Luận văn thạc sĩ toán học một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm muckenhoupt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan là luận văn tốt nghiệp chính thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo TP.HCM, tháng năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS Trần Trí Dũng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tận tình từng bước để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh và Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt cho tác giả hoàn thành đề tài quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè, đồng nghiệp công ty đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi thời gian và công việc cho tác giả thời gian học tập và thực hiện luận văn của mình Trân trọng TP.HCM, tháng năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm phân bố và các chuẩn 𝑳𝒑 1.2 Bất đẳng thức Jensen 1.3 Bổ đề phủ 1.4 Nội suy 1.5 Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu 1.6 Bất đẳng thức Kolmogorov Chương TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 𝑨𝒑 2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 2.2 Bất đẳng thức Fefferman – Stein 11 2.3 Các hàm trọng Muckenhoupt: 13 2.4 Toán tử cực đại trung tâm 𝑴𝝁𝒄 20 2.5 Các hàm trọng và bất đẳng thức dạng mạnh 21 2.6 Toán tử cực đại các sở 23 2.6.1 Cơ sở các hình lập phương nhị nguyên 23 2.6.2 Cơ sở các hình chữ nhật 25 2.6.3 Cơ sở các hình chữ nhật tất cả các hướng 26 2.6.4 Cơ sở các khoảng 𝟎, 𝒃 26 2.6.5 Cơ sở các hình lập phương Carleson 26 2.7 Những tính chất đầu tiên của các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 27 2.8 Xây dựng các lớp hàm trọng 𝑨𝟏 32 2.8.1 Cách xây dựng của Coifman 32 2.8.2 Thuật toán Rubio de Francia: 34 2.9 Phân tích nhân tử 36 Chương LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG 𝑨∞ 42 3.1 Bất đẳng thức Hölder ngược cho các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 42 3.2 Bổ đề Gehring 48 3.3 Đặc trưng của các lớp hàm trọng 𝑨𝟏 49 3.4 Lớp hàm trọng 𝑨∞ 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU  𝐿𝑝 (𝜇)là không gian các hàm lũy thừa bậc 𝑝 khả tích ứng với 𝜇; ‖∙‖𝑝,𝜇 là chuẩn; 𝜇(𝐴) là độ đo của 𝐴 ứng với 𝜇 𝐿𝑝 (𝜇) = {𝑓 ∶ ∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑑𝜇 < +∞}  Khi 𝜇 là độ đo Lebesgue ta viết gọn là 𝐿𝑝 , ‖∙‖𝑝 và |𝐴| Tương tự, ta không đề cập đến 𝜇 cho tích phân tương ứng với độ đo Lebesgue  Khi 𝑑𝜇(𝑥 ) = 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥, ta viết 𝐿𝑝 (𝑤), ‖∙‖𝑝,𝑤 và 𝑤(𝐴) = ∫ 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝐴 𝐿𝑝 (𝑤) = {𝑓 ∶ ∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 < +∞}  𝑝′ là mũ liên hợp của 𝑝: 1 + ′ = (vớ i = 0) 𝑝 𝑝 ∞  𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ𝑑 ): ‖𝑓‖ = ∫ℝ𝑑|𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥  𝑝( |𝑝 𝑝 𝑓 ∈ 𝐿 𝜇): ‖𝑓‖ = ‖𝑓‖𝑝,𝜇 = (∫ℝ𝑛|𝑓 𝑑𝜇) 𝑝  𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑤): ‖𝑓‖ = ‖𝑓‖𝑝,𝑤 = (∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 )  𝜒𝐴 là hàm đặc trưng của tập A  Cho một hình lập phương 𝑄, 𝑙(𝑄) là độ dài cạnh của nó; 𝑘𝑄 là kí hiệu cho hình lập phương có tâm với 𝑄 và 𝑙(𝑘𝑄) = 𝑘𝑙(𝑄)  𝐵(𝑥, 𝑟) là quả cầu tâm 𝑥 với bán kính  Cho một hàm trọng 𝑤, xuyên suốt luận văn này ta dùng kí hiệu 𝜎 để ′ ′ 𝑤 1−𝑝 , tức là 𝜎 = 𝑤 1−𝑝 , giá trị của 𝑝 được quy định ngữ cảnh  Cho một hàm trọng 𝑤 và một hình lập phương 𝑄, 𝑤𝑄 = 𝑤 𝑄  ess inf 𝑤(𝑥 ) = sup{𝑏 ∶ |{𝑥 ∈ 𝑄: 𝑤(𝑥 ) < 𝑏}| = 0} 𝑤(𝑄) |𝑄| là trung bình của LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích điều hòa hiện đại ngày là một nhánh quan trọng của Toán học và có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier và tích phân Fourier cổ điển Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hòa hiện đại phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng đa dạng các lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu Lý thuyết các toán tử tích phân cực đại, là một những đối tượng nghiên cứu quan trọng của giải tích điều hòa hiện đại và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, đó toán tử cực đại Hardy – Littlewood là một những ví dụ Các đặc điểm đầy đủ của các hàm trọng w cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn 𝐿𝑝 (𝑤) được xây dựng bởi B Muckenhoupt và xuất bản năm 1972 Kết quả của Muckenhoupt trở thành một bước ngoặc lý thuyết bất đẳng thức trọng bởi vì hầu hết các kết quả được biết trước đó cho các toán tử cổ điển đạt được cho một số các hàm trọng đặc biệt (như hàm trọng lũy thừa) Trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt thì các lớp hàm 𝐴𝑝 và các biến thể của nó là quan trọng Tầm quan trọng của lớp hàm 𝐴𝑝 được nhận rõ sau công trình của Muckenhoupt vì dùng lớp hàm này ta có thể xây dựng được các bất đẳng thức trọng cho một số toán tử quan trọng khác giải tích Fourier tương tự cách xây dựng các bất đẳng thức trọng cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood Với tầm quan trọng của lớp hàm trọng 𝐴𝑝 , tin việc nghiên cứu lớp hàm này là một chủ đề cần thiết và thú vị Luận văn trình bày lý thuyết lớp hàm 𝐴𝑝 dùng để chứng minh các bất đẳng thức dạng yếu và dạng mạnh cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood và các toán tử cực đại khác Các tính chất chính của các lớp 𝐴𝑝 được nghiên cứu luận văn Luận văn cũng đề cập các toán tử cực đại và các hàm trọng được định nghĩa từ các sở khác, các tính chất của các lớp 𝐴𝑝 thông thường mở rộng lập tức tới các sở này theo cách thiết lập tổng quát, cũng có những tính chất phổ biến không đúng với một vài sở 2 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood và một số vấn đề quan trọng lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp và trình bày một số kiến thức bản toán tử cực đại HardyLittlewood, các tính chất của hàm trọng Muckenhoupt Công việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân và giải tích thực Nội dung Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kiến thức cần sử dụng cho các phần sau của luận văn Lý thuyết độ đo tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực Chương Toán tử cực đại Hardy-Littlewood các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 Trong chương này nghiên cứu toán tử cực đại Hardy-Littlewood và tính bị chặn của nó, mô tả đặc điểm của các hàm trọng w mà toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn 𝐿𝑝 (𝑤) điều kiện 𝐴𝑝 , tính chất của các lớp hàm trọng 𝐴𝑝 , cách xây dựng các lớp hàm trọng 𝐴𝑝 từ các lớp hàm trọng 𝐴1 và phép phân tích nhân tử từ một hàm trọng thuộc lớp 𝐴𝑝 theo hai hàm trọng thuộc lớp 𝐴1 Chương Lớp hàm Hölder ngược lớp hàm trọng 𝑨∞ Chương này dành cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder ngược, lớp hàm Hölder ngược, lớp hàm trọng 𝐴∞ và các điều kiện tương đương 3 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm phân bố các chuẩn 𝑳𝒑 Cho (𝑋, 𝜇) là một không gian đo được và 𝑓: 𝑋 ⟶ ℂ là một hàm đo được Hàm được định nghĩa cho 𝑡 ∈ (0, +∞) bởi 𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓 (𝑥 )| > 𝑡}) là hàm phân bố của 𝑓 (liên kết với 𝜇) Ta có thể sử dụng hàm phân bố để đại diện cho chuẩn 𝐿𝑝 (𝜇) của một hàm Bổ đề 1.1: Cho 𝜙 ∶ [0, ∞) ⟶ [0, ∞) khả vi, tăng và 𝜙(0) = Khi đó: ∞ ∫ 𝜙(|𝑓(𝑥 )|) 𝑑𝜇 = ∫ 𝜙 ′ (𝑡)𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡 𝑋 Để chứng minh kết quả này, cần lưu ý vế trái tương đương với: |𝑓(𝑥)| ∫ ∫ 𝜙 ′ (𝑡) 𝑑𝑡𝑑𝜇 𝑋 và sau đó thay đổi thứ tự lấy tích phân Trong trường hợp đặc biệt, 𝜙(𝑡) = 𝑡 𝑝 với 𝑝 > 0, ta có: ∞ ∫ |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝑑𝜇 = 𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−1 𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡 𝑋 (1.1) Bất đẳng thức Chebyshev: 𝜇({𝑥 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) ≤ ∫ {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡} |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝑑𝜇(𝑥 ) 𝑡𝑝 1.2 Bất đẳng thức Jensen Bổ đề 1.2: (xem [𝟗]) Cho 𝜇 là một độ đo xác suất 𝑋 (nghĩa là 𝜇(𝑋) = 1) và 𝑓 là một hàm dương, khả tích 𝑋 Khi đó hàm: 1/𝑠 ℎ(𝑠) = (∫ 𝑓 𝑠 𝑑𝜇) 𝑋 là tăng (0, ∞) và lim ℎ(𝑠) = exp (∫ log 𝑓 𝑑𝜇), 𝑠→0+ 𝑋 đó 𝑒 −∞ được hiểu là Bổ đề cho ta kết quả sau Bất đẳng thức Jensen: 1/𝑠 exp (∫ log 𝑓 𝑑𝜇) ≤ (∫ 𝑓 𝑠 𝑑𝜇) 𝑋 𝑋 1.3 Bổ đề phủ Trong trường hợp một chiều ta có một bổ đề phủ đơn giản Bổ đề 1.3: (xem [14]) Cho {𝐼𝑘 ∶ 𝑘 = 1, , 𝑁} là một họ hữu hạn các khoảng ℝ Khi đó tồn tại một họ mà hợp của chúng với hợp của các khoảng ban đầu cho không có điểm nào thuộc nhiều hai khoảng họ được chọn Kết quả không đúng trường hợp nhiều chiều Thay vào đó, ta có bổ đề phủ Vitali sau mà một dạng của bổ đề này được sử dụng bởi Wiener [14] để giải quyết bất đẳng thức yếu (1,1) cho toán tử cực đại Bổ đề 1.4: (xem [16], trang 102) Cho {𝑄𝛼 ∶ 𝛼 ∈ 𝒜 } là một họ hữu hạn các hình lập phương ℝ𝑛 Khi đó ta có thể trích từ đó một họ {𝑄𝑗 ∶ 𝑗 = 1, , 𝑁} rời các hình lập phương cho: 𝑁 ⋃ 𝑄𝛼 ⊂ ⋃ 3𝑄𝑗 𝛼∈𝒜 𝑗=1 Với Bổ đề 1.4 quá trình lựa chọn lặp phụ thuộc vào việc lấy hình lập phương lớn có thể không giao với các hình lập phương được chọn trước đó Họ các hình lập phương có được Bổ đề 1.4 được hình thành bởi các hình lập phương rời nhau, ta cần mở rộng chúng để phủ họ ban đầu Bổ đề phủ Besicovich gần với Bổ đề phủ một chiều 1.3, nó cần một giả thiết đặc biệt để bắt đầu hình thành họ các hình lập phương Bổ đề 1.5: (xem [12]) Tồn tại một số 𝐶𝑛 phụ thuộc vào 𝑛 với tính chất sau: Cho 𝐸 là một tập bị chặn của ℝ𝑛 Giả sử với 𝑥 ∈ 𝐸 ta có một hình lập phương 𝑄𝑥 có tâm là 𝑥 Khi đó có thể chọn từ các hình lập phương 𝑄𝑥 một họ (có thể hữu hạn) các hình lập phương phủ 𝐸 cho với điểm 𝑥 ∈ 𝐸 thì 𝑥 thuộc tối đa 𝐶𝑛 hình lập phương họ được chọn 1.4 Nội suy Ta phát biểu các định lý nội suy thường được sử dụng, định lý Marcinkiewicz và định lý Riesz-Thorin Định lý thứ hai được áp dụng cho các toán tử tuyến tính, định lý thứ được áp dụng cho các toán tử dưới tuyến tính Ta nhắc lại một toán tử 𝑇 là dưới tuyến tính nếu: |𝑇(𝑓1 + 𝑓2 )(𝑥 )| ≤ |𝑇(𝑓1 )(𝑥 )| + |𝑇(𝑓2 )(𝑥 )|, |𝑇(𝜆𝑓)(𝑥 )| = |𝜆||𝑇(𝑓)(𝑥 )| , 𝜆 ∈ ℂ Định lý 1.6: (Định lý nội suy Marcinkiewicz) Cho (𝑋, 𝜇) và (𝑌, 𝜈) là các không gian độ đo Cho ≤ 𝑝0 < 𝑝1 ≤ ∞ Giả sử toán tử dưới tuyến tính 𝑇 được định nghĩa 𝐿𝑝0 (𝑋, 𝜇) + 𝐿𝑝1 (𝑋, 𝜇) thỏa các bất đẳng thức dạng yếu: sup 𝑡[𝜈 ({𝑥 ∈ 𝑌 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡})] 𝑡>0 𝑝𝑗 ≤ 𝐴𝑗 ‖𝑓‖𝑝𝑗 ,𝜇 , 𝑗 = 0,1 (Nếu 𝑝1 = ∞ , ta giả sử 𝑇 bị chặn từ 𝐿∞ (𝑋, 𝜇) đến 𝐿∞ (𝑌, 𝜈).) Khi đó 𝑇 bị chặn từ 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) đến 𝐿𝑝 (𝑌, 𝜈) với 𝑝0 < 𝑝 < 𝑝1 Định lý 1.7: (Định lý nội suy Riesz-Thorin) Cho ≤ 𝑝0 , 𝑝1 ≤ ∞, ≤ 𝑞0 , 𝑞1 ≤ ∞ và cho < 𝜃 < Ta định nghĩa 𝑝 và 𝑞 bởi: 1−𝜃 𝜃 = + , 𝑝 𝑝0 𝑝1 1−𝜃 𝜃 = + ∙ 𝑞 𝑞0 𝑞1 Cho 𝑇 là một toán tử tuyến tính 𝐿𝑝0 (𝜇) + 𝐿𝑝1 (𝜇) cho: ‖𝑇𝑓‖𝑞𝑗,𝜇 ≤ 𝑀𝑗 ‖𝑓‖𝑝𝑗,𝜇 với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝𝑗 (𝜇) , 𝑗 = 0,1 Khi đó: ‖𝑇𝑓‖𝑞,𝜇 ≤ 𝑀01−𝜃 𝑀1𝜃 ‖𝑓‖𝑝,𝜇 với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝜇) Chứng minh có thể tìm thấy [9] Chú ý 1.8: Yêu cầu tính chất tuyến tính của định lý nội suy Riesz-Thorin có thể tránh cách sử dụng khái niệm "tuyến tính hóa" của toán tử Một toán tử 𝑆 được định nghĩa một không gian Banach 𝐵 là khả tuyến tính nếu với 𝑓 ∈ 𝐵 tồn tại một toán tử tuyến tính 𝑇 phụ thuộc vào 𝑓 cho: |𝑇𝑔(𝑥 )| ≤ |𝑆𝑔(𝑥 )|, với mọi 𝑔 ∈ 𝐵, và |𝑇𝑓(𝑥 )| = |𝑆𝑓(𝑥 )| Nếu 𝑆 thỏa mãn giả thiết của định lý nội suy Riesz-Thorin, thì 𝑇 cũng thỏa bởi bất đẳng thức thứ Định lý nội suy Riesz-Thorin được áp dụng cho toán tử tuyến tính 𝑇, và kết luận đúng cho 𝑆 Trong thực hành ta thậm chí không cần |𝑇𝑓(𝑥 )| = |𝑆𝑓(𝑥 )|, cần có |𝑇𝑓(𝑥 )| ≥ 𝑐 |𝑆𝑓(𝑥 )| là đủ, với 𝑐 phụ thuộc vào 𝑓 1.5 Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu Định lý 1.9: (xem [𝟏𝟎]) Cho {𝑇𝑡 } là một họ các toán tử tuyến tính 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) và định nghĩa : 𝑇 ∗ 𝑓 (𝑥 ) = sup|𝑇𝑡 𝑓(𝑥 )| 𝑡 Nếu 𝑇 ∗ là dạng yếu (𝑝, 𝑞 ) thì tập hợp {𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) ∶ lim 𝑇𝑡 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) ℎ𝑘𝑛 } 𝑡→𝑡0 là đóng 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) 1.6 Bất đẳng thức Kolmogorov Bổ đề 1.10: Cho 𝑇 là một toán tử thỏa mãn bất đẳng thức dạng yếu: sup 𝑡𝜇({𝑥 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) ≤ 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 𝑡>0 (1.2) Cho < 𝛿 < 1, và một tập 𝜇 − đo được hữu hạn 𝐸 Khi đó: ∫ |𝑇𝑓|𝛿 𝑑𝜇 ≤ 𝐸 𝐴𝛿 𝛿 𝜇(𝐸 )1−𝛿 ‖𝑓‖1,𝜇 1−𝛿 Chứng minh Theo (1.1) và (1.2) ta có (1.3) ∞ ∫ |𝑇𝑓|𝛿 𝑑𝜇 = 𝛿 ∫ 𝑡 𝛿−1 𝜇({𝑥 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡 𝐸 ∞ 𝐴 ≤ 𝛿 ∫ 𝑡 𝛿−1 (𝜇(𝐸 ), ‖𝑓‖1,𝜇 ) 𝑑𝑡 𝑡 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 /𝜇(𝐸) =𝛿 ∫ ∞ 𝑡 𝛿−1 𝜇(𝐸 ) 𝑑𝑡 + 𝛿 ∫ 𝑡 𝛿−2 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 𝑑𝑡 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 /𝜇(𝐸) Từ ta suy bất đẳng thức cần chứng minh □ Chú ý 1.11: M Cotlar quan sát thấy mệnh đề đảo cũng đúng: nếu (1.3) đúng với < 𝛿 < nào đó, thì đó (1.2) đúng Thật vậy, nếu 𝐸𝑡 = {𝑥 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡}, |𝑇𝑓|𝛿 𝜇(𝐸𝑡 ) ≤ ∫ 𝛿 𝑑𝜇, 𝑡 𝐸𝑡 thì cách sử dụng (1.3) ta có bất đẳng thức dạng yếu 8 Chương TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 𝑨𝒑 2.1 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood Ta định nghĩa toán tử cực đại Hardy-Littlewood cho một hàm khả tích địa phương 𝑓 ℝ𝑛 sau: ∫ |𝑓 |, 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑀𝑓(𝑥 ) = sup (2.1) 𝑄 đó cận đúng được lấy tất cả những hình lập phương ℝ𝑛 chứa 𝑥 Nếu thay vì lấy cận đúng tất cả các hình lập phương chứa 𝑥, ta lấy cận đúng cho các hình lập phương có tâm là 𝑥, thì ta gọi toán tử thu được là toán tử cực đại trung tâm, ký hiệu là 𝑀𝑐 Hai cách định nghĩa toán tử ở là tương đương với xét đến tính bị chặn, bởi vì ta có bất đẳng thức từng điểm sau: 𝑀𝑐 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑀𝑓(𝑥 ) ≤ 2𝑛 𝑀𝑐 𝑓(𝑥 ) Một kiểu định nghĩa khác sử dụng các quả cầu Euclide thay vì các hình lập phương Xây dựng dựa vào các quả cầu cũng có thể phân thành trung tâm hay không trung tâm tương tự dùng hình lập phương, và các toán tử thu được tương đương với các cách xây dựng dùng hình lập phương Toán tử cực đại Hardy-Littlewood được giới thiệu bởi G H Hardy và J E Littlewood năm 1930 trường hợp một chiều (thực là (0, +∞)) và được mở rộng lên trường hợp nhiều chiều bởi N Wiener năm 1939 Các tính chất bị chặn bản của 𝑀 đã được đề cập đến các tài liệu đó:  Với < 𝑝 ≤ ∞, 𝑀 là bị chặn 𝐿𝑝 , nghĩa là, ‖𝑀𝑓‖𝑝 ≤ 𝐶𝑝 ‖𝑓‖𝑝 ;  𝑀 thuộc dạng yếu (1,1), nghĩa là, sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ 𝐶 ‖𝑓‖1 𝑡>0 (2.2) Tính bị chặn 𝐿1 của toán tử cực đại Hardy-Littlewood không thỏa và bất đẳng thức dạng yếu (2.2) là sự thay thế tốt Dễ dàng kiểm tra toán tử cực đại Hardy-Littlewood có thể không thỏa tính bị chặn 𝐿1 toàn cục, bởi vì 𝑀𝑓(𝑥 ) ≥ 𝐶 |𝑥 |−𝑛 với 𝑥 lớn Toán tử này cũng có thể không thỏa địa phương: nếu 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 −1 (log 𝑥 )−2 𝜒(0,1/2] ℝ, thì 𝑀𝑓 không khả tích gần gốc Chứng minh thông thường của dạng yếu (1,1) sử dụng bổ đề phủ thích hợp Định lý 2.1: (xem [5, trang 7]) (i) Cho 𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ𝑛 ) Khi đó tồn tại 𝐶 > phụ thuộc vào 𝑛 cho với mọi 𝑡 > ta có: |{𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ 𝐶 𝑡 (2.3) |𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 ∫ {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} (ii) Cho < 𝑝 ≤ ∞ Khi đó tồn tại 𝐶 > phụ thuộc vào 𝑛 và 𝑝 cho: ‖𝑀𝑓‖𝑝 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝑝 Chứng minh Giả sử 𝑓 là một hàm không âm 𝐿1 Đặt 𝐸𝑡 = {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡} ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 > 𝑡 (𝑓(𝑦) > 0) 𝑥∈𝑄 |𝑄 | Nếu 𝑥 ∈ 𝐸𝑡 thì 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡 Suy ra: sup 𝑄 Khi đó tồn tại một hình lập phương 𝑄 chứa 𝑥 cho: ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 > 𝑡 |𝑄 | (2.4) 𝑄 Để dễ áp dụng có thể viết (2.4) dưới dạng: 1< ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 𝑡 |𝑄| 𝑄 Nếu 𝐾 là một tập compact của 𝐸𝑡 thì ta có thể phủ 𝐾 với một họ hữu hạn các hình lập phương thỏa mãn (2.4) Áp dụng bổ đề phủ Vitali (Bổ đề 1.4) ta có thể chọn một tập hữu hạn các hình lập phương {𝑄𝑗 } rời có kích thước gấp lần phủ 𝐾 Khi đó: 𝑁 𝑁 𝑁 |𝐾 | ≤ ∑|3𝑄𝑗 | = ∑ 3𝑛 |𝑄𝑗 | ≤ ∑ 𝑗=1 𝑗=1 𝑗=1 3𝑛 3𝑛 ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑡 𝑡 𝑄𝑗 ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 ⋃𝑁 𝑗=1 𝑄𝑗 3𝑛 ≤ ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 𝑡 ℝ𝑛 Lấy cận đúng các tập compact 𝐾 chứa 𝐸𝑡 , ta có bất đẳng 10 thức dạng yếu (2.2) Để đạt được bất đẳng thức cải tiến (2.3) ta tiến hành sau Phân tích 𝑓 = 𝑓1 + 𝑓2 , đó 𝑓1 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) nếu 𝑓 (𝑥 ) ≤ 𝑡/2, và 𝑓1 (𝑥 ) = trường hợp còn lại Ta có theo định nghĩa: 1 ∫ |𝑓(𝑦)| 𝑑𝑦 = sup ∫ |𝑓1 (𝑦) + 𝑓2 (𝑦)| 𝑑𝑥 ≤ 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑀𝑓(𝑥 ) = sup 𝑄 𝑄 1 ∫ |𝑓1 (𝑦)| 𝑑𝑦 + sup ∫ |𝑓2 (𝑦)| 𝑑𝑦 = 𝑀𝑓1 (𝑥 ) + 𝑀𝑓2 (𝑥 ) 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | sup 𝑄 𝑄 Suy ra: {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡} ⊂ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓1 (𝑥 ) > 𝑡/2} ∪ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2} (Vì nếu ∈ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡} ⇒ 𝑀𝑓(𝑦) > 𝑡 ⇒ 𝑀𝑓1 (𝑦) + 𝑀𝑓2 (𝑦) > 𝑡 ⇒ 𝑀𝑓1 (𝑦) > 𝑡/2 𝑀𝑓2 (𝑦) > 𝑡/2 ⇒ 𝑦 ∈ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓1 (𝑥 ) > 𝑡/2} ∪ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2}) Tập hợp đầu tiên bên vế phải là tập rỗng ∫ |𝑓1 (𝑦)| 𝑑𝑦 𝑥∈𝐵 |𝐵 | (nếu 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑡/2 ⟹ 𝑓1 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑡/2 ⟹ 𝑀𝑓1 (𝑥 ) = sup 𝐵 𝑡 𝑡 ∫ 𝑑𝑦 = ) 2 𝑥∈𝐵 |𝐵 | ≤ sup 𝐵 Do đó: {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡} ⊂ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2} Suy ra: 𝑡 sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ sup 𝑡 |{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > }| 𝑡>0 𝑡>0 Áp dụng bất đẳng thức dạng yếu (2.2) ta được: sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2}| ≤ 𝐶 ‖𝑓2 ‖1 = 𝐶 ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 𝑡>0 ℝ𝑛 = 𝐶( |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 + ∫ {𝑥: |𝑓(𝑥)|≤𝑡/2} =𝐶 ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} Suy ra: ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 ) {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} 11 sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ 𝐶 |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 = 𝐶 ∫ 𝑡>0 𝑡 |𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 ∫ 𝑡 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>2} {𝑥: |𝑓(𝑥)|>2} Do đó ta được (2.3) Để có (ii) ta biểu diễn dạng 𝐿𝑝 − chuẩn (1.1) và sử dụng (2.3): ∞ ∫ 𝑀𝑓 (𝑥 )𝑝 𝑑𝑥 = 𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−1 |{𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| 𝑑𝑡 ℝ𝑛 ∞ ≤ 𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−1 ( 𝐶 𝑡 ∫ |𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑡 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} ∞ ≤ 𝐶𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−2 ( ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑡 {𝑥: 𝑓(𝑥)>𝑡/2} 2𝑓(𝑥) = 𝐶𝑝 ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ( ∫ 𝑡 𝑝−2 𝑑𝑡) ℝ𝑛 2𝑝−1 𝑓 (𝑥 )𝑝−1 = 𝐶𝑝 ∫ 𝑓 (𝑥 ) ( ) 𝑑𝑥 = 𝐶𝑝 ∫ 𝑓(𝑥 )𝑝 𝑑𝑥 □ 𝑝−1 ℝ𝑛 ℝ𝑛 Chú ý 2.2 : Phần (ii) thường đạt được cách áp dụng định lý nội suy Marcinkiewicz 1.6 với (2.2) và ước lượng tầm thường 𝐿∞ Thật ra, (2.3) là bước đầu tiên chứng minh định lý nội suy Một hệ quả của bất đẳng thức dạng yếu là định lý khả vi Lebesgue (sử dụng Định lý 1.9) : ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 𝑟→0 |𝑄 (𝑥, 𝑟 )| lim 𝑄(𝑥,𝑟) với hầu hết 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , đó 𝑄(𝑥, 𝑟) là hình lập phương có tâm là 𝑥 và chiều dài cạnh là 2𝑟 Đặc biệt, 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑀𝑓(𝑥 ) hầu khắp nơi 2.2 Bất đẳng thức Fefferman – Stein Trong phần này ta làm cách nào để thêm các hàm trọng vào các chứng 12 minh trước để đạt được các bất đẳng thức trọng Định lý 2.3: (xem [5, trang 8]) Cho 𝑢 là một hàm đo được không âm Khi đó: 𝑢({𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}) ≤ 𝐶 ∫ |𝑓(𝑥 )|𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 , ∀𝑓 ∈ 𝐿1 (𝑀𝑢) 𝑡 (2.5) ℝ𝑛 (dạng yếu ứng với 𝑝 = 1) Hơn nữa, cho < 𝑝 < ∞ ta có: (dạng mạnh) ‖𝑀𝑓‖𝑝,𝑢 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝑝,𝑀𝑢 Chứng minh Ta có thể giả sử 𝑓 là hàm không âm và 𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ𝑛 ) (vì nếu 𝑓 ∈ 𝐿1 (𝑀𝑢) và không thuộc 𝐿1 , xét 𝑓𝑛 = 𝑓𝜒𝐵(0,𝑛) , là một dãy tăng các hàm khả tích từng điểm hội tụ 𝑓) Với ký hiệu giống chứng minh trước, lấy các hình lập phương được chọn {𝑄𝑗 } phủ tập compact 𝐾, ta viết: 𝑁 𝑢(𝐾 ) = ∫ 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ ∑ 𝑢(3𝑄𝑗 ) ∫ 𝑗=1 ⋃𝑁 𝑗=1 3𝑄𝑗 𝐾 𝑁 ≤ ∑ 𝑢(3𝑄𝑗 ) 𝑗=1 𝑡 |𝑄𝑗 | 𝑁 ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∑ 3𝑛 𝑗=1 𝑄𝑗 𝑁 𝑢(3𝑄𝑗 ) ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 |3𝑄𝑗 | 𝑡 𝑄𝑗 𝑁 𝑢(3𝑄𝑗 ) 𝑢(3𝑄𝑗 ) 3𝑛 3𝑛 = ∑ ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∑ ∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑡 𝑡 |3𝑄𝑗 | |3𝑄𝑗 | 𝑗=1 𝑗=1 𝑄𝑗 𝑄𝑗 𝑁 3𝑛 ≤ ∑ ∫ 𝑓(𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑡 𝑗=1 𝑄𝑗 (𝑉𝑖̀̀ 𝑢(3𝑄𝑗 ) |3𝑄𝑗 | = |3𝑄𝑗 | ∫ |𝑢(𝑥 )| 𝑑𝑥 = 𝑀𝑢(𝑥 )) 𝑥∈𝑄 |𝑄 | ∫ 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ sup 3𝑄𝑗 𝑄 Lập luận tương tự định lý trước (Định lý 2.1) ta có: 13 𝑁 3𝑛 3𝑛 𝑢(𝐾 ) ≤ ∑ ∫ 𝑓(𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑡 𝑡 𝑗=1 𝑄𝑗 ∫ 𝑓(𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 ⋃𝑁 𝑗=1 𝑄𝑗 3𝑛 ≤ ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑡 ℝ𝑛 Điều này cho ta (2.5) □ Như định lý trước đó ta có thể lấy tích phân tập {𝑥: |𝑓(𝑥 )| > 𝑡/2} vế phải của (2.5) Điều này đủ để rút bất đẳng thức dạng mạnh Độ đo xuất hiện cả hai vế của bất đẳng thức của Định lý 2.3 là khác nhau, 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 và 𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 Chúng có thể được lấy đối với các hàm 𝑢 thỏa mãn bất đẳng thức từng điểm 𝑀𝑢(𝑥 ) ≤ 𝐶𝑢(𝑥 ) hầu khắp nơi Điều kiện này xuất hiện phần tiếp theo (Định nghĩa 2.5) với tên là 𝐴1 2.3 Các hàm trọng Muckenhoupt: Trước hết ta thấy để bất đẳng thức dạng yếu đúng thì độ đo đó là liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue Định lý 2.4: (xem [5, trang 9]) Cho 𝜇 là một độ đo dương hữu hạn các tập compact Khi đó nếu bất đẳng thức dạng yếu: sup 𝑡[𝜇({𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡})]𝑝 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝑝,𝜇 (2.6) 𝑡>0 đúng cho bất kỳ ≤ 𝑝 < ∞, thì 𝜇 là liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue Chứng minh Cho 𝐾 là một tập compact cho |𝐾 | = và 𝜖 > Khi đó tồn tại một tập mở 𝑉 chứa 𝐾 cho 𝜇(𝑉\𝐾 ) < 𝜖 (xem [16]) Lấy 𝑓 = 𝜒𝑉\𝐾 Do 𝐾 là tập có độ đo nên 𝑀𝑓(𝑥 ) = với 𝑥 ∈ 𝐾 Thật vậy: |𝑄 ∩ (𝑉\𝐾 )| 1 ∫ |𝑓(𝑦)| 𝑑𝑦 = sup ∫ 𝜒𝑉\𝐾 𝑑𝑦 = sup |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 𝑀𝑓(𝑥 ) = sup 𝑄 |𝑄 | = 𝑥∈𝑄 |𝑄 | ≤ sup Mặt khác lấy 𝑥 ∈ 𝑄′ ⊂ 𝑉 thì: 𝑄 ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Littlewood và một số vấn đề quan trọng lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu,... tích nhân tử 36 Chương LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG