TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CƠ KHÍ BÁO CÁO NHÓM MÔN GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN NHÓM 03 Sinh viên 29 Nguyễn Văn Hưng[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA: CƠ KHÍ -BÁO CÁO NHĨM MƠN: GIẢI TÍCH CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN NHÓM: 03 Sinh viên: 29 Nguyễn Văn Hưng 30 Trần Thế Hưng ( Trưởng nhóm) 31 Võ Kim Tuấn Hưng 32 Vũ Quốc Khánh 33 Phạm Gia Khiêm 34 Đồng Đức Thiên Khôi 35 Hồ Việt Lâm 36 Ngô Tiến Linh 37 Đỗ Đình Long 38 Nguyễn Thái Long 39 Quan Văn Mạnh 40 Nguyễn Quang Minh 41 Vũ Ngọc Minh Lớp: 2021DHCODT04K16 Khóa: 16 Giáo viên hướng dẫn: NGUYỄN PHƯƠNG THẢO Hà Nam, tháng 12 năm 2021 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………………….Trang PHẦN NỘI DUNG…………………………………………………….Trang A Ứng dụng đạo hàm tích phân hàm số biến……………… Trang • Ứng dụng đạo hàm hàm biến phân tích kinh tế… Trang • Ứng dụng tích phân hàm biến……………………………… Trang Ứng dụng kinh tế xã hội…………………………………………Trang Ứng dụng tính diện tích thể tích vật thể…………………… Trang • Mở rộng…………………………………………………………………Trang B Ứng dụng cực trị hàm số hai biến…………………………………Trang • Ứng dụng cực trị hàm hai biến toán kinh tế lợi nhuận tối đa…Trang • Ứng dụng cực trị hàm hai biến tốn kinh tế chi phí tối thiểu… Trang • Mở rộng………………………………………………………………… Trang 11 PHẦN ĐÁNH GIÁ………………………………………….………… Trang 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….…… Trang 13 PHẦN I: MỞ ĐẦU Giải tích nhánh tốn học liên quan đến giới hạn lý thuyết liên quan, chẳng hạn đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, vi phân, chuỗi vô hạn hàm giải tích… Phép tốn giải tích "phép lấy giới hạn" Phương tiện chủ yếu nghiên cứu đại lượng vô bé liên quan tới vấn đề chuyển động Giải tích có ứng dụng rộng khoa học kĩ thuật để giải toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ không hiệu Việc tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể khơng gian, mà hình dạng chúng khơng thể áp dụng cơng thức mơn hình học sơ cấp Tuy nhiên, tích phân lại có ứng dụng cụ thể hiệu đo chiều dài đường cong, tính diện tích hình phẳng, tính diện tích bề mặt thể tích vật thể Và nữa, lĩnh vực đời sống thực tiễn ln có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao , chi phí sản xuất thấp Chúng em khai thác số ứng dụng thú vị đạo hàm, tích phân hàm số cực trị hàm số hai biến thông qua ứng dụng thực tế sau đây: ➢Ứng dụng tích phân kinh tế xã hội ➢Ứng dụng tích phân để tính diện tích thể tích vật thể ➢Ứng dụng đạo hàm hàm biến phân tích kinh tế ➢Ứng dụng cực trị hàm hai biến toán kinh tế lợi nhuận tối đa ➢Ứng dụng cực trị hàm hai biến tốn kinh tế chi phí tối thiểu PHẦN II: NỘI DUNG A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.Ứng dụng đạo hàm hàm biến phân tích kinh tế Bài tốn: Hàm cầu sản phẩm hãng độc quyền P=1400−4 Q Tính hệ số co giãn cầu theo P mức giá P=80và nêu ý nghĩa kinh tế Giải: P=1400−4 Q ↔Q= 400 P -4 P ' −1 ∙ P −P ε QP = Q( P) ∙ = = Q Q 1400−P −80 −2 = 1400−80 33 Tại mức giáP=80, tăng giá thêm 1% cầu sản phẩm giảm lượng % 33 ε QP ( P =80 )= Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q=30 √L( L ≥ 0) a) Tìm hàm sản xuất cận biến lao động MPL b) Tại L0=144, L tăng đơn vị hỏi sản lượng thay đổi đơn vị Giải: a) Hàm sản phẩm cận biến lao động 15 MPL=Q( L)= √ L 15 =1,25( đơn vị sản phẩm) √144 Vậy L0=144 L tăng thêm đơn vị sản lượng tăng môt lượng xấp xỉ 1,25 b) MPL (144 )= đơn vị Ứng dụng tích phân hàm biến a) Ứng dụng kinh tế xã hội Chúng ta biết tích phân có nhiều ứng dụng khoa học xã hội, đặc biệt kinh tế Trong viết xin giới thiệu ứng dụng tích phân kinh tế Bài tốn tích phân tốn ngược lại đạo hàm, người ta cho đại lượng kinh tế chi phí, doanh thu hay lợi nhuận người ta u cầu tìm hàm chi phí cận biên, doanh thu cận biên, đạo hàm cận biên ta tìm đạo hàm hàm tương ứng Con gặp tốn cho hàm chi phí cận biên, doanh thu cận biên v v yêu cầu tìm hàm chi phí, doanh thu v v ta dùng tích phân để giải tốn Bài tốn: Nếu chi phí cận biên việc sản xuất x đơn vị sản phầm cho C′(x) = 0.3x2 + 2x chi phí cố định $2,000, tìm hàm chi phí C(x) chi phí sản xuất 20 đơn vị sản phẩm Giải: Ta biết chi phí cận biên đạo hàm hàm chi phí chi phí cố định chi phí mức khơng sản phẩm Do để tìm hàm C(x) ta lấy ngun hàm hàm chi phí cận biên, suy C(x) = 0.1x3 + x2 + K với K tùy ý Ta xác định số tích phân dựa vào C(0) = 2,000, suy K = 2000 Vậy chi phí sản xuất 20 đơn vị sản phẩm C(20)= 3200$ b) Ứng dụng tính diện tích thể tích vật thể Bài tốn: Tính thể tích vật thể: π a) Nằm hai mặt phẳng x=0 x= , biết thiết diện vật thể bị cắt π mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 ≤ x ≤2 ) hình vng cạnh √sin3 x b) Nằm hai mặt phẳng x=1 va x=4, biết thiết diện vật thê bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1≤ x ≤ 4) motot tam giác cạnh √ x −1 Giải a) Diện tích thiết diện S( x ) cho bởi: S ( x )=¿ Khi đó, thể tích vật thể cho bởi: V =∫ S (x ) dx= −1 π π 1 ( sinx−sin x ) dx= (−3 cosx+ cos x ) =3 4∫ 0 | b) Diện tích thiết diện S( x ) cho bởi: √ S ( x )= √3 ( √ x−1)2= ( x−2 √x +1 ) Khi đó, thể tích vật thể cho bởi: 3 2 V =∫ S (x ) dx= √ ∫ ( x−2 √ x+1 ) dx= √3 ( x − x + x) = √3 4 14 24 −1 | 3.Mở rộng Bài toán: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngồi trời có dạng mái vom tron cong với bán kính 4m va chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh đủ dù 2m.Ta coi dù la vật thể tron xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y=2− x2 y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy mét a) Tính diện tích hình phẳng b) Tính diện tích vải cần thiết để may dù Giải: a) Diện tích hình phẳng là: S=∫ 2− −4 ( x2 x2 dx=2∫ 2− dx=32 8 ) ( ) b) Diện tích xung quanh dù quay nửa phải hình phẳng quanh trục Oy là: S xq=2 π∫ √16−8 y 1+ √ ¿ π ∫ √32−8 y dy= 16 dy 16−8 y 32 π ( √8−1)≈ 61,3 Vậy diện tích vải cần thiết để may dù 61,3m2 B ỨNG DỤNG CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN Ứng dụng cực trị hàm hai biến toán kinh tế lợi nhuận tối đa Bài toán 1: Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng quần áo, biết hàm cầu quần áo là: Q D =50−3 P +2 P2 Q D =20−P1 + P 2 Hàm chi phí: Q21 +Q1 Q2 +Q22 Trong đó: Q D ,Q D lượng hàng cầu quần áo,P , P giá bán quần áo Tìm mức sản lượng quần áo cần sản xuất để lợi nhuận doanh nghiệp đạt cực đại Giải: Gọi Q1 ,Q2 mức sản lượng cần tìm quần áo Để doanh nghiệp bán hết hàng thì: Q =Q D1 D2 {Q =Q P1 =70−Q1−Q Q1 =50−3 P1 +2 P2 ↔ ↔ P2 =80−Q1− Q2 Q2 =20+2 P 1−2 P2 { { Doanh thu doanh nghiệp là: T =Q1 P +Q2 P2 =Q1 (70−Q1−Q 2)+Q 80−Q1 − Q2 ( ) 2 T =−Q1 − Q −2Q1 Q2 + 70Q1 +80Q 2 Chi phí sản xuất doanh nghiệp: C=Q21 +Q1 Q2 +Q22 Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được: 2 L=T −C=−2Q 1− Q2 −3Q Q2 + 70Q 1+80Q 2 Vậy tốn trở thành tìm Q1 ,Q2 để hàm L cực đại LQ' =− − Q1 Q +70 =− − LQ' 3Q1 5Q +80 { Ta dừng nghiệm hệ: = L'Q = ' − Q1 −3 Q2 +70=0 ↔ LQ 10 = = L'Q ↔ −3 Q1−5 Q2+ 80=0 L' 10 { Xét đạo hàm riêng cấp LQ' ' =−4 = LQ' ' Q L 'Q' Q 2 =− LQ' ' =−5 2 Ta có ma trận Hess { { Q −4 −3 H = −3 −5 [ { ] H 1=−4 H = −4 −3 → −3 −5 | | Để hàm L đạt cực đại thì: H 1=−4< H2 = −4 −3 = 11 > −5 |−3 | Vậy hàm L đạt cực đại mức sản lượng Q1 =10, Q 2=10 Bài tốn 2: Một cơng ty sản xuất loại chi tiết máy với giá bán là: Q với giá bán P1 =301(đơn vị tiền) Q2 với giá bán P2=502(đơn vị tiền) Biết hàm chi phí là:C=Q21 +2Q 22+Q1 +2 Q2+ 750 Xác định cấu sản xuất (Q1 ,Q2 ) để lợi nhuận công ty thu tối đa Giải: Ta có hàm lợi nhuận công ty: π=P1 Q1+ P Q2 −C 2 π=301Q 1+ 502Q 2−Q 1−2Q 2−Q 1−2Q 2−750 π=−Q1 −2Q +300Q +500Q2−750 2 Xét hệ: π 'Q =0 { π ' = Q2 −2 Q 1=300 = { { Q1=150 ↔ −4 Q2+500=0 ↔ Q =125 Ta có: A=π 'Q' =−2 ,C =π ' 'Q=−4 ,B =π ' 'Q Q=0 2 → B2 − AC=0 −(−2 )(− =−8< ) Mà A = -2 < Suy hàm lợi nhuận đạt cực đại (Q ,Q )=(150,125); π max =5300 2 Ứng dụng cực trị hàm hai biến toán kinh tế chi phí tối thiểu Bài tốn 1: Xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất loại sản phẩm Mục tiêu doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa sở sử dụng hợp lí yếu tố đầu vào lao động tư (với giả thiết yếu tố giữ nguyên) Mọi doanh nghiệp cạnh tranh túy phải chấp nhận giá thị trường, kể giá đầu vào giá đầu Giả sử hàm lợi nhuận công ty sản phẩm là: π = R – C = P.Q – wL – rK Trong đó: π lợi nhuận, R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, w tiền lương lao động, K tiền vốn, r lãi suất cảu tiền vốn, P đơn giá bán Giải: Giả sử Q hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng: 1 3 Q=L K ,W =2 ,r=0,01,P=5 Khi ta có: 3 π=R –C =P Q – wL – rK=5 L K −2 L−0,01 K Vậy tốn trở thành tìm L, K cho π đạt giá trị lớn Điều kiện để hàm đạt giá trị cực đại (L,K) là: π 'L= { 3 −2 L K −2=0 π' = L K K −2 −2 { L K 3= −2 −0,01 ↔ L K =0,006 = {L −2 ↔ K1= 216 125 ↔ { 216 125 0,006 )3 K K = L2 =( L L1 K−2=( 0,006) { L=1550453,596 12 (K , L >0 ) ↔ K =4,153950177×10 Ta có ma trận Hesse: −5 H= '' π '¿' π LK ' ' π 'KL π 'KK [ ] −2 3 L K −2 −2 = 1L3 K 3 [ −2 −2 L K 3 −5 −2 L K 3 ] Ta có: H = − L K 0(1) −5 H 2= det ( H )= L −4 K −4 >0 ∀ L, K >0 (2) Từ (1) (2) suy π đạt cực đại toàn cục (K, L) = (4,153950177.1012; 1550453,596) Bài toán 2: Một cửa hàng muốn nhập mặt hàng với số lượng 2000 sản phẩm từ nguồn cung khác A B Tại nguồn A với số lượng x sản phẩm, hàm chi phí là: C A= 0,05 x + 25 x + 225 (đồng) Tại nguồn B với số lượng y sản phẩm, hàm chi phí là: C B= 0,1 y + 30 y + 150 (đồng) Cửa hàng cần điều phối số lượng sản phẩm nhập từ nguồn A B để chi phí bỏ thấp nhất? Giải: Ta có hàm chi phí cửa hàng là: 2 π =C A + C B =0,05 x + 25 x + 225 + 0,1 y + 30 y + 150 với x + y=2000 Đặt g ( x , y) =x + y−2000 Xét hàm số lagrange: L (x , y , λ )=0,05 x 2+ 25 x + 225 + 0,1 y + 30 y + 150 + λ ( x + y −2000 ) 2 ¿ 0,05 x + 0,1 y +25 x+ 30 y +375+ λ( x + y−2000) Ta có hệ phương trình: { L'x 0,1 x+ 25+ λ=0 x =1350 L'y + = ↔ + y=650 L' ↔ λ 0,2 y 30 λ λ=−160 ' ' x + y=2000 L'x'y =0 ;L 'y'x =0 Ta thấy:g x =1; g y =1 ;L 'x' =0,1; L'y' =0,2; { { | |H|= g 'x g' y g 'x L'x' g'y L'xy' L'yx' L'y' | 1 0,1 0,2 =−0,3< | | Nên π đạt cực tiểu (1350; 650), π min=187000đồng = Vậy cửa hàng nên nhập 1350 sản phẩm từ nguồn A 650 sản phẩm từ nguồn B để chi phí bỏ thấp Mở rộng Bài toán: Một nhà thám hiểm dự định thực chuyến thám hiểm Trước đi, phải chuẩn bị số nhu yếu phẩm cho chuyến thám hiểm, lương khơ nước thứ ưu tiên Nhà thám hiểm định dùng số tiền 160 USD để mua loại này, biết giá kg lương khô USD lít nước USD Giả sử nhà thám hiểm mua x kg y lít nước thời gian sử dụng loại tính biểu thức: T ( x , y )=4 xy −50 x −35 y + 149 ( ) Hãy xác định số lượng loại yếu phẩm mà nhà thám hiểm cần mua cho thời gian sử dụng lâu Giải: Theo yêu cầu toán ta tìm cực trị hàm: T ( x , y )=4 xy−50 x−35 y+ 149với6 x+ y =160 Xét: L (x , y , λ) =4 xy−50 x−35 y +149+ λ (160−6 x−5 y ) { L'x = y −50 −6 λ =0 x=12,5 L'y = x −35 −5 λ =0 ↔ y=17 → L'λ =160−6 x −5 y = =3 λ | |= Vì H { 6 =240>0 | | → Hàm số đạt cực đạitại x=12,6 T =338,83 h y=17 { Do hàm số có cực đại suy giá trị cực đại GTLN → {12,5kg lương khô 17 lít nước PHẦN 3: ĐÁNH GIÁ - Lĩnh vực toán học ngày người nghiên cứu khai thác nhiều Ứng dụng đạo hàm, tích phân hàm biến ứng dụng cự trị hàm hai biến sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực sống Từ toán kinh tế toán kĩ thuật ta áp dụng đạo hàm, tích phân cực trị, cho ta thấy nhìn tổng quan khái quát vấn đề sống Từ vấn đề khó giải qua phương pháp sử lý cách dễ dàng Qua trình tìm toi học hỏi, tất thành viên hiểu rõ nắm đạo hàm, tích phân hàm biến cực trị hàm hai biến nhờ vận dụng sáng tạo vào toán thực tiễn với bạn nhóm tham gia sơi nổi, tích cự đóng góp ý kiến xây dựng nâng cao hiệu làm việc nhóm TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1]https://www.academia.edu/29336415/%C4%90%E1%BA%A1o_h %C3%A0m_t%C3%ADch_ph%C3%A2n_%E1%BB%A9ng_d %E1%BB%A5ng_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c_g%C3%AC [2]https://kienthucnews.com/ung-dung-cua-dao-ham-trong-cuoc-song/ [3]https://iconfb.net/dao-ham-la-gi-ung-dung-cua-dao-ham.html/amp [4]https://123docz.net/timkiem/%E1%BB%A9ng+d%E1%BB%A5ng+c %E1%BB%A7a+%C4%91%E1%BA%A1o+h%C3%A0m+trong+ %C4%91%E1%BB%9Di+s%E1%BB%91ng.htm [5]http://c3giongrieng.edu.vn/news/966/Ung-dung-cua-dao-ham-trongcuoc-song?.html [6]https://123docz.net/document/2747286-ung-dung-dao-ham-trong-toankinh-te.htm [7]https://vted.vn/tin-tuc/ung-dung-cua-dao-ham-trong-phan-tich-kinh-te4919.html [8]https://123docz.net/document/4298349-mot-so-ung-dung-cua-tich-phanham-mot-bien-so-lv-tot-nghiep.htm [9] https://tieuluan.info/mt-s-ng-dng-ca-cc-tr-hm-hai-bin-s-vo-trong-cc-biton-kinh-t-th.html [10] http://hict.edu.vn/khoa-hoc-co-ban/cuc-tri-ham-hai-bien-va-mot-soung-dung-trong-kinh-doanh.htm ... thác số ứng dụng thú vị đạo hàm, tích phân hàm số cực trị hàm số hai biến thông qua ứng dụng thực tế sau đây: ? ?Ứng dụng tích phân kinh tế xã hội ? ?Ứng dụng tích phân để tính diện tích thể tích. .. DUNG…………………………………………………….Trang A Ứng dụng đạo hàm tích phân hàm số biến? ??…………… Trang • Ứng dụng đạo hàm hàm biến phân tích kinh tế… Trang • Ứng dụng tích phân hàm biến? ??…………………………… Trang Ứng dụng kinh tế xã hội…………………………………………Trang... khai thác nhiều Ứng dụng đạo hàm, tích phân hàm biến ứng dụng cự trị hàm hai biến sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực sống Từ toán kinh tế tốn kĩ thuật ta áp dụng đạo hàm, tích phân cực trị, cho ta thấy