BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER VÀ ỨNG DỤNG HUỲNH KIM LINH Bài toán1 (Bài toán chia kẹo của EULER) Cho k, n là các số nguyên dương Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình Đây là bài toán quen thuộc của[.]
BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER VÀ ỨNG DỤNG HUỲNH KIM LINH Bài toán1 (Bài toán chia kẹo EULER) Cho k, n số nguyên dương Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình : x1 x2 xk n * Đây toán quen thuộc toán đếm tổ hợp Có thể kể vài phương pháp giải toán đệ quy, hàm sinh,… Nhưng tiếp cận theo góc nhìn khác : Song ánh Một cách tự nhiên ta nghĩ đến việc thiết lập ánh xạ từ tập {x , x2 , … ,xk } Và để thuận tiện ta cho ánh xạ chạy vào dãy nhị phân , đưa tốn trở đếm tổ hợp thơng thường Lời giải Gọi A họ {x1 , x2 , … xk }thoả mãn phương trình, B họ dãy nhị phân có độ dài n + k - gồm k - kí tự n kí tự Xét ánh xạ f cho quy tắc : Với {x1 , x2 , … xk } ta thực viết liên tiếp từ trái qua phải x1 số 1, đến số 0, lại đến x2 số 1, đến hết xn Như ứng với bộ{x1 , x2 , … xk } ta xây dựng dãy nhị phân có độ dài n +k-1 gồm k-1 số n số Ta chứng minh f song ánh CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH Vậy số nghiệm phương trình (*) tương ứng với số dãy nhị phân có độ dài n+k-1 gồm k-1 số n số Mặt khác dãy nhị phân tương ứng với k1 cách chọn k-1 vị trí cho số nên số dãy nhị phân thoả mãn Cn k Như với cách giải trên, phương pháp song ánh đưa tốn tính số nghiệm ngun tốn vị trí tổ hợp đơn giản cách đưa dãy nhị phân Song ánh từ tập số đến dãy nhị phân sử dụng nhiều toán tổ hợp, đặc biệt toán ứng dụng Bài toán chia kẹo EULER Ta kể đến số tốn sau: Bài tốn Một cửa hàng kem có bán ba loại kem: kem xồi, kem socola kem sữa Một nhóm có người vào ăn kem gọi cốc kem a) Hỏi họ có lựa chọn? b) Họ có tất lựa chọn ba loại kem có mặt? Lời giải Ta thử liệt kê vài lựa chọn + kem xoài, kem socola, kem sữa + kem xoài, kem socola, kem sữa + kem xoài, kem sữa + kem xồi, kem sữa CHUN ĐỀ BÀI TỐN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH Một lựa chọn : a kem xoài, b kem socola c kem sữa, kí hiệu ba (a, b, c) a, b, c số ngun khơng âm thỏa mãn a + b + c = Chẳng hạn bốn lựa chọn kí hiệu (2,1,3); (1,4,1); (0, 2, 4) (3, 0, 3) a) Với ba (a, b, c) vậy, ta đặt tương ứng với dãy nhị phân (dãy gồm số 1) theo quy tắc sau: viết liên tiếp từ trái sang phải: a số 1, số 0, b số 1, số 0, c số 111 10111 10111 a b c Như ba (a, b, c) tương ứng với dãy nhị phân độ dài (tức gồm kí tự) có kí tự kí tự Rõ ràng phép tương ứng đơn ánh Ngược lại với dãy kí tự với kí tự kí tự ta đếm từ trái sang phải mà có: a số 1, số 0, b số 1, số c số dãy ứng với (a, b, c) thỏa mãn a + b+ c = Như vậy, ta thiết lập song ánh tập hợp lựa chọn với tập hợp dãy nhị phân độ dài có kí tự kí tự Do số lựa chọn số dãy nhị phân độ dài có kí tự kí tự Mặt khác, dãy nhị phân độ dài có kí tự kí tự tương ứng với cách chọn vị trí vị trí để ghi số (6 vị trí cịn lại ghi số 1) Thành thử có C8 28 dãy nhị phân độ dài với kí tự kí tự Do số lựa chọn 28 CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH Để giải ý a) ta dùng song ánh từ tập ba loại kem vào dãy nhị phân toán chia kẹo Euler Tuy nhiên để giải ý b) ta áp dụng tốn chia kẹo Euler tốn chia kẹo Euler ta cần tìm số nghiệm khơng âm phương trình ta cần tìm nghiệm dương Khi để giải ta cần sử dụng phép song ánh đưa từ số dương số không âm, sau sử dụng cách chứng minh tốn chia kẹo Euler Ta có lời giải ý b) sau: b) Với (a, b, c) thỏa mãn điều kiện trên, ta có tương ứng với (x, y, z) với x = a – 1; y = b – 1; z = c – Khi (x, y, z) số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện: x + y + z = a + b + c – = Dễ kiểm tra phép song ánh tập ba (a, b, c) a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = với tập ba (x, y, z) số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện : x + y + z = a + b + c – = Bằng suy luận tương tự câu a), ta tìm số lựa chọn C5 = 10 Ta có toán tổng quát sau: Bài toán Cho hai số nguyên dương m, n với m, n a) Tìm số (a1 , a2 , , am ) a1 , a2 , , am số nguyên không âm m thỏa mãn điều kiện a i i 1 CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER n HUỲNH KIM LINH b) Tìm số (a1 , a2 , , am ) a1 , a2 , , am số nguyên dương thỏa m mãn điều kiện a i n i 1 Lời giải Bằng lí luận tương tự tốn 2, ta có kết m a) Cn m m b) Cn Bài toán a) Trong không gian Oxyz, gọi S tập hợp điểm nguyên nằm phía đỉnh, cạnh mặt hình lập phương cạnh 999, cạnh song song vng góc với trục tọa độ, đỉnh đỉnh ( 999, 999, 999) Hỏi mặt phẳng x + y + z = 2016 qua điểm tập hợp S? b) Cho m, n số nguyên dương Xét 2n táo, 2n đào, 2n cam, 3m xoài, 3m nho loại giống Gọi sn số cách chia số táo, đào, cam cho người mà người nhận 3n quả; tm số cách chia số xoài, nho cho người sử dụng 3m Chứng minh sn ¹ tm với n; m nguyên dương Lời giải Ç } Ta cần đếm số a) Rõ ràng điểm thuộc S có dạng { nghiệm ngun khơng âm phương trình sau : x + y + z = 2016 thỏa mãn £ x, y, z £ 999 Tương tự tốn chia kẹo Euler có ràng buộc trên, dùng ( x, y, z ) | x, y, z Ỵ [ 0,999] Z ngun lý bù trừ, ta có ỉ 2018ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữ ố ứ ổổ ử ổ 1018ữ 18ử ữ ỗ ữ ç ç ÷ 3 = 482653 ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ç2 ứ ữ ữ ỗ ứ ố ố ố ứ CHUYấN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH b) Với cách chia táo – đào – cam, ta cần xét phương trình x + y + z = 3n với £ x, y, z £ 2n Tương tự trên, ta đếm ỉ ỉ ( 3n + 2) ( 3n +1) 3n ( n +1) 3n + 2ữ n +1ữ ỗ sn = ỗ = = 3n + 3n +1 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ 2 è ø è ø Dễ thấy với n sn khơng chia hết cho 3, cịn tm chia hết sn ¹ tm với số nguyên dương m, n Tiếp theo toán “kinh điển” chủ đề này, tốn “vé hạnh phúc” Một vé hạnh phúc có chữ số tổng nhóm số đầu tổng nhóm số cuối Mục tiêu cần đếm số vé hạnh phúc Ở này, trước đưa chia kẹo Euler, ta cần thực song ánh Bài tốn Vé xe bt có dạng abcdef với a, b, c, d , e, f Ỵ { 0,1, 2,¼,9} Một vé thỏa mãn điều kiện a + b + c = d + e + f gọi “vé hạnh phúc” a) Chứng minh số nghiệm phương trình a + b + c = d + e + f số nghiệm phương trình a + b + c + d + e + f = 27 với £ a, b, c, d , e, f £ b) Tính số vé hạnh phúc Lời giải a) Gọi A, B số nghiệm phương trình a + b + c = d + e + f phương trình a + b + c + d + e + f = 27 Ta thấy a + b + c + d + e + f = 27 Û a + b + c = ( - d ) + ( - e ) + ( - f ) Nếu đặt d ' = - d , e' = - e, f ' =9- f Thì ta CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH a + b + c = d ' + e' + f ' Do đó, nghiệm phương trình a + b + c + d + e + f = 27 sinh nghiệm phương trình a + b + c = d + e + f nên A ³ B Chứng minh tương tự, ta có A £ B nên A = B b) Đếm số nghiệm phương trình a + b + c + d + e + f = 27 ( 3) , với £ a, b, c, d , e, f £ Gọi A1 , A2 A3 , A4 , A5 , A6 tập hợp nghiệm phương trình (3) có điều kiện a ³ 10, b ³ 10, c ³ 10, d ³ 10, e ³ 10, f ³ 10 Số nghiệm (3) æ 27 + ỗ ỗ ỗ ố 6- ổ 1ử 32ữ ữ ỗ = ữ ữ ỗ ữ ỗ5 ữ ÷ è ÷ ø ø nên ta cần tính ỉ 32ử ữ ỗ - A A ẳ A ữ ỗ ữ ỗ ữ 1ẩ ẩ ẩ ố ø ; ' Xét A1 : Đặt a = a - 10 ³ ta có a + b + c + d + e + f = 17 dễ thấy A1 = 22 Tương tự, ta có A2 = A3 = A4 = A5 = A6 = 22 Xét A1 Ç A2 : ' ' ' ' Đặt a = a - 10 ³ 0, b = b - 10 ³ ta có a + b + c + d + e + f = dễ thấy ỉ 12ư ữ A1 ầ A2 = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ÷ è5 ø Ngồi ra, ta thấy Ai Ç Aj Ç Ak = với £ i < j < k £ nên ỉư ỉ ổ 6ữ 22ữ 12ử ữ ỗ ỗ A1ẩA2 ẩẳẩ A6 = Ai - ỗ A A = 15 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ iầ j ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ 5 è ø è ø è ø i=1 1£ i< j £ 6 Vậy số số may mắn CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH ổ 32ử ữ ỗ ữ ỗ ữỗ ữ ố5 ứ ộổ ổ ửự 22ữ 12ữ ỗ ờ6 ç ú= 55252 15 ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ờỗ ỳ ỗ5 ữ ữ ố ứ ố ứ ë û Như đầu giới thiệu, chia kẹo Euler cịn có tên gọi tốn “balls and urns” Nó xuất phát từ tốn đếm số vòng cổ necklace tạo cách xâu nhiều viên hạt xanh đỏ Khi đó, viên màu tạo thành vùng số vị trí chuyển tiếp số vùng Trong phần lại, ta xét trường hợp Bài toán (Việt Nam 2014) Cho đa giác 103 cạnh Tô màu đỏ 79 đỉnh đa giác tơ màu xanh đỉnh cịn lại Gọi A số cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề a) Tìm tất giá trị nhận cặp (A, B) b) Xác định số cách tô màu đỉnh đa giác để B = 14 Biết hai cách tơ màu xem chúng nhận qua phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Lời giải a) Gọi k số dãy gồm đỉnh liên tiếp tô xanh bị chặn hai đầu đỉnh màu đỏ h số dãy gồm đỉnh liên tiếp tô đỏ bị chặn hai đầu đỉnh màu xanh Dễ thấy dãy đỏ dãy xanh dãy xanh dãy đỏ nên h = k Gọi a1 , a2 , ¼, ak số lượng đỉnh dãy xanh; b1 , b2 , ¼ , bk số lượng k đỉnh dãy đỏ k å a = 24, å b = 79 i i=1 i i=1 Ngoài ra, rõ ràng dãy màu có số lượng t có t – cặp đỉnh liên tiếp k A = å ( - 1) = 79 - k tương tự B = 24 - k Do đó, cặp ( A, B ) có dạng ( 79 - k, 24 - k ) với £ k £ 24 Có tổng cộng 25 cặp màu Suy i=1 b) Do B = 14 nên theo đẳng thức xây dựng 14 = 24 - k Û k = 10 Như thế, có tổng cộng 10 dãy xanh 10 dãy đỏ CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH Số nghiệm nguyên dương phương trình sau 10 10 i=1 i=1 å = 24, å bi = 79 ỉ ỉ 23ư 78ư ÷ ữ ỗ ỗ , ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç ÷ ÷ è9 ø è9 ø Do xếp vịng trịn nên xét vị trí tương đối nhóm với khơng xét vị trí cố định nhóm ỉ 23ư 78ư 1ỉ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç ÷ ÷ 9 10 è ø è ø Vậy số cách tơ cần tìm Bài tốn (AIME 2011) Một học sinh có cầu màu xanh giống số cầu màu đỏ giống Bạn muốn xếp cầu thành dãy đặt a số cầu mà bên phải màu với nó, b số cầu mà cầu bên phải khác màu với a = b Gọi m số lớn cầu màu đỏ dùng cho tồn cách xếp m + cầu thành dãy thỏa mãn điều kiện nêu a) Xác định m b) Ứng với m trên, tìm số cách xếp cầu để có a = b Lời giải a) Do có cầu màu xanh đặt cạnh không hai cầu đỏ (khác màu với nó) nên số cặp cầu khác màu b £ 10 Suy a £ 10 Ký hiệu cầu màu xanh, đỏ X, D xây dựng dãy thỏa mãn đề từ dãy gốc sau DXDXDXDXDXDXD Sau thêm vào khơng q 10 cầu màu đỏ (vì làm tăng giá trị a lên đơn vị) Từ suy m = 10 + = 16 b) Để đếm số cách xếp thỏa mãn, xét dãy 16 cầu đỏ Ta cần xếp vào cầu xanh cho khơng có hai cạnh Gọi x1 , x2 ,¼, x6 số lượng cầu đỏ bị chia cầu xanh CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH ùỡù x1 + x2 +ẳ+ x6 = 16 ùùợ x1 , x2 ,ẳ, x6 ẻ Z + Khi ú, số cách xếp cần tìm ỉ ỉ 16 - 1ữ 15ữ ỗ ỗ = ữ ữ ỗ ç ÷ ç ç5 ÷ ÷ è6 - ÷ ø è ø Bài toán (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 001101001111011 có cặp 01, cặp 10, cặp 11 cặp 00 đứng cạnh Hỏi có tất xâu nhị phân tính chất thế? Lời giải Tương tự toán trên, ta thấy xâu nhị phân thỏa mãn đề phải có dạng XYXYXYXY X dãy số liên tiếp Y dãy số liên tiếp Như thế, có tổng cộng dãy dãy Rõ ràng dãy có độ dài k số lượng cặp giống k – Gọi x,y,z,t độ dài dãy theo giả thiết, ta phải có x - + y - + z - + t - = Û x + y + z + t = Số nghiệm nguyên dương phương trình trờn l ổ 6ỗ ỗ ỗ ố4 - ổử 1ử 5ữ ữ ỗ = = 10 ữ ữ ỗ ữ ố ữ ỗ3ữ ữ 1ứ ứ Li gi m, n, p, q độ dài dãy m - + n - + p - + q - = Û m + n + p + q = ổ 9ỗ ç ç è4 - ỉư 1ư 8÷ ÷ ç = ữ ữ= 56 ỗ ữ ỗ3ữ ữ ố ữ 1ứ ø Số nghiệm nguyên dương phương trình Do hai dãy chọn độc lập với nên số xâu thỏa mãn 10.56 = 560 xâu Nhận xét Tổng quát: Hỏi với số tự nhiên a,b,c,d tồn xâu nhị phân có độ dài dương có a cặp 01; b cặp 10; c cặp 11 d cặp 00 đứng cạnh nhau? Ta thấy xếp số lên vịng trịn số tạo thành nhóm rời Rõ ràng số lượng nhóm số lượng nhóm 1: Do đó, CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH 10 cắt xâu ranh giới hai nhóm số lượng hai 01 10 giảm đơn vị so với Còn cắt vị trí nhóm (trường hợp số lượng số nhóm lớn 1) khơng làm thay đổi số lượng 01 10 Trước hết, ta ln có a - b £ Ngoài ra, dễ thấy c > 0, d > phải tồn ranh giới hai nên lúc đó, ta phải có a > b > Từ ta thấy điều kiện số a, b, c, d là: (1) Nếu cd = a = b = (2) Nếu cd ≠ a - b £ a, b không đồng thời Đặt k = max { a; b} rõ ràng có tổng cộng k nhóm theo nhận xét ban đầu Giả sử k³ Gọi x1 , x2 ,¼, xk số lượng số có nhóm rõ ràng x1 + x2 + x3 +¼+ xk = c + k Số nghiệm dương phương trình cỏc s l ổ d +k ỗ ỗ ỗ è k- ỉ c + k - 1÷ ç ÷ ç ç k- ÷ ÷ è ø ö 1÷ ÷ ÷ ÷ ø Tương tự số cách xếp Vậy số xâu nhị phân thỏa mãn với k = max { a; b} với k ³ æ æ c + k - 1ử d +k ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữỗ ố k- ứ ố k- 1ư ÷ ÷ ÷ ÷ ø Trong trường hợp k = dễ thấy có xâu thỏa mãn đề Bài tập é3( n - 1) ù ú x+y+z =ê ê ú ë û, với a) Chứng minh số nghiệm nguyên phương trình é3n +1ù ê ú ê ú £ x, y , z £ n ë û ỉư ỉ ổ 9ữ ổ 10ữ 11ữ 99ử ữ ỗ ỗ ç A =ç + + + K + ÷ ÷ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ9ứ ỗ9 ữ ỗ9 ữ ỗ9 ứ ữ ố ữ ữ ữ è ø è ø è b) Rút gọn tổng sau CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH 11 Gợi ý a) Ta chia trường hợp n chẵn, lẻ để đếm cho thuận tiện b) Ta thy ổử kữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ố9ữ ứ cú th vit thnh ổ k +1ỗ ỗ ỗ ố 1ư ÷ ÷ ÷ ÷ ø , số nghiệm dương phương trình x1 + x2 +¼+ x10 = k +1 Do đó, A số nghiệm dương bất phương trình 10 £ x1 + x2 +¼ + x10 £ 100 Đây toán giải phần trước CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH 12 ... TOÁN CHIA KẸO EULER HUỲNH KIM LINH Để giải ý a) ta dùng song ánh từ tập ba loại kem vào dãy nhị phân toán chia kẹo Euler Tuy nhiên để giải ý b) ta khơng thể áp dụng tốn chia kẹo Euler tốn chia. .. số 1) theo quy tắc sau: viết liên tiếp từ trái sang phải: a số 1, số 0, b số 1, số 0, c số 111 1 0111 1 0111 a b c Như ba (a, b, c) tương ứng với dãy nhị phân độ dài (tức gồm kí tự) có... ç = ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç5 ÷ ÷ è6 - ÷ ø è ø Bài tốn (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 0 0110 10 0111 1 011 có cặp 01, cặp 10, cặp 11 cặp 00 đứng cạnh Hỏi có tất xâu nhị phân tính chất thế? Lời giải Tương tự