BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TH[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Đồng điều kì dị” tơi thực hướng dẫn TS Trần Huyên chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm LỜI CẢM ƠN Tôi xin cảm ơn thầy Trần Huyên – người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau Đại học thầy Khoa Tốn – Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập trường suốt khoảng thời gian thực luận văn Qua xin bày tỏ lịng cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè giúp đỡ thời gian thực khóa luận TP Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng năm 2019 HỌC VIÊN Võ Quang Phú MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ Phạm trù 2 Hàm tử hiệp biến hàm tử phản biến Biến đổi tự nhiên hàm tử hiệp biến biến đổi tự nhiên hàm tử phản biến 10 §2 ĐỒNG LUÂN 12 Đồng luân 12 Hai ánh xạ liên tục đồng luân 12 Mệnh đề 2.3 12 Mệnh đề 2.4 13 Phạm trù không gian topo lớp đồng luân ánh xạ liên tục 13 Một số ví dụ đồng luân 15 §3 PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU CÁC PHỨC 17 Phức đồng điều phức 17 Phức – Phức thương 25 Dãy khớp ngắn phức 26 Phức nhóm aben 29 Chương 2: ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 33 §1 ĐƠN HÌNH KÌ DỊ 33 Đơn hình mẫu 33 Đơn hình kì dị 37 Phép biến đổi affin 37 Đơn hình kì dị affin 39 Bờ đơn hình mẫu 41 Biên đơn hình kì dị 42 Biên đơn hình affin 43 Biên lặp 43 §2 ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ 46 Toán tử bờ 46 Dây chuyền n chiều không gian X 46 Phức kì dị 47 Đồng điều kì dị 52 Không gian acyclic 53 §3 ĐỒNG LUÂN DÂY CHUYỀN CẢM SINH TỪ CÁC ÁNH XẠ LIÊN TỤC ĐỒNG LUÂN 56 Không gian co rút 56 Mệnh đề 3.3 57 Bổ đề 3.4 63 Bổ đề 3.5 63 Bổ đề 3.6 65 Định lý 3.5 68 Hệ 3.6 69 TỔNG KẾT 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 MỞ ĐẦU Đồng điều công cụ dùng để đo mức độ mà dãy nửa khớp chệch so với dãy khớp Trong Topo đại số người ta dùng phương tiện đồng điều kì dị để nghiên cứu số bất biến đại số không gian Topo X Để xây dựng đồng điều kì dị, trước tiên người ta đưa khái niệm đơn hình kì dị cách xác lập ánh xạ liên tục từ đơn hình mẫu n chiều vào khơng gian Topo xây dựng tổng hình thức chúng tạo nên dây chuyền kì dị Chính đơn hình kì dị mơ tả cho tương quan hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với với biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh không gian topo tương ứng Đề tài mà chúng tơi chọn nhằm làm sáng tỏ điều Do vậy, đề tài này, quan tâm đến ánh xạ liên tục đồng luân phép biến đổi dây chuyền cảm sinh từ chúng Luận văn trình bày gồm hai chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở phạm trù, hàm tử, đồng luân, hai ánh xạ liên tục đồng luân, phức phạm trù phức Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương 2: Là phần luận văn, chương chúng tơi tập trung nghiên cứu đơn hình mẫu, đơn hình kì dị, đồng điều kì dị, phức kì dị đưa mối tương quan hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với với biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh không gian topo tướng ứng Luận văn chắn tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy cơ, nhà khoa học, bạn học viên, người quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện 2 Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ Phạm trù 1.1 Định nghĩa 1.1 Một phạm trù C bao gồm: i) Một lớp vật, ký hiệu Ob C mà vật ký hiệu X , Y , Z Nếu không gây nhầm lẫn ta ghi C thay cho Ob C ii) Với cặp vật có thứ tự X ,Y có tập cấu xạ từ X vào Y mà ta ký hiệu Mor X , Y mà Mor X , Y X gọi miền nguồn Y gọi miền đích Nếu Mor X , Y ta viết Y : X Y hay X iii) Với ba có thứ tự vật X , Y , Z có ánh xạ từ Mor X , Y Mor Y , Z vào Mor X , Z gọi phép hợp thành Ảnh cặp cấu xạ , Mor X , Y Mor Y , Z ký hiệu hay gọi tích Đồng thời luật hợp thành phải thỏa điểu kiện: PT1 Với Mor X , Y , Mor Y , Z , Mor Z ,W tùy ý (tính chất kết hợp) PT2 Với vật X , Y , tồn cấu xạ đồng id X : X X cấu xạ đồng idY : Y Y cho với cấu xạ Mor X , Y id X idY 1.2 Đẳng xạ Ta cần tới cấu xạ đặc biệt đưa định nghĩa đây: 1.2.1 Nghịch đảo trái nghịch đảo phải cấu xạ Định nghĩa 1.2 Nếu Mor X , Y , Mor Y , X cấu xạ phạm trù C thỏa id X gọi nghịch đảo trái gọi nghịch đảo phải 1.2.2 Đẳng xạ Định nghĩa 1.3 Cho Mor X , Y cấu xạ phạm trù C Nếu tồn đồng thời t Mor Y , X nghịch đảo trái p Mor Y , X nghịch đảo phải gọi đẳng xạ Hơn ta có t t idY t p t p id X p p Vậy nghịch đảo trái nghịch đảo phải ký hiệu 1 Vậy 1 t p 1.2.3 Hai vật đẳng xạ Định nghĩa 1.4 Hai vật X , Y phạm trù C gọi đẳng xạ, ký hiệu X Y , tồn đẳng xạ Mor X , Y 1.3 Ví dụ phạm trù Bây giờ, ta đưa hai ví dụ phạm trù mà liên quan luận văn 1.3.1 Phạm trù Top không gian topo ánh xạ liên tục + Lớp vật lớp không gian topo + Với hai không gian topo X Y cấu xạ từ X đến Y ánh xạ liên tục từ X vào Y + Hợp thành hai ánh xạ liên tục : X Y , : Y Z tích : X Z theo nghĩa thơng thường 1.3.2 Phạm trù Ab nhóm giao hốn đồng cấu nhóm + Lớp vật lớp nhóm aben + Với hai nhóm aben X Y cấu xạ từ X đến Y đồng cấu nhóm từ X vào Y + Hợp thành hai đồng cấu nhóm : X Y , : Y Z tích : X Z theo nghĩa thông thường Hàm tử hiệp biến hàm tử phản biến 2.1 Hàm tử hiệp biến Định nghĩa 1.5 Cho C D phạm trù Một hàm tử hiệp biến T từ C vào D , ký hiệu T : C D , gồm: i) Một ánh xạ T : Ob C Ob D đặt tương ứng vật X Ob C với vật TX Ob D ii) Một ánh xạ từ lớp cấu xạ phạm trù C vào lớp cấu xạ phạm trù D đặt tương ứng cấu xạ Mor X , Y với cấu xạ T Mor TX , TY thỏa điều kiện sau: HT1 Với T T cặp cấu xạ , MorC X , Y MorC Y , Z T HT2 Với vật X Ob C T id X idTX 2.2 Hàm tử phản biến Định nghĩa 1.6 Cho C D phạm trù Một hàm tử phản biến (hay gọi phản hàm tử) F từ C vào D , ký hiệu F : C D , gồm: i) Một ánh xạ F : Ob C Ob D đặt tương ứng vật X Ob C với vật FX Ob D ii) Một ánh xạ từ lớp cấu xạ phạm trù C vào lớp cấu xạ phạm trù D , đặt tương ứng cấu xạ Mor X , Y với cấu xạ F Mor FY , FX thỏa điều kiện sau: PHT1 Với cặp cấu xạ , MorC X , Y MorC Y , Z F F F PHT2 Với vật X Ob C F id X id FX 2.3 Ví dụ hàm tử 2.3.1 Hàm tử đồng Cho phạm trù C , hàm tử đồng ID : C C gồm: + Một ánh xạ ID : Ob C Ob C đặt tương ứng vật X Ob C với vật ID X X Ob C + Một ánh xạ từ lớp cấu xạ phạm trừ C vào lớp cấu xạ phạm trù C đặt tương ứng cấu xạ Mor X , Y với cấu xạ ID Mor X , Y Hiển nhiên ánh xạ thỏa mãn hai điều kiện PT1 PT2, ID hàm tử hiệp biến 2.3.2 Tích hai hàm tử hiệp biến Cho phạm trù C, D, E hàm tử hiệp biến T : C D U : D E Khi ta xét tích UT : C E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob C Ob E định nghĩa sau: với vật X Ob C UT X U TX + Một ánh xạ từ lớp cấu xạ phạm trù C vào lớp cấu xạ phạm trù E định nghĩa sau: với cấu xạ MorC X , Y UT U T Khi đó, với cặp cấu xạ , MorC X , Y MorC Y , Z bất kì, U T hàm tử hiệp biến nên ta có: UT U T U T T U T U T UT UT Hơn nữa, với vật X Ob C , U T hàm tử hiệp biến nên tồn cấu xạ id X Mor X , X cho: UT id X U T id X U idTX idU TX id UT X Vậy UT thỏa mãn hai tính chất HT1 HT2 nên UT hàm tử hiệp biến từ C đến E Hàm tử UT gọi hàm tử tích hai hàm tử U T 2.3.3 Tích hai phản hàm tử Cho phạm trù C , D , E hàm tử phản biến T : C D U : D E Khi đó, ta xét tích UT : C E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob C Ob E định nghĩa sau: với vật X Ob C UT X U TX + Một ánh xạ từ lớp cấu xạ phạm trù C vào lớp cấu xạ phạm trù E định nghĩa sau: với cấu xạ MorC X , Y UT U T Khi đó, với cặp cấu xạ , MorC X , Y MorC Y , Z , U T hàm tử phản biến nên ta có: UT a U T a U T T U T U T UT UT Hơn nữa, vơi vật X Ob C , U T phản hàm tử nên tồn cấu xạ id X Mor X , X cho: UT id X U T id X U idTX idU TX id UT X Vậy UT thỏa mãn hai tính chất HT1 HT2 nên hàm tử hiệp biến từ C đến E Hàm tử UT gọi hàm tử tích hai hàm tử phản biến U T 2.3.4 Hàm tử Hom A, : Ab Ab Xét phạm trù nhóm aben Ab A nhóm aben cho trước Khi đó, xét Hom A, : Ab Ab gồm: + Một ánh xạ Hom A, : Ab Ab đặt tương ứng nhóm aben X với nhóm aben đồng cấu nhóm từ A vào X , ký hiệu Hom A, X + Một ánh xạ từ lớp đồng cấu nhóm aben vào lớp đồng cấu nhóm aben đặt đồng cấu : X Y , X Y nhóm aben, với đồng cấu nhóm H A, : Hom A, X Hom A, Y định nghĩa sau: với đồng cấu f Hom A, X Hom A, f f Ta chứng minh Hom A, thỏa hai điều kiện HT1 HT2 Với cặp đồng cấu nhóm : X Y :Y Z , X , Y , Z nhóm aben, với đồng cấu f Hom A, X , ta có: Hom A, f f f Hom A, f Hom A, Hom A, f Hom A, Hom A, f Vậy Hom A, Hom A, Hom A, Hơn nữa, với nhóm aben X bất kì, với đồng cấu nhóm f Hom A, X , tồn đồng cấu đồng id X : X X cho: Hom A, id f X id X f f id Hom A, X f Vậy Hom A, id X id Hom A, X Do đó, Hom A, thỏa mãn tính chất HT1 HT2 nên Hom A, hàm tử hiệp biến từ phạm trù Ab đến phạm trù Ab 2.4 Các ví dụ hàm tử phản biến 2.4.1 Tích hàm tử hiệp biến hàm tử phản biến Cho phạm trù C , D , E , hàm tử phản biến T : C D hàm tử hiệp biến U : D E Khi ta xét tích UT : C E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob C Ob E định nghĩa sau: với vật X phạm trù C UT X U TX + Một ánh xạ từ lớp cấu xạ phạm trù C vào lớp cấu xạ phạm trù E định nghĩa sau: với cấu xạ MorC X , Y UT U T Thì UT hàm tử phản biến Chứng minh Ta chứng minh UT thỏa hai điều kiện PHT1 PHT2 Thật vậy, với cặp cấu xạ , MorC X , Y MorC Y , Z , U hàm tử hiệp biến T hàm tử phản biến nên ta có: UT U T U T T U T U T UT UT Hơn nữa, với vật X Ob C , U hàm tử hiệp biến T phản hàm tử nên tồn cấu xạ id X Mor X , X cho: UT id X U Tid X U idTX idU TX idUT X Vậy UT thỏa hai điều kiện PHT1 PHT2 Do đó, UT hàm tử phản biến 2.4.2 Tích hàm tử phản biến hàm tử hiệp biến Cho phạm trù C , D , E , hàm tử hiệp biến T : C D hàm tử phản biến U : D E Khi ta xét tích UT : C E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob C Ob E định nghĩa sau: với vật X phạm trù C UT X U TX + Một ánh xạ từ lớp cấu xạ phạm trù C vào lớp cấu xạ phạm trù E định nghĩa sau: với cấu xạ MorC X , Y UT U T Thì UT hàm tử phản biến Chứng minh Ta chứng minh UT thỏa hai điều kiện PHT1 PHT2 Thật vậy, với cặp cấu xạ , MorC X , Y MorC Y , Z , U hàm tử phản biến T hàm tử hiệp biến nên ta có: UT U T U T T U T U T UT UT Hơn nữa, với vật X Ob C , U phản hàm tử T hàm tử hiệp biến nên tồn cấu xạ id X Mor X , X cho: UT id X U Tid X U idTX idU TX idUT X Vậy UT thỏa hai điều kiện PHT1 PHT2 Do đó, UT hàm tử phản biến 2.4.3 Hàm tử phản biến Hom , A : Ab Ab Xét phạm trù nhóm aben Ab A nhóm aben cho trước Khi ta xét Hom , A : Ab Ab gồm: + Một ánh xạ Hom , A : Ab Ab đặt tương ứng nhóm aben X với nhóm aben đồng cấu nhóm từ X vào A mà ta ký hiệu Hom X , A + Một ánh xạ từ lớp đồng cấu nhóm aben vào lớp đồng cấu nhóm aben, đặt tương ứng đồng cấu : X Y , X Y nhóm aben, với đồng cấu nhóm H , A : Hom Y , A Hom X , A định nghĩa sau: với đồng cấu f Hom Y , A Hom , A f f Ta chứng minh Hom , A hàm tử phản biến, tức Hom , A phải thỏa hai điều kiện PHT1 PHT2 Thật vậy, với cặp đồng cấu nhóm : X Y :Y Z , X , Y , Z nhóm aben với đồng cấu f Hom X , A , ta có: Hom , A f f f Hom , A f Hom , A Hom , A f Hom , A Hom , A f Vậy Hom , A Hom , A Hom , A Hơn nữa, với nhóm aben X bất kì, tồn đồng cấu đồng id X : X X cho với đồng cấu nhóm f Hom Z , A , ta có: Hom , A id f X fid X f id Hom X , A f 10 Vậy Hom , A id X id Hom X , A Do Hom , A thỏa mãn tính chất PHT1 PHT2 nên Hom , A hàm tử phản biến Biến đổi tự nhiên hàm tử hiệp biến biến đổi tự nhiên hàm tử phản biến 3.1 Biến đổi tự nhiên hàm tử hiệp biến Định nghĩa 1.9 Cho phạm trù C , D hàm tử hiệp biến S : C D , T : C D Một phép biến đổi tự nhiên từ S vào T , ký hiệu : S T , gồm hệ thống cấu xạ X MorD SX , TX , X Ob C cho với cấu xạ MorC X , Y , X , Y Ob C , ta có biểu đồ sau giao hốn: S SX SY X Y (1.1) T TX TY nghĩa Y S T X Nếu X đẳng xạ với X Ob C gọi tương đương tự nhiên Trong trường hợp X X1 gọi tương đương tự nhiên (chỉ cần đảo chiều mũi tên (1.1)) gọi tương đương tự nhiên nghịch đảo 3.2 Biến đổi tự nhiên hàm tử phản biến Định nghĩa 1.10 Cho phạm trù C , D hàm tử phản biến U : C D ,V : C D Một phép biến đổi tự nhiên từ U vào V , ký hiệu :U V gồm hệ thống cấu xạ X MorD UX ,VX , X Ob C với cấu xạ MorC X , Y , X , Y Ob C cho ta có biểu đồ sau giao hoán: U UY UX Y X V VY VX (1.2) 11 nghĩa là, X U V Y Nếu X đẳng xạ với X Ob C gọi tương đương tự nhiên Trong trường hợp X X1 gọi tương đương tự nhiên (chỉ cần đổi chiều mũi tên (1.2)) gọi tương đương tự nhiên nghịch đảo 12 §2 ĐỒNG LUÂN Đồng luân Định nghĩa 2.1 Cho X Y không gian topo I 0,1 , đồng luân từ X vào Y ánh xạ liên tục : X I Y mà với t I ta có: t : X Y , t x x, t ánh xạ liên tục Hai ánh xạ liên tục đồng luân Định nghĩa 2.2 Cho X Y hai không gian topo, hai ánh xạ liên tục f , f1 : X Y gọi đồng luân với tồn đồng luân : X I Y cho f0 0 , f1 1 Ký hiệu: : f0 f1 : X Y Mệnh đề 2.3 Quan hệ đồng luân, mà ta ký hiệu (dưới quan hệ , quan hệ tương đương, lớp tương đương ) f ký hiệu f gọi lớp đồng luân f Chứng minh Ta chứng minh quan hệ đồng luân thỏa tính chất phản xạ, bắc cầu đối xứng Tính phản xạ Cho X Y khơng gian topo bất kì, f : X Y ánh xạ liên tục tùy ý, đó, tồn đồng luân : X I Y mà t f với t I Khi ta có, 1 f 0 f Tức f f Vậy quan hệ có tính phản xạ Tính bắc cầu Cho X Y khơng gian topo f , g , h : X Y ánh xạ liên tục từ X vào Y thỏa f g g : X I Y cho 0 f h Khi đó, f g nên tồn đồng luân 1 g Do g h nên tồn đồng luân : X I Y cho g 1 h Xét : X I Y cho bởi: 13 t 2t với 2t 1, t 2t1 với 2t Khi ta có đồng luân 0 0 f 1 2.11 1 h Vậy : f h Tính đối xứng Cho X Y không gian topo, f , g : X Y ánh xạ liên tục từ X vào Y f g Khi đó, f g nên tồn đồng luân : X I Y cho 0 f 1 g Xét : X I Y cho t 1t với t I Khi ta có đồng luân 0 10 1 g 1 11 0 f Vậy : g Vậy quan hệ f quan hệ tương đương Mệnh đề 2.4 Quan hệ đồng luân bảo toàn phép hợp thành ánh xạ Nghĩa là, ta có X , Y , Z không gian topo f0 , f1 : X Y , g0 , g1 : Y Z ánh xạ liên tục mà f0 f1 , g0 g1 ta có g0 f0 g1 f1 Chứng minh Do f0 g0 f1 nên tồn đồng luân : X I Y cho 0 f 1 f1 Do g1 nên tồn đồng luân ' :Y I Z cho '0 g0 '1 g1 Xét : X I Z cho t 't t Khi đó, ta có đồng luân '0 0 g0 f0 , 1 '1 1 g1 f1 Vậy : g0 f g1 f1 Phạm trù không gian topo lớp đồng luân ánh xạ liên tục Xét Htp gồm: + Các vật không gian topo ... ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN HUYÊN... hình kì dị, đồng điều kì dị, phức kì dị đưa mối tương quan hai ánh xạ liên tục hai không gian topo đồng luân với với biến đổi dây chuyền phức kì dị sinh khơng gian topo tướng ứng Luận văn chắn... hướng dẫn tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng sau Đại học thầy Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi