Phan-Loai-Cac-Dang-Toan-Lop-8.Pdf

CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A(B + C) = AB + AC Quy tắc: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD VD1: 1) 8x.( 3x3 – 6x +4 ) = 8x.3x3 +8x.( –6x) +8x.4= 24 x4 – 48x2 + 32x 1 2) 2x2.(x2 + 5x – ) = 2x3.x2 + 2x3.5x – 2x3 = 2x5 + 10x4 – x3 2 1 3) ( 3x3y – x + xy ).6 xy = 18x4 y4 – 3x3y3 + x2y4 5 4) (4x3 – 5xy + 2x) (– xy) = –2x4 y + x2y2 – x2y 2 VD2: Tính 1) (x + 3)(x2 + 3x –5) = x3 +3x2 –5x +3x2 + 9x–15 = x3 + 6x2 +4x –15 2) (xy–1) ( xy+5) = x2y2 + 5xy – xy –5 = x2y2 + 4xy – 3) (2x –5)(3x2 + 7x –1) = 2x(3x2 + 7x – 1) – 5( 3x2 + 7x – 1) = 6x3 +14x2 – 2x – 15x2 – 35x+5 = 6x3 – x2 – 37x + 1 4) ( xy –1)(x3 –2x –6) = x4 y –x2y –3xy –x3 +2x + 2 2 Áp dụng: (x – y) (x + xy + y ) = x (x2 + xy + y2) – y (x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 – x2y – xy2 – y3 = x3 – y3 Bài Nhân đơn thức với đa thức: 1) 3x2(5x2 – 2x – 4) 2) xy2(x2y + x3y2 + 3x2y3) 3) xyz(x2y + 3yz2 + 4xy2z) 4) 2x2(4x2 − 5xy + 8y3) 5) 2xy2(5x2 + 3xy − 6y3) 6) – x2y(xy2 – xy + x2y2) 7) (3xy – x2 + y) 2 xy 10) – x4y2(6x4 − 10 xy 8) (4x3 – 5xy + 2x)( – – y5) x – 4x) Bài Nhân đa thức với đa thức: 1) (2x − 5)(3x + 7) 4).(x + 3)(2x2 + x − 2) x3) 7).(3x + 4x2 − 2)(− x2 +1 + 2x) 10).(x – 2)(3x2 – 2x + 1) 13).(xy – 1)(x2y – 3xy2) 13) 3x(2x3 – Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 1 xy) 9) 2x2(x2 + 3x + ) 2 2 3 x (x + x2 – x5) 12) 2xy2(xy + 3x2y – xy3) 3 3 10 14) x y (7x + 5x2y − x4y3 –y4) 21 11) 2) (−3x + 2)(4x − 5) 5) (2x − y)(4x2 − 2xy + y2) 3) (x − 2)(x2 + 3x − 1) 6) (x +3)(x2 –3x + 9) – (54 + 8) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) 11).(x + 2)(x2 + 3x + 2) 14) (x + 3)(x2 – x + 2) 9) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) 12.) (2x2 + 1)(x2 – x +3) 15) (x2 – x + 2)(2x – 3) TÀI LIỆU MON TOÁN 16).(x2 – 2xy – y2)(x – y) 19) (2x2 – 1)(3x2 – x + 2) 22) (7x – 1)(2x2 – 5x + 3) 25) (− x2+y3)(8x3 − x y –y2) 17) (x2 – 3xy + y2)(x + y) 20) (2 – 3x2)(x3 + 2x2 – 3) 23) (5x + 3)(3x2 + 6x + 7) 26) (2xy2−7x2y)( 18) (x – 5)(x2 – 6x + 1) 21) (9x – 2)(x2 – 3x + 5) 24) (6x2 + 5y2)(2x2– y2) x + 5xy − 4y3) Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức: 1) A = 5x(4x2 – 2x + 1) – 2x(10x2 – 5x – 2) 2) 2x (3x2 − 5x + 8) − 3x2(2x − ) – 16x 3) B = 5x(x2 – 3) + x2(7 – 5x) – 7x2 4) C = (x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x +16) 5) D = 4x2 – 28x + 49 6) E = x3 – 15x2 + 75x 7) F = (x + 1)(x – 1)( x2 + x + 1)( x2 – x + 1) 8) G = x(x – y) + (x + y) 9) H = 5x(x – 4y) – 4y(y – 5x) 10) I = x(x2 – y2) – x2(x + y) + y(x2 – x) 11) J = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) 12) K = 4x2(5x – 3y) – 5x2(4x + y) 13) L = (x2y + y3)(x2 + y2) – y(x4+ y4) 14) (2x2 + y) (x − 6xy ) − 2x (x – 3y2) (x + ) + 6x2y (y − 2x) BÀI TẬP TỔNG HỢP với x= 15 với x = − 15 với x = – với x = với x = với x = 25 với x = với x = y =8 với x= – 1/5; y= –1/2 với x = 1/2 y = 100 với x = y = – 1/2 với x = –2; y = –3 với x = 0,5; y = – với x = − |y| = Bài Thực phép tính sau: a) ( x –1)( x + x ) b) (2 x − 1)(3 x + 2)(3 – x ) c) ( x + 3)( x + x – 5) d) ( x + 1)( x – x + 1) e) (2 x − x − 1).(5 x + 2) f) ( x − x + 3).( x − 4) b) ( x – y )( x y − xy + y ) c) e) ( x – y )( x + xy + y ) 1  f)  xy –1 ( x – x – 6) 2  Bài Thực phép tính sau: a) −2 x y(2 x – 3y + 5yz) d) 2 x y.(3 xy – x + y ) xy( x y – x + 10 y ) Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) ( x − y )( x + x y + x y + xy3 + y ) =x − y b) ( x + y )( x − x y + x y − xy3 + y ) =x + y c) (a + b)(a3 − a2b + ab2 − b3 ) =a − b d) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = ( x − 2)( x + x + x + x + 16) với x = b) B = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + x − 1) với x = ĐS: A = 211 ĐS: B = 255 c) C = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + 1) với x = ĐS: C = 129 d) = D x (10 x − x − 2) − x (4 x − x − 1) với x = −5 ĐS: D = −5 Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = ( x − x y + xy − y3 )( x + y ) với x = 2, y = − b) B =(a − b)(a + a3b + a2b2 + ab3 + b ) ĐS: A = với a = 3, b = −2 255 16 ĐS: B = 275 1 c) C = ( x − xy + y )( x + y ) + x y − x y + xy3 với x = − ,y = − ĐS: C = 2 16 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A = (3 x + 7)(2 x + 3) − (3 x − 5)(2 x + 11) b) B= ( x − 2)( x + x − 1) − x ( x + x − x − 2) c) C = x ( x + x − x − 2) − ( x − 2)( x + x − 1) d) D = x (2 x + 1) − x ( x + 2) + x − x + e) E = ( x + 1)( x − x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) Bài * Tính giá trị đa thức: a) P( x ) = x − 80 x + 80 x − 80 x + + 80 x + 15 P(79) = 94 với x = 79 b) Q( x ) = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 với x = c) R( x ) =x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 với x = 16 d) S( x ) = x10 − 13 x + 13 x − 13 x + + 13 x − 13 x + 10 S(12) = −2 ĐS: ĐS: Q(9) = ĐS: R(16) = với x = 12 ĐS: II HẰNG ĐẲNG THỨC TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A B biểu thức Ta có số đẳng thức đáng nhớ sau: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A + B)(A – B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Chú ý: Các công thức 4) 5) cịn viết dạng: Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TOÁN (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Từ công thức 1) 2) ta suy công thức: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC Ví dụ 1: Khai triển: a) (5x + 3yz)2 = 25x2 + 30xyz + 9y2z2 b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g) (x2 + 3)(x4 + – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 =(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương hai số biết tích hai số tổng hai số – Gọi hai số a b ta có: Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35 b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000 b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (24 – 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = =… = (220 – 1)(220 + 1) + = 240 – + = 240 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập 1: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hay hiệu: a) x2 + 5x + 25 5 = x2 + x + ( )2 = (x + )2 2 b) 16x2 – 8x + = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2 c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + = (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + = (x2 + 9x + 18)(x2 + 9x + 18 + 2) + = (x2 + 9x + 18)2 + 2(x2 + 9x + 18).1 + 12 = (x2 + 9x + 18 + 1)2 = (x2 + 9x + 19)2 e) x2 + y2 + 2x + 2y + 2(x + 1)(y + 1) + = x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + + = x2 + y2 + 22 + 4x + 4y + 2xy = (x + y + 2)2 g) x2 – 2x(y + 2) + y2 + 4y + = x2 – 2xy – 4x + y2 + 4y + = x2 + y2 + 22 – 2xy – 4x + 4y = (x – y – )2 h) x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + = x2 + 2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 Bài tập 2: Viết biểu thức sau dạng lập phương tổng hay hiệu: a) x3 + 3x2 + 3x + = (x + 1)3 Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN b) 27y3 – 9y2 + y - 1 1 = (3y)3 – 3.(3y)2 + 3.3y.( )2 – ( )3 = (3y - )3 27 3 3 c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.y + 3.(2x2).y2 + y3 = (2x2 + y)3 d) (x + y)3(x – y)3 = [(x + y)(x – y)]3 = (x2 – y2)3 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức: a) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = (2x + – 2x – 5)2 = (-2)2 = b) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1) = (x2 + + x)(x2 + – x)(x2 – 1) = [(x2 + 1)2 – x2] (x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 1)2 – x2(x2 – 1) = (x4 – 1)(x2 + 1) – x4 + x2 = x6 + x4 – x2 – – x4 + x2 = x6 – c) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac – 2b2 + 4bc – 2c2 = 2a2 d) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac + b2 + c2 + a2 – 2bc + 2ac – 2ab + c2 + a2 + b2 – 2ac + 2ab – 2bc = 4a2 + 4b2 + 4c2 = 4(a2 + b2 + c2) Bài tập 4: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3 Bài tập 5: CMR với giá trị biến x ta ln có: a) – x2 + 4x – < Ta có: – x2 + 4x – = - (x2 – 4x + 5) = - (x2 – 4x + + 1) = - [(x – 2)2 + 1] Mà (x – 2)2 ≥ nên (x – 2)2 + > Do – [(x – 2)2 + 1] < với giá trị biến x b) x4 + 3x2 + > Ta có: x4 ≥ ; 3x2 ≥ nên x4 + 3x2 + > , với x Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TOÁN c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + > Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + = (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + + = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + = (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + > , với x Bài tập 6: So sánh: a) 2003.2005 20042 Ta có: 2003.2005 = (2004 – 1)(2004 + 1) = 20042 – < 20042 b) 716 – 8(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) Ta có: 716 – = (78)2 – = (78 + 1)(78 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1) = (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) = =(78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)8.6 > (78 + 1)(74 + 1)(72 + 1).8 Bài tập 7: Cho a – b = m ; a.b = n Tính theo m, n giá trị biểu thức sau: a) (a + b)2 = (a + 2ab + b2 – 4ab + 4ab = (a – b)2 + 4ab Thay a – b = m, a.b = n vào biểu thức ta : (a + b)2 = m2 + 4n b) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = m2 – 2n c) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) = m3 + 3m.n = m(m2 + 3n) Bài tập 8: Cho a + b = p ; a – b = q Tìm theo p,q giá trị biểu thức sau: a) a.b = ? Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab ⇒ ab = p2 − q2 ( a + b) − ( a − b) = 4 p2 − q2 b) a + b = (a + b) – 3ab(a + b) = p – 3p = 3 3 p − p ( p − q ) p − p + pq p + pq p ( p + 3q ) = = = 4 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x + x + = b) x  − x  +16 = c) ( x + 5)( x − 5) = d) x + 12 x + 48 x + 64 = e) x − x + 12 x − = f) ( x + 2)( x − x + 4) = Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TOÁN g) ( x − 3)( x + x + 9) = h) x + x + = i) x –1 = k) x + x + = l) x – = m) 16 x – x + = n) x + x + = o) 36 x + 36 x + = p) x + 27 = b) (5 x – y )2 c) (2 x + y )3 Bài Thực phép tính: a) (2 x + 3y )2  d)  x +   y   x2 −   y  1  e)  x +  4  2 f)  x − 3  y  g) (3 x – y )3 h) ( x − 3y )( x + xy + y ) i) ( x − 3).( x + x + 9) k) ( x + y + z)( x + y – z) l) (2 x –1)(4 x + x + 1) m) (5 + x )3 Bài Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: a) A = x + x + x + với x = 19 ĐS: a) A = 8005 b) B =x − x + x -1 với x = 11 b) B = 1001 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2 x + 3)(4 x − x + 9) − 2(4 x − 1) b) (4 x − 1)3 − (4 x − 3)(16 x + 3) c) 2( x + y3 ) − 3( x + y ) với x + y = d) ( x + 1)3 − ( x − 1)3 − 6( x + 1)( x − 1) e) ( x + 5)2 + ( x − 5)2 f) x + 25 ĐS: a) 29 b) c) –1 (2 x + 5)2 + (5 x − 2)2 x2 + d) e) f) 29 Bài Giải phương trình sau: a) ( x − 1)3 + (2 − x )(4 + x + x ) + x ( x + 2) = 17 b) ( x + 2)( x − x + 4) − x ( x − 2) = 15 c) ( x − 3)3 − ( x − 3)( x + x + 9) + 9( x + 1)2 = 15 d) x ( x − 5)( x + 5) − ( x + 2)( x − x + 4) = ĐS: a) x = 10 b) x = c) x = 15 d) x = − 11 25 Bài So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức: a) A = 1999.2001 B = 20002 b) A = 216 B = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) c) A = 2011.2013 B = 20122 d) A = 4(32 + 1)(34 + 1) (364 + 1) và= B 3128 − BÀI TẬP NÂNG CAO Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) M = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TOÁN Ta thấy: (x – 2)2 ≥ nên M ≥ Hay GTNN M Giá trị đạt (x – 2)2 = ⇔ x – = ⇔ x = b) N = (x2 – 4x – 5)(x2 – 4x – 19) + 49 N = (x2 – 4x – )(x2 – 4x – – 14) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 – 14(x2 – 4x – 5) + 49 N = (x2 – 4x – 5)2 - 2.7(x2 – 4x – ) + 72 N = (x2 – 4x – – )2 = (x2 – 4x – 12 )2 Ta thấy : (x2 – 4x – 12)2 ≥ nên N ≥ Hay GTNN N Giá trị đạt x2 – 4x – 12 = ⇔ (x – 6)(x + 2) = ⇔ x = ; x = -2 c) P = x2 – 6x + y2 – 2y + 12 P = x2 – 6x + + y2 – 2y + + = (x – 3)2 + (y – 1)2 + Ta thấy: (x – 3)2 ≥ 0; (y – 1)2 ≥ nên P ≥ Hay GTNN P Giá trị đạt x – = y – = ⇔ x = y = Chú ý GTNN GTLN biểu thức: Cho biểu thức A, ta nói số k GTNN A ta c/m điều kiện: a) A ≥ k với giá trị biến biểu thức A b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể A để thay vào, A nhận giá trị k Tương tự, cho biểu thức B, ta nói số h GTLN B ta c/m điều kiện: a) B ≤ h với giá trị biến biểu thức B b) Đồng thời, ta tìm giá trị biến cụ thể B để thay vào, B nhận giá trị h Có hai loại sai lầm thường gặp HS: 1) Khi chứng minh a), vội kết luận mà quên kiểm tra điều kiện b) 2) Đã hoàn tất a) b), nhiên, tốn địi hỏi xét tập số thơi, tức thêm yếu tố ràng buộc, mà HS khơng để ý giá trị biến tìm bước b) lại nằm tập cho trước Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức A = (x2 + 1)2 + Giả sử lời giải : Vì (x2 + 1)2 ≥ nên A ≥ Vậy GTNN biểu thức Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN Kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 1), tức quên kiểm tra điều kiện b) Thực A 4, ta phải có (x2 + 1)2 = , điều xảy với giá trị biến x Ví dụ 2: Cho x y số hữu tỉ x ≠ y Tìm GTNN biểu thức B= (x – y)2 + 2 Giả sử lời giải sau: Vì (x – y)2 ≥ nên B ≥ 2 Mặt khác thay x = y = 1, B nhận giá trị Vậy GTNN biểu thức B đây, kết luận GTNN mắc phải sai lầm loại 2), tức quên kiểm tra điều kiện ràng buộc x ≠ y Bài tập 2: Tìm GTNN biểu thức sau: a) A = x2 – 4x + Ta có : A = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Ta thấy (x – 2)2 ≥ 0, nên (x – 2)2 + ≥ Hay GTNN A , giá trị đạt (x – 2)2 = ⇔ x–2=0 ⇔ x=2 b) B = x2 – x + 1 3 Ta có: B = x2 – x + + = (x - )2 + 2 4 Vậy GTNN B , giá trị đạt x = 9 c) C = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2[(x2 – x + ) − ] = 2(x - )2 2 4 Vậy GTNN C - , giá trị đạt x = 2 Bài tập 3: Tìm GTLN đa thức: a) M = 4x – x2 + = - x2 + 4x – + = – (x2 – 4x + 4) = – (x – 2)2 Ta thấy: (x – 2)2 ≥ ; nên - (x – 2)2 ≤ Do đó: M = – (x – 2)2 ≤ Vậy GTLN biểu thức M 7, giá trị đạt x = b) N = x – x2 = - x2 + 1 1 x - + = − (x − ) 2 4 Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN 10 0,5 ( 2đ ) AB = AD + DB = + = (cm) DE//BC neân Hay 0,5 AD DE (hệ định lý Ta-let) = AB BC 0,5 DE 2.6,5 ⇒ DE = = 2,6(cm) = 5 6,5 0,5 Vậy x =2,6(cm) ( 3đ ) 0,5 * Vẽ hình 0,5 B a) Xét ∆ AHB ∆ ABC có:   BHA = BAC = 900 ( gt )  chung B Do đó: ∆ AHB H D 12 C A ∆ CAB(g-g) 16 0,5 0,5 b) Xét ∆ ABC vuông A có : BC AB2 + AC2 (Định lý Pi-ta-go) = 0,5 = 12 + 16 = 400 Suy : BC = 20 (cm) Ta có AD phân giác góc BAC (gt): => BD AB 12 = = = DC AC 16 => BD + DC + = DC => 4.BC 4.20 BC => = DC = ≈ 11, 4(cm) = 7 DC 0,5 BD = BC – DC = 20 -11,4 ≈ 8,6 (cm) 0,25 0,25 ĐỀ II I Trắc nghiệm (4 điểm): Khoanh tròn chữ đứng trước đáp án Cho đoạn thẳng có độ dài a = 2; b = 3; c = 4; d = 6; m = Kết luận sau đúng? Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN 257 A B C D Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c m Hai đoạn thẳng a c tỉ lệ với hai đoạn thẳng c d Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng d m Hai đoạn thẳng a b tỉ lệ với hai đoạn thẳng c d Cho biết MM’//NN’ độ dài OM’ hình vẽ bên là: A cm B cm C cm D cm Độ dài x hình vẽ là: A 1,5 B 2,9 C 3,0 D 3,2 Hãy điền vào chỗ trống kí hiệu thích hợp Tam giác ABC có ba đường phân giác AD; BE; CF a) AB = … AC c) AF =… BF b) CE = … EA d) BD EC FA =… DC EA FB II Tự luận (6 điểm) Câu (2,5 điểm): Trên cạnh góc đỉnh A, lấy đoạn thẳng AE = 3cm, AC = 8cm Trên cạnh thứ hai góc đó, đặt đoạn thẳng AD = 4cm AF = 6cm a) Hỏi tam giác ACD tam giác AEF đồng dạng khơng? sao? b) Gọi I giao điểm CD EF Tính tỷ số diện tích hai tam giác IDF tam giác IEC Câu (2,5 điểm): Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm; BC = 20cm; CD = 25cm; DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN 258 a) Các tam giác ABD BDC có đồng dạng với khơng ? Vì ? b) Chứng minh tứ giác ABCD hình thang Câu (1 điểm): Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Từ C hạ đường vng góc CE CF xuống tia AB, AD Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 ĐÁP ÁN I Trắc nghiệm (4 điểm): Chọn ý điểm Câu a Đáp án D D A CA DB BC ; b ; c ; d.1 DC BA CB II Tự luận (6 điểm) Câu (2,5 điểm) Vẽ hình (0,5đ) a) ∆ ACD ∆ AFE đồng dạng AC AD = = ; A chung AF AE (1 điểm) b) Chứng minh ∆ IDF ∆ IEC đồng dạng (g.g) ⇒ k = 2/5 ⇒ S IDF = S IEC 25 (1 điểm) Câu (2,5 điểm) Vẽ hình, ghi gt,kl (0,5 điểm) a) Xét ∆ ABD ∆ BDC có: AB = = BD 10 BD 10 = = DC 25 Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN 259 AD = = BC 20 (1,5 đ) Vậy theo trường hợp đồng dạng thứ suy ∆ ABD ∼ ∆ BDC b) Từ ∆ ABD ∼ ∆ BDC suy ∠ ABD = ∠ BDC (hai góc vị trí so le trong) (1 điểm) suy AB // CD ⇒ tứ giác ABCD hình thang Câu (1 điểm) Kẻ DH vng góc AC, BK vng góc AC C/m ∆ AHD đồng dạng ∆ AFC ⇒ AD AH ⇒ AD.AF = AC.AH (1) = AC AF C/m ∆ AKB đồng dạng ∆ AEC ⇒ AB AK ⇒ AB.AE = AC.AK (2) = AC AE C/m ∆ AHD = ∆ CKB (ch-gn) ⇒ AH = CK (3) Từ 1, 2, ⇒ AB.AE + AD.AF = AC.AK + AC.AH = AC.(AK + AH) = AC.(AK + CK) = AC.AC = AC2 ĐỀ III I TRẮC NGHIỆM: ( điểm) Khoanh tròn chữ đứng trước câu trả lời Câu 1: Cho đoạn thẳng AB = 20cm, CD = 30cm Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD là: A B C 20 D 30 D AB DC B = DB BC A  ( hình vẽ) thì: Câu 2: Cho AD tia phân giác BAC A AB DC = AC DB AB DB = AC DC C AB DC = DB AC ∆ DEF theo tỉ số đồng dạng ∆ DEF D C S S Câu 3: Cho ∆ ABC B ∆ ABC theo tỉ số đồng dạng là: A B C Câu 4: Độ dài x hình vẽ là: (DE // BC) A B A D B Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy D x E C TÀI LIỆU MON TOÁN 260 C.7 D.8 B ∆ ABC S ∆ DEF S A ∆ ABC S S  C =E  : Câu 5: Nếu hai tam giác ABC DEF có  A= D ∆ DFE C ∆ CAB ∆ DEF D ∆ CBA ∆ DFE Câu 6: Điền dấu “X” vào trống thích hợp Đ Câu S Hai tam giác đồng dạng Hai tam giác vuông cân đồng dạng Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Hai tam giác đồng dạng Hai tam giác cân có góc đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng Hai tam đồng dạng với II TỰ LUẬN (7 điểm) S Cho tam giác ABC vng A có AB = 12 cm, AC = 16 cm Vẽ đường cao AH a) Chứng minh ∆ HBA ∆ ABC b) Tính BC, AH, BH c) Vẽ đường phân giác AD tam giác ABC (D ∈ BC) Tính BD, CD d) Trên AH lấy điểm K cho AK = 3,6cm Từ K kẽ đường thẳng song song BC cắt AB AC M N Tính diện tích tứ giác BMNC ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM: ( điểm) Câu Đáp án A B B Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy B B S Đ Đ Đ Đ Đ Đ TÀI LIỆU MON TOÁN 261 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 II TỰ LUẬN (7 điểm) Đáp án Câu Biểu điểm A M N K C B H D a) Chứng minh ∆ HBA 0,5  ∆ ABC Xét ∆ HBA ∆ ABC có: 0,25  = Α  = 900 Η 0,25  chung Β 0,25 => ∆ HBA  0,25 ∆ ABC (g.g) b) Tính BC, AH, BH Ta có  ABC vng A (gt) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = AB + AC 0,5 Hay: BC = 122 + 162 = 144 + 256 = Vì ∆ABC vng A nên: = S ABC ⇒ AH BC AB = = AC hay AH ∆ HBA ⇒  0,5 400 = 20 cm 1 = AH BC AB AC 2 0,5 AB AC 12.16 == AH = 9, (cm) BC 20 0,5 ∆ ABC 1,0 BA2 122 HB BA hay : HB = = = 7,2 (cm) = BC 20 AB BC c) Tính BD, CD Ta có : BD AB BD AB BD AB (cmt) ⇒ hay = = = CD + BD AB + AC BC AB + AC CD AC Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 0,5 TÀI LIỆU MON TOÁN 262 20.3 12 BD => BD = ≈ 8, cm = = 20 12 + 16 7 0,25 Mà: CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm 0,25 d) Tính diện tích tứ giác BMNC Vì MN // BC nên ∆ AMN  ∆ ABC AK,AH hai đường ao tương ứng 2 0,25 S AMN  AK   3,    Do đó: =  =   = =   S ABC  AH   9,    64 Mà: SABC = 0,5 1 AB.AC = 12.16 = 96 2 0,25 => SAMN = 13,5 (cm2) 0,25 Vậy: SBMNC = SABC - SAMN = 96 – 13,5 = 82,5 (cm ) 0,25 Lưu ý: Mọi cách giải khác có lập luận chạc chẽ cho điểm tói đa câu ĐỀ IV I-TRẮC NGHIỆM (3đ) Điền vào chỗ trống (……) câu thích hợp để câu trả lời Câu Đường phân giác góc tam giác chia …(1)…thành hai đoạn thẳng (2) …hai đoạn thẳng Câu  ABC   DEF với tỷ số đồng dạng k ≠  DEF   ABC với tỷ số đồng dạng …(3)… = ' (6)  = A ' (4) ; (5) = B ,C  Câu  A ' B ' C '   ABC ⇔  (7) B ' C ' (9) =  = (8) AC  AB Câu Tam giác vng có cạnh huyền …(10) … tỷ lệ với (11)…và cạnh góc vng tam giác vng …… (12)……… Câu Tam giác có hai góc ……….(13)…… tam giác …….(14) ………… Câu Cho hình vẽ bên Hãy tính độ dài cạnh AB ? A 6cm ? B 2cm D 3cm C Chọn đáp án đáp án sau : Độ dài cạnh AB là: A 4cm B 5cm Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy C 6cm D 7cm TÀI LIỆU MON TOÁN 263 II TỰ LUẬN (7 điểm) : Câu Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm Vẽ đường cao AH(H ∈ BC) tia phân giác góc A cắt BC D a/ Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC b/ Tính độ dài cạnh BC c/ Tính tỷ số diện tích hai tam giác ABD ACD d/ Tính độ dài đoạn thẳng BD CD e/ Tính độ dài chiều cao AH ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM (0,5đ) Câu Đáp án 3(0,5đ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) cạnh đối diện tỷ lệ với hai cạnh kề k  Α ' Β  C A’B’ BC A’C’ 4(0,5đ) Câu Đáp án 2(0,5đ) 5(0,5đ) (10) (11) (12) (13) (14) mỘt cẠnh góc vng cẠnh huyỀn hai tam giác vng đỒng dẠng lẦn lưỢt bẰng hai góc hai tam giác đỒng dẠng 6(0,5đ) A II TỰ LUẬN: Điểm Đáp án Câu 0,5 A  ABC vuông A, 16cm 12cm B GT H D C  AD phân giác BAC AH ⊥ BC; AB = 12cm, AC = 16cm KL a)  HBA  ABC ; b) Tính BC =? c) Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy S ABD = ? ; d) BD = ?; CD S ACD TÀI LIỆU MON TOÁN 264 =? e) AH = ? a)  HBA  ABC : 1,0  chung ⇒  HBA  ABC Xét  HBA &  ABC hai tam giác vng có B (g.g) b) Tính BC: Ta có  ABC vng A (gt) ⇒ BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = Hay: BC = 122 + 162 = 144 + 256 = AB + AC 0,75 400 = 20 cm 0,75 c) S ABD =? S ACD Vì AD phân giác  BAC nên ta có : BD AB = CD AC BD AB 12 = = = CD AC 16 Mà S ABD = d) S 1 BD AH BD S ACD = AH CD =>  ABD = = 2 S ACD CD hay 0,75 0,75 BD = ?, CD = ? Ta có : BD AB BD AB BD AB (cmt) => hay = = = BC AB + AC CD AC CD + BD AB + AC 0,5 BD 12 20.3 => BD = = = ≈ 8, cm 20 12 + 16 7 Mà CD = BC – BD = 20 – 8,6 = 11,4 cm 0,5 0,5 e) e) AH = ? Vì ∆ABC vng A nên = S ABC Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy 1 = AH BC AB AC 2 0,5 TÀI LIỆU MON TOÁN 265 AB AC 12.16 == AH = 9, (cm) BC 20 => AH BC AB = = AC hay AH 0,5 ĐỀ V I TRẮC NGHIỆM ( điểm) Câu 1: Cho AB = 4cm, DC = 6cm Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD là: A B C ∆ABC theo tỉ số đồng dạng k = Câu 2: Cho ∆A’B’C’ A B C D 2 Tỉ số chu vi hai tam giác đó: D Câu 3: Chỉ tam giác đồng dạng hình sau: A ∆DEF ∆ABC B ∆PQR ∆EDF C ∆ABC ∆PQR D Cả A, B, C  Câu Trong hình biết MQ tia phân giác NMP Tỷ số x là: y A C B D 4 Câu Độ dài x hình bên là: A 2,5 B C 2,9 D 3,2 Câu Trong hình vẽ cho biết MM’ // NN’ Số đo đoạn thẳng OM là: A cm B 2,5 cm C cm Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy D cm TÀI LIỆU MON TOÁN 266 Câu 7: Điền từ thích hợp vào chỗ ( ) để hồn thiện khẳng định sau: Nếu đường thẳng cắt tam giác với cạnh lại tam giác tương ứng tỉ lệ II TỰ LUẬN (7 điểm ) Câu 8: Cho ∆ABC vng tai A, có AB = 9cm, AC = 12cm Tia phân giác góc A cắt BC D, từ D kẻ DE ⊥ AC ( E ∈ AC) a)Tính tỉ số: BD , độ dài BD CD DC c)Tính DE b) Chứng minh: ∆ABC d) Tính tỉ số ∆EDC S ABD S ADC ĐÁP ÁN I TRẮC NGHIỆM : (3điểm) Câu Đáp án C B A D B D Thứ tự điền là: hai cạnh, song song, tạo thành, có ba cạnh, với ba cạnh, tam giác cho II TỰ LUẬN ( Điểm ) Đáp án Câu Điểm 0,5 a) Vì AD phân giác  A => Từ BD AB = = = DC AC 12 BD AB BD AB = > = = DC + BD AC + AB DC AC BD AB BD = > = = > = BC AC + AB 15 21 =>= BD 0,5 9.15 = 6, 4cm 21 0,25 Từ đó: DC = BC – BD = 15 – 6,4 = 8,6 cm 0,25 b) Xét ∆ABC ∆EDC  chung => ∆ABC = 900 , C có:  A= E Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy ∆EDC (g.g) 1,5 TÀI LIỆU MON TOÁN 267 DE DC = AB BC 0,75 AB.DC 9.8, = > DE = = = 5, 2cm BC 15 0,75 c) ∆ABC ∆EDC => d) S ABD = AH BD S ABD = AH DC 0,25 AH BD S ABD BD => = = = S ADC AH DC DC 0,25 CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG- HÌNH CHĨP ĐỀU HÌNH HỘP CHỮ NHẬT  Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật, đỉnh 12 cạnh chia thành nhóm, nhóm có cạnh  Hai mặt hình hộp chữ nhật khơng có cạnh chung gọi hai mặt đối diện  Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt chúng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung gọi hai đường thẳng song song  Trong không gian hai đường thẳng a, b chúng : 1) Cắt nhau; 2) Song song; 3) Trùng nhau; 4) Không nằm chung mặt phẳng nào, gọi hai đường thẳng chéo  Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung  Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng song song đường thẳng b nằm mặt phẳng đường thẳng a song song với mặt phẳng  Nếu hai mặt phẳng song song chúng khơng có điểm chung  Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Thể tích hình lập phương tích ba kích thước : V = a.b.c  Thể tích hình hộp chữ nhật lập phương cạnh : V = a Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TỐN 268 Ví dụ : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ hình vẽ a) Hãy kể tên đỉnh, cạnh, cặp mặt đối diện b) Hãy đường thẳng cắt đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD, chéo với đường thẳng AA’ c) Mặt phẳng song song với đường thẳng AB d) Đường thẳng song song với mặt phẳng (ABCD) e) Mặt phẳng song song với mặt phẳng (AA’D’D) f) Mặt phẳng vng góc với đường thẳng CD g) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng (BB’C’C) h) Chứng minh AC '2 = AB + AD + AA '2 , ( hình hộp chữ nhật bình phương đường chéo tổng bình phương ba kích thước ) Bài giải a) Các đỉnh hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ A, B, C, D; A’, B’, C’, D’ Các cạnh AB, CD, A’B’, C’D’ AD, BC, B’C’, A’D’ AA’, BB’, CC’, DD’ Các cặp mặt đối diện : (ABCD) (A’B’C’D’); (ADD’A’) (BCC’B’); (ABB’A’) (DCC’D’) b) Những đường thẳng cắt đường thẳng AB đường thẳng AA’, đường thẳng AD Những đường thẳng song song với đường thẳng CD đường thẳng AB, A’B’, C’D’ Những đường thẳng chéo với đường thẳng AA’ đường thẳng BC, CD, B’C’, C’D’ c) Song song với đường thẳng AB mặt phẳng (CDD’C’); (A’B’C’D’) d) Song song với mặt phẳng (ABCD) đường thẳng A’B’, C’D’, A’D’, B’C’ e) Song song với mặt phẳng (AA’D’D) mặt phẳng (BB’C’C) f) Vng góc với đường thẳng CD mặt phẳng (ADD’A’); (BCC’B’) g) Vng góc với mặt phẳng (BB’C’C) đường thẳng AB, CD, A’B’, C’D’ h) Do ABCD.A’B’C’D’ hình chữ nhật nên ABCD hình chữ nhật, theo định lý Pitago ta có : AC = AD + DC = AD + AB , (1) Do CC ' ⊥ ( ABCD ) nên ∆ACC’ vuông C Áp dụng định lý Pitago lần ta có : AC = '2 AC + CC '2 , CC ' = AA ' nên AC '2 = AB + AD + AA '2 HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG A' D' B' C' D A B  Các mặt bên hình chữ nhật  Các cạnh bên song song  Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song với nhau, hai đáy hai đa giác  Diện tích xung quanh lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao : C Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TOÁN 269 S xq = p.h p nửa chu vi, h chiều cao lăng trụ  Thể tích lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao : V = S h , S diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ đứng HÌNH CHĨP ĐỀU  Những mặt bên tam giác cân có chung đỉnh  Mặt đáy đa giác  Đường thẳng qua đỉnh vuông góc với đáy gọi đường cao Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy  Đường cao mặt bên gọi trung đoạn, trung đoạn  Diện tích xung quanh chóp tích nửa chu vi đáy nhân với trung đoạn : S xq = p.d , p nửa chu vi, d trung đoạn chóp  Thể tích chóp 1 diện tích đáy nhân với chiều cao : V = S h , 3 S diện tích đáy, h chiều cao chóp Ví dụ : Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình chóp tứ giác có cạnh bên b, cạnh đáy a Áp dụng cho a = 20, ( cm ) b = 24, ( cm ) Bài giải = SB = SC = SD = b ABCD hình vng Giả sử S.ABCD hình chóp tứ giác SA a cạnh a Diện tích : S = a Gọi M trung điểm AB ta có : MA = Thầy Ngơ Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TOÁN 270 2  = 900 , SA = b , MA = a nên d = SA2 − MA2 = b −  a  = b − a Xét ∆SAM có M   2 a2 S SAB AB= SM 2.a b − Diện tích xung quanh hình chóp = : S xq 4.= Diện tích tồn phần hình chóp : Stp = S xq + S d = 2.a b − a2 + a2 Gọi H chân đường cao chóp ⇒ H tâm hình vng ABCD cạnh a ⇒ HM = a2 a , HM = nên : b −  = 900 , SM= d= Xét ∆SHM có H  a2 h =SH = SM − HM =  b −   2 Thể tích chóp :V = a 2   a 2 a2  −   = b2 −  2  1 2 a2 = S ABCD h a b − 3 Áp dụng cho a = 20, ( cm ) b = 24, ( cm ) 2 Diện tích đáy : = S a= 20= 400, ( cm ) a2 b − = Trung đoạn : d= 202 24 − = 242 − 52= 19.29 a2 202 2 a b − = 2.20 24 − = 40 19.29 Diện tích xung quanh hình chóp : S= xq 4 Diện tích tồn phần hình chóp : Stp = S xq + S d = 40 19.29 + 400 h= a2 b − = 2 202 24 − = Thể tích chóp= :V 242 − 200= 376 2 a2 202 400 a b −= 20 242 − = 376 3 Để nhận file word, Bạn Like Fanpage inbox cho Thầy Duy (https://fb.me/duyngonguyenthanh) CHÂN THÀNH CẢM ƠN BẠN ĐÃ QUAN TÂM Thầy Ngô Nguyễn Thanh Duy TÀI LIỆU MON TOÁN 271