��I HÅC QUÈC GIA H� NËI TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI�N Vô Thà V¥n H�M ZETA TÆPÆ CÕA K� DÀ �×ÍNG CONG PH�NG PHÙC KHÆNG SUY BI�N LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC H Nëi N«m 2020 ��I HÅC QUÈC GIA H� NËI TR×ÍNG[.]
I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HC Tĩ NHIN Vụ Th VƠn HM ZETA TặPặ CếA K D ìNG CONG PHNG PHC KHặNG SUY BIN LUN VN THC S TON HÅC H Nëi - N«m 2020 I HÅC QC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HC Tĩ NHIN Vụ Th VƠn HM ZETA TặPặ CếA K D ìNG CONG PHNG PHC KHặNG SUY BIN Chuyản ngnh : Ôi số v Lỵ thuyát số M số : 8460101.04 LUN VN THC S TON HC NGìI HìẻNG DN KHOA HC TS L QUị THìNG H Nởi - Nôm 2020 Lới cÊm ỡn hon thnh quĂ trẳnh nghiản cựu v hon thiằn luên vôn ny, lới Ưu tiản tĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn sƠu sưc án TS Lả Quỵ Thữớng, cĂn bở Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - Ôi hồc Quốc gia H Nởi ThƯy  trỹc tiáp ch bÊo v hữợng dăn tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh nghiản cựu tĂc giÊ hon thiằn luƠn vôn ny Ngoi tĂc giÊ xin chƠn thnh c£m ìn c¡c th¦y cỉ khoa To¡n - Cì - Tin hồc  tÔo iÃu kiằn v õng gõp nhỳng ỵ kián quỵ bĂu tĂc giÊ hon thnh khõa hồc v luên vôn ny Cuối tĂc giÊ xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi gia ẳnh, bÔn b, ngữới thƠn  luổn ởng viản, cờ vụ, tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn H Nởi, thĂng nôm 2019 Hồc viản cao hồc Vơ Thà V¥n Mưc lưc Líi c£m ìn Líi nõi Ưu Kián thực chuân b 1.1 GiÊi kẳ d cho kẳ d ữớng cong phng 1.2 C¡c ph²p bi¸n êi xuy¸n 1.3 GiÊi kẳ d khổng suy bián bơng bián ời xuyán 10 1.4 H m zeta tæpæ cõa kẳ d ữớng cong phng 12 1.5 V½ dư: K¼ dà f (x, y) = y − x3 tÔi O 13 H m zeta tỉpỉ cõa k¼ dà ìn 17 2.1 K¼ dà ìn A2n−1 (n ≥ 2) 17 2.2 K¼ dà ìn A2n (n ≥ 1) 20 H m zeta tỉpỉ cõa k¼ d khổng suy bián cõ phƯn chẵnh tỹa thuƯn nhĐt 26 3.1 Kẳ d y a xb vợi (a, b) = 26 3.2 Bi¶n Newton ch¿ câ mởt cÔnh compưc 30 Kẳ d ữớng cong phng phực khổng suy bián 35 4.1 Php giÊi xuyán cho kẳ d khổng suy bián 35 4.2 H m zeta tỉpỉ cõa k¼ dà khỉng suy bi¸n 38 T i li»u tham khÊo 42 Lới nõi Ưu Nôm 1992, Denef v Loeser phĂt minh mởt hm zeta mợi, ữủc gåi l h m zeta tỉpỉ, bði °c tr÷ng Euler-Poincar² tỉpỉ ữủc sỷ dửng nh nghắa (xem [3]) Nõi mởt c¡ch næm na, h m zeta tæpæ Zftop (s) cõa mët a thùc d bi¸n h» sè phùc f l mët h m húu t cõa s chùa nhúng thỉng tin ÷đc lĐy tứ mởt php giÊi kẳ d cừa a tÔp phực X0 := {x Cd | f (x) = 0} Chúng ta nhưc lÔi nh nghắa cừa Zftop (s) nh÷ sau Cho h : Y → (X, X0 ) l mët ph²p gi£i k¼ dà cõa X0 Khi õ, theo nh nghắa cừa php giÊi kẳ d, h : Y X l mởt Ănh xÔ riảng theo tỉpỉ phùc (nghàch £nh cõa mët tªp compc X l mët tªp compc Y ), Y l mởt a tÔp phực trỡn, cho Ănh xÔ hÔn ch¸ h : Y \ h−1 (X0 ) → X \ X0 l mởt ng cĐu giỳa cĂc a tÔp Ôi số v cho h1 (X0 ) l hủp cừa cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy m chúng hoc khỉng giao ho°c ch¿ giao ho nh (giao vỵi bëi giao b¬ng sau bä qua sè bëi trản mội thnh phƯn) CĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa h1 (X0 ) cõ hai loÔi: thnh phƯn cĂ biằt (náu chúng ng cĐu vợi khổng gian xÔ Ênh Pd1 C ), thnh phƯn thỹc sỹ (náu chúng d1 ng cĐu vợi khổng gian affine AC ) Gồi {Ei | i S} (vợi S l mởt têp hỳu hÔn) l têp tĐt cÊ cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy cõa h−1 (X0 ) Gåi Ni l sè bëi cõa f ◦ h tr¶n Ei v νi − l sè bëi cõa Jacobian of h tr¶n Ei T Vợi mội têp I cừa S , ta kẵ hiằu EI cho têp giao iI Ei v EI cho tªp S hđp EI \ j6∈I Ej Khi â Denef v Loeser [3] ành ngh¾a h m zeta tỉpỉ cõa f nh÷ sau Zftop (s) = X χ(EI◦ ) I⊆S Y i∈I , Ni s + νi â χ l °c tr÷ng Euler-Poincar² tỉpỉ Trong [3], c¡c t¡c gi£ ch¿ r¬ng Zftop (s) khỉng phư thc v o sü lüa chån cõa ph²p gi£i k¼ dà h cõa X0 Hìn núa, h m zeta tỉpỉ ny cỏn l mởt bĐt bián rĐt thú v, liản quan án GiÊ thuyát ỡn Ôo (mởt giÊ thuyát quan trồng Lỵ thuyát kẳ d v Hẳnh hồc Ôi số, ữủc phĂt biu bi nh toĂn hồc Nhêt BÊn Jun-Ichi Igusa nhỳng nôm 1980) Náu x l mởt im cõa X0 , ta ành ngh¾a Sx := {i ∈ S | h(Ei ) = x} Khi â h m zeta tổpổ a phữỡng cừa f tÔi im x ữủc nh nghắa nhữ sau Y X top Zf,x (s) = χ(EI◦ ) N s + ν i i i∈I IS,ISx 6= GiÊ thuyát ỡn Ôo (phiản bÊn tổpổ) kát nối cĂc cỹc cừa hm zeta tổpổ vợi cĂc bĐt bián quan trồng cừa Lỵ thuyát kẳ d Tứ nh ngh¾a cõa c¡c h m zeta top tỉpỉ, måi cüc cõa Zftop (s) v Zf,x (s) Ãu cõ dÔng Nii vợi i S Tuy nhiản, bơng rĐt nhiÃu vẵ dử, ngữới ta nhên thĐy rơng cõ rĐt nhiÃu sè húu t − Nνii (vỵi top (s) Do â, º chùng minh Gi£ i ∈ S ) khæng ph£i l cüc cõa Zftop (s) v Zf,x top top (s) l mởt bi toĂn rĐt thuyát ỡn Ôo, bi toĂn t¼m cüc cõa Zf (s) v Zf,x quan trång Nâi chung, cho án nay, bi toĂn ny chữa ữủc giÊi trữớng hủp tờng quĂt Cõ rĐt nhiÃu bi bĂo viát và hm zeta tổpổ v GiÊ thuyát ỡn Ôo cho kẳ d ữớng cong phng (tực l cho trữớng hủp d = 2), chng hÔn [7], [11], [10], [4], [6] Trữớng hủp d = 2, GiÊ thuyát ỡn Ôo ữủc chựng minh [7], [10], [6] Nõi riảng, phữỡng phĂp [6] dỹa trản nhỳng hiu biát quan trồng và cĂc php bián ời xuyán, php giÊi xuyán, hẳnh hồc xuyán v thĂp giÊi Tschirnhausen cho kẳ d ữớng cong phng  ữủc giợi thiằu trữợc õ [8], [9], [1] Trong luên vôn ny, chúng tổi tẳm hiu phữỡng phĂp tẵnh hm zeta tổpổ a phữỡng bi b¡o cõa Th÷íng v H÷ng [6] M°c dị b i b¡o [6] à cêp án hm zeta tổpổ cho kẳ d ữớng cong phng tờng quĂt, luên vôn chúng tổi ch ồc hiu v trẳnh by lÔi phữỡng phĂp ny cho cĂc kẳ d ữớng cong phng tứ cĂc trữớng hủp c biằt nhữ kẳ d ỡn án kẳ d khổng suy bián Luên vôn chia thnh bốn chữỡng Chữỡng trẳnh by kián thực chuân b và php bián ời xuyán v hm zeta tổpổ cừa kẳ d ữớng cong phng Chữỡng cho cĂc tẵnh toĂn cử th v· gi£i k¼ dà v h m zeta tỉpỉ cõa k¼ d ỡn Chữỡng trẳnh by và hm zeta tổpổ cừa kẳ d khổng suy bián cõ phƯn chẵnh l mởt a thực tỹa thuƯn nhĐt Cuối cũng, Chữỡng 4, chúng tổi khÊo sĂt kẳ d ữớng cong phng khổng suy bián bơng cĂch sỷ dửng cĂc php bi¸n êi xuy¸n, tø â mỉ t£ h m zeta tỉpỉ cõa k¼ dà n y thỉng qua a di»n Newton cõa nõ Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 GiÊi kẳ d cho kẳ d ữớng cong phng GiÊi kẳ d l mởt cổng cử quan trồng lỵ thuyát kẳ d nõi riảng v hẳnh hồc Ôi số nõi chung Nõ cho ph²p chuyºn thỉng tin h¼nh håc cõa iºm k¼ dà th nh c¡c thỉng tin tê hđp nh÷ mët tr÷íng hủp c biằt cừa sưp xáp siảu phng, cho php nghiản cựu mởt phữỡng trẳnh a thực thổng qua nghiản cựu nhiÃu phữỡng trẳnh ỡn thực Sỹ tỗn tÔi cừa giÊi kẳ d trản trữớng c số ữủc chựng minh bi Hironaka Trong luên vôn ny, ta ch à cêp án giÊi kẳ d cừa ữớng cong phng phực Gåi O l gèc tåa ë cõa C2 Ta s³ k½ hi»u bði C{x, y} v nh c¡c chuéi luÿ thøa hai bi¸n h» sè phùc hëi tư mët lƠn cên cừa O C2 Xt mởt phƯn tû f (x, y) cõa C{x, y} °t C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0} im O ữủc gồi l im kẳ d cừa C (ho°c cõa f ) n¸u f (O) = ∂f ∂f (O) = (O) = ∂x ∂y ành ngh¾a 1.1 Cho f (x, y) l mët chuéi lôy thøa hëi thử trản mởt lƠn cên W cừa O C2 cho O l mët iºm k¼ dà cõa f Mởt Ănh xÔ : Y W ữủc gồi l mởt php giÊi tốt cừa C tÔi O (hay cõa (C, O), cõa (f, O), hay ìn gi£n hỡn, cừa f ) náu tỗn tÔi mởt lƠn cên V cõa O cho V ⊆ W v c¡c iÃu sau Ơy ữủc thọa mÂn (a) Y l mởt a tÔp trỡn, tực l Y ữủc phừ bi cĂc bÊn ỗ a phữỡng, mội bÊn ỗ vi phổi vợi (C2 ; x, y), cĂc bÊn ỗ ữủc dĂn vợi bơng cĂc Ănh xÔ trỡn Chữỡng Kián thực chuân b (b) l mởt Ănh xÔ x¡c ành bði c¡c chi lơy thøa hëi tư tr¶n V (tực l mởt Ănh xÔ giÊi tẵch), l riảng (nghch Ênh cừa mởt têp compưc l mởt têp compc), to n ¡nh v π|π−1 (V )\π−1 (O) : π −1 (V ) \ π −1 (O) → V \ {O} l mởt ng cĐu giÊi tẵch (c) ìợc div( ∗ f ) := π −1 (C ∩ V ) ch¿ câ k¼ dà l c¡c iºm giao ho nh cõa cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa nõ, cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy ny l trỡn (V ) Trong luên vôn ny, s gồi mët ph²p gi£i tèt cõa f l mët ph²p gi£i kẳ d cừa f Mội thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa 1(O) ữủc gồi l mởt thnh phƯn cĂ biằt cừa php giÊi kẳ d Mội thnh phƯn b§t kh£ quy cõa bao âng π −1 (C \ {O}) Y cõa π −1 (C \ {O}) ÷đc gåi l mët th nh ph¦n thüc sü cõa ph²p gi£i kẳ d Tứ nh nghắa cừa php giÊi kẳ d ta thĐy mội thnh phƯn cĂ biằt cừa ng cĐu vợi khổng gian xÔ Ênh phực mởt chiÃu P1 , mội thnh phƯn thỹc sỹ ng cĐu vợi ữớng thng phực C GiÊ sỷ (U ; u, v) l mởt bÊn ỗ a phữỡng Y cho trản õ f cõ dÔng f (u, v) = λ(u, v)um v n , â λ(u, v) kh¡c vỵi måi (u, v) ∈ U Khi õ u = l phữỡng trẳnh x¡c ành mët th nh ph¦n c¡ bi»t E n o â cừa bÊn ỗ (U ; u, v) Tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt bÊn ỗ khĂc chựa mởt phƯn cừa E v xĂc nh E trản bÊn ỗ õ bơng mởt phữỡng trẳnh a phữỡng theo cĂch tữỡng tỹ Số m l mởt bĐt bián trản mồi bÊn ỗ giao vợi E , nõ ữủc gồi l số cừa f trản E , ta s kẵ hiằu ej l mởt thnh phƯn thỹc sỹ v náu f l rót gån (c¡c sè n y bði N (E) Náu C thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa f Ãu cõ lụy thứa bơng 1) thẳ số trản thnh ej ) = Náu kẵ hiằu Ei , vợi i thuởc mởt têp hỳu hÔn phƯn cĂ biằt luổn l N (C S , l t§t c£ c¡c th nh phƯn bĐt khÊ quy cừa (C), v kẵ hi»u Ni thay cho N (Ei ), ta câ X div(π ∗ f ) = π −1 (C) = N i Ei iS Chú ỵ rơng, Ei cõ th l mët th nh ph¦n c¡ bi»t, cơng câ thº l mởt thnh phƯn thỹc sỹ Cụng mởt bÊn ỗ (U ; u, v) nhữ vêy, hm det Jac cõ dÔng det Jac (u, v) = (u, v)up v q , Chữỡng Kián thực chuân b õ δ(u, v) kh¡c vỵi måi (u, v) ∈ U Náu E l mởt thnh phƯn cĂ biằt m bÊn ỗ ny ữủc xĂc nh bi phữỡng trẳnh u = thẳ, tữỡng tỹ nhữ trản, p l mởt bĐt bián ch phử thuởc vo E , khổng phử thuởc vo cĂc bÊn ỗ Ta kẵ hiằu (E) := p + Tữỡng tỹ nhữ trản ta cõ X (νi − 1)Ei , Kπ := KY /W := div(det Jacπ ) = i∈S â νi := ν(Ei ) vợi mồi i S nh nghắa 1.2 °t X = (x1 , x2 ; y1 : y2 ) ∈ C2 × P1 | x1 y2 = x2 y1 Khi â ph²p nê t¥m O cõa C2 l Ănh xÔ : X C2 xĂc ành bði ρ(x1 , x2 ; y1 : y2 ) = (x1 , x2 ) a tÔp (O) = (x1 , x2 ; y1 : y2 ) ∈ C2 × P1 | (x1 , x2 ) = O, x1 y2 = x2 y1 ∼ = P1 ÷đc gåi l th nh ph¦n c¡ bi»t cõa ph²p nê ρ Trong nh nghắa và php nờ trản, a tÔp X ữủc dĂn tứ hai bÊn ỗ a phữỡng U1 = {(x2 y1 , x2 ; y1 : 1) | x2 , y1 ∈ C} v U2 = {(x1 , x1 y2 ; : y2 ) | x1 , y2 C} theo phữỡng trẳnh dĂn y1 y2 = ỗng nhĐt U1 vợi {(x2 , y1 ) | x2 , y1 C}, ỗng nhĐt U2 vợi {(x1 , y2 ) | x1 , y2 ∈ C} Khi õ biu thực tữớng minh cừa trản U1 l ρ(x2 , y1 ) = (x2 y1 , x2 ), biu thực tữớng minh cừa trản U2 l (x1 , y2 ) = (x1 , x1 y2 ) ành lỵ và giÊi kẳ d cừa Hironaka Ăp dửng vo kẳ d ữớng cong phng phực cõ th phĂt biu nhữ sau: Mội php giÊi kẳ d cừa C tÔi O l mët ph²p hñp th nh cõa mët sè húu hÔn cĂc php nờ cõ dÔng |1 (V ) : ρ−1 (V ) → V , vỵi V l mët tªp mð chùa O cõa C2 v ρ x¡c nh nhữ trản ... compưc 30 Kẳ d ữớng cong phng phực khổng suy bián 35 4.1 Php giÊi xuyán cho kẳ d khổng suy bián 35 4.2 H m zeta tỉpỉ cõa k¼ dà khỉng suy bi¸n 38 T i li»u... bián ời xuyán v hm zeta tổpổ cừa kẳ d ữớng cong phng Chữỡng cho cĂc tẵnh toĂn cử th v· gi£i k¼ dà v h m zeta tỉpỉ cõa k¼ d ỡn Chữỡng trẳnh by và hm zeta tổpổ cừa kẳ d khổng suy bián cõ phƯn... hm zeta tổpổ cho kẳ d ữớng cong phng tờng quĂt, luên vôn chúng tổi ch ồc hiu v trẳnh by lÔi phữỡng phĂp ny cho cĂc kẳ d ữớng cong phng tứ cĂc trữớng hủp c biằt nhữ kẳ d ỡn án kẳ d khổng suy