Skkn sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải bài toán chứa tham số

1 Lời Nói đầu - Lí chọn đề tài Đối với học sinh học toán trường trung học phổ thông, học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp tốn khơng dễ dàng liên quan đến nghiệm phương trình, bất phương trình chứa tham số Khi giảm tải chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Vi-ét số cách giải khác hàm số “điều kiện cần - đủ” để giải toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp học sinh khó rèn luyện tốt phần Với việc sử dụng bảng biến thiên hàm số phần lớn tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu Đó lí để tơi chọn đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên hàm số để giải toán chứa tham số” - Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thơng có nhìn tồn diện cách tiếp cận bảng biến thiên hàm số để giải tốn có tham số - Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng toán toán chứa tham số Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số giải tích trung học phổ thơng đặc biệt phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số Tuy nhiên khơng phải tốn chứa tham số mà phạm vi tốn cô lập tham số vế phương trình bất phương trình - Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số để lập bảng biến thiên Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi đại học năm gần xếp từ dễ đến khó Trong tiết học lớp cho học sinh giải ví dụ nhiều phương pháp để từ đánh giá tính ưu việt phương pháp skkn NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong đề tài sử dụng bảng biến thiên liên quan trực tiếp kết sau Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D, tồn , Khi ta có Hệ phương trình Hệ bất phương trình Bất phương trình Hệ bất phương trình Bất phương trình có nghiệm có nghiệm với x m có nghiệm với x M Chứng minh Giả sử hệ phương trình cho có nghiệm, tức tồn cho Theo định nghĩa ta có , hay Đảo lại, giả sử giá trị từ Vì f(x) hàm số liên tục nên nhận đến Do f(x) nhận giá trị , tức tồn cho f( ) = Điều có nghĩa phương trình cho có nghiệm D Giả sử hệ cho có nghiệm, tức tồn cho Rõ ràng Đảo lại, giả sử (1) Ta giả thiết phản chứng hệ cho vô nghiệm, tức suy , từ (2) Từ (1) (2) ta thấy vơ lí, giả thiết phản chứng khơng xảy ra, tức hệ cho có nghiệm Giả sử với Ta lấy x tùy ý thuộc D Vậy skkn , m  minxfD( x ) nên theo định nghĩa Đảo lại, giả sử f(x) tồn mà m = Từ Như ta có đpcm (4 ta chứng minh tương tự 2, 3) 2.2 Thực trạng vấn đề trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, học sinh thường gặp khó khăn việc giải dạng tốn tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm (hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện đó) Do em quen áp dụng cách làm trước sử dụng định lí Vi - ét, điều kiện cần đủ … Khi học sinh học đạo hàm, em có cơng cụ hiệu để giải dạng tốn Đó “Sử dụng bảng biến thiên hàm số để giải phương trình bất phương trình có tham số” 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phương trình chứa tham số Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm Hướng dẫn Điều kiện Đặt Ta tìm miềm xác định t, xét hàm số Ta có với Từ ta có bảng biến thiên x f’(x) f(x) + - từ suy Từ tốn trở thành: Tìm m để hệ sau , có nghiệm skkn Ta có g’(t) = , ta có bẳng biến thiên sau t g’(t) g(t) - + Từ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Đặt f(x) Hướng dẫn Lúc phương trình cho có dạng (1) ; Phương trình (1) xác định miền Nên ta có bảng biến thiên sau: x f’(x) f(x) + g’(x) g(x) Ta có tương tự ta có x - , bảng biến thiên + - skkn Vì ta có bảng biến thiên hàm số h(x), x h’(x) h(x) + sau - Ta có Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Nếu tốn hỏi tìm m để phương trình có nghiệm đáp số toán Trong cần lưu ý khi phương trình cho có nghiệm Vì làm học sinh cần phải kết hợp với bảng biến thiên để suy kết Ví dụ Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn Điều kiện: Đặt t = pt(1) nên Bài toán cho trở thành: Tìm m để hệ Ta có nên có bảng biến thiên sau: t f’(t) f(t) + ; cịn có nghiệm - (chú ý khơng tồn ) skkn Vậy phương trình cho có nghiệm Chú ý: Ở xét , nên khơng tồn Do điều kiện theo lý thuyết thay điều kiện tồn phải thay thành (tức ) Ta giải tốn định lý Viét Tìm m để hệ có nghiệm Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ vơ nghiệm TH1) Phương trình (1) vơ nghiệm TH2) PT (1) có nghiệm khơng thỏa mãn (2) m Do hệ vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt Hướng dẫn Phương trình cho Do x = không nghiệm (1) với m, nên hệ Ta có f’(x) = x f’(x) f(x) bảng biến thiên + - Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Bài hướng dẫn học giải cách sử dụng lý Viét Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt skkn Yêu cầu tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm cho Áp dụng định lý Viét ta có Như cách giải thứ gọn cách hai Ví dụ Cho phương trình nghiệm thuộc đoạn Tìm m để phương trình có Hướng dẫn Đặt Khi Bài tốn trở thành: Tìm m để hệ phương trình nghiệm Ta có có bảng biến thiên sau: t f’(t) có + f(t) ; Vậy giá trị cần tìm tham số m Ví dụ Tìm m để phương trình có nghiệm Đặt Do Hướng dẫn Ta có phương trình (1) Nên phương trình (1) thành: Tìm m để hệ Vì tốn trở có nghiệm skkn Ta có có bảng biến thiên sau đây: t f’(t) + f(t) ; Vậy giá trị m cần tìm là: Ví dụ Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn Hướng dẫn Phương trình (1) (2) Đặt t = sin2x x Bài tốn trở thành: Tìm m để hệ Ta có có bảng biến thiên sau: t f’(t) - + f(t) ; Vậy giá trị m cần tìm skkn Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn Đặt ; Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có nghiệm: Nếu hệ vơ nghiệm Hệ cho Do ta cần tìm m Ta có bảng biến thiên sau: u f’(u) m - + f(u) ; Nên Vây giá trị cần tìm m là: Bài tập Tìm m để phương trình sau có nghiệm (ĐS: ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm đoạn ( ĐS: ) skkn Tìm m để phương trình sau có nghiệm (ĐS: ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm khoảng (ĐS: ) Tìm m để hệ sau có nghiệm (ĐS: ) Bất phương trình chứa tham số Ví dụ Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình với Hướng dẫn Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ) Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình cho đúng , tức Điều kiện đủ: Giả sử Ta có Theo bất đẳng thức Cơsi với Từ suy Vậy Cách 2.(Sử dụng định lý Viét) Đặt t = Xét g(x) = với Ta có bảng biến thiên sau: x -4 g’(x) g(x) điều + với 25 - , Bài tốn cho có dạng: Tìm m để bất phương trình với 10 skkn TH1) Nếu ( không thỏa mãn với TH2) Nếu f(t) = có hai nghiệm phân biệt toán tương đương với ) Lúc u cầu Vậy bất phương trình có nghiệm Cách 3.(Phương pháp đồ thị) Đặt , y ta có Vì đồ thị nửa đường trịn (nằm phía trục Ox) tâm I(1; 0), bán kính R = Cịn có đồ thị Parabol có trục đối xứng x = (P)ln nằm nửa đường trịn Do tốn có dạng: Tìm m để Parabol ln nằm nửa đường tròn Xét (P) tiếp xúc với (C) M(1; 5) Vậy bất phương trình có nghiêm y -4 x Cách Viết lại bất phương trình dạng Ta có: Từ có bảng biến thiên sau: x -4 f’(x) f(x) + - 11 skkn Vậy bất phương trình có nghiệm Nhận xét: qua cách giải toán ta nhận thấy cách gọn dễ làm nhất! Ví dụ Tìm m để bất phương trình với x Hướng dẫn Bất phương trình cho (1) Đặt Ta có Bài tốn trở thành: Tìm m để bất phương trình với t Điều xảy Ta có Bảng biến thiên sau: t f’(t) - + f(t) Vậy giá trị cần tìm tham số m là: Nhận xét: khác với 1, cách giải hợp lí nhât! Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x Vì , m Hướng dẫn nên bất phương trình cho m Ta có f’(x) Bảng biến thiên x -6 12 skkn f’(x) - + - f(x) Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với x m Ví dụ Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm Hướng dẫn Điều kiện: x Khi bất phương trình Bất phương trình cho có nghiệm Xét hàm số m Ta có Bảng biến thiên: x f’(x) + + - f(x) Suy Vậy bất phương trình có nghiệm 13 skkn Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm (đây bất phương trình chứa tham số kèm theo điều kiện x) Hướng dẫn Viết lại hệ dạng Do x = nghiệm (1) với m nên hệ (1)(2) Hệ (1)(2)có nghiệm Ta có Bảng biến thiên sau x f’(x) f(x) - - + - ; Vậy giá trị cần tìm m Bài tập Cho bất phương trình có nghiệm x Tìm m để bất phương trình Tìm m để bất phương trình sau với x Tìm m để hệ Tìm m để hệ sau có nghiệm Tìm m để bất phương trình với x có nghiệm 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 14 skkn Sau toán thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều vận dụng Lớp Dùng điều kiện cần đủ Dùng định lý Vi-ét Dùng bảng biến 12 sử dụng đồ thị thiên 44 HS 20% học sinh hiểu 16% học sinh vận dụng 45% học sinh hiểu vận dụng 80% học sinh hiểu vận dụng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận Qua ví dụ vừa nêu ta thấy ưu điểm việc sử dụng bảng biến thiên hàm số vào giải toán chứa tham số cho ta cách giải ngắn gọn dễ hiểu Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên q trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường Giúp em học sinh tìm cho phương pháp ưu việt giải tốn liên quan đến phương trình bất phương trình có tham số - Kiến nghị Sáng kiến kinh nghiệm mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến xây dựng tiếp tục nghiên cứu, phát triển mở rộng đề hồn thiện XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2021 Tôi xin cam đoan sáng SKKN viết, khơng cháp nội dung người khác Lê Viết Tâm 15 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm 2000 đến 2020 Báo Toán học tuổi trẻ Các toán giá trị lớn nhỏ ( Nguyến Thái Hòe - XB 2006) Hàm số ( Phan Huy Khải - XB 2001) SGK, sách Bài tập giải tích lớp 11 - NC SGK, sách Bài tập giải tích lớp 12 16 skkn ... Do em quen áp dụng cách làm trước sử dụng định lí Vi - ét, điều kiện cần đủ … Khi học sinh học đạo hàm, em có cơng cụ hiệu để giải dạng toán Đó ? ?Sử dụng bảng biến thiên hàm số để giải phương trình... hiểu vận dụng 80% học sinh hiểu vận dụng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận Qua ví dụ vừa nêu ta thấy ưu điểm việc sử dụng bảng biến thiên hàm số vào giải toán chứa tham số cho ta cách giải ngắn... , bảng biến thiên + - skkn Vì ta có bảng biến thiên hàm số h(x), x h’(x) h(x) + sau - Ta có Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Nếu tốn hỏi tìm m để phương trình có nghiệm đáp số