Tuyen tap cac bai toan trong de tuyen sinh chuyen toan cac tinh thanh pho

VÕ TRẦN DUY – VÕ THÀNH ĐẠT – LƯƠNG VĂN KHẢI – ĐẶNG NHÌ – NGUYỄN DUY TÙNG TRẦN DƯƠNG VIỆT HOÀNG – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG – PHẠM QUỐC THẮNG NGƠ HỒNG ANH – NGUYỄN TRƯỜNG HẢI TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN CỦA CÁC TỈNH – THÀNH PHỐ Tháng – 2017 Bất đẳng thức Bài (Trường Phổ thông Năng khiếu ĐHQG Tp HCM) Biết x ≥ y ≥ z, x + y + z = x2 + y2 + z2 = Tính S = (x − y)2 + (x − y)(y − z) + (y − z)2 Tìm giá trị lớn P = |(x − y)(y − z)(z − x)| TH CM 1.1 N CÁC BÀI TOÁN Bài (Bà Rịa - Vũng Tàu) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3xyz Chứng minh: y2 z2 x2 + + ≥1 y+2 z+2 x+2 Bài (Bắc Ninh) Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ M= 3a4 + 3b4 + c3 + (a + b + c)3 Bài (Bình Định) Cho x, y, z số thay đổi thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = xy + yz + zx +  1 x (y − z)2 + y2 (z − x)2 + z2 (x − y)2 Bài (Bình Thuận) Cho số dương x, y, z Chứng minh xy yz zx x2 + y2 + z2 + + ≤ x2 + yz + zx y2 + zx + xy z2 + xy + yz xy + yz + zx Bài (Cần Thơ) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn 2ab + 3bc + 4ca = 5abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + + a+b−c b+c−a c+a−b Chương CÁC BÀI TOÁN 12 Bài (Đồng Nai) Cho a, b, c số thực không âm thỏa a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ Chứng minh rằng: a2 b + b2 c + c2 a ≤ Bài (Hà Nội) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh 2a2 2b2 2c2 + + ≥ a+b+c a + b2 b + c2 c + a2 Bài (Hà Tĩnh) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = 2016 Tìm giá trị lớn N b c a √ √ √ + + a + 2016a + bc b + 2016b + ca c + 2016c + ab Bài 10 (Hải Dương) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab + bc + ca TH CM Q = 14(a2 + b2 + c2 ) + a2 b + b2 c + c2 a Bài 11 (Hải Phòng) Cho a, b, c > a + b + c ≥ Tìm giá trị nhỏ s A=2 b2 c2 a + + +3 r 25 + + a b c Bài 12 (Tp HCM) Cho x, y hai số thực dương Chứng minh √ √ x y+y x x+y − ≤ x+y Bài 13 (Lào Cai) Cho a, b, c số dương thỏa mãn 1 + + = Chứng minh a+1 b+1 c+1 1 + + ≥1 8a2 + 8b2 + 8c2 + Bài 14 (Long An) Cho a, b, c cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ Q= abc (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) Bài 15 (Nam Định) Cho x, y, z số thực thỏa mãn (x − y)(x − z) = y 6= z Chứng minh 1 + + ≥4 2 (x − y) (y − z) (z − x)2 1.1 Bất đẳng thức 13 Bài 16 (Ninh Bình) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + Bài 17 (Ninh Thuận) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 − 6(a + b + c) + 2017 Bài 18 (Phú Thọ): Cho số dương x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức N (2x + y)(x + 2y) P= p − +p + 3(x + y) (2x + y)3 + − (x + 2y)3 + − minh TH CM Bài 19 (Quảng Bình) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng 1 √ +√ +√ ≤√ 3 a +b b +c c +a Bài 20 (Quảng Nam) Cho ba số thực a, b, c cho ≤ a, b, c ≤ Chứng minh a + b + c + 3abc ≥ 2(ab + bc + ca) Bài 21 (Thái Bình) Cho số thực x, y, z ≥ thỏa mãn 3x2 + 4y2 + 5z2 = 52 Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = x+y+z Bài 22 (Thái Nguyên) Tìm giá trị nhỏ biểu thức q q √ √ P = x+6 x−9+ x−6 x−9 Bài 23 (Thừa Thiên - Huế) Cho x, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ M = 6x2 + 4y2 + 10xy + 4x 3y + + 2016 y x Bài 24 (Vĩnh Phúc) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 4(a2 + b2 + c2 ) − (a3 + b3 + c3 ) ≥ Chương CÁC BÀI TOÁN 14 Đại số Bài (Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)  x + 4y2 = Giải hệ phương trình: 4x2 y + 8xy2 + 5x + 10y = √ +4x Giải phương trình: 5x2 + 6x + = 5x64x +6x+6 Bài (Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM)  (x − 2y) (x + my) = m2 − 2m − Giải hệ m = −3 tìm m để hệ có (y − 2x) (y + mx) = m2 − 2m − nghiệm (x0 , y0 ) thỏa x0 > 0; y0 > Tìm a ≥ để phương trình ax2 + (1 − 2a)x + − a = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x2 − ax1 = a2 − a − N Bài (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Chứng minh biểu thức sau nhận giá trị nguyên dương với giá trị nguyên dương n: q q q p 2 2 n + (n + 1) + (n − 1) + n 4n2 + − 4n4 + P= Bài (Bắc Ninh) TH CM 1.2 + 5x3 + 5x2 − 5x − thành nhân tử (a) Phân tích đa thức q xp q p  x − (x − 1) + x + (x − 1)  p (b) Rút gọn Q = 1− với x > x 6= x−1 x2 − √ (x − 1) √ (a) Giải phương trình: (2x − 1) − 5x − = 3x − (b) Cho bốn số thực a, b, c, d khác thỏa mãn điều kiện sau: a, b hai nghiệm phương trình x2 − 10cx − 11d = 0; c, d hai nghiệm phương trình x2 − 10ax − 11b = Tính giá trị S = a + b + c + d Bài (Đà Nẵng) s a a2 Cho biểu thức P = + + a2 + với a 6= −1 Rút gọn biểu thức P tính a+1 (a + 1)2 giá trị P a = 2016 Giải phương √ √trình: √ (a) (17 − 6x) 3x −√ + (6x − 7) √7 − 3x = + 36x − 9x2 − 35 √ (b) x2 − 3x + = 10x − 20 − x − Bài (Hà Nội) p +x− (a) Giải phương trình x4 − 2x (x2 − x) =  x + 2y − 4x = (b) Giải hệ phương trình 4x2 − 4xy2 + y4 − 2y + = Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc abc 6= Tính P= Bài (Hải Phòng) ab2 bc2 ca2 + + a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 1.2 Đại số 15 (a) Cho biểu thức √ √ a3 − b3 a b √ −√ P= −√ √ a−b a+ b b− a √ với a, b > a 6= b Thu gọn tính giá trị P biết (a − 1) (b − 1) + ab = (b) Cho phương trình x2 − x + b = có nghiệm x1 , x2 phương trình x2 − 97x + a = có nghiệm x14 ; x24 Tìm giá
trị a
(a) Giải phương trình: 9x2 − 18x + 3x2 − 4x − = √ √ √ 2x + 3y + 2x − 3y = 2y √ √ (b) Giải hệ phương trình 2x + 3y − 2x − 3y = Bài (Tp HCM) Cho hai số thức a, b cho |a| 6= |b| ab 6= thỏa mãn điều kiện 3 a−b + aa+b −ab a2 +ab = a3a−b −b2 N b+3b Tìm giá trị biểu thức P = a2a+2a +ab2 +b3 √ (a) Giải phương trình x2 − 6x + + 2x − =  x − y3 = (x + y) (b) Giải hệ phương trình x2 − y2 = Bài (Hưng Yên) (a) Đặt a = Bài 10 (Khánh Hoà) TH CM √ √ 1 a b 2; b = Chứng minh rằng: − = a + b + + + a−b b b a p p √ √ (b) Cho x = 28 + − 28 − + Tính giá trị P = x − 6x2 + 21x + 2016 (a) Giải hệ phương trình  2 x y − 2x + y2 = 2x2 − 4x + = −y3  √
 √ √ 2x + − 2x + + 4x2 + 14x + 10 = (b) Giải phương trình r (a) (b) (a) (b) r r 1 Rút gọn biểu thức P = − − − 20162 Cho a nghiệm phương trình x2 − 3x + = Khơng tính giá trị a, tính a2 giá trị biểu thức Q = a + a2 +    x−1 15 x+1 Giải phương trình − +4 = x+2 x −4 x−2 Giải hệ phương trình

 x2 − xy xy − y2 = 25   p p x2 − xy + xy − y2 = (x − y) Bài 11 (Long An) 1 Cho biểu thức P = √x+1 + 2√10 − 2x+35√x+1 với điều kiện x ≥ x+1 (a) Rút gọn biểu thức P (b) Tìm tất số tự nhiên x để P số nguyên tố Chương CÁC BÀI TỐN 16 Cho phương trình x2 − (m − 1) x − 2m + = (m tham số) TÌm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho
x1 +√x2 + 2x1 x2 = 26 Giải phương trình x2 + = x3 + Bài 12 (Nam Định) p p √ √ (a) Đơn giản biểu thức x + + x + − x + − x + với x > 1 (b) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6; a+b + b+c + c+a = a b c Tính giá trị biểu thức b+c + a+c + a+b √ √ √ + 3x + + − 3x = x2 + (a) Giải phương trình 2x  x + 3y2 − 3x − = (b) Giải hệ phương trình x2 − y2 − x − 4y + = 47 60 TH CM N Bài 13 (Phú Thọ) Cho số a, b thoả mãn 2a2 + 11ab − 3b2 = 0, b 6= 2a, b 6= −2a Tính giá trị biểu 2a−3b thức T = a−2b 2a−b + 2a+b √ √ (a) Giải phương trình 2x + 13− x2 − =22 2x + x y + 2x + xy + = (b) Giải hệ phương trình x2 + 3x + y = Bài 14 (Vĩnh Phúc) Cho phương trình x4 + 3x3 − mx2 + 9x + = (m tham số) (a) Giải phương trình m = −2 (b) Tìm tất giá trị √ m để phương trình cho có nghiệm dương Giải phương trình 3x2 − 4x 4x − + 4x − = 1.3 Hình học phẳng Bài (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O), P điểm thuộc cung nhỏ AD đường tròn (O) P khác A, D Các đường thẳng PB, PC cắt đường thẳng AD M, N Đường trung trực AM cắt đường thẳng AC, PB E, K Đường trung trực DN cắt đường thẳng BD, PC F, L Chứng minh ba điểm K, O, L thẳng hàng Chứng minh đường thẳng PO qua trung điểm EF Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD S, đường thẳng FL AC cắt T , đường thẳng ST cắt đường thẳng PC, PB U,V Chứng minh bốn điểm K, L,U,V thuộc đường tròn d > 45o Dựng Bài (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) 4ABC nhọn có ABC hình vng ABMN, ACPQ (M C khác phía AB, B Q khác phía AC) AQ cắt BM E, NA cắt CP F Chứng minh 4ABE ∼ 4ACF tứ giác EFQN nội tiếp Chứng minh trung điểm I EF tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC MN cắt PQ D Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMQ DNP cắt K khác D Tiếp tuyến B C đường tròn ngoại tiếp 4ABC cắt J Chứng minh D, A, K, J thẳng hàng 1.3 Hình học phẳng 17 Bài (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AH Đường tròn (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tương ứng D, E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC S Chứng minh BDEC tứ giác nội tiếp Chứng minh SB.SC = SH Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng M, N, đường thẳng DE cắt HM, HN tương ứng P, Q Chứng minh BP,CQ AH đồng quy N Bài (An Giang) Từ điểm M nằm (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (A, B hai tiếp điểm) Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn C; đoạn thẳng MC cắt đường tròn D Hai đường thẳng AD MB Hai đường thẳng AD, MB cắt E Chứng minh Tứ giác MAOB nội tiếp ME = ED.EA E trung điểm đoạn MB TH CM Bài (Bà Rịa Vũng Tàu) Cho hai đường tron (O; R), (O0 ; R0 ) cắt A B (OO0 > R > R0 ) Trên nửa mặt phẳng bờ OO0 có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung MN hai đường tròn (với M thuộc (O) N thuộc (O0 ) Biết MB cắt (O0 ) điểm E nằm đường tròn (O) đường thẳng AB cắt MN I [ + MBN [ = 1800 I trung điểm MN Chứng minh MAN Qua B, kẻ đường thẳng (d) song song với MN, (d) cắt (O) C cắt (O0 ) D (với C, D khác B) Gọi P, Q trung điềm CD EM Chứng minh ∆AME ∼ ∆ACD điểm A, B, P, Q thuộc đường tròn Chứng minh ∆BIP cân Bài (Bà Rịa Vũng Tàu) Cho ∆ABC nhọn H trực tâm Chứng minh HA HB HC √ + + ≥ BC CA AB Bài (Bắc Ninh) Trên đường tròn (C) tâm O bán kính R vẽ dây cung AB < 2R Từ A B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với (C) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AB (M khác A, B) Gọi H, K, I chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, Ax, By Chứng minh MH = MK.MI Gọi E giao điểm AM KH, F giao điểm BM HI Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MEK, MFI Gọi D giao điểm thứ hai hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MEK, MFI Chứng minh M di chuyển cung nhỏ AB đường thẳng DM qua điểm cố định Bài (Bình Định) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O cho hai đường thẳng AD BC cắt T Đường thẳng (d) ⊥ OT T cắt AB CD M N Chứng minh T M = T N d nhọn M điểm cố định thuộc miền xOy Đường thẳng d qua M cắt Cho xOy cạnh Ox, Oy A, B khơng trùng với O Xác định vị trí A để ∆OAB có điện tích nhỏ Chương CÁC BÀI TỐN 18 Bài (Bình Định) Từ điểm S ngồi đường trịn tâm O kẻ tiếp tuyến SA, SC cát tuyến SBD (B nằm S D) Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh rằng: (a) AB.DC = AD.BC SB IB AB.CB (b) SD = ID = AD.CD Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M nằm nửa đường tròn [ = 60o Kẻ MH⊥AB H, HE⊥AM E, HF⊥BM F Các đường thẳng cho MAB EF AB cắt K Tính diện tích tam giác MEF độ dài đoạn thẳng KA, KB theo R TH CM N d cắt (O) Bài 10 (Cần Thơ) 4ABC nội tiếp đường tròn (O), AB < AC Phân giác góc BAC D khác A Trên tia AB lấy M tuỳ ý cho đường tròn ngoại tiếp 4ADM cắt AC N khác A,C Chứng minh 4BDM = 4CDN Khi BN không song song với MC, đường trung trực đoạn BN cắt đường trung trực đoạn NC P Chứng minh A,C, P, M thuộc đường trịn Xác định vị trí tâm I đường tròn ngoại tiếp 4ADM để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ d > 90o , AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Bài 11 (Đà Nẵng) Cho tam giác ABC có BAC Trung tuyến AM tam giác ABC cắt (O) điểm thứ hai D Tiếp tuyến (O) D cắt đường thẳng BC S Trên cung nhỏ DC (O) lấy điểm E, đường thẳng SE cắt (O) điểm thứ hai F Gọi P, Q giao điểm đường thẳng AE, AF với BC Chứng minh MODS tứ giác nội tiếp Chứng minh QB = PC Bài 12 (Đồng Nai) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (ω) tâm O, vẽ đến (ω) hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD (C nằm M D).Gọi H giao điểm MO AB Chứng minh MA2 = MC.MD Chứng minh tứ giác CDOH nội tiếp Chứng minh đường thẳng AB hai tiếp tuyến (ω) C, D đồng quy Đường thẳng CH cắt (ω) điểm thứ hai E khác C Chứng minh AB//DE Bài 13 (Đồng Nai) 4ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r độ dài đường cao x, y, z 1 1 Chứng minh + + = x y z r Biết r = x, y, z số nguyên dương Chứng minh 4ABC Bài 14 (Hà Nội) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BB0 ,CC0 cắt điểm H Gọi M trung điểm BC Tia MH cắt đường tròn (O) điểm P Chứng minh ∆BPC0 ∼ ∆CPB0 [0 , CPB [0 cắt AB, AC E, F Gọi O0 tâm Các đường phân giác góc BPC đường trịn ngoại tiếp ∆AEF; K giao điểm HM AO0 (a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp (b) Chứng minh tiếp tuyến E F đường tròn (O0 ) cắt điểm nằm đường tròn (O) 1.3 Hình học phẳng 19 Bài 15 (Hà Tĩnh) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm E thay đổi cung nhỏ AB (E khác A B) Từ B C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AE theo thứ tự M N Gọi F giao điểm BN CM Chứng minh MB.CN = BC2 Khi điểm E thay đổi cung nhỏ AB Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định Bài 16 (Hải Dương) Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A điểm di động đường tròn (O) (A khác B C) Kẻ AH⊥BC H M điểm đối xứng điểm A qua điểm B Chứng minh điểm M nằm đường tròn cố định Đường thẳng MH cắt (O) E F (E nằm M F) Gọi I trung điểm HC, đường thẳng AI cắt (O) G (G 6= A) Chứng minh AF + FG2 + GE + EA2 = 2.BC2 Kẻ HP⊥AB P Tìm vị trí điểm A cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BPC đạt giá trị lớn TH CM N Bài 17 (Hải Phòng) Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O có AB < AC Các đường cao BD,CE cắt H (D thuộc AC, E thuộc AB) Gọi M trung điểm BC, tia MH cắt đường tròn (O) N Chứng minh năm điểm A, D, H, E, N thuộc đường trịn [ Q hình chiếu vng góc A [ HP = CHM, Lấy điểm P đoạn BC cho B đường thẳng HP Chứng minh tứ giác DENQ hình thang cân Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với đường tròn (O) Bài 18 (TP HCM) Cho ∆ABC nhọn có đường cao AA1 , BB1 ,CC1 Gọi K hình chiếu A A1 B1 ; L hình chiếu B lên B1C1 Chứng minh rằng: A1 K = B1 L Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC cắt BD E Tia AD cắt tia BC F Dựng hình bình hành AEBG (a) Chứng minh FD.FG = FB.FE (b) Gọi H điểm đối xứng E qua AD Chứng minh điểm F, H, A, G thuộc đường tròn Bài 19 (Hưng Yên) Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A, B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc (O), (O0 ) C D Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O), (O0 ) M, N Các đường thẳng CM, DN cắt E Gọi P giao điểm BC với MN, Q giao điểm BD MN Chứng minh: AE ⊥ CD BD BC MN + = BO BP PO 4EPQ cân Bài 20 (Khánh Hồ) Cho hai đường trịn (O) (O0 ) cắt A, B Từ điểm E nằm tia đối tia AB kẻ đến (O0 ) tiếp tuyến EC, ED (C D tiếp điểm phân biệt) Các đường thẳng AC, AD theo thứ tự cắt (O) P, Q khác A Chứng minh: 4BCP ∼ 4BDQ CA.DQ = CP.DA Ba điểm C, D trung điểm I PQ thẳng hàng Bài 21 (Lào Cai) Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H chân đường cao kẻ từ A đến BC Gọi P, Q chân đường cao kẻ từ H đến AB, AC Hai đường thẳng PQ 2.3 Hình học phẳng 77 1 1 + = Do ≤ nên 12 ≤ hay y ≤ Do x y x y y y ≥ z = nên y ∈ {2; 3; 4} Thế vào đẳng thức để tính ta thu (x, y, z) ∈ 1 1 1 {(4, 2, 2); (6, 3, 2)} Do + = + = , nên không 2 thể cạnh tam giác, vô lý theo nhận xét 1 • Với z = ta có: + = Làm tương tự trường hợp z = 2, ta thu x y nghiệm thỏa: x = y = z = Kết hợp với (*) ta suy AB = BC = CA tức tam giác ∆ABC (đpcm) • Nếu z = từ (2.3.13.2) ta có: TH CM N Bài 14 Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BB0 ,CC0 cắt điểm H Gọi M trung điểm BC Tia MH cắt đường tròn (O) điểm P Chứng minh ∆BPC0 ∼ ∆CPB0 [0 , CPB [0 cắt AB, AC E, F Gọi O0 Các đường phân giác góc BPC tâm đường trịn ngoại tiếp ∆AEF; K giao điểm HM AO0 (a) Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp (b) Chứng minh tiếp tuyến E F đường tròn (O0 ) cắt điểm nằm đường tròn (O) (Hà Nội) Lời giải d = ACD d = 90o ⇒ BD//CH Cho AO cắt (O) D AD đường kính (O) ⇒ ABD CD//BH ⇒ Tứ giác HDBC hình bình hành ⇒ DH cắt BC trung điểm BC d = 90o hay APH [ = 90o ⇒ P trung điểm DH ⇒ D, M, N, P thẳng hàng ⇒ APD H = AC H = 90o ⇒ B0 ,C0 thuộc đường tròn [ [ thuộc đường trịn đường kính AH Lại có AB đường kình AH Vậy A, P, B0 ,C0 , H thuộc đường trịn đường kính AH 78 Chương LỜI GIẢI  P = AC 0P  [ [ ⇒ AB  B = PB 0C o [ [ 0 [ [ ⇒ PC PC B + PC A = 180  0C + PB A = 180o  [ [ PB B = PB 0C ⇒ [ [ [0 = PBC [0 (Góc chắn cung AP) Mà PC Xét đường trịn (O) : PCB ∆PB0C ∼ ∆PC0 B (g-g) (đpcm) ( [0 [0 [0 CPB [0 ⇒ EPC = BPC Mà BPC [0 = (a) PE, PF phân giác BPC [0 = CPB [0 FPB TH CM N [0 ∆EPC0 ∼ ∆CPB0 ⇒ EPC [0 = FPB [0 CPB Xét ∆PEC0 ∆PFB0 có: ) 0 [ [ EPC = FPB (cmt) [0 = PFB [0 hay ⇒ ∆PEC0 ∼ ∆PFB0 (g-g) ⇒ PEC 0 0 [ [ PC E = PB F (∆BPC ∼ ∆CPB ) d = PFA d ⇒ Tứ giác APEF nội tiếp Mà O0 tâm ngoại tiếp ∆AEF nên tâm PEA ngoại tiếp tứ giác APEF [0 = 90o ⇒ K ∈ PD Gọi K giao AO0 (O0 ) AK đường kính ⇒ APK d = 90o ⇒ K giao PD AO0 hay K giao MH AO0 ⇒ K ≡ APD K ⇒ K ∈ (O), hay tứ giác PEKF nội tiếp (b) Lấy D0 trung điểm cungBC không chứa A Chú ý PE, PF phân 0 [0 CPB [0 ; ∆PEC0 ∼ ∆PFB0 (g-g) nên EC = PC = C B Khi giác BPC FB0 PB0 B0C 0 HC ⇒ ∆AEF cân [ đó, ta chứng minh HE, HF phân giác C HB, B[ 0 A Từ đó, ta chứng minh A, O , K, D thẳng hàng Từ đây, toán tương đương với chứng minh D0 E, D0 F tiếp tuyến (O0 ) E, F Kéo dài CC0 cắt (O) C1 Ta chứng minh C1 đối xứng với C qua AB Để từ [ đó, ta suy E tâm đường tròn nội tiếp ∆BC1 H nên C1 E phân giác BC 1C Mà 0 [ CD phân giác BC1C nên C1 , E, D thẳng hàng d BAC EK = D 0C H = \ \ = Do EK C1 H vng góc AB nên C1 H k EK ⇒ D [ ⇒ DE tiếp tuyến (O0 ) Tương tự với DF, ta có đpcm EAK Nhận xét Một tốn hay khó, địi hỏi ta phải linh hoạt việc vẽ thêm sử dụng kiến thức liên quan tới trực tâm, đường tròn tiếp tuyến Sau số tốn với mơ hình có điểm tương đồng (T2/THPT - THTT 440) Cho ∆ABC có H trực tâm M trung điểm BC P điểm thuộc đường thẳng HM, đường trịn (K) đường kính AP cắt CA, AB E, F 6= A Chứng minh tiếp tuyến E, F (K) cắt trung trực BC (Lạng Sơn 2016) Cho 4ABC nhọn nội tiếp (O) Các đường cao AD, BE,CF cắt H (D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB) Gọi M trung điểm BC Hai đường tròn (DEF) (HBC) cắt X Y (a) Chứng minh AX = AY (b) Gọi R trung điểm XY AR cắt HM S Chứng minh tứ giác HDSR nội tiếp 2.3 Hình học phẳng 79 Bài 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm E thay đổi cung nhỏ AB (E khác A B) Từ B C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), tiếp tuyến cắt đường thẳng AE theo thứ tự M N Gọi F giao điểm BN CM Chứng minh MB.CN = BC2 Khi điểm E thay đổi cung nhỏ AB Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định (Hà Tĩnh) TH CM N Lời giải d = 60o = [ = 90o − ABO E thuộc cung nhỏ AB nên MN giao BC điểm gọi T MBA d ⇒ MB k AC Tương tự, ta có NM k AB Từ hai điều trên, áp dụng định lý Thales BAC  MB T B   MB AB = AC TC ∆TAC ∆T NC, ta có AB T B  ⇒ AC NC ⇒ MB.NC = AB.AC = BC (∆ABC  = NC TC đều) d = ACB d = ACN d = 60o nên [ = ABC Gọi D giao điểm hai tiếp tuyến B C MBA d Mà từ câu 1., ta có MB = BC , nên ∆MBC ∼ ∆BCN Khi BMC d [ = BCN [ = NCB, MBC BC CN d = 120o Mà BDC d = 60o nên BFCD tứ giác nội tiếp từ chứng minh BFC d = 180o − 120o = 180o − BFC d = BFM [ = ABC [ nên tứ giác MEFB nội Ta có MEB tiếp, tương tự NEFC nội tiếp [ (tứ giácMEFB nội tiếp) ⇒ [ = EBM [ = EMF [ = GFC EF giao (O) G Khi BGE BG k FC Tương tự ta có GC k GB Vậy EF qua trung điểm BC cố định Chương LỜI GIẢI 80 Bài 16 Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A điểm di động đường tròn (O) (A khác B C) Kẻ AH⊥BC H M điểm đối xứng điểm A qua điểm B Chứng minh điểm M nằm đường tròn cố định Đường thẳng MH cắt (O) E F (E nằm M F) Gọi I trung điểm HC, đường thẳng AI cắt (O) G (G 6= A) Chứng minh AF + FG2 + GE + EA2 = 2.BC2 Kẻ HP⊥AB P Tìm vị trí điểm A cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BPC đạt giá trị lớn (Hải Dương) TH CM N Lời giải Lấy K điểm đối xứng O qua B, B O cố định nên K cố định Vì OAKM hình BC bình hành nên KM = OA, mà OA = khơng đổi ⇒ M nằm đường trịn tâm K, bán BC kính d = ACB d (cùng phụ với ABC) d ⇒ ∆AHB ∼ [ = CHA [ = 90o , BAH Xét ∆AHB ∆CHA có BHC ∆CHA d = CAI d Ta lại Gọi S trung điểm AH, I trung điểm HC nên ∆ABS ∼ ∆CAI ⇒ ABS d = AMH d Mà [ ⇒ AMH [ = CAI có BS đường trung bình ∆AMH ⇒ BS k MH ⇒ ABS d + MAI d = 90o ⇒ AMH d = 90o ⇒ AI⊥MF [ + MAI CAI Xét tứ giác AEGF nội tiếp (O) có AG⊥EF Kẻ đường kính AD Do GD⊥AG EF⊥AG nên EF k GD, tứ giác nội tiếp EFGD hình thang cân ⇒ FG = ED ⇒ AE + FG2 = AE + ED2 = AD2 = BC2 Tương tự ta chứng minh AF + EG2 = BC2 Vậy AF + FG2 + GE + EA2 = 2.BC2 2.3 Hình học phẳng 81 d = AHP [= Gọi Q hình chiếu H lên AC ⇒ APHQ hình chữ nhật có tâm S ⇒ AQP d ABC nên tứ giác BPQC nội tiếp Đường trung trực đoạn PQ, BC, QC cắt O0 O0 tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BCP Ta có: OO0 k AH vng góc với BC AH OA⊥PQ O0 S⊥PQ ⇒ O0 S k OA nên ASO0 O hình bình hành ⇒ OO0 = AS = AH Trong trường hợp A nằm cung BC ta có: OO0 = AS = r AH ∆OO0C vuông O nên O0C = OC2 + Do OC không đổi nên O0C nhỏ AH lớn ⇔ A cung BC TH CM N Bài 17 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O có AB < AC Các đường cao BD,CE cắt H (D thuộc AC, E thuộc AB) Gọi M trung điểm BC, tia MH cắt đường tròn (O) N Chứng minh năm điểm A, D, H, E, N thuộc đường trịn [ Q hình chiếu vng góc A [ Lấy điểm P đoạn BC cho B HP = CHM, đường thẳng HP Chứng minh tứ giác DENQ hình thang cân Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với đường tròn (O) (Hải Phòng) Lời giải d = ACS d = 90o ⇒ BD k CS Cho AO cắt (O) S AS đường kính (O) ⇒ ABS CE k BS ⇒ Tứ giác HSBC hình bình hành ⇒ SH cắt BC trung điểm M d = 90o hay ANH [ = 90o ⇒ N thuộc đường tròn đường BC ⇒ N, H, M, S thẳng hàng ⇒ ANS kính AH hay A, D, H, E, N thuộc đường tròn Chương LỜI GIẢI 82 N Dễ thấy Q thuộc đường trịn đường kính AH Theo tính chất góc đối đỉnh, ta có: [ MHC [ = NHE [ [ Kết hợp với giả thiết, đường trịn (O0 ) đường kính B HP = QHD AH có hai dây cung EN QD chắn hai góc chắn cung nên NQ k ED Từ suy DENQ hình thang cân Ta chứng minh đường tròn (MPQ) ngoại tiếp ∆MPQ tiếp xúc (O) N Gọi T giao [ = HPM [ = 90o − ANQ [= [ = 90o − P [ điểm AH với BC Khi đó: QPM HT = 90o − AHQ [ = QNM [ Do (MPQ) qua N QNH d = BAO d = 90o − ACB d = 90o − AED [ ⇒ AO⊥ED • EAO • Gọi F giao AS đường trịn đường kính AH, NQ giao (O) G Từ câu 2, ta có NQ k ED mà AO⊥ED nên NG⊥AF Từ suy AS trung trực NG ⇒ d = AGN [ = ASN [ = ANQ [ = AFQ [ ⇒ Q, J, M thẳng hàng ⇒ HF k NG MSF • Kẻ tiếp tuyến Nx (O) cho Nx nằm nửa mặt phẳng bờ NG chứa A d = GSN d = ANG d = AFQ d = MFS d = [ + ASN [ + ASN [ + ASN Ta chứng minh xNG d Suy Nx tiếp tuyến (MNQ) nên (MPQ) tiếp xúc (O) [ = xNQ NMQ TH CM Bài 18 Cho ∆ABC nhọn có đường cao AA1 , BB1 ,CC1 Gọi K hình chiếu A A1 B1 ; L hình chiếu B lên B1C1 Chứng minh rằng: A1 K = B1 L Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC cắt BD E Tia AD cắt tia BC F Dựng hình bình hành AEBG (a) Chứng minh FD.FG = FB.FE (b) Gọi H điểm đối xứng E qua AD Chứng minh điểm F, H, A, G thuộc đường tròn (Tp HCM) Lời giải [1 (= BB \ [ [1 = BAA [1 = 90o nên Ta chứng minh LBB A1 ) AA B = BLB ∆LBB1 ∼ ∆A1 AB ⇒ BB1 AA1 LB BB1 = ⇒ KA1 = AA1 AB AB (2.3.18.1) Đồng thời, ta chứng minh tương tự ∆KAA1 ∼ ∆B1 AB nên ta có: KA1 = BB1 AA1 AB Từ (2.3.18.1) (2.3.18.2) ta suy ra; KA1 = B1 L (2.3.18.2) 2.3 Hình học phẳng N (a) Tứ giác nội tiếp ABCD có AC giao BD E nên suy ra: AB FB    = FB EA GB ∆FBA ∼ ∆FDC FD CD = = (AGBE hình bình hành) ⇒ AB ⇒ EA ∆ABE ∼ ∆DCE   FD ED ED = CD ED d [ [ (GB k EA) nên suy ra: Mặt khác ADE = ACF = GBF FE FD ∆FED ∼ ∆FGB ⇒ = ⇒ FD.FG = FB.FE (đpcm) FG FB (b) Gọi G0 điểm đối xứng G qua AF Khi đó, hai tứ giác HAGF EAG0 F đối xứng với qua đường thẳng AF Do đó, chứng minh F, H, A, G thuộc đường tròn tương đương với chứng minh tứ giác AEFG0 nội tiếp TH CM 83 Mà tương tự với chứng minh ∆FED ∼ ∆FGB , ta chứng minh được: ∆AFG ∼ F d = AG [ [ = AGF ∆CFE ⇒ CEF F bù với góc AEF d nên AG d Suy AEFG0 tứ [ [ bù với góc AEF Khi đó, CEF giác nội tiếp Vậy ta có đpcm Chương LỜI GIẢI 84 Bài 19 Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A, B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc (O), (O0 ) C D Qua A kẻ đường thẳng song song CD cắt (O), (O0 ) M, N Các đường thẳng CM, DN cắt E Gọi P giao điểm BC với MN, Q giao điểm BD MN Chứng minh: AE ⊥ CD BD BC MN + = BO BP PO 4EPQ cân (Hưng Yên) TH CM N Lời giải AE giao CD F Khi ta chứng minh APDF hình chữ nhật nên DF = AP = FD PN ⇒ = Áp dụng định lý Thales cho ∆EAN với FD k AN, ta có: AN DE DF DN NP = = ⇒ = = EN AN EN AN Áp đụng định lý Thales đảo, suy PD k AE Do AE⊥CD Do CD k MN 2.CD = MN nên áp dụng định lý Thales ta suy ra: BD BC 2.BD 2.CD MN + = = = BQ BP BQ PQ PQ Gọi √ I giao điểm AB CD Bằng tam giác đồng dạng, ta suy được: IC = ID = IA.IB ⇒ AP = AQ (theo định lý Thales) Và AE⊥MN (AE⊥CD), nên suy ∆EQP cân E 2.3 Hình học phẳng 85 Bài 20 Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A, B Từ điểm E nằm tia đối tia AB kẻ đến (O0 ) tiếp tuyến EC, ED (C D tiếp điểm phân biệt) Các đường thẳng AC, AD theo thứ tự cắt (O) P, Q khác A Chứng minh: 4BCP ∼ 4BDQ CA.DQ = CP.DA Ba điểm C, D trung điểm I PQ thẳng hàng (Khánh Hoà) TH CM N Lời giải d = CPB d (góc chắn cung AB) PCB d = ADB d (góc ngồi C tứ giác nội Ta có: AQB tiếp ACBD) nên suy 4BCP ∼ 4BDQ Chứng minh cặp ∆EAD ∼ ∆EDB ∆ECA ∼ ∆EBD, ta chứng minh tỉ số sau: QD AD BD BD DA CA AC = BC Mà theo câu a, ta suy PC = BC nên suy DQ = CP ⇒ CA.DQ = CP.DA Giả sử CD giao với PQ T , ta cần chứng minh T P = T Q Xét ∆QAP có T,C, D thẳng hàng Theo định lý Menelaus, ta có T Q DA CP = T P DQ CA Kết hợp với kết câu 2, ta có: T Q = T P ⇒ T ≡ I Từ ta suy đpcm Chương LỜI GIẢI 86 Bài 21 Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H chân đường cao kẻ từ A đến BC Gọi P, Q chân đường cao kẻ từ H đến AB, AC Hai đường thẳng PQ BC cắt M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O) K với K 6= A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCP Chứng minh tứ giác APHQ, BPQC nội tiếp; Chứng minh MP.MQ = MB.MC MB.MC = MK.MA; Chứng minh AKPQ tứ giác nội tiếp; Chứng minh I, H, K thẳng hàng (Lào Cai) TH CM N Lời giải [ = AQH [ = 90o ⇒ APH [ + AQH [ = 180o nên APHQ tứ giác nội tiếp Do APH d = AHQ, [ mà AHQ [ + QHC [ = 90o QHC [ + QCH [ = 90o nên Do AHPQ nội tiếp nên APQ d = QCB d Vậy BPQC tứ giác nội tiếp [ = QCH [ hay APQ AHQ ( [ [ = MCQ MPB MB MP Xét ∆MPB ∆MCQ có nên ∆MPB ∼ ∆MCQ nên MC = MQ hay [ [ PMB = CMQ MP.MQ = MC.MB Hồn tồn tương tự ta có: MB.MC = MK.MA MQ Từ ý ta có MK.MA = MP.MQ nên MK MP = MA Hai tam giác ∆MKP ∆MQA lại có góc [ nên tứ giác KPQA nội tiếp [ = MQA M chung nên đồng dạng, suy MKP Do P, Q nằm đường trịn đường kính AH KPQA tứ giác nội tiếp nên K thuộc đường tròn đường kính AH, suy [ = 90o ⇒ KH⊥AK AKH (2.3.21.1) 2.3 Hình học phẳng 87 Gọi J trung điểm AH Vẽ đường kính AD đường trịn (O) Ta có AJ⊥BC Vì OI trung trực BC nên OI⊥BC Suy AJ k OI Vì IJ trung trực PQ nên IJ⊥PQ (2.3.21.2) ( d = ABC d (tứ giác BPQC nội tiếp) AQP d AQP d = OAQ+ d ADC d = _ Mặt khác, ⇒ OAQ+ d = ADC d (hai góc nội tiếp chắn cung AC) ABC 90o , tức AO⊥PQ (2.3.21.3) Từ (2.3.21.2) (2.3.21.3) ta có AO k IJ Mặt khác, OI k AJ (⊥BC) nên AJIO hình bình hành, nên AJ = IO suy JH = OI Do JHIO hình bình hàng nên HI k OJ Vì OJ trung trực AK nên OJ⊥AK, suy ra: HI⊥AK (2.3.21.4) N Từ (2.3.21.3) (2.3.21.4) ta có: I, H, K thẳng hàng TH CM Bài 22 Cho ∆ABC nhọn có đường cao BE nội tiếp (O) Tiếp tuyến (O) B,C (O) cắt S, BC OS cắt M Chứng minh: AB.BM = AE.BS d [ = ASB AME (Long An) Lời giải ( d = BMS d = 90O (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AEB _ d = SBM d (cùng BC) BAE AE BM hay AB.BM = AE.BS (đpcm) ⇒ ∆ABE ∼ ∆BSM ⇒ AB BS = Chương LỜI GIẢI 88 Vì AB BS = AE BM ; MB = ME = BC nên AE AB = BS ME (2.3.22.1) d = BSM d = OBM d = EBM d= [ Suy ABO [ = BEM [ Mà ABS Vì ∆ABE ∼ ∆BSM nên ABE d AEM [ = 90o + BEM [ 90O + ABO; d = AEM [ ⇒ ABS (2.3.22.2) d (đpcm) [ = ASB Từ (2.3.22.1) (2.3.22.2) suy ∆ABS ∼ ∆AEM ⇒ AME (Long An) TH CM N d = 60o ; BCD d = 90o Đường phân giác BAD d cắt Bài 23 Cho tứ giác ABCD có BAD d cắt BD F Chứng minh: BD E Đường phân giác BCD √ √ 1 1 + = + + + AE CF AB BC CD DA Lời giải Gọi K hình chiếu vng góc E lên AB Với ∆ABC bất kì, đặt sABC diện tích tam giác Khi đó: SABE = KE.AB = AE.sin(30o ).AB SADE = SABD = = AE.AB AE.AD AB.sin(60o ).AD = √ 3.AB.AD 2.3 Hình học phẳng 89 Mà SABD = SABE + SADE nên Tương tự ta tìm Từ (2.3.23.1) (2.3.23.2) ta có: √ AE √ 1 = + AE AB DA (2.3.23.1) √ 1 = + CF BC CD (2.3.23.2) √ + CF2 = AB 1 + BC + CD + DA N Bài 24 Cho ∆ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AK, BM,CN ∆ABC cắt H [ =M \ Chứng minh: NKH KH Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) hai điểm I, J Chứng minh AO qua trung điểm IJ Gọi P trung điểm BC, diện tích tứ giác AMHN S Chứng minh 2.OP2 > S (Nam Định) TH CM Lời giải Ta có: AK, BM,CN ba đường cao giao H nên BKNH,CKHM tứ giác nội tiếp ( [ = NBH [ NKH d nên suy NKH [ (cùng phụ với BAC), [ = HCM [ =M \ Mà NBH KH ⇒ [ \ H KM = HCM d = 90o , nên BNMC tứ giác nội tiếp Suy ANJ d = ANM d = [ = BNC [ = ACB Ta có BMC d AOB d = 90o − NAO d Từ đó, ta chứng minh AO⊥MN hay AO⊥IJ Mà = 90O − BAO IJ dây cung (O) nên AO qua trung trực IJ Do ∆ABC có H trực tâm P trung điểm BC nên ta chứng minh tính chất quen thuộc: AH = 2.OP AN.NH + AM.MH Ta có: S = SANH + SAHM = 90 Chương LỜI GIẢI  AN + NH AH   AN.NH ≤ = 2 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ⇒S≤ AM + MH AH   = AM.MH ≤ 2 AH (2.OP)2 = = 2.OP2 Dấu -"xảy AN = NH AM = MH, ∆ABC cân 2 A, vơ lý Vậy 2.OP2 > S (Ninh Bình) TH CM N Bài 25 Cho đường tròn (O), bán kính R, dây BC cố định khác đường kính A điểm di động cung lớn BC cho 4ABC nhọn Các đường cao BE,CF 4ABC cắt H Chứng minh tứ giác BECF nội tiếp AO ⊥ EF Tia EF cắt (O) I, tia AO cắt (O) G Gọi M trung điểm BC, D giao điểm hai đường thẳng AH BC Chứng minh AI = 2AD.OM Trong trường hợp 4ABC cân A, goi x khoảng cách từ (O) đến BC Tìm x để chu vi 4ABC lớn Lời giải d = BEC d = 90o nên BCEF tứ giác nội tiếp Do BFC Cho AO giao EF N Do BCEF tứ giác nội tiếp nên: d = ACB d AFE (2.3.25.1) Mà ∆ABC nhọn có tâm ngoại tiếp O nên: d = 90o − BAO d = 90o − FAN d ACB (2.3.25.2) d + FAN d = 90o , nên ∆FAN vuông N nên Từ (2.3.25.1) (2.3.25.2), ta suy ra: AFE AO⊥EF N 2.3 Hình học phẳng 91 d = AGB d Gọi giao AO (O) G Khi đó, ta có: ACB d = AFE d = AFN [ Do FNGB tứ giác nội tiếp Kết hợp với (2.3.25.1), ta suy ra: AGB có FB giao NG A và: AN.AG = AF.AB = AH.AD Đồng thời, ta chứng minh tính chất sau: AH = 2.OM Do đó: AN.AG = 2MO.AD (2.3.25.3) d = 90o Dẫn đến ∆AIG vng I có IN đường Ta có AG đường kính (O) nên AIG cao (AO⊥EF N), nên kết hợp với (2.3.25.3), suy ra: AI = AN.AG = 2.MO.AD N Lúc này,√ ta chứng minh AD √đường cao qua trunng điểm D BC Ta tính 2 BC = R − x AB = AC = 2Rx + R2 Khi đó, chu vi ∆ABC là: p p P = AB + AC + BC = 2[ R2 − x2 + 2Rx + R2 ] TH CM Vì giá trị có căn, ta áp dụng bất đẳng thức Cosi để khử căn, khử x, tìm max P Ta tìm số a dương áp dụng sau: p p √ P = a.(R + x) R − x √ + 2Rx + R2 a Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: p √ a.(R + x) + R − x R(a + 1) + (a − 1).x √ √ a.(R + x) R − x √ ≤ = a a a √ R(1 − a) 2R R−x ⇒ x = ⇒ x+R = a+1 √ a+1 p Ta nhận thấy < a < Với biểu thức T = 2Rx + R2 = 2R.(x + R), ta tìm cách nhân hệ số √theo a cho dấu ’=’ phía bảo tồn Dựa vào đó, ta nhân chia biểu thức cho a + sau: r √ √ 2R p 2R T = (x + R) a + ≤ ( + x + R) a + a+1 a+1 Dấu ’=’ xảy khi: p a.(R + x) = Do đó:     √ R(a + 1) + (a − 1).x 2R a−1 √ √ P≤ + + x + R a + ≤ x √ + a + + M a a+1 a √ 2R R(a + 1) √ +( + R) a + Do đó, ta tìm a để khử x a a+1 a−1 √ ⇒ √ + a + = ⇒ a = (do < a < 1) a √ R(1 − a) R Vậy giá trị lớn chu vi P M = 3.R x = = a+1 Với M = ... AC tương ứng D, E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC S Chứng minh BDEC tứ giác nội tiếp Chứng minh SB.SC = SH Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng M, N, đường thẳng DE cắt HM, HN tương ứng P, Q... trị nhỏ M= 3a4 + 3b4 + c3 + (a + b + c)3 (Bắc Ninh) Lời giải Trong có dùng tới bất đẳng thức Holder: 2.1 Bất đẳng thức 29 Bổ đề (BĐT Holder) Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p số dương Khi đó: (a3 +... (Thái Nguyên) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 2xy + y + x = 83 √ Tìm tất số có chữ số abcde cho abcde = ab 1 Cho số nguyên dương a, b, c nguyên dương, nguyên tố thỏa điều kiện + = a b Chứng