t0 ), F e,0 = F e (t0 ) ∥ · ∥ biểu thị khoảng cách Euclidean Q ⩾ 0, R ⩾ 0, P ⩾ ma trận trọng số trạng thái, đầu vào trạng thái cuối N số bước dự đoán chân trời Nu số bước điều khiển chân trời umin , umax giới hạn giới hạn tín hiệu điều khiển Sai số theo dõi quỹ đạo định nghĩa trạng thái xk trạng thái tham chiếu r xk : ϕ ˙ ϕ Sϕ C C13 = (Izz − Iyy )ψC θ ˙ ϕ Sϕ + ψS ˙ ϕ Cθ ) C21 = (Izz − Iyy )(θC ˙ Cθ + Ixx ψC ˙ θ + (Iyy − Izz )ψC ϕ C22 C23 C31 ˙ ϕ Sϕ C − Iyy θS ˙ Cθ Sθ C33 = (Iyy − Izz )ϕC θ ϕ ˙ ˙ θ Sθ − Izz θC Cθ Sθ + Ixx θC ˙ ϕ Sϕ = (Izz − Iyy )ϕC ˙ ˙ Sθ Cθ + Izz ψC ˙ Sθ Cθ = −Ixx ψSθ Cθ + Iyy ψS ϕ ϕ ˙ Sϕ Cϕ − Ixx θC ˙ θ = (Iyy − Izz )ψC θ e xk = xk −r xk ∀k ∈ [0, N ] (19) ˙ ϕ Sϕ Sθ +ϕS ˙ Cθ )+(Iyy −Izz )ϕC ˙ Cθ Trong trường hợp chúng tôi, sáu trạng thái đầu C32 = (Izz −Iyy )(θC ϕ ϕ vào [x, y, z, ϕ, θ, ψ] phải tuân theo quỹ đạo tham chiếu 2 ˙ ˙ ˙ + Ixx ψSθ Cθ − Iyy ψSϕ Sθ Cθ − Izz ψCϕ Sθ Cθ số lượng tín hiệu điều khiển nhỏ số lượng tham ISBN 978-604-80-7468-5 58 Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) chiếu đầu dẫn tới không đủ bậc tự để theo dõi quỹ đạo độc lập cho tất đầu Phương trình (17) viết lại sau: ¯x+u ¯ u +e xT P e xN ¯) = x ¯ Q¯ ¯ T R¯ J(¯ x, u N T đó, ¯ = e x1 x e x2 e R 0 xN ∈ RN (25) V KẾT QUẢ A Thiết lập môi trường 0 0 R Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết điều khiển Nonlinear MPC thời gian liên tục cho quadrotor theo dõi quỹ đạo dựa vấn đề điều khiển tối ưu (OCP) Hệ thống động học, động lực học chúng tơi trình bày phần II từ đưa định nghĩa vector trạng thái x ∈ R12 phương trình 21 vector đầu vào u ∈ R4 theo phương trình 22: T x = {ξ T , η, ξ˙ , η˙ T } (21) u = {ω12 , ω22 , ω32 , ω42 } (22) Tương tự điều khiển linear MPC, xây dựng OCP phi tuyến sau: Z T e 2 ∥ x(t)∥Q +∥u(t)∥R dt+∥e x(T )∥2P (23) t=0 phụ thuộc vào: x˙ = f (x, u) umin ⩽ u(t) ⩽ umax , x0 = x(t0 ), (24) đó, ∥·∥ biểu thị khoảng cách Euclidean Q ⩾ 0, R ⩾ 0, P ⩾ ma trận trọng số trạng thái, đầu vào trạng thái cuối T chiều dài đường dự đoán ∥u(t)∥2R giá trị đầu vào, ∥e x(T )∥2P đánh giá độ lệch so với trạng thái mong muốn cuối đường dự đoán ∥e x(t)∥2Q giá trị trạng thái định nghĩa ISBN 978-604-80-7468-5 x(t) = x(t) −r x(t) Bộ điều khiển thực tối ưu hóa theo kiểu đường chân trời lùi dần Do giới hạn mặt tính tốn, xử lý, u cầu giải vấn đề (23) theo thời gian thực đẩy lên hàng đầu Nhiều kỹ thuật Multiple shooting triển khai nhằm giải yêu cầu Bên cạnh đó, ràng buộc tính liên tục áp đặt vào hệ thống động lực học rời rạc hóa thời gian t0 , t1 · · · , tN khoảng [tk , tk+1 ] IV NONLINEAR MPC u e (20) ¯ = u1 u2 uNu −1 ∈ RNu u Q1 Q2 ¯ = Q 0 QN R 0 ¯ = R sai số trạng thái x(t) trạng thái tham chiếu r x(t): 59 Mơ hình robot mơ tả II với hàm chi phí trình bày phần IV III Chúng giới hạn tất tham số đầu vào điều khiển theo biên độ sau: 10 (rad/s) (rad/s) 0 (rad/s) ⩽ u ⩽ 10 (rad/s) U = u ∈ R4 | 10 (rad/s) 0 (rad/s) 10 (rad/s) (rad/s) (26) Bên cạnh đó, tỷ lệ thay đổi tham số đầu vào điều khiển giới hạn nhằm ngăn chặn chuyển động đột ngột với: (rad/s) 2 (rad/s) (27) δumax = −δumin = 2 (rad/s) (rad/s) Chúng chọn ma trận trọng số sau: P = Q = diag( ones(1, 6) zeros(1, 6) ) R = diag( 0.1 0.1 0.1 0.1 ) (28) Bên cạnh đó, số bước dự đốn (prediction horizon) số bước điều khiển (control horizon) đặt tương ứng với N = 18, Nu = Tiếp theo, vị trí khởi tạo cho quadrotor ξ(0) = (0, 0, 0)T vận tốc góc ban đầu η(0) = (0, 0, 0)T Cuối cùng, quỹ đạo tham chiếu thiết kế sau: x = cos( t) (m) y = sin( t) (m) z = 0.2 t (m) (29) Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) Bảng I: Kết sai số bám quỹ đạo RMSE PD BSC SMC MPC NMPC Trục x (m) 0.21120 0.14330 0.18820 0.23860 0.23880 Trục y (m) 0.04770 0.01520 0.02130 0.01840 0.01650 Trục z (m) 0.00032 6.19800 0.17990 0.00890 0.00200 Góc roll (rad) 0.00160 0.19970 0.00560 0.00062 0.00120 Góc pitch (rad) 0.00270 0.29290 0.00240 0.00220 0.00220 Góc yaw (rad) 0.00022 0.00003 0.00002 0.00019 0.00005 xyz (m) 0.21650 6.19970 0.26120 0.23950 0.23940 ϕθψ (rad) 0.00310 0.35450 0.00620 0.00230 0.00250 (khoảng giây với vị trí giây với góc) tiếp sau Linear MPC từ cho thấy chất lượng theo dõi quỹ đạo tốt điều khiển Linear MPC NoneLinear MPC Bên cạnh đó, điều khiển None-Linear MPC khơng xuất tín hiệu vọt lố (overshoot) Sai số cụ thể theo thành phần (xyz) (roll, pitch, yaw) thể qua Bảng I Sai số khoảng cách sai số góc tính tốn thơng qua RMSE (Root-Mean-Square Error) vị trí góc Kết cho thấy, sai số điều khiển MPC thấp (nhỏ 0.24 (m) sai số vị trí 0.0026 (rad) sai số góc) từ đảm bảo độ xác, ổn định q trình bám quỹ đạo Tuy nhiên mơ phỏng, điều khiển PD cho thấy hiệu tốt sai số vị trí Trạng thái tín hiệu điều khiển thể Hình Các đầu vào điều khiển điều khiển đến giá trị mục tiêu 4,9 (rad/s)2 khoảng 10 giây VI KẾT LUẬN Hình 2: Các quỹ đạo bám điều khiển B Kết mô Trong phần này, mô MATLAB thực thấy hiệu điều khiển việc theo dõi quỹ đạo Hình cho thấy quỹ đạo theo dõi điều khiển bao gồm điều khiển tuyến tính (Proportional Derivative - PD), phi tuyến (Sliding mode control - SCM, Backstepping control - BSC) điều khiển tối ưu hóa (Linear MPC Non Linear MPC) Tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vị trí robot cách xa quỹ đạo điều khiển có nhiệm vụ hướng quỹ đạo tham chiếu Dựa kết nhận thấy điều khiển Non-Linear MPC cho khả theo dõi tốt Sai số theo dõi hội tụ 0, thể Hình Khi bắt đầu chuyển động, sai số đáng kể trạng thái ban đầu ràng buộc vận tốc, theo thời gian sai số dần hội tụ khơng Bộ điều khiển None-Linear MPC có tốc độ hội tụ nhanh ISBN 978-604-80-7468-5 60 Trong báo này, chúng tơi trình bày điều khiển dự đốn mơ hình tuyến tính phi tuyến để theo dõi quỹ đạo Quadrotor Mơ hình động học, động lực học quadrotor cấp từ chứng minh tính hiệu việc theo dõi hai điều khiển Kết mô triển khai phần mềm mô Matlab nhằm so sánh độ xác, tính hội tụ, ổn định Linear MPC Non-Linear MPC so với điều khiển tuyến tính, phi tuyến khác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y Wang, A Ramirez-Jaime, F Xu, and V Puig, “Nonlinear model predictive control with constraint satisfactions for a quadcopter,” Journal of Physics: Conference Series, vol 783, 11 2016 [2] F Nan, S Sun, P Foehn, and D Scaramuzza, “Nonlinear mpc for quadrotor fault-tolerant control,” IEEE Robotics and Automation Letters, vol 7, no 2, pp 5047–5054, 2022 [3] S Sun, A Romero, P Foehn, E Kaufmann, and D Scaramuzza, “A comparative study of nonlinear mpc and differential-flatnessbased control for quadrotor agile flight,” 2021 [4] D Hanover, P Foehn, S Sun, E Kaufmann, and D Scaramuzza, “Performance, precision, and payloads: Adaptive nonlinear MPC for quadrotors,” IEEE Robotics and Automation Letters, vol 7, no 2, pp 690–697, apr 2022 [5] M S Kamel, M Burri, and R Siegwart, “Linear vs nonlinear mpc for trajectory tracking applied to rotary wing micro aerial vehicles,” IFAC-PapersOnLine, vol 50, 07 2017 Hội nghị Quốc gia lần thứ 25 Điện tử, Truyền thông Công nghệ Thông tin (REV-ECIT2022) Hình 3: Sai số bám quỹ đạo theo thành phần Hình 4: Sai số tín hiệu điều khiển [6] D Bicego, J Mazzetto, R Carli, M Farina, A Franchi, and V Arellano-Quintana, “Nonlinear model predictive control with enhanced actuator model for multi-rotor aerial vehicles with generic designs,” Journal of Intelligent and Robotic Systems, vol 100, 12 2020 [7] P Foehn, A Romero, and D Scaramuzza, “Time-optimal planning for quadrotor waypoint flight,” Science Robotics, vol 6, no 56, jul 2021 [8] T T Ribeiro, A G Conceic¸ão, I Sa, and P Corke, “Nonlinear model predictive formation control for quadcopters**this work was supported by fapesb, cnpq and capes.” IFAC-PapersOnLine, vol 48, no 19, pp 39–44, 2015, 11th IFAC Symposium on Robot Control SYROCO 2015 [9] S Khatoon, D Gupta, and L K Das, “Pid & lqr control for a quadrotor: Modeling and simulation,” in 2014 International Conference on Advances in Computing, Communications and Informatics (ICACCI), 2014, pp 796–802 [10] R García, F Rubio, and M Ortega, “Robust pid control of the quadrotor helicopter,” IFAC Proceedings Volumes, vol 45, no 3, pp 229–234, 2012, 2nd IFAC Conference on Advances in PID Control [11] R Rashad, A Aboudonia, and A El-Badawy, “Backstepping trajectory tracking control of a quadrotor with disturbance rejection,” in 2015 XXV International Conference on Information, ISBN 978-604-80-7468-5 61 [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] Communication and Automation Technologies (ICAT), 2015, pp 1–7 S Zhao, H An, D Zhang, and L Shen, “A new feedback linearization lqr control for attitude of quadrotor,” in ICARCV, 2014 M Bangura and R Mahony, “Real-time model predictive control for quadrotors,” IFAC Proceedings Volumes, vol 47, no 3, pp 11 773–11 780, 2014, 19th IFAC World Congress L Deori, S Garatti, and M Prandini, “A model predictive control approach to aircraft motion control,” in 2015 American Control Conference (ACC), 2015, pp 2299–2304 H Nguyen, M Kamel, K Alexis, and R Siegwart, “Model predictive control for micro aerial vehicles: A survey,” 2020 R Olfati-Saber, “Nonlinear control of underactuated mechanical systems with application to robotics and aerospace vehicle,” in Ph.D thesis Massachusetts Institute of Technology, 2001 T Luukkonen, “Modelling and control of quadcopter,” Independent research project in applied mathematics, Espoo, vol 22, p 22, 2011 P Castillo, R Lozano, and A Dzul, “Stabilization of a minirotorcraft having four rotors,” in 2004 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS) (IEEE Cat No.04CH37566), vol 3, 2004, pp 2693–2698 vol.3 ... (REV-ECIT2022) D Bố cục báo Cấu trúc báo xếp theo thứ tự sau: Đầu tiên, vấn đề theo dõi quỹ đạo với mơ hình quadrotor trình bày phần II Tiếp theo, điều khiển linear MPC nonlinear MPC mô tả chi tiết phần III... giây VI KẾT LUẬN Hình 2: Các quỹ đạo bám điều khiển B Kết mô Trong phần này, mô MATLAB thực thấy hiệu điều khiển việc theo dõi quỹ đạo Hình cho thấy quỹ đạo theo dõi điều khiển bao gồm điều khiển... sau Linear MPC từ cho thấy chất lượng theo dõi quỹ đạo tốt điều khiển Linear MPC NoneLinear MPC Bên cạnh đó, điều khiển None -Linear MPC khơng xuất tín hiệu vọt lố (overshoot) Sai số cụ thể theo