Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC CÂU HỎI THỰC TẾ TRONG ĐỀ TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Người thực hiện L[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC CÂU HỎI THỰC TẾ TRONG ĐỀ TOÁN TRẮC NGHIỆM LỚP 12 Người thực hiện : Lê Nguyên Huấn Chức vụ: Giáo viên SKKN tḥc lĩnh vực: Tốn học THANH HÓA NĂM 2019 skkn MỤC LỤC - Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.4 Nội dung Trang Mục lục Danh mục viết tắt sáng kiến kinh nghiệm Phần mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề Các giải pháp sử dụng giải vấn đề Ứng dụng đạo hàm Bài tốn thể tích Ứng dụng vật lí 10 Bài toán chuyển động 12 Bài toán lãi suất 13 Bài toán kinh tế 16 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 19 dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 21 Danh mục SKKN đạt giải cấp tỉnh 22 skkn DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Kí hiệu viết tắt SGK THPT THPT QG SKKN MTCT ycbt TN TXĐ GV HS HN TW Ý nghĩa Sách giáo khoa trung học phổ thông Trung học phổ thông quốc gia Sáng kiến kinh nghiệm Máy tính cầm tay u cầu tốn Trắc nghiệm Tập xác định Giáo viên Học sinh Hà Nội Trung ương skkn PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Thực chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước, nghị TW4 khoá VII Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Triệu Sơn năm học 2018-2019 Với xu thi trắc nghiệm THPT Quốc gia sử dụng kiến thức liên môn vào học Những câu hỏi ứng dụng liên môn đề thi làm cho HS lúng túng, hay bỏ qua đánh xác suất dẫn đến kết không cao Trong chương trình tốn THPT, kiến thức ứng dụng liên môn thực tế dạy, học cịn hạn chế, tài liệu tham khảo đề cập đến Câu hỏi dạng đòi hỏi HS phải vận dụng kiến thức đa dạng ngồi tốn học cịn có kiến thức vật lí, sinh học, hóa học…để giải Đó khâu khó khăn mà em chưa thể phối hợp đồng liên môn để giải nhanh vận dụng tìm kết Những toán ứng dụng thực tế tập vận dụng thấp vận dụng cao đề thi Đặc biệt thi THPT Quốc gia Trong thực tế toán dạng phong phú đa dạng Các em gặp lớp tốn bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, toán lãi xuất ngân hàng, tốn vật lí chuyển động, phản ứng hạt nhân, chu kỳ bán rã Bài toán xác suất sinh học Bài toán tỉ lệ tăng dân số địa lí… Địi hỏi sử dụng phương pháp đạo hàm, công thức liên môn để giải Chỉ có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lúng túng chưa gọn gàng, chí cịn khơng có hướng giải Tại lại vậy? Lý là: Trong chương trình SGK THPT hành kiến thức giới thiệu, không sâu vào tâp, dạy Khác xa với đề thi THPT Quốc gia, đề thi học sinh giỏi Bài tập SGK đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần nên q trình giảng dạy, giáo viên khơng thể đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục Ngồi ứng dụng đạo hàm, tích phân, cơng thức hình học, cịn sử dụng nhiều công thức môn khác vât lí, hóa, sinh… Mỗi mơn học chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng, q trình dạy, giáo viên ln trình bày kiến thức dần hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Thực tế dạy học cho thấy có nhiều vấn đề cần giải cho phân mơn tốn học phổ thơng, vấn đề giải câu hỏi ứng dụng thực tế đề thi THPT QG vấn đề cộm thầy trò năm đầu thi trắc nghiệm toán Xuất phát từ thực tế trên, chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải câu hỏi thực tế đề toán trắc nghiệm lớp 12” skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 trường THPT Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại dạng toán ứng dụng liên môn, cách giải đề thi trắc nghiệm THPT QG Học sinh cần nắm định nghĩa tính chất có liên quan Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập nhiều nhớ công thức vận dụng, công thức liên môn Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào kỳ thi học sinh giỏi, THPTQG để tuyển sinh đại học cao đẳng Học sinh nhớ khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số dạng tốn khác có liên quan giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa tham số, ứng dụng vật lí, hóa, sinh… Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát hướng giải Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải số toán ứng dụng thực tế dựa vào tổng hợp kiến thức liên môn Mục đích: Trang bị đầy đủ cho phương pháp giải lớp toán ứng dụng thực tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu Thực tất đối tượng học sinh khối 12 Giải số toán ứng dụng thực tế đề thi, đặc biệt đề thi trung học phổ thông Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm hàng năm - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Phương pháp: Học sinh cần nắm vững lý thuyết đạo hàm, nguyên hàm, hình học số bất đẳng thức, công thức lãi xuất, công thức chu kỳ bán rã, phản ứng hạt nhân Xác suất… - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 12 năm học từ 2010 đến 2019 skkn PHẦN NỘI DUNG: 2.1 Cơ sở lí luận: Khi gặp toán ứng dụng thực tế học sinh phải nắm kiến thức liên mơn Đó hạn chế HS GV, đơi HS học qua loa, GV không khắc sâu Khi gặp câu hỏi dạng lúng túng sợ thời gian bỏ qua chọn bừa đáp án, dẫn đến kết không cao Việc nắm vững kiến thức liên mơn để giải tốn ứng dụng thực tế cần thiết để em HS có điểm cao thi trắc nghiệm Vì câu hỏi chủ yếu kiến thức mức độ vận dụng thấp vận dụng cao Muốn làm tốt dạng toán em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết liên mơn linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán ứng dụng thực tế đề thi, đặc biệt đề thi THPT QG 2.2 Thực trạng vấn đề Trong thực tế, học sinh thường ngại giải toán ứng dụng thực tế, em khó việc chọn hướng giải vấn đề tốn thường đề dài, nhiều giả thiết, khác với dạng toán đơn thuần, thời gian ngắn em lo không đủ để làm bài, chọn ngẫu nhiên đáp án cho nhanh Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ lớp 12, kỳ thi thử THPT QG, thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua khơng giải số học sinh làm tập phần Nội dung học dạng với thời lượng dạng đơn giản Đề thi lại khó khăn Nếu khơng có phương pháp, đường lối HS khơng thể giải vấn đề dạng tập 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 2.3.1 Ứng dụng đạo hàm: 2.3.1.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) x0 (a;b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 Ký hiệu: 2.3.1.2 Định nghĩa đạo hàm phía Đạo hàm bên trái hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f’(x0), skkn định nghĩa : Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0, kí hiệu f’(x0), định nghĩa : 2.3.1.3 Ý nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b) có đồ thị (C) Tiếp tuyến với (C) điểm M(x0;y0) có hệ số góc k = f’(x0) PTTT M(x0;y0): y = f’(x0)(x-x0) + y0 2.3.1.4.Các quy tắc tính đạo hàm i Giả sử u,v hàm số biến x, có đạo hàm x đó: ii Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm theo x u’=g’(x) hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u y’ = f’(u), hàm số hợp y = h(x) = f[g(x)] có đạo hàm theo x h(x) = f’(u).g’(x) hay y’ = yu’.ux’ 2.3.1.5 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp: ( u = u(x)) 2.3.1.6 Đạo hàm cấp cao Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ =f’(x) Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai kí hiệu y” hay f”(x) Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 2,3,4 Một cách tổng quát đạo hàm cấp n ( n>1) hàm số y=f(x), kí hiệu y(n) hay f(n) (x), định nghĩa: f(n)(x) = [f(n-1)(x)]’ 2.3.1.7 Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định nghĩa:Cho hàm số y=f(x) xác định K Với x1 < x2 thuộc K Nếu f(x1) < f(x2) hàm số f(x) đồng biến K skkn Nếu f(x1) > f(x2) hàm số f(x) nghịch biến K Định lí:Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x) > với x K hàm số f(x) đồng biến K Nếu f’(x) < với x K hàm số f(x) nghịch biến K Chú ý: i.Giả sử f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x) ≥0 (f’(x) ≤ 0) f’(x) = số điểm hữu hạn hàm số đồng biến (nghịch biến) K ii.Trong số trường hợp dấu đạo hàm cấp 1, ta xét dấu đạo hàm cấp 2, từ suy dấu đạo hàm cấp 2.3.1.8 Cực đại cực tiểu hàm số Định nghĩa:Cho hàm số y =f(x) liên tục khoảng (a;b) Nếu tồn số h >0 cho f(x)0 cho f(x)>f(x 0) với x0 (x0-h ;x0+h) x≠x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 Định lý: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x0-h; x0+h) có đạo hàm khoảng K , với h>0 Nếu f’(x) > khoảng (x0-h ; x0) f’(x) < khoảng (x0 ; x0+h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) Nếu f’(x) < khoảng (x0-h ; x0) f’(x) > khoảng (x0 ; x0+h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) 2.3.1.9 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xac định D i Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D ii Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập D 2.3.1.10 Bất đẳng thức CauChy Chú ý:Ta sử dụng bất đẳng thức Cau Chy hai chiều 2.3.2 Bài tốn diện tích thể tích: Ví dụ Cho nhơm hình chữ nhật có chiều dài 12 cm chiều rộng 10 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn skkn A B Hướng dẫn giải: TXĐ: D=(0;5) ;V=x(12-2x)(10-2x) C D f (x)=4 x3−44x2+120x 11+√ 31 [x= (L) f '(x)=12x −88x+120 [⇒C ¿ 11−√31 f '(x)=0⇔ [x= ¿ Xét Ví dụ Với miếng tơn hình trịn có bán kính R = 6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón ( Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt A cm Hướng dẫn giải: C 2 cm B 6 cm I D 8 cm r N M R h S Gọi x (x > 0) chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón Như vậy, bán kính R hình trịn đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức 2 r x r Chiều cao hình nón tính theo định lý Pitago là: h = x V r H 3 2 Thể tích khối nón: R2 x 2 R2 r R2 x2 4 x2 4 Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: skkn x2 x2 x2 R 2 2 4 x x x 4 8 8 4 V2 (R2 ) 8 8 4 x2 x2 R 4 Do V lớn 8 Ví dụ 3.Cho hình chữ nhật có diện tích 4 R 27 x 2 R x 6 Hỏi kích thước để chu vi nhỏ nhất? A B C D Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật là: x(cm) y (cm) Chu vi hình chữ nhật là: P = 2(x+y) = 2x + 2y Theo đề thì: xy = 100 hay y = Do đó: P= 2x + 2y + với x > Đạo hàm: P’(x) = Cho y’ = x = 10 Lập bảng biến thiên ta được: Pmin=40 x = 10 Kết luận: Kích thước hình chữ nhật 10 x 10(là hình vng) Ví dụ Một lão nơng chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200mx200m B.300mx100m C.250mx150m D.300mx300m Hướng dẫn giải: Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x(m) y(m) (x, y>0) Diện tích miếng đất: S= x.y Theo đề thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400 - x Do đó: S= x(400-x) = -x + 400x với x > Đạo hàm: S’(x) = -2x + 400 Cho S’(x) = x = 200 Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 4000 x =200, y = 200 Đáp án A Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200 ´ 200 (là hình vng) Ví dụ Một đề can hình chữ nhật cuộn trịn lại theo chiều dài tạo thành khối trụ có đường kính 50cm Người ta trải 250 vòng để cắt chữ in tranh cổ động, phần cịn lại khối trụ có đường kính 45cm Hỏi phần trải dài mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? A 373m B 187m C 384m Hướng dẫn giải: D 192m Bề dày đề can skkn Gọi d chiều dài trải h chiều rộng đề can.Khi ta có Đáp án A Ví dụ Có nhơm hình vng cạnh 12(cm) Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm) gấp nhơm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hình hộp nhận tích lớn A x = B.x = C.x = D.x = Hướng dẫn giải: Độ dài cạnh đáy hộp: 12 – 2x Diện tích đáy hộp: (12 – 2x)2 Thể tích hộp là: V=(12 – 2x)2.x = 4x3 – 48x2 +144x với Ta có: V’(x) = 12x3 – 96x2 +144x Cho V’ = , giải chọn nghiệm x = Lập bảng biến thiên ta Vmax = 128 x= Đáp án C Ví dụ Kim tự tháp Kêốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp khối chóp tứ giác có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230 m Thế tích là: A 7776300 m3 B 3888150 m3 C 2592100 m3 D 2592100 m2 Hướng dẫn giải: 2.3.3 Ứng dụng vật lí Định luật phóng xạ: Đáp án C Độ phóng xạ (H) Theo số hạt (N) Theo khối lượng (m) Trong trình phân rã, số hạt nhân phóng xạ giảm theo thời gian Trong trình phân - Đại lượng đặc trưng cho rã, khối lượng hạt nhân tính phóng xạ mạnh hay phóng xạ giảm theo yếu chất phóng xạ thời gian - Số phân rã N(t) = N0.2 = N0.e M(t) = m0.2 N giây:H = - t = m0 e H(t) = H0.2 = H0.e : số hạt nhân phóng xạ thời điểm ban đầu : khối lượng phóng : độ phóng xạ thời xạ thời điểm ban điểm ban đầu đầu :độ phóng xạ lại : số hạt nhân : khối lượng sau thời gian t t phóng xạ cịn lại sau phóng xạ lại sau H = N = N0 T = N0e-t thời gian thời gian Ví dụ Sự phân rã chất phóng xạ biểu diễn theo công thức hàm số mũ khối lượng ban đầu chất phóng 10 skkn xạ (tại thời điểm m(t) khối lượng chất phóng xạ thời điểm t, T chu kỳ bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Khi phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, nhà khoa học thấy khối lượng cacbon phóng xạ 45% so với lượng mẫu gỗ ban đầu Hỏi cơng trình kiến trúc có niên đại khoảng năm? Cho biết biết chu kỳ bán rã năm A 5157 năm Hướng dẫn giải: B 3561 năm C 6601 năm khoảng 5730 D 4942 năm Ta có Suy năm Đáp án D Ví dụ Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã 3,8 ngày Sau thời gian 11,4 ngày độ phóng xạ (hoạt độ phóng xạ) lượng chất phóng xạ cịn lại phần trăm so với độ phóng xạ lượng chất phóng xạ ban đầu? A 25% B 75% C 12,5% D 87,5% Hướng dẫn giải: T = 3,8 ngày ; t = 11,4 = 3T ngày Do ta đưa hàm mũ để giải nhanh t t − − m m −3 T T m=m ⇔ =2 =2 = m0 = 12,5% m0 ⇔ ⇒ Đáp án C sau Ví dụ Pơlơni ngun tố phóng xạ α , phóng hạt α biến đổi thành hạt nhân X Chu kì bán rã Pôlôni T = 138 ngày a)Xác định cấu tạo, tên gọi hạt nhân X b)Ban đầu có 0,01g Tính độ phóng xạ mẫu phóng xạ sau chu kì bán rã Hướng dẫn giải: a)Xác định hạt nhân X + Ta có phương trình phân rã: + Theo ĐLBT ta có: b)Từ − t T A Po→ He + Z X { 210=4+A ¿ ¿¿¿ {m=m 210 84 →X: 206 82 Pb ¿ { H= λN ¿ ¿ ¿ ¿ 11 skkn Ví dụ Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn cơng thức: m(t) =m0 , m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng cịn bao nhiêu? A m(t) =100.e B m(t) C.m(t) D.m(t) Hướng dẫn giải: Theo công thức m( t ) = m0e- kt ta có: m(5730) = 50 = 100.e -k.5730, suy k = Nên m(t) = 100.e Đáp án: A Ví dụ Cho biết chu kì bán rã chất phóng xạ radi Ra226 1602 năm (tức lượng Ra226 sau 1602 năm phân hủy cịn lại nửa) Sự phân hủy tính theo cơng thức , lượng chất phóng xạ ban đầu, tỉ lệ phân hủy hàng năm ( ), thời gian phân hủy, lượng lại sau thời gian phân hủy Hỏi gam Ra226 sau 4000 năm phân hủy lại gam (làm tròn đến chữ số phần thập phân)? A 0,886 (gam) B 1,023 (gam) C 0,795 (gam) D.0,923 (gam) Hướng dẫn giải: Gọi T chu kì bán rã, suy Do đó: 2.3.4 Bài tốn chuyển động : Học sinh cần ý công thức đạo hàm tích phân: Ví dụ Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? A B C D Hướng dẫn giải: Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 A skkn B d B 12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ (giờ), ta có d 3,25 Hải lý Đáp án A Ví dụ Một vật di chuyển với gia tốc a(t) = -20(1 + 2t)-2 (m/s2) Khi t = vận tốc vật 30m/s Tính quảng đường vật di chuyển sau giây (làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị) A.S = 106 m B.S = 107 m Hướng dẫn giải: v t a t dt 20 2t dt 2 Tacó v 30 C 10 30 C 20 C.S = 108 m D.S = 109 m 10 C 2t Theo đề ta có Vậy quãng đường vật sau giây là: 2 10 S 20 dt 5ln 2t 20t 5ln 100 108m 2t 0 Ví dụ Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái xe đạp phanh gọi “thắng” Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -5t +10(m/s) Trong t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng bao nhiêu? A 0,2m B.2m C.10m D 20m Ví dụ Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a (t ) 3t t (m/s2) Vận tốc ban đầu vật (m/s) Hỏi vận tốc vật sau 2s A 10 m/s B 12 m/s C 16 m/s D m/s Hướng dẫn giải: t2 C Ta có (m/s) Vận tốc ban đầu vật (m/s) v(0) C v(t) a (t ) dt (3 t t) dt t V (2) 23 22 12 (m/s) Đáp án B Vậy vận tốc vật sau 2s là: Ví dụ Một vật chuyển động theo quy luật , với (giây) khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt ? A B C D Hướng dẫn giải: 13 skkn Khi Đáp án A 2.3.5 Bài toán lãi xuất Lãi đơn, lãi kép: Khái niệm lãi đơn hiểu đơn giản phần lãi tính từ vốn gốc ban đầu (lãi không cộng vào vốn gốc), lãi kép sau kỳ, tiền lãi cộng dồn với phần gốc tính lãi tiếp dựa phần gốc Cơng thức tính lãi đơn: P = a(1+r.n) Với a tiền gốc ban đầu, r % lãi suất, n số kỳ tính lãi (tháng hay q hay năm) Cơng thức tính lãi kép sau: P = a(1+r)n với a tiền gốc ban đầu, r % lãi suất, n số kỳ tính lãi (tháng hay quí hay năm) i) Dạng 1: Gửi vào a đồng, lãi suất r%/năm (hoặc tháng quí), lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau khoảng năm thu gấp đôi (2a đồng) Hướng dẫn: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 2a = a(1+r)n ⇔ n = log1+r ii) Dạng : Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau tháng trả x đồng Định x để sau n tháng hết nợ Hướng dẫn giải: Sau tháng thứ 1, nợ: a(1+r) - x Sau tháng thứ 2, nợ: [a(1+r) - x](1+r) - x = a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x Sau tháng thứ 3, nợ : {a(1+r)2 - [(1+r) + 1] x}(1+r) - x = a(1+r)3 - [(1+r)2 + (1+r) + 1] x Sau tháng thứ n hết nợ, nên: a(1+r)n - [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 + + 1] x = n (1+r ) −1 r x = ⇔ n ar (1+r ) n x = (1+r ) −1 a(1+r)n iii) Dạng : (Ngược dạng 2) Vay a đồng, lãi suất r%/tháng Cứ sau tháng trả m đồng Hỏi sau tháng, hết nợ Hướng dẫn: Theo lập luận trên, ta có phương trình: ⇔ n (1+r ) −1 n r a(1+r) m = 0(n chưa biết) log 1+r m m−ar ar(1+r)n = [(1+r)n -1]m ⇔ (1+r)n (m - ar) = m ⇔ n = ĐK m > ar > Ví dụ Gửi triệu, lãi suất 1%/tháng lãi không nhập vào vốn, hỏi sau ⇔ tháng thu bao nhiêu? Hướng dẫn giải: P = 5(1 + 0,01 6) = 5,3 triệu Ví dụ Gửi triệu, lãi suất 1%/tháng lãi hàng tháng nhập vào vốn, hỏi sau tháng thu bao nhiêu? 14 skkn Hướng dẫn giải: P = 5(1 + 0,01)6 ¿ 5,3076 triệu Ví dụ Một người gửi vào triệu, lãi suất 8,4%/năm, lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau khoảng năm thu gấp đôi (10 triệu) A năm B năm C 10 năm D 11năm Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức lãi kép, sau n năm, ta có phương trình 10 ¿ 8,59 Do n nguyên = 5(1+0,084)n ⇔ = (1+0,084)n ⇔ n = log1 ,084 dương nên chọn n = Ví dụ Vay 100 triệu với lãi suất 1%/tháng Cứ sau tháng trả x đồng Định x để sau tháng, hết nợ 100 ,01(1+0 ,01) (1+0 ,01 )3 −1 Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức: x = 1,01 = 1,01 −1 ¿ 34,002triệu Ví dụ Một người đem gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 12% năm Biết sau quý ( tháng ) lãi cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền, bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 Hướng dẫn giải: Gọi số tiền người gửi A, lãi suất quý 0,03 Sau n quý, tiền mà người nhận là: A 0, 03 n ycbt A 0,03 3A n log1,03 37,16 D.11 n Vậy số năm tối thiểu xấp xỉ 9,29 năm Vậy đáp án C Ví dụ Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền triệu đồng tháng (chuyển vào khoản mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2016 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng tính lãi suất 1% tháng Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn số tiền (gồm số tiền tháng 12 số tiền gửi từ tháng 1) Hỏi mẹ lĩnh tiền? (Kết làm trịn theo đơn vị nghìn đồng A 50 triệu 730 nghìn đồng B 48 triệu 480 nghìn đồng C 53 triệu 760 nghìn đồng D 50 triệu 640 nghìn đồng Hướng dẫn giải: Số tiền tháng mẹ nhận triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vốn lẫn lãi số tiền tháng nhận sinh là: 4.(1 11 ) 1,0111 100 (triệu đồng) Tương tự số tiền tháng nhận sinh ra: 1, 01 (triệu đồng) Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh nên là: (triệu đồng) 10 15 skkn 1,0111 1, 0110 1,01 1,0112 50,730 1,01 Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: (50 triệu 730 nghìn đồng) Đáp án A Ví dụ Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng theo thỏa thuận tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối trả triệu) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng A 22 B 23 C 24 D 21 Hướng dẫn giải: Gọi N n số tiền người vay nợ sau n tháng, r lãi suất hàng tháng, a số tiền trả hàng tháng, A số tiền vay ban đầu N =A (1+r )−a N =[ A (1+r )−a ](1+r )−a= A(1+r ) −a[ 1+(1+r )] N ={ A(1+r )2 −a[ 1+(1+r )] }( 1+r )−a=A ( 1+r )3 −a[1+( 1+ r )+(1+ r )2 ] m (1+r ) −1 N m= A (1+ r ) −a[1+(1+ r )+(1+r ) + .+(1+r ) ]= A(1+r ) −a r Khi trả a ⇔ ( 1+ r )m ( Ar−a )+a=0 ⇔m=log 1+r N =0 a− Ar m hết nợ nghĩa m m−1 m Thay số ta được: m≈21 ,6 Do số tháng để trả hết nợ 22 tháng Ví dụ Bạn H trúng tuyển vào Trường Đại học Ngoại Thương khơng đủ tiền nộp học phí nên H định vay ngân hàng bốn năm năm triệu đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi năm Ngay sau tốt nghiệp Đại học bạn H thực trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền (không đổi) với lãi suất theo cách tính tháng vịng năm Tính số tiền hàng tháng mà bạn H phải trả cho ngân hàng (kết làm tròn đến hàng đơn vị) A 323.582 (đồng) B 398.402 (đồng) C 309.718 (đồng) D 312.518 (đồng) Hướng dẫn giải: Tiền vay từ năm thứ đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: Tiền vay từ năm thứ hai đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: Tiền vay từ năm thứ ba đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: Tiền vay từ năm thứ tư đến lúc trường, bạn H nợ ngân hàng: Vậy sau năm bạn H nợ ngân hàng số tiền là: Lúc ta coi bạn H nợ ngân hàng khoảng tiền ban đầu đồng, số tiền bắt đầu tính lãi /tháng trả góp tháng đồng năm 16 skkn Số tiền nợ cuối tháng thứ là: Số tiền nợ cuối tháng thứ là: Số tiền nợ cuối tháng thứ là: Số tiền nợ cuối tháng thứ 60 là: Ta có đồng 2.3.6 Bài tốn kinh tế: Ví dụ Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng : Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P(n) = 480 - 20.n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất ? A B C Hướng dẫn giải: Gọi n số cá đơn vị diện tích hồ Cân nặng cá là : P(n) = 480 - 20.n (gam) Cân nặng n cá là : n.P(n) = 480n - 20.n2 (gam) D (n > 0) Khi đó : Xét hàm số : f(n) = 480n - 20.n2 Ta có : f’(n) = 480 - 40n, cho f’(n) = suy n =12 Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều 12 Ví dụ Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa hành khách Nếu chuyến xe chở x hành khác thi giá cho hành khách Chọn câu A Xe thu lợi nhuận cao có 60 hành khách B Xe thu lợi nhuận cao C Xe thu lợi nhuận cao D Khơng có đáp án Hướng dẫn giải: Số tiền thu : f(x) = Đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm GTLN f(x) x = 40 Vậy lợi nhuận thu nhiều có hành khách Ví dụ Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào 27 (triệu đồng) bán với giá 31 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua năm 600 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán năm tăng 17 skkn thêm 200 Vậy doanh nghiệp phải định giá bán để sau thực giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Hướng dẫn giải: Gọi x ( x>0),đơn vị (triệu đồng) giá bán Khi đó: Số tiền giảm là: 31 – x Số lượng xe tăng lên là: 200(31 – x) Vậy tổng số sản phẩm bán là: 600 + 200(31 – x) = 6800 – 200x Doanh thu mà doanh nghiệp đạt là: (6800 – 200x)x Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ là: (6800 – 200x).27 Lợi nhuận mà công ty đạt là: Doanh thu – Tiền vốn =(6800 – 200x).x - (6800 – 200x).27 = -200x2 + 12200x – 183600 L’(x) = - 400x + 12200, cho L’(x) = 0, ta x = 30,5 Lập BBT ta thấy lợi nhuật lớn x = 30,5 Vậy giá bán 30,5 (triệu đồng) Ví dụ Một cơng ti bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 000 000 đồng tháng hộ có người thuê, lần tăng giá cho thuê hộ thêm 100 000 đồng tháng có thêm hai hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, cơng ti phải cho thuê hộ với giá trị tháng? (đồng/tháng) A 250 000 B 450 000 C 300 000 D 225 000 Hướng dẫn giải: Gọi x (đồng/tháng) số tiền tăng thêm giá cho thuê hộ (x > 0)Khi số hộ bị bỏ trống là: Khi đó, số tiền cơng ti thu là: T(x) = (đồng/tháng) Khảo sát hàm số T(x) T’(x) = 1000000 - 4x = 0.Ta x = 250 000 Bảng biến thiên x + T’ (căn hộ) 250 000 250 000 , T’(x) = +¥ - T Do Max T(x) =T(250 000) = 250 000.Vậy để có thu nhập cao số tiền cho thuê hộ tháng 250 000 đồng Đáp án A Ví dụ Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Côn Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn từ C đến B 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước chi phí 5000 USD, 18 skkn chi phí cho km dây điện bờ 3000 USD Hỏi điểm G cách A để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí A 40km B 45km C 55km D 60km Hướng dẫn giải: C Gọi BG = x(0 < x