Skkn rèn luyện tư duy và phát triển năng lực học sinh qua việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số

MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN………………………………… ………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận đề tài………………………………………………… .3 2.2 Thực trạng đề tài………………………………………………… 2.3 Giải pháp thực đề tài………………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………………… 17 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận……………………………………………………………………18 3.2 Kiến nghị …….……………………………………………………… 18 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 19 skkn 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Hiện nay, giáo dục không ngừng cải cách đổi Để kịp với xu hướng , nhiều yêu cầu đặt Một số để có phương pháp giải toán hay, nhanh, mà cho kết xác Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số phương pháp giải toán Có nhiều tốn nhìn tưởng khó, giải lời giải khó hiểu,rắc rối Nhưng áp dụng phương pháp này, toán trở thành đơn giản, gọn nhiều Đó ứng dụng phương pháp này, phương pháp sử dụng tính đơn điệu cịn phát huy ưu việt nhiều trường hợp khác Nói tóm lại, cần thiết em học sinh chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thơng, thi đại học cao đẳng Nó giúp em phát huy tối đa tính sáng tạo việc tìm đường giải tốn nhanh nhất, hay xác Từ thực tế tơi đưa ý tưởng: “ Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nhằm rèn luyện tư phát triển lực học sinh ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Rèn cho học sinh khả tư phân tích tốn tìm lời giải nhanh nhất, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh học việc giải đề thi tốt nghiệp,đại học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong năm học 2020-2021, thực đạo Sở GD&ĐT nhà trường, tổ chuyên môn, ứng dụng sáng kiến vào giảng dạy lớp 12C2 12C6, với thời lượng tiết học skkn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích tài liệu phương pháp, tài liệu dạy học.Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Tốn THPT.Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm sở cho việc nghiên cứu đề tài.Thông qua thực tế dạy học lớp, giao tập, củng cố học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị kết hợp với kiểm tra, đánh giá 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Trong học phần: hàm số, Phương trình, bất phương trình mũ logarit, phần số phức Học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu rõ chất, khả suy luận lơgíc, khả khái qt phân tích tốn cịn hạn chế, đặc biệt khó khăn học sinh giải phương trình, bất phương trình chứa tham số Vì học sinh cịn lúng túng, xa lạ, khó hiểu Nên chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để em tiếp thu cách có hiệu tơi xin đưa phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số nhằm rèn luyện tư phân tích tốn giải phương trình, bất phương trình , hệ phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Chúng ta biết “Dạy học Toán dạy hoạt động Toán học” luận điểm người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu học sinh hoạt động giải tập Tốn Trong mơn Tốn trường phổ thơng có nhiều tình điển hình, xem giải Toán hoạt động toán học chủ yếu Đây luận điểm đắn người thừa nhận Với quan tâm từ giáo dục, sở giáo dục ,các cấp nghành từ trung ương đến địa phương, phương pháp dạy học sử dụng nhà trường có thay đổi tích cực,nhiều giáo viên tâm huyết với nghề có hiểu biết sâu sắc mơn, có dạy tốt;tích cực đổi phương pháp dạy học, soạn theo định hướng phát triển lực học sinh,áp dụng công nghệ thông tin giảng dạy Giúp học sinh tích cực, chủ đơng học tâp skkn Những định hướng chung, tổng quát đổi phương pháp dạy học theo chương trình định hướng phát triển lực là: Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học sở trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tư Có thể lựa chọn cách linh hoạt phương pháp chung phương pháp đặc thù môn để thực dựa nguyên tắc “Học sinh tự hồn thành nhiệm vụ nhận thức với tổ chức, hướng dẫn giáo viên” Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với hình thức tổ chức dạy học Tùy theo mục tiêu, nội dung, đối tượng điều kiện cụ thể mà có hình thức tổ chức thích hợp học cá nhân, học nhóm; học lớp, học ngồi lớp… Cần sử dụng đủ hiệu thiết bị dạy học tối thiểu qui định Có thể sử dụng đồ dùng dạy học tự làm xét thấy cần thiết với nội dung học phù hợp với đối tượng học sinh Tích cực vận dụng công nghệ thông tin dạy học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề "sử dụng tính đơn điệu hàm số nhằm rèn luyện tư phân tích tốn giải phương trình, bất phương trình , hệ phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất" kiến thức quan trọng chưng trình giải tích lớp 12.Đây nội dung thường gặp đề thi học kì II, đề thi TN THPT, đề thi CĐ , ĐH, thi HSG Nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi) không xây dựng hàm số thích hợp , nghiên cứu tính đồng biến, nghịc biến đoạn thích hợp Các hàm số nhiều trường hợ có thẻ nhận từ đầu, trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát chúng Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” học phương pháp để giải phương trình, bất phương trình học trước Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu 2.3 Giải pháp thực Trong học phần:hàm số, Phương trình, bất phương trình mũ logarit, phần số phức giáo viên cần tăng cường sử dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số nhằm rèn luyện tư phân tích tốn giải phương trình, bất phương trình , hệ phương trình, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ skkn PHẦN NỘI DUNG A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ! - Hàm số xác định đoạn ấy, Nếu với thuộc đoạn - Điều kiện để Đồng thời dấu gọi đồng biến đoạn ta có đồng biến đạt số điểm riêng biệt - Đối với hàm đồng biến phương trình , đồng thời nghiệm - Tương tự, gọi nghịch biến Đồng thời dấu đạt số điểm riêng biệt - Đối với hàm nghich biến phương trình , đồng thời nghiệm - Hàm số đồng biến nghịch biến đoạn gọi đơn điệu đoạn - Hàm đơn điệu có tính chất quan trọng sau đây: - Nếu đồng biến, 1) Nếu phương trình nghịch biến thì: có nghiệm 2) Nghiệm bất phương trình nghiệm giao miền xác định giao miền xác định bất phương trình 3) Nghiệm bất phương trình bất phương trình skkn B MỘT SỐ VÍ DỤ : I PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1: giải phương trình : - = (1) Giải: điều kiện có nghiệm , vế trái hàm đồng biến ( đạo hàm dương) , vế phải hàm nghịch biến ( đạo hàm âm) Nên nghiệm (1) Nhận xét: Cái hay cách giải đưa phương trình vơ tỷ sử dụng tính đơn điệu, tránh bình phương lần dễ đến nghiệm Ví dụ 1: giải phương trình : Giải: điều kiện Đặt Ta có đồng biến Mặt khác nên phương trình có nghiệm Ví dụ Giải phương trình: Giải: Phương trình Nếu Nếu (*) phương trình (*) vơ nghiệm skkn đồng biến mà nên (*) có nghiệm Ví dụ 4: Giải bất phương trình: Giải: Nhận thấy Vì (1) nghiệm, ta có nên (1) Nên vế trái hàm nghịc biến, nghiệm (1) Nhận xét: Cái hay cách giải phát số bé để sử dụng tính nghịch biến Ví dụ 5: Giải phương trình: (1) Giải: Điều kiện Vậy (1) (2) Phương trình có nghiệm ta có log1 = ( đúng) Vì vế trái đồng biến, Vế phải nghịc biến nên (2) có nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình: Giải: Điều kiện (t/m) (1) Với điều kiện (1) (2) skkn Do nên vế phải hàm logarit có số lớn 1, nên hàm đồng biến Vậy vế trái dương Ta có Như VT , đạt dấu = VP , đạt dấu = Phương trình có nghiệm Nhận xét: Cái hay cách giải áp dụng linh hoạt hệ bất đẳng thức Cơ si tính đơn điệu hàm logarit Ví dụ 7: Giải phương trình sau: Giải: Đặt , ta có từ , ta có nghiệm Vì vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm nghịch biến Nhận xét: Cách giải hay chổ biết chọn ẩn số thích hợp để đưa phương trình bậc sử dụng tính đơn điệu hàm số Ví dụ 8: Có giá trị nguyên thuộc có nghiệm với A B C skkn để bất phương trình D Vơ số Giải: Điều kiện tham số Xét hàm số , Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên Và nguyên nên có 10 giá trị , kết hợp thỏa mãn Ví dụ 9: Cho phương trình giá trị nguyên A B ( tham số thực) Có tất để phương trình cho có nghiệm C D Vô số Giải: Điều kiện: Phương trình tương đương với: Xét ; Bảng biến thiên Để phương trình có nghiệm mãn skkn , suy có giá trị nguyên thỏa II BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ Giải bất phương trình : (2) Giải: Điều kiện vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm nghịch biến nên nghiệm (2) giao với nghiệm phương trình Phương trình cuối có nghiệm , ta có ( đúng) vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm nghịch biến Vậy nghiệm (2) giao Nhận xét: Cái hay cách giải đưa bất phương trình vơ tỷ sử dụng tính đơn điệu , tránh bình phương lần dễ dẫn đến nghiệm Ví dụ 2: Giải bất phương trình: Giải: Điều kiện xét ta có đồng biến Mặt khác Nhận xét: Cái hay đưa phương trình vơ tỷ sử dụng tính đơn điệu, muốn giải cách khác khó khăn Ví dụ 3: Giải bất phương trình: Giải: Điều kiện đặt skkn 10 ta có Nên , đồng biến Ví dụ 4: Giải bất phương trình: (1) Giải: Điều kiện : Do (1) Đặt , (2) (thích hợp) Vậy Đáp số : Hoặc xét giao hàm đồng biến, suy nghiệm (2) , Trong nghiệm phương trình Suy , Suy bất phương trình cóa nghiệm skkn 11 Nhận xét:Cách hay cách giải sử dụng tính đồng biến sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa hệ bất trình hệ phương trình,tránh việc bình phương vế ( dễ dẫn đến sai sót, thừa nghiệm) tránh việc giải phương trình bậc cao Ví dụ 5: Giải bất phương trình: Giải: Điều kiện Đặt (1) Suy Do u,v đồng biến Vế trái hàm nghịch biến, vế phải hàm đồng biến Nên nghiệm (1) giao với nghiệm phương trình : Vì Đặt ta : suy từ nghiệm (1) Nhận xét: Cái hay cách giải dùng tính đơn điệu hàm số để đưa bất phương trình vơ tỷ hệ phương trình bậc Ví dụ Với giá trị tham số m bất phương trình sau có nghiệm? Giải: Đặt (1) có nghiệm Ta có skkn 12 Nên Nhận xét: Cái hay cách giải sử dụng giá trị tuyệt đối để đưa parabol theo làm ẩn số Không phải xét tương quan x y làm cho cách giải nhẹ nhàng Ví dụ Tìm tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau A m  B C m   D m  Giải: Điều kiện cần: Xét hệ bất phương trình:  x; y  nghiệm hệ bất phương trình  y; x  nghiệm hệ bất phương trình Do hệ có nghiệm  x  y Khi đó: (1)   x    x  Với  x  ; (2)  x  x  m   2x2  m   x  x2  m   4x  4x2  x2  4x   m Đặt f  x   x  x  1  1 1  1 f  x  nghịch biến  0;  nên f  x   f     x   0;   2 2  2 Do hệ có nghiệm  m   Điều kiện đủ: Với , ta có hệ bất phương trình Ta có Dấu xảy skkn 13 III HỆ PHƯƠNG TRÌNH,BẤT ĐẲNG THỨC,GTLN,GTNN Ví dụ 1: Tìm số thỏa mãn: Giải: Viết phương trình (1) dạng : Xét hàm số (3) Khi xác định đồng biến Từ (3) Thay vào phương trình (2) hệ, ta Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Giải: Viết phương trình (1) dạng Và xét hàm (3) , có Vậy nghịc biến Từ (3) suy từ (2) Ví dụ 3: Xét số thực dương x, y thỏa mãn Tìm giá trị A B C biểu thức D Giải: skkn 14 Đặt đồng biến Khi đó, , Vậy Ví dụ 4: Cho hai số thực dương thỏa mãn nhỏ biểu thức A Giá trị bằng? B C D Giải: Điều kiện Từ giả thiết biến đổi có: Do hàm số Do đồng biến đồng thời từ giả thiết tốn có: nên có Thay vào Xét hàm số ta có: ta có skkn 15 Ví dụ 5: Xét số phức Tính A , thỏa mãn đạt giá trị nhỏ B C D Giải: Ta có suy Xét hàm số với suy nên Do Khi hàm số đồng biến đạt giá trị nhỏ C.MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1.Giải phương trình: 2.Giải phương trình: Giải phương trình: Chứng minh rằng: 5.Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: skkn 16 7.Giải hệ phương trình: 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa thực tiễn - Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên, em học sinh mạn dạn hơn, linh hoạt việc dùng đạo hàm để giải toán - Cái hay cách giải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳn thức, giải phương trình, giải bất phương trình , giải hệ phương trình -Tránh vệc biện luận theo tham số số toán - Tránh phải áp dụng bất đẳng thức cô si cần phải chứng minh - Tránh việc bình phương vế dẫn đến sai sót, thừa nghiệm tránh giải phương trình bâc cao Kết thu Trước thực sáng kiến điểm khảo sát hoc kết học tập mơn Tốn Giải tích 90 học sinh lớp 12C2 12C6 năm học 20212022 sau: Giỏi: Khá: hs = 0% 20 hs/90 hs = 22,2 % Trung bình: 40/90 hs = 44,5% Yếu: 30/90 hs = 33,3% Sau thời gian thực “ sáng kiến ” kết học tập mơn Tốn 90 học sinh hai lớp 12C2 12C6 đạt sau: Giỏi: 5/90hs = 5,6 % skkn 17 Khá: 25/90 hs = 27,8 % Trung bình: 50/90 hs = 55,5 % Yếu: 10/90 hs = 11,1 % Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Trong năm học tới tiếp tục phát huy mở rộng sáng kiến cho các lớp khối lớp 12, bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi để em phát huy khả tư nhìn nhận, phân tích tốn 3.2 Kiến nghị : a) Đối với người dạy người học Để đạt yêu cầu trên, cố gắng phải từ hai phía thầy trị: * Đối với học sinh: - Phải chuẩn bị thật kỹ theo yêu cầu giáo viên (Đọc trước nội dung theo Hệ thống câu hỏi trọng tâm mà Giáo viên đưa ra) - Phải đầu tư thời gian định để trau kiến thức qua tư liệu tham khảo (Giáo viên giới thiệu) - Chủ động học, phát huy tính tích cực, sáng tạo tư hướng dẫn GV, phát huy tốt lực, phẩm chất cá nhân * Đối với giáo viên: - Phải đầu tư soạn Giáo án điện tử cẩn thận, chu đáo từ nguồn tư liệu kiến thức kỹ - Phải có hướng khai thác hợp lý, khoa học thấu đáo, phát huy trí lực học sinh - Phải tích cực trau dồi kiến thức tin học, biết tạo tình gây hứng thú, khả tìm tòi, tư cho HS, phù hợp với nội dung giảng b) Ý kiến với cấp lãnh đạo dạo môn - Đầu tư phương tiện, thiết bị dạy học máy chiếu đa năng, máy, phần mềm ứng dụng công nghệ thông tin soạn giảng skkn 18 - Tích cực tổ chức buổi sinh hoạt tổ nhóm chun mơn theo cụm trường để giáo viên có điều kiện chia sẻ kinh nghiệm trao đổi thảo luận Tài liệu tham khảo [1] Giải tích 12 ( Tác giả: Vũ Tuấn ), Giải tích 12 nâng cao( Tổng chủ biên: Đồn Quỳnh), Sách giáo viên giải tích 12 ( Tổng chủ biên: Trần Văn Hạo) [2] Phương pháp dạy học môn Toán tập 1, 2(Tác giả: Nguyễn Bá Kim ) [3] Sai lầm thường gặp giải Toán ( Tác giả: Trần Phương ) [4] Sai lầm phổ biến giải Toán ( Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận ) [5] Đ P Goocki (1974), Lôgic học, Nxb Giáo dục, Hà Nội [6] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), giải tích 12, Nxb Giáo Dục [7] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Giải tích 12, Nxb Giáo Dục [8] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007), Đại số giải tích 11, Nxb Giáo Dục [9] Các đề thi đại học, tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi, đề thi khảo sát chất lượng trường THPT Ngày 05 tháng 05 năm 2022 Người viết Vũ Hoàng Sơn skkn 19 ... trình nhằm rèn luyện tư phát triển lực học sinh ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Rèn cho học sinh khả tư phân tích tốn tìm lời giải nhanh nhất, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu... tham số Vì học sinh cịn lúng túng, xa lạ, khó hiểu Nên chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Để em tiếp thu cách có hiệu tơi xin đưa phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số nhằm rèn luyện tư. .. hợp với đối tư? ??ng học sinh Tích cực vận dụng cơng nghệ thông tin dạy học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề "sử dụng tính đơn điệu hàm số nhằm rèn luyện tư phân tích