Phân tích ổn định tới hạn của tấm phân lớp chức năng dưới tác dụng của tải trọng do nhiệt độ theo lý thuyết tiếp cận 3 chiều

Untitled 03 2021ISSN 2734 9888 47 Phân tích ổn định tới hạn của tấm phân lớp chức năng dưới tác dụng của tải trọng do nhiệt độ theo lý thuyết tiếp cận 3 chiều A quasi 3d inverse trigonometric shear de[.]

nNgày nhận bài: 22/01/2021 nNgày sửa bài: 12/02/2021 nNgày chấp nhận đăng: 10/03/2021 Phân tích ổn định tới hạn phân lớp chức tác dụng tải trọng nhiệt độ theo lý thuyết tiếp cận chiều A quasi-3d inverse trigonometric shear deformation theory for the critical buckling analysis of functionally graded plates under thermal loads > TS NGUYỄN VĂN HẬU Giảng viên, Khoa Xây Dựng, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM Email: haunv@hcmute.edu.vn Tel: 0908270222 TĨM TẮT Bài báo trình bày lý thuyết tiếp cận chiều để phân tích phân lớp chức tác dụng tải trọng nhiệt độ Đây lý thuyết biến dạng cắt bậc cao có kể đến thành phần biến dạng theo chiều dày Phương trình cân thiết lập theo nguyên lý biến phân Hamilton Lời giải Navier áp dụng cho tựa đơn tính xác mơ hình phân tích đánh giá so sánh với lời giải trước Kết số phân tích phân lớp chức tựa đơn dùng để đánh giá ổn định tới hạn hiệu ứng thay đổi đặc trưng vật liệu, tỉ số cạnh chiều dày tấm, tỉ số hai cạnh quy luật truyền nhiệt theo chiều dày Từ khóa: Tấm phân lớp chức năng, phân tích ổn định ABSTRACT This paper presents a quasi-3D theory for the buckling analysis of functionally graded plates under thermal loads This theory accounts for both shear deformation and thickness stretching effects by an inverse trigonometric variation of all displacements through the thickness Equations of motion are derived from Hamilton’s principle The Navier-type solutions are obtained for simply-supported boundary conditions, and exact formulas are proposed and compared with other solutions and those predicted by higher-order shear deformation theories Numerical results are obtained for simply-supported functionally graded plates to investigate the effects of the power-law index, side-to-thickness, side-to-side ratio and the different temperature changes on the buckling responses Keywords: Functionally graded plates, buckling analysis Giới thiệu Vật liệu phân lớp chức (Functionally Graded Material (FGM)) loại vật liệu composite đặc biệt có đặc trưng lý thay đổi liên tục theo u cầu mong muốn [1] Chính vậy, chúng sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực như: Xây dựng, Cơ khí, Hàng khơng vũ trụ, Ô tô, Tàu thủy… Do yêu cầu ứng dụng FGM kỹ thuật ngày tăng nên đòi hỏi phải có nhiều nghiên cứu, mơ hình lý thuyết tính tốn cho phân tích ứng xử loại vật liệu Có nhiều nghiên cứu FGM nhà nghiên cứu lý thuyết khác nhau, phân tích ứng xử FGM theo lý thuyết tiếp cận chiều lý thuyết phân tích hiệu kết cấu Một số lý thuyết tính tốn khác như: Lý thuyết cổ điển (CPT) ([2]) bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt, lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) ([3-5]) có kể đến thành phần biến dạng cắt cần hệ số hiệu chỉnh cắt, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) ([6-10]) không cần hệ số hiệu chỉnh cắt bỏ qua thành phần biến dạng theo chiều dày Để khắc phục nhược điểm lý thuyết tiếp cận chiều phát triển dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đồng thời xét đến trường biến dạng theo chiều dày tấm, điều có ý nghĩa phân tích cho tốn dày Mục tiêu nghiên cứu phát triển lý thuyết tiếp cận chiều cho phân tích ổn định tới hạn FGM tác dụng tải trọng nhiệt độ Trường chuyển vị xấp xỉ dựa thành phần chuyển vị chưa biết mặt trung bình ISSN 2734-9888 03.2021 47 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC tấm, hàm biến dạng cắt lựa chọn đóng vai trị quan trọng phân tích kết tốn Lời giải giải tích sử dụng để phân tích ổn định cho hình chữ nhật có liên kết tựa đơn Các ví dụ số áp dụng để kiểm chứng mức độ xác nghiên cứu báo so với kết cơng bố Cơ sở lý thuyết Xét hình chữ nhật Hình có cạnh dài a , cạnh ngắn b , chiều cao h chế tạo từ gốm kim loại với đặc trưng hữu hiệu thay đổi liên tục theo chiều dày theo quy luật hàm mật độ thể tích 16rz  rz   f  z  h arctan     h  3h r   u, v, w,  x ,  y  z thành phần chuyển vị mặt trung bình tấm; g  z   f   z  Trường biến dạng xác định: ε ε   zε   fε   g ' ε  γ  gγ Trong (5b)  u   x         v    yy   y  1 ε   ,ε     0    xy u v            y x   zz      (1) Trong Pc Pm mô đun đàn hồi Young ( E ), hệ số Poisson (  ) thành phần gốm (ceramic) kim loại (metal) mặt mặt Hàm mật độ gốm ( Vc ) xác định theo quy luật hàm lũy thừa:      xx    2   yy  ε      2   xy        zz  p  h h  2z  h  Vc ( z )    với z    ,     2h  (2) Với p hệ số đặc trưng vật liệu Sự phân bố vật liệu Vc theo chiều dày thể Hình 0.5 0.4   3   xx    3   yy     3   xy     3   zz  0   0   0  z  (6b)    x  z  x   (6c)     y   z   y  2.2 Phương trình lượng Nguyên lý biến phân Hamilton hệ xác định: T  U  V dt (7) 0.1 z/h   x    x      y     3 y ,ε         x  y x   y     (6a)      xz  γ     yz    0.2 Trong  U ,  V biến phân lượng biến dạng, biến phân Thành phần biến phân lượng biến dạng xác định: -0.1 p=0.5 p=1 p=2 p=5 p=10 -0.2 -0.3 h /2 U   ( xx xx   yy yy   zz zz   xy xy A  h /2 -0.4  xz xz   yz yz )dAdz 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Vc 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình Sự phân bố vật liệu theo chiều dày 2.1 Trường chuyển vị biến dạng Trường chuyển vị theo lý thuyết tiếp cận chiều: w(x, y ) u1 (x, y,z ) u (x, y )-z   f  z  x (x, y ) x w(x, y ) (3) u2 (x, y,z ) v(x, y )-z   f  z  y (x, y ) y u3 (x, y,z ) w(x, y )  g  z  z (x, y )  Trong f  z  hàm biến dạng cắt ([11]): 48  2w     x   1    w   yy        y  1    xy    2  w   1     zz   xy     1   xx  0 0.3 -0.5 (5a)      xx  Hình Mơ hình FGM Các đặc trưng hữu hiệu xác định: P( z )  ( Pc  Pm )Vc ( z )  Pm (4)  03.2021 ISSN 2734-9888   A  x  u  2 w  v    Pxx  N yy N M xx xx  x x y x   2 w  y   u  v   Rzz z  N xy    y x  y  y   x  y   2 w 2 M xy  Pxy    xy x   y   z   z    Qx   x   Q y   y    dA  x  y      M yy  Pyy (8) Trong dA  dxdy; N, M, P, R Q thành phần nội lực tấm: C 12 C 13 C 23 h /2  N xx , N yy , N xy     xx , yy , xy  dz (9a)  h /2 h /2  M xx , M yy , M xy    z  xx , yy , xy  dz (9b)  h /2 (9c)  h /2 h /2  Rz z  zz g 'dz (9d)  h /2 h /2 Qx , Qy    g  xz , yz  dz (9e)  h /2 Thành phần biến phân năng:  V   N   w  g z  dA (10) A Trong N thành phần lực màng: N N xx  2w x  N xy  2w  2w  N 0yy xy y (11) Thay  U  V từ (8) (10) vào (7) Phương trình cần hệ xác định: N xy N   u : xx  (12a) x y v : w: N xy x   M xx  x :  y : x N yy  y 2  M xy xy  M yy y  N  w  Pxx   Qx  x y x  Pyy y (12c) (12d)  Qy  (12e) Qx Q y   Rzz  gN  w   x y Phương trình ứng xử FGM:  xx   C11 C12 C13   xx   x T         yy   y T   yy  C12 C22 C23       zz   z T   zz  C13 C23 C33    0 C66   xy   xy T   xy      z :  xz  C55   xz       yz   C44   yz  Trong 1   ( z )  E ( z ) C 11 C 22 C 33  2  z      E ( z) 2(1   ( z )) (14c) biến dạng nhiệt độ theo chiều dày tấm:  T T  x, y, z   T0 (15) Trong T0 nhiệt độ ban đầu; T  x, y, z  nhiệt độ khảo sát [12]:   z z (16) T2  x, y   T3  x, y  h h Trong T1, T2 T3 nhiệt độ sau Thay (6a) (6b) vào (13a) kết hợp với (9a), (9b), (9c), (9d) thu mối quan hệ lực biến dạng:   0   B Bs X  ε   N H  N  A      D Ds Y  ε   M H  M   B (17)   = s   Ds H s Y s  ε    P H   P  B   R   T    YT Y sT Z  ε 3   R H   X   Trong A, B, D, Bs , Ds , H s , X, Y, Y s , Z thành phần độ cứng FGM xác định: T  x, y , z   T1  x, y    h /2   1, z, z , f , zf , f  C( z)dz A, B, D, Bs , Ds , H s  2 (18a)  h /2 h /2  X, Y, Y , Z     g ', zg ', g ' f , g '  C( z)dz s (18b)  h /2 Tương tự cho thành phần N H , M H , P H , R H : Pxy Pxy C 44 C 55 C 66 (12b)  (14b)  x ,  y ,  z  xy hệ số giãn nở nhiệt; Thành phần h /2  Pxx , Pyy , Pxy    f  xx , yy , xy  dz  ( z)E( z) 1  2  z   1    z    (12f) (13a) (13b)  C11  N xxH   H  h / C1  N yy      H   h / C13   N xy    C11  M xxH   H  h / C12  M yy      H   h / C13  M xy   RH  h/2  C 13 (14a) C23 C1 C2   x  T      y  T    f  zdz C33   z  T   C66   xy  T   x  T     y  T  C33 0   g ' z  d z  z  T    T   xy   C11 C12  PxxH  h/2  C12 C22  H   Pyy      H   h / C13 C23  Pxy   h/    x  T      y  T   dz   z  T  C23 C33  0 C6   xy  T  C12 C13   x  T    C22 C23   y  T  zdz   C23 C33   z  T   0 C66   xy  T  C1 C22 C13 C23 (19a) (19b) (19c) (19d) Thành phần lực cắt xác định cách sử dụng phương trình (6c), (13b) (9e): ISSN 2734-9888 03.2021 49 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Q x    Q y      z   x x  s  z  A44   y  y  s  A55        (20) Trong A44 , A55 thành phần độ cứng cắt tấm: s s h/2 s A 44  s A  55 g C 44 ( z )d z  h/2 h/2  g C 55 ( z )d z (21) h/2 Thay (17) (20) vào (12) thu hệ phương trình để giải cho tốn FGM Lời giải giải tích Lời giải Navier cho FGM Hình có bốn biên tựa đơn với thành phần chuyển vị xấp xỉ chuỗi lượng giác kép:   u  x, y    U mn co s  x s i n  y (22a) Lời giải ổn định tới hạn FGM nhiệt độ Để phân tích ổn định tới hạn cần giải phương trình K i j  từ cơng thức (23) tương ứng cho trường hợp nhiệt độ thay đổi theo chiều dày 4.1 Trường hợp nhiệt độ thay đổi Xét trường hợp nhiệt độ thay đổi theo chiều dày Giá trị nhiệt độ thời điểm bị ổn định T tương ứng với nhiệt độ ban đầu T0 Sự thay đổi nhiệt độ  Tcr T  T0 từ K i j  gọi giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn 4.2 Trường hợp nhiệt độ thay đổi không Trong trường hợp này, giả sử nhiệt độ ban đầu mặt Tb , nhiệt độ thay đổi theo chiều dày tuân theo quy luật hàm số lũy thừa hàm mũ (25) Mất ổn định xảy nhiệt độ mặt Tt Công thức giả định nhiệt độ phân bố theo chiều dày tấm: m 1 n    z 1 (25) T  z  Tb   T    h 2 Trong  T  Tt  Tb ; k  hệ số đặc trưng thay đổi k  v  x, y    Vmn s i n  x co s  y (22b)  m 1 n   w  x, y    Wmn s i n  x s i n  y (22c) m 1 n     x  x, y    X mn co s  x s i n  y (22d) m 1 n     y  x, y    Ymn s i n  x co s  y (22e) m 1 n     z  x, y    Z mn s i n  x s i n  y (22f) m 1 n    / a,  n / b ; m, n số sóng dao động Trong  m theo phương x, y ; U mn , Vmn , Wmn , X mn , Ymn , Z mn biên độ sóng Thay (22) vào phương trình chuyển động thu phương trình dạng ma trận: KU  (23) Trong k1  A1 1  A6  , k1   A1  A6    nhiệt độ Từ công thức (25) dễ dàng thấy nhiệt độ tăng tuyến tính theo chiều dày k  thay đổi phi tuyến cho trường hợp khác Tương tự trường hợp nhiệt độ thay đổi đều, giá trị  Tcr từ K i j  gọi giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn Bảng Giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn  Tcr  10 cho hình vuông cho trường hợp hệ số đặc trưng vật liệu p quy luật truyền nhiệt k khác p Bài báo (  zz  ) Bài báo (  zz  ) SPT [13] HPT [13] FPT [13] Bài báo (  zz  ) k 5.1183 10.2366 10 18.7672 4.8411 4.8414 4.8410 4.8408 2.2751 9.6821 9.6829 9.6821 9.6817 4.6633 17.7506 17.7520 17.7505 17.7498 8.8450 2.1066 2.1068 2.1066 2.1065 1.8437 4.3180 4.3182 4.3179 4.3178 3.6000 8.1901 8.1906 8.1900 8.1898 6.7335  B1 1   B1  B6    , k1  k1  B1s1  B6s6  v  X , k 2  k1  A6   A2   B1s2  B6s6    , k1   X 23 k2  B2s   B6s6  , k  SPT [13] HPT [13] FPT [13] Bài báo (  zz  ) Bài báo (  zz  ) SPT [13] HPT [13] FPT [13] Bài báo (  zz  ) 1.6766 1.6765 1.6766 1.6812 1.7739 3.2738 3.2736 3.2738 3.2828 3.1670 6.1234 6.1232 6.1235 6.1404 5.5578 Bài báo (  zz  ) 1.5962 1.5955 1.5964 1.6141 1.8478 2.8497 2.8485 2.8500 2.8816 3.1788 5.0011 4.9990 5.0017 5.0571 5.2587 1.6769 1.6766 1.6770 1.6974 2.8849 2.8844 2.8851 2.9202 4.7725 4.7717 4.7728 4.8310 Bài báo (  zz  )  B2    B1  B6    , k  k2   B1s2  B6s6    k3  D1 1   D1  D6     D2     D1s1   D1s2  D6s6    k3  (24)  D2s    D1s2  D6s6    k3  k3 Y1   Y2  , k 4 H 1s1  H 6s6   A5s5 H  H    A  Y , k    A  Y , k N R   R    k4 k4 k5   s 12 s 66 s 55 s 13 55  H 6s6   H 2s   A4s s 44 s 23 66   A5s5   A4s  Z 3 2 U  U m n , Vm n , Wm n , X m n , Ym n , Z m n  T 50 Tham khảo 03.2021 ISSN 2734-9888 10 SPT [13] HPT [13] FPT [13] Bài báo (  zz  ) Bài báo (  zz  ) SPT [13] HPT [13] FPT [13] Kết số Trong phần này, số ví dụ khảo sát để phân tích nhiệt độ ổn định tới hạn cho phân lớp chức tựa đơn có kích thước hình chữ nhật Tấm chế tạo từ vật liệu gốm kim loại Hình 1, với đặc trưng vật liệu sau: Mặt nhôm (Al): Em  70 GPa, m  0.3 ,  m 23 10 /K; Mặt 6 7.4 10 /K Nhiệt  gốm (Al2O3): Ec  380 GPa, c  0.3 ,  c độ ban đầu mặt K thay đổi theo chiều dày tuân theo quy luật phân bố quy luật lũy thừa hàm mũ Các hiệu ứng đặc trưng vật liệu, tỉ số kích thước hai cạnh, tỉ số cạnh chiều dày quy luật truyền nhiệt ảnh hưởng ổn định tới hạn khảo sát cách chi tiết Bảng trình bày giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn FGM tựa đơn khảo sát với thay đổi giá trị đặc trưng vật liệu quy luật truyền nhiệt theo chiều dày Các kết tính tốn so sánh với nghiên cứu A M Zenkour cộng [13] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (trong hàm biến dạng cắt có dạng hàm số lượng giác (SPT) hàm số đa thức bậc ba (HPT)) lý thuyết biến dạng cắt bậc (FPT) Từ bảng kết cho thấy có sai số nhỏ nghiên cứu báo so với nghiên cứu áp dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, điều khẳng định xác kết nghiên cứu báo Bên cạnh đó, kết phân tích theo lý thuyết tiếp cận chiều báo lớn so với kết tính tốn theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao, điều khẳng định tính tối ưu lý thuyết nghiên cứu báo so với nghiên cứu trước sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Hình Giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn  Tcr cho hình vng tựa đơn trường hợp nhiệt độ thay đổi đểu (UT), tuyến tính (LT) phi tuyến (NLT) tỉ số cạnh chiều dày a / h  Hình Giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn  Tcr cho hình chữ nhật tựa đơn trường hợp nhiệt độ thay đổi đểu hệ số đặc trưng vật liệu p  Hình trình bày hiệu ứng đặc trưng vật liệu quy luật truyền nhiệt qua chiều dày vuông trường hợp tỉ số cạnh chiều dày a / h  Từ hình vẽ cho thấy nhiệt độ ổn định tới hạn bé trường hợp nhiệt lượng truyền qua có dạng phân bố (UT) Giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn  Tc r tỉ lệ nghịch với hệ số đặc trưng vật liệu p Điều chứng tỏ khả chịu nhiệt độ phụ thuộc vào hàm mật độ hàm lượng vật liệu gốm Vc Tương tự, Hình trình bày hiệu ứng tỉ lệ hai cạnh tỉ lệ cạnh chiều dày trường hợp nhiệt lượng truyền qua có dạng phân bố hệ số đặc trưng vật liệu p  Từ hình vẽ cho thấy dày có khả chịu nhiệt độ tới hạn lớn mỏng khả chịu nhiệt độ ổn định tới hạn phụ thuộc vào tỉ lệ kích thước chúng Kết luận Bài báo trình bày phân tích ổn phân lớp chức tác dụng tải trọng nhiệt độ theo lý thuyết tiếp cận chiều Phương trình cân lượng xây dựng từ thành phần chuyển động Lời giải Navier sử dụng cho tốn tựa đơn có kích thước hình chữ nhật Kết báo cho thấy kể đến biến dạng theo chiều dày nhiệt độ ổn định tới hạn lớn so với trường hợp khơng kể đến, điều chứng tỏ tính tối ưu phương pháp nghiên cứu báo so với nghiên cứu trước Các đánh giá hiệu ứng thay đổi kích thước, chiều dày quy luật truyền nhiệt khảo sát phân tích cách chi tiết Mơ hình nghiên cứu báo phù hợp có giá trị cho phân tích ổn định tới hạn phân lớp chức chịu tải trọng nhiệt độ Acknowledgement: This work belongs to the project in 2021 funded by Ho Chi Minh City University of Technology and Education, Vietnam TÀI LIỆU THAM KHẢO Koizumi, M FGM Activities in Japan, Composites Part B: Engineering, 28(1-4), 1997 Abrate, S Functionally graded plates behave like homogeneous plates, Composites Part B: Engineering, 39(151-158), 2008 Singha, M., Prakash, T and Ganapathi, M Finite element analysis of functionally graded plates under transverse load, Finite Elements in Analysis and Design, 47(453-460), 2011 Nguyen, T K., Sab, K and Bonnet, G., First-order shear deformation plate models for functionally graded materials, Composite Structures, 83(25-36), 2008 Thai, H T and Vo, T P A new sinusoidal shear deformation theory for bending, buckling, and vibration of functionally graded plates, Applied Mathematical Modelling, 37(3269-3281), 2013 Ferreira, A J M., Batra, R C., Roque, C M., Qian, L F and Martins, P A L S Static analysis of functionally graded plates using third-order shear deformation theory and a meshless method, Composite Structures, 69(449-457), 2005 Reddy, J N A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates, International Journal of Aerospace and Lightweight Structures, 1(1-21), 2011 Mantari, J L., Oktem, J L A S and Soares, O G Bending response of functionally graded plates by using a new higher order shear deformation theory, Composite Structures, 94(714-723), 2012 Talha, M and Singh, B N Static response and free vibration analysis of FGM plates using higher order shear deformation theory, Applied Mathematical Modelling, 34(3991-4011), 2010 10 Mantari, J L and Soares, C G Bending analysis of thick exponentially graded plates using a new trigonometric higher order shear deformation theory, Composite Structure, 94(1991-2000), 2012 11 Nguyen, V H., Nguyen, T K., Thai H T and Vo, T P A new inverse trigonometric shear deformation theory for isotropic and functionally graded sandwich plates, Composites Part B: Engineering, 66(233-246), 2014 12 Houari, M S., Tounsi, A and Bég, O A Thermoelastic bending analysis of functionally graded sandwich plates using a new higher order shear and normal deformation theory, International Journal of Mechanical Sciences, 76(102-111), 2013 13 Zenkour, A M and Mashat, D S Thermal buckling analysis of ceramic-metal functionally graded plates, Natural sscience, 2(968-978), 2010 ISSN 2734-9888 03.2021 51 ... chịu nhiệt độ tới hạn lớn mỏng khả chịu nhiệt độ ổn định tới hạn phụ thuộc vào tỉ lệ kích thước chúng Kết luận Bài báo trình bày phân tích ổn phân lớp chức tác dụng tải trọng nhiệt độ theo lý thuyết. .. giải ổn định tới hạn FGM nhiệt độ Để phân tích ổn định tới hạn cần giải phương trình K i j  từ công thức ( 23) tương ứng cho trường hợp nhiệt độ thay đổi theo chiều dày 4.1 Trường hợp nhiệt độ. .. hợp nhiệt độ thay đổi theo chiều dày Giá trị nhiệt độ thời điểm bị ổn định T tương ứng với nhiệt độ ban đầu T0 Sự thay đổi nhiệt độ  Tcr T  T0 từ K i j  gọi giá trị nhiệt độ ổn định tới hạn