Skkn rèn luyện tư duy cho học sinh thpt trong việc giải một số bài toán đại số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN ĐẠI SỐ" skkn LỜI NĨI ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức Tốn học trang bị cho học sinh khơng bao gồm khái niệm, định lí, qui tắc mà cịn kĩ phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức khơng có giảng lí thuyết mà cịn có tập tương ứng Dạy học giải tốn có vai trị đặc biệt dạy học tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học Tốn Cơ sở thực Tuy nhiên, thực tiễn dạy học Tốn trường phổ thơng cho thấy lực giải Tốn học sinh cịn hạn chế Ngun nhân chủ yếu là: Phương pháp dạy học chủ yếu dựa quan điểm giáo viên trung tâm q trình dạy học, giáo viên truyền thụ kiến thức mang tính áp đặt, việc lĩnh hội tri thức học sinh mang tính thụ động cao Phương pháp thuyết trình giáo viên sử dụng nhiều dẫn đến trình trạng hạn chế hoạt động tích cực học sinh, việc sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực sáng tạo mức độ hạn chế, gắn nội dung dạy học với tình skkn thực tiễn chưa trọng Những nguyên nhân dẫn đến thực trạng hệ trẻ đào tạo trường phổ thơng mang tính thụ động cao, hạn chế khả sáng tạo lực vận dụng tri thức học để giải tình thực tiễn sống Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học giải Tốn có vai trị quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để từ có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải Học sinh thấy lời giải toán trình suy luận, tư học sinh mà phương pháp giải không phụ thuộc vào đặc điểm Tốn mà cịn phụ thuộc tố chất tâm lý thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu Tốn phát thơng qua q trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh, Rèn luyện thao tác tư dạy học giải Tốn có vai trị quan trọng trình phát triển tư học sinh Nhưng thực tế, chưa ưu tiên thích đáng xứng với vị trí Ngun nhân dẫn đến tình trạng phải giáo viên chưa ý tầm quan trọng chưa xây dựng biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát triển lực giải Toán cho học sinh Chương trình Đại số trường trung học phổ thơng có nhiều tiềm thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ thực số thao tác tư Bài tập Đại số có nhiều nhiều dạng skkn thuộc nhiều chủ đề kiến thức khác Khi giải tập Đại số đòi hỏi người học sinh phải biết định hướng, phải sử dụng cách tổng hợp kiến thức liên quan đến nhiều lĩnh vực khác Hệ thống tập Đại số phong phú chủng loại với mức độ khó khác phù hợp với đối tượng học sinh có trình độ nhận thức rèn lun kỹ năng, phát triển tư bồi dưỡng lực giải toán Vì số lĩnh vực khai thác để rèn luyện kĩ năng, phát triển tư cho học sinh trình dạy học Từ lý đây, định chọn đề tài: “Rèn luyện tư cho học sinh trung học phổ thơng việc giải số tốn Đại số” II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách báo Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh trình khai thác tập SGK Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III PHẠM VI NGHIÊN CỨU skkn Nghiên cứu số vấn đề lý luận thực tiễn việc rèn luyện cho học sinh thao tác tư dạy học giải tập toán Đại số nhằm bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường phổ thơng IV ỨNG DỤNG Sáng kiến kinh nghiệm làm tài liệu tham khảo cho giáo viên việc dạy học Mặc dù cố gắng nhiều, vấn đề đưa nhiều cịn thiếu sót, hạn chế Mong góp ý q thầy bạn đọc Xin trân trọng cảm ơn! Hoằng Hoá, tháng 05 năm 2013 Người viết Nguyễn Ngọc Đô NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN skkn Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa ý đến phát huy tác dụng giáo dục toán, mà thường trọng cho học sinh làm nhiều toán Trong trình dạy học, việc ý đến chức tập toán chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải tập toán Lời giải tập toán phải đảm bảo u cầu sau: - Lời giải khơng có sai lầm Học sinh phạm sai lầm giải tập thường ba nguyên nhân sau: + Sai sót kiến thức toán học, tức hiểu sai định nghĩa khái niệm, giả thiết hay kết luận định lý, + Sai sót phương pháp suy luận + Sai sót tính sai, sử dụng ký hiệu, ngơn ngữ diễn đạt hay hình vẽ sai - Lời giải phải có sở lý luận - Lời giải phải đầy đủ - Lời giải đơn giản Giáo viên dạy học sinh phương pháp giải tập tốn - Huy động kiến thức có liên quan: skkn * Em gặp toán hay dạng khác lần chưa Em có biết liên quan khơng? Một định lý dùng khơng? * Thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn hay ẩn số tương tự? * Có thể sử dụng tốn mà em có lần giải sử dụng kết khơng? - Dự đốn kết phải tìm: * Em nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng? Một tốn tổng qt hơn? Một trường hợp riêng? Một tốn tương tự? Em giải phần toán? * Em sử dụng kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa? * Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần kia, ẩn xác định đến chừng mực biến đổi nào? - Sử dụng phép phân tích lên phép phân tích xuống để tìm kiếm hướng giải vấn đề Trong trình dạy học giáo viên khai thác triệt để gợi ý hình thành phát triển học sinh kỹ tìm lời giải cho tốn Tuy nhiên để đạt skkn điều giáo viên phải thực kiên trì tất dạy Tốn đồng thời học sinh phải tự áp dụng vào hoạt động giải Tốn MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG GIẢI TỐN Vốn kiến thức Tốn học, kĩ kinh nghiệm giải Tốn Nội dung hình thức tốn Định hướng tìm tịi lời giải tập Hướng Hướng Nhận thức đềPhân tích 1 chọn lựa bỏ Hướng thứ k Nhận thức đềPhân tích 2 chọn lựa bỏ Nhận thức đềPhân tích k chọn lựa bỏ Chọn lựa hướng giải thích hợp Tiến hành phân tích, tổng hợp để đưa lời giải tập skkn II.GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY QUA GIẢI TỐN 1.Phân tích tổng hợp Do việc rèn luyện thao tác tư cho học sinh qua việc giải tập thiết phải tiến hành thông qua phân loại học sinh Khơng có cách “rèn luyện” phù hợp cho đối tượng, chí có q trình phân tích-tổng hợp giải tập kết học sinh lại “vơ nghĩa” với học sinh khác Vì thế, tìm hiểu kĩ đối tượng, nghiên cứu kĩ tập định truyền đạt, tự thầy giáo phải phân tích kĩ tập trước hướng dẫn cho học sinh q trình phân tích-tổng hợp giải tập tốn quan trọng Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ CMR A, B, C góc tam giác thì: cosA + cosB + cosC (1) skkn - Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos cos Sự phân tích diễn sở tổng hợp, liên hệ biểu thức cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos = cos cos ; cosA = cos2 = - 2sin2 = sin Hoạt động phân tích lại dựa sở tổng hợp, liên tưởng tới công thức cos2a = 12sin2a - Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: - 2sin2 (1) + 2cos sin2 - sin cos (2 sin - cos )2 + sin2 cos +1 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, nên (1) Ví dụ 2.(Bài tập 4- Trang 79 SGK Đại số 10) CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 với a, b R+ a b 10 skkn em: “khi khơng?” và liệu có biến đổi Csin(+) thành hướng dẫn em hay biến đổi: Đến học sinh thấy (*) kết phải tìm Giáo viên phân tích cho em biết rằng: “trực giác” (2) em tìm thấy (*) điều kiện đủ C  để (1) nghiệm  để (1) nghiệm chưa tìm điều kiện cần đủ C Dựa vào (2), gợi cho học sinh phân tích để tìm lời giải tốn 1) điều kiện cần: Nếu (2) nghiệm +) (2) nghiệm sau: C  phải bao nhiêu? nên (2) nghiệm đồng thời nghiệm , tức ta có hệ: 19 skkn +) Như vậy: Nếu (2) nghiệm ta tìm (**) chưa đảm bảo là: Với C  thoả mãn (**) (2) có nghiệm (**) (2) có nghiệm ? cần phải kiểm tra xem với hay không 2) điều kiện đủ: Dễ dàng hướng dẫn học sinh chứng minh với (**) (2) nghiệm Việc giải tốn hồn thành Ví dụ CMR với a, b số khơng âm ta ln có: (1) Giáo viên đưa cách giải: Đặt M = , biến đổi M = áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số dương ta có: M= Do dấu “=” xảy a=b=0 20 skkn Việc đưa lời giải cách đột ngột không tốt mặt sư phạm Học sinh không hiểu rằng, vào đâu mà thầy giáo lại áp dụng bất đẳng thức cơ-si có nhiều bất đẳng thức khác? Tại lại phân tích 7b3 thành tổng số hạng? tách số hạng thứ thành số hạng? Vì vậy, tri thức mà học sinh lĩnh hội ghi nhớ cách máy móc Để dạy cho học sinh tốn trên, giáo viên cần làm sáng tỏ thắc mắc học sinh hệ thống câu hỏi: Điều kiện gợi cho ta biết nên dùng bất đẳng thức nào? (dùng bất đẳng thức cô-si) Dùng bất đẳng thức cơ-si theo chiều nào? sao? (căn vào chiều bất đẳng thức (1), VT VP chiều bất đẳng thức cô-si ta chọn chiều: TB cộng = TB nhân; đặt M ) Chỉ rõ phương án áp dụng bất đẳng thức cơ-si? Học sinh nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số không âm, nhiên kết thu không ta mong đợi Đến thầy hỏi tiếp: Có thể dùng phương án khác hay khơng? (có thể xem M tổng nhiều số hạng, mà trước hết ta xem M tổng số hạng không âm) Phân tích số hạng số hạng đó? 21 skkn (Xem M = m1+m2+m3, áp dụng bất đẳng thức cô-si ta mong muốn mà ta Như vậy, bậc bắt buộc phải có biểu thức a3b6 mà a3b6 = a3b3b3; sở ta đến khẳng định: giữ nguyên 3a 3, tách 7b3 thành tổng số hạng) Có thể tách M thành tổng số hạng nào? (M = 3a3 + b3 + 6b3; M = 3a3 + 2b3 + 5b3 M = 3a3 +3 b3 + 4b3) Xét xem trường hợp trên, trường hợp dẫn ta đến kết quả? (Xét thấy: M1 = 3a3 + b3 + 6b3 nên không thoả mãn; , thoả mãn ) Đến hướng giải rốn mở Vấn đề lại tổng hợp trình bày lời giải Như vậy, trình giảng dạy giáo viên cần coi vai trò việc phân tích đặc điểm tốn để hình thành phương pháp giải Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1) 22 skkn Hình thức toán dễ tạo “ngợp”, nên gây cho học sinh khó khăn việc phát mối quan hệ chất chứa toán Giáo viên gợi học sinh phân tích tìm mối liên hệ yếu tố tạo nên tốn để tìm tịi lời giải Xác định điều kiện phương trình? (1 - x2   -1  x  1) Quan sát toán em nhận mối liên hệ không?(1 - x2 = (1 + x)(1 - x)) Các hạng tử , , , có mối liên hệ thơng qua việc phân tích không? Mong muốn học sinh lập luận: với x thỏa mãn -1  x  Ta có: = Đặt ;  ; = ; = , ta được: (2) Em có nhận xét phương trình (2)? Hãy đề xuất phương pháp giải? Mong muốn học sinh trả lời: Đây phương trình đẳng cấp bậc Phương pháp giải kiểm tra Y = có nghiệm hay khơng? Rồi sau xét Y ≠ chia vế cho Y 2, đặt: chuyển phương trình phương trình bậc hai: 23 skkn t2 + mt + (m + ) = Tổng hợp kết phân tích Em đề xuất phương pháp giải phương trình (1)? +) Kiểm tra =  x = - có nghiệm hay khơng? +) Chia hai vế phương trình cho Đặt t = , được: (t  0) Ta được: t2 + mt + m + = (3) +) Để phương trình (1) có nghiệm (3) có nghiệm thỏa mãn t  Sau hồn thành ví dụ trên, giáo viên khắc sâu cho học sinh việc nhận dạng phương trình dạng: aX2 + bXY + cY2 = Qua ví dụ ta thấy khơng phân tích, phát mối quan hệ đặc biệt tốn khó khăn; học sinh cảm thấy lúng túng Thực tế có nhiều tốn nên việc rèn luyện cho học sinh khả cần thiết 24 skkn Trong trình tiếp cận giải tốn đó, học sinh khơng nhìn tốn từ góc độ mà phải xem xét tốn theo quan điểm tồn diện, không chấp nhận cách giải quen thuộc Ví dụ Cho số x, y, z thoả mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= x2 + y2 + z2 (3) Giải: Cách giải 1(Cho lớp 10 chương trình nâng cao) Từ , x=y=z=1 Cách giải 2(Cho lớp lớp 10) +) (2) (3) có tính chất: “x, y,z có vai trị nhau” gợi cho ta: “có khả T nhỏ x=y=z=1” ta thử khai thác theo hướng xem sao! +) Gắn giả thiết kết luận ta có: từ minT=3 25 skkn Phân tích lời giải ta nhận thấy: Cách hay địi hỏi q trình phân tích phải cơng phu Cách 1là cách “tốt” để khái qt tốn Ví dụ 10 Chứng minh hàm số: có giá trị nhỏ x=0 Khai thác tính chất hàm số f(x) ta có lời giải 1: Lời giải 1: Do nên f(x)>0 Vì f(x) f2(x) đồng thời đạt giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) Ta xét hàm số Do x2+1 ,x4+x2+1 ,dấu x=0 ,đẳng thức xảy x=0 Và minf(x)=f(0)=2 (ĐPCM) Sử dụng bất đẳng thức cổ điển ta có lời giải Lời giải 2: Phân tích biểu thức ta có: 26 skkn f(x) tổng số dương, gợi ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức cô-si: Dấu đẳng thức xẩy khi: Suy f(x) x=0 (đpcm) Liên tưởng biểu thức ; độ dài đoạn thẳng ta có lời giải Lời giải 3: Ta biết: A(x1; y1), B(x2; y2) Định hướng cho ta phân tích: x2+x+1=[x-(- )]2+(0- x2-x+1=(x- )2+(0- )2 )2 Khi hàm số biến đổi dạng: 27 skkn Nếu đặt M(x; 0) A ;B điểm nằm mặt phẳng tọa độ Oxy f(x) =MA+MB Chuyển hố nội dung toán ta phát biểu sau: “CMR: MA+MB có giá trị nhỏ M trùng O” Từ hình vẽ, ta suy ra: MA + MB = MA’ + MB y A’B, dấu “=” xảy M x = A B O M  2 x Vậy, Min f(x) = A’B =2OB= x = A' III HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 28 skkn Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Hoằng Hoá +) Lớp thực nghiệm: 10A4 +) Lớp đối chứng: 10A2 Thời gian thực nghiệm tiến hành vào khoảng tháng 10/2012 đến tháng năm 2013 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy Nguyễn Văn Trường Giáo viên dạy lớp đối chứng: Cô Nguyễn Lan Phương Được đồng ý Ban Giám hiệu, thầy cô dạy tốn hai lớp 10 A 10A2 Tơi tìm hiểu hai lớp 10A 10A2 lớp khối A trường, nên hầu hết học sinh lớp có học lực mơn Toán trở lên tương đương Nội dung thực nghiệm Đề kiểm tra (thời gian 60 phút) Câu I: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b) Tìm điểm trục số cho tổng khoảng cách từ tới điểm A, B, C có toạ độ tương ứng 1,3,5 nhỏ 29 skkn Câu II: Cho phương trình: (1) Tìm m để phương trình có nghiệm? Câu III: a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 - 4x + Từ đó, xác định m để phương trình x2 - 4x + = m có nghiệm x [1; + ) b) Nêu phương pháp giải tốn: “Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = m (m tham số; a, b, c số cho trước a ) có nghiệm x D” Việc đề hàm chứa dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra dành cho học sinh có học lực trở lên hai lớp thực nghiệm đối chứng Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Đề kiểm tra khơng q khó khơng q dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Cả ba câu đề kiểm tra khơng nặng tính tốn, mà chủ yếu kiểm tra khả tư Đánh giá kết thực nghiệm 30 skkn Kết làm kiểm tra học sinh lớp thực nghiệm (TN) học sinh lớp đối chứng (ĐC) thể thông qua bảng sau: Điểm trở Điểm từ đến Điểm Năm Tổng lên số Số Số Lớp học Tỷ lệ lượng TN 45 12 Số Tỷ lệ lượng 26,7% 27 Tỷ lệ lượng 60 % 13,3% 20122013 13,3 ĐC 45 31,1 25 % 55,6% 14 % Căn vào kết kiểm tra, bước đầu thấy hiệu SKKN rèn luyện cho học sinh thao tác tư giải toán Đại số nói riêng giải tốn nói chung KẾT LUẬN 1.Kết nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm 31 skkn Đã phần làm sáng tỏ thực trạng khả rèn luyện thao tác tư dạy học tốn trường phổ thơng Đã làm phần làm sáng tỏ số đường để tập luyện cho học sinh khả phân tích, khái quát hoá, đặc biệt hoá tương tự Đã thể định hướng sư phạm nhằm rèn luyện thao tác tư dạy học tập Đại số trường THPT Thiết kế cách thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi hiệu định hướng sư phạm đề xuất Như khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm hồn thành mục đích nghiên cứu làm tài liệu tham khảo cho giáo viên 2.Kiến nghị đề xuất 1.Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trường Các tổ chuyên môn nên tăng cường trình bày chun đề chương trình mơn 2.Đối với Sở giáo dục đào tạo 32 skkn Nên giới thiệu phổ biến trường phổ thông sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng để trao đổi áp dụng thực tế Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG 2013 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Ngọc Đô 33 skkn ... lời giải tập skkn II.GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY QUA GIẢI TOÁN 1.Phân tích tổng hợp Do việc rèn luyện thao tác tư cho học sinh qua việc giải tập thiết phải tiến hành thông qua phân loại học sinh. .. triển lực giải Tốn cho học sinh Chương trình Đại số trường trung học phổ thơng có nhiều tiềm thuận lợi cho việc rèn luyện kỹ thực số thao tác tư Bài tập Đại số có nhiều nhiều dạng skkn thuộc... thức học để giải tình thực tiễn sống Rèn luyện thao tác tư cho học sinh dạy học giải Tốn có vai trò quan trọng việc phát triển khả tư học sinh, để từ có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải Học