Skkn ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "ỨNG DỤNG CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ THAM SỐ" skkn A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài Đối với học sinh học toán trường trung học phổ thông, học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp tốn khơng dễ dàng liên quan đến nghiệm phương trình, bất phương trình chứa tham số Khi giảm tải chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét số cách giải khác hàm số “điều kiện cần - đủ” để giải toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp học sinh khó rèn luyện tốt phần Với việc ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số phần lớn tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ tốn giải phương trình bất phương trình có tham số” II Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thơng có nhìn tồn diện cách tiếp cận giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số để giải tốn phương trình, bất phương trình có tham số III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số giải tích trung học phổ thơng đặc biệt phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số Tuy nhiên khơng phải tốn chứa tham số mà phạm vi tốn lập tham số vế phương trình bất phương trình IV Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi đại học năm gần xếp từ dễ đến khó Trong tiết học lớp cho học skkn sinh giải vi dụ nhiều phương pháp để từ đánh giá tính ưu việt phương phấp B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận Trong đề tài sử dụng kết sau đây: Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D, tồn , Khi ta có Hệ phương trình có nghiệm Hệ bất phương trình Bất phương trình có nghiệm với x Hệ bất phương trình Bất phương trình m có nghiệm với x M Chứng minh Giả sử hệ phương trình cho có nghiệm, tức tồn Theo định nghĩa ta có , hay cho Đảo lại, giả sử = Vì f(x) hàm số liên tục nên nhận giá trị từ đến Do f(x) nhận giá trị , tức tồn Điều có nghĩa phương trình cho có nghiệm D Giả sử hệ cho có nghiệm, tức tồn Rõ ràng Đảo lại, giả sử cho cho f( ) (1) Ta giả thiết phản chứng hệ cho vô nghiệm, tức (2) , từ suy skkn Từ (1) (2) ta thấy vơ lí, giả thiết phản chứng khơng xảy ra, tức hệ cho có nghiệm Giả sử x với Ta lấy tùy ý thuộc D Vậy , m  minxfD( x ) nên theo định nghĩa tồn Như ta có đpcm Đảo lại, giả sử f(x) mà m = Từ (4 ta chứng minh tương tự 2, 3) II Thực trạng giải pháp Phương trình chứa tham số Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm Hướng dẫn giải Điều kiện Đặt Ta tìm miềm xác định t, xét hàm số Ta có với Từ ta có bảng biến thiên x f’(x) + f(x) - Từ từ suy , skkn tốn trở thành: Tìm m để hệ sau Ta có g’(t) = có nghiệm , ta có bẳng biến thiên sau t g’(t) - + g(t) Từ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ Cho phương trình Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải Đặt f(x) ; Lúc phương trình cho có dạng (1) Phương trình (1) xác định miền Ta có Nên ta có bảng biến thiên sau: x f’(x) + - skkn f(x) tương tự ta có x , bảng biến thiên g’(x) + - g(x) Vì ta có bảng biến thiên hàm số h(x), x h’(x) + sau - h(x) Ta có Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Nếu tốn hỏi tìm m để phương trình có nghiệm đáp số tốn skkn Trong cần lưu ý khi phương trình cho có nghiệm Vì làm học sinh cần phải kết hợp với bảng biến thiên để suy kết Ví dụ Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải Điều kiện: Đặt t = pt(1) nên Bài tốn cho trở thành: Tìm m để hệ Ta có có nghiệm nên có bảng biến thiên sau: t f’(t) + - f(t) ; cịn (chú ý khơng tồn Vậy phương trình cho có nghiệm ) Chú ý: Ở xét , nên không tồn điều kiện theo lý thuyết thành phải thay tồn Do (tức thay điều kiện ) skkn Ta giải tốn định lý Viét Tìm m để hệ có nghiệm Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ vơ nghiệm TH1) Phương trình (1) vơ nghiệm TH2) PT (1) có nghiệm khơng thỏa mãn (2) m Do hệ vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình cho Do x = không nghiệm (1) với m, nên hệ Ta có f’(x) = bảng biến thiên x f’(x) + - f(x) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Bài hướng dẫn học giải cách sử dụng lý Viét Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Yêu cầu tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm cho skkn Áp dụng định lý Viét ta có Như cách giải thứ gọn cách hai Ví dụ Cho phương trình nghiệm thuộc đoạn Tìm m để phương trình có Hướng dẫn giải Đặt Khi Bài tốn trở thành: Tìm m để hệ phương trình Ta có có nghiệm có bảng biến thiên sau: t f’(t) + f(t) ; Vậy giá trị cần tìm tham số m Ví dụ Tìm m để phương trình có nghiệm skkn Hướng dẫn giải Đặt Ta có phương trình Do (1) Nên phương trình (1) m để hệ Vì tốn trở thành: Tìm có nghiệm Ta có có bảng biến thiên sau đây: t f’(t) + f(t) ; Vậy giá trị m cần tìm là: Ví dụ Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn Hướng dẫn giải Phương trình (1) (2) Đặt t = sin2x x 10 skkn Bài toán trở thành: Tìm m để hệ Ta có có bảng biến thiên sau: t f’(t) - + f(t) ; Vậy giá trị m cần tìm Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn giải Đặt ; Bài tốn trở thành tìm m để hệ sau có nghiệm: Nếu hệ vơ nghiệm Hệ cho Do ta cần tìm m Ta có bảng biến thiên sau m u 11 skkn f’(u) - + f(u) ; Nên Vây giá trị cần tìm m là: Bài tập Tìm m để phương trình sau có nghiệm (ĐS: ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm đoạn ( ĐS: ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm (ĐS: ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm khoảng (ĐS: ) Tìm m để hệ sau có nghiệm (ĐS: ) 12 skkn Bất phương trình chứa tham số Ví dụ Cho bất phương trình Tìm m để bất phương trình với Hướng dẫn giải Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ) Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình cho , tức điều Điều kiện đủ: Giả sử Ta có Theo bất đẳng thức Cơsi với Từ suy Vậy với Cách 2.(Sử dụng định lý Viét) Đặt t = Xét g(x) = với Ta có bảng biến thiên sau: x g’(x) -4 + - 13 skkn g(x) 25 , Bài tốn cho có dạng: Tìm m để bất phương trình TH1) Nếu TH2) Nếu tương đương với với ( không thỏa mãn với f(t) = có hai nghiệm phân biệt Vậy bất phương trình có nghiệm ) Lúc yêu cầu toán Cách 3.(Phương pháp đồ thị) Đặt , y ta có Vì đồ thị bán kính R = Cịn đường trịn nửa đường trịn (nằm phía trục Ox) tâm I(1; 0), có đồ thị Parabol có trục đối xứng x = (P)luôn nằm nửa Do tốn có dạng: Tìm m để Parabol ln nằm nửa đường trịn Xét (P) tiếp xúc với (C) M(1; 5) Vậy bất phương trình có nghiêm 14 skkn y -4 x Cách Viết lại bất phương trình dạng Ta có: Từ có bảng biến thiên sau: x -4 f’(x) + - f(x) Vậy bất phương trình có nghiệm Nhận xét: qua cách giải toán ta nhận thấy cách gọn dễ làm nhất! Ví dụ Tìm m để bất phương trình với x 15 skkn Hướng dẫn giải Bất phương trình cho (1) Đặt Ta có Bài tốn trở thành: Tìm m để bất phương trình Điều xảy với t Ta có Bảng biến thiên sau: t f’(t) - + f(t) Vậy giá trị cần tìm tham số m là: Nhận xét: khác với 1, cách giải hợp lí nhât! Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x Hướng dẫn giải Vì , m nên bất phương trình cho m Ta có f’(x) Bảng biến thiên 16 skkn x - f’(x) - + - f(x) Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với x m Ví dụ Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm Hướng dẫn giải Điều kiện: x Khi bất phương trình Bất phương trình cho có nghiệm Xét hàm số m Ta có Bảng biến thiên: x + 17 skkn f’(x) + - f(x) Suy Vậy bất phương trình có nghiệm Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm (đây bất phương trình chứa tham số kèm theo điều kiện x) Hướng dẫn giải Viết lại hệ dạng Do x = nghiệm (1) với m nên hệ (1)(2) Hệ (1)(2)có nghiệm Ta có Bảng biến thiên sau x f’(x) - - + f(x) - 18 skkn ; Vậy giá trị cần tìm m Bài tập: Cho bất phương trình nghiệm x Tìm m để bất phương trình có Tìm m để bất phương trình với x Tìm m để bất phương trình sau với x Tìm m để hệ có nghiệm Tìm m để hệ sau có nghiệm III Hiệu đề tài Sau toán thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều vận dụng Lớp 12A1 Dùng điều kiện cần đủ sử dụng đồ thị Dùng Viét định lý Dùng GTLN,GTNN 17% học sinh hiểu 55% học sinh 75% học sinh hiểu 50 HS 8% học sinh vận dụng hiểu vận dụng vận dụng được 19 skkn C KẾT LUẬN Qua ví dụ vừa nêu ta thấy ưu điểm việc ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số vào giải toán chứa tham số cho ta cách giải ngắn gọn dễ hiểu Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường Giúp em học sinh tìm cho phương pháp ưu việt giải tốn liên quan đến phương trình bất phương trình có tham số Xin chân thành cảm ơn! 20 skkn ... việc ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số phần lớn tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu Đó lí để chọn đề tài : “ Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ. .. trị lớn giá trị nhỏ hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình có tham số III Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng toán phương trình, bất phương trình. .. f(x) hàm số liên tục miền D, tồn , Khi ta có Hệ phương trình có nghiệm Hệ bất phương trình Bất phương trình có nghiệm với x Hệ bất phương trình Bất phương trình m có nghiệm với x M Chứng minh