1 MỞ ĐẦU Vào cuối thế kỷ XIX, bên cạnh những loại số thông thường đã biết như số tự nhiên , số nguyên , số hữu tỷ , số thực và số phức , nhà toán học Đức Kurt Hensen đã sử dụng một ý tưởng t[.]
1 MỞ ĐẦU Vào cuối kỷ XIX, bên cạnh loại số thông thường biết số tự nhiên , số nguyên , số hữu tỷ , số thực số phức , nhà toán học Đức Kurt Hensen sử dụng ý tưởng tương tự ta xét hàm số đường cong đại số áp dụng vào lý thuyết số để sáng tạo loại số ngồi số thơng thường biết lý thuyết số gọi số p adic (hay tổng quát nhóm p - adic) p số nguyên tố Các số bổ sung cho tập số phía theo Ostrowki vét cạn cách mở rộng số hữu tỷ Kể từ đến nay, số p - adic khơng ngừng tìm hiểu tính chất ứng dụng lĩnh vực khác toán học vật lý Những nghiên cứu nguyên cứu xây dựng giải tích p - adic, tức giải tích số p - adic: phép tính vi phân, phương trình vi phân, tích phân, hàm giải tích, biến đổi Fourier, lý thuyết nhóm tiến hành nhiều nhà toán học Các số p - adic dẫn đến mêtric khơng – Archimedean thích hợp cho mô tả không – thời gian rời rạc Cùng với vẻ đẹp toán học, số p - adic trở thành công cụ hữu hiệu giúp nhà vật lý mơ tả xác giới khách quan nhiều lĩnh vực từ vi mô đến vĩ mô: học lượng tử, lý thuyết dây, môi trường đông đặc, vũ trụ học,… khoa học nhận thức Ngày 08 tháng 08 năm 1900, hội nghị toán học quốc tế tổ chức Paris, nhà toán học Đức David Hilbert đưa danh sách gồm 23 vấn đề (bài toán) toán học chưa có lời giải thời điểm ơng tin quan trọng cấp thiết (một số tốn sau có ảnh hưởng lớn đến toán học kỷ XX) Trong danh sách vấn đề số liên quan đến nhóm Lie liên tục Hilbert tin phép biến đổi nhóm mơ tả theo cách mà chúng vi phân Vào năm 1940, Paul A Smith tổng quát toán số mà Hilbert nêu (sau gọi đoán Hilbert – Smith) sau: “Nếu G nhóm compact địa phương tác động cách hiệu lên đa tạp nhóm biến đổi (tơpơ) G có nhóm Lie hay khơng?” Phỏng đốn ơng chứng minh tương đương với câu hỏi: “Với đa tạp M liệu có tồn tác động hiệu nhóm p – adic Ap lên đa tạp hay không?” Kể từ toán đưa có nhiều nhà tốn học tham gia giải chứng minh tồn tác động hiệu như: - L.E.J Brouwer giải trường hợp dim M = vào năm 1919 - J Pardon với dim M = vào năm 2011 [7] - Bochner – Montgomery chứng minh nhóm Ap tác động vi phôi (năm 1946) - Scepin - Repovs nhóm Ap tác động đồng phôi Lipschitz (năm 1997) Tuy nhiên, với số chiều lớn đốn cịn tốn mở quan trọng hình học tơpơ triển khai nhà toán học theo nhiều hướng nhỏ khác Một hướng thay đa tạp đốn khơng gian mà nhóm p – adic tác động hiệu lên Năm 2005, Zhiquing Yang xây dựng lớp không gian cho tác động này[11] Trong viết này, đề cập đến kết liên quan đến tác động nhóm p – adic lên continuum Peano từ nêu kết tổng quát cho nhóm compact chiều tác động lên continuum Peano Ngồi ra, nhóm p – adic Ap tác động cách hiệu lên số không gian X khác ta có kết số chiều đối đồng điều nguyên không gian quỹ đạo (không gian thương) sau: - Nếu X khơng gian Hausdorff liên thơng địa phương ta có dim X Ap ≤ + dim X [10], dim X ký hiệu số chiều đối đồng điều nguyên - Nếu X compact bất đẳng thức thu hẹp thành dim X Ap ≤ + dim X [4] - Nếu X đa tạp khơng gian thương có số chiều đối đồng điều nguyên thỏa dim X Ap = + dim X [10] Đẳng thức X ANR (lân cận co rút tuyệt đối) tác động Ap tác động tự [5] - Khơng gian thương X Ap khơng có số chiều đủ [4],[5] Chúng ta bổ sung thêm kết vào danh sách X continuum Peano Nếu Ap tác động hiệu ta chứng minh tồn phép nâng cung từ không gian thương sinh tác động Tương tự, với continuum liên thông đơn khơng gian quỹ đạo phép nâng tồn Khi ta có đẳng cấu nhóm đồng luân bậc cao p n ( X ) ≅ p n ( X Ap ) với n ≥ Cuối cùng, luận văn trình bày kết thu tác động Ap từ hiệu thu hẹp lại thành tác động tự Nếu X continuum Peano khơng phân tích địa phương tập – chiều với điểm x ∈ X ta có tập bất biến đặc trưng X chứa x Các tập p − adic solenoid, p k p − adic solenoid phân biệt với k số tự nhiên bất kỳ, khơng gian Ap × S đường cong Menger µ Do luận văn chia làm ba chương sau: Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ chủ yếu trình bày khái niệm xuất luận văn Chương PHÂN HOẠCH trình bày khái niệm phân hoạch tập điều kiện để tập phân hoạch Chương CONTINUUM PEANO DƯỚI TÁC ĐỘNG P – ADIC trình bày kết thu giới thiệu phía Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh, người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô tổ mơn Hình học nói riêng tồn thể q thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chủ yếu chương giới thiệu khái niệm tôpô đại cương dùng Chương Ngoài ra, chương nêu khái niệm giới hạn ngược, số p - adic số ví dụ làm rõ để từ Chương ta trình bày khái niệm nhóm p - adic 1.1 Các khái niệm tôpô 1.1.1 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian T1 với cặp điểm phân biệt x1 , x2 ∈ X tồn tập mở U ⊂ X cho x1 ∈U x2 ∉U 1.1.2 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không gian T hay không gian Tychonoff khơng gian tắc đầy đủ X không gian T1 với x ∈ X , tập đóng F ⊂ X cho x ∉ F tồn hàm liên tục f : X → I cho f ( x ) = f ( y ) = với y ∈ F 1.1.3 Định nghĩa Một ánh xạ f : X → Y gọi đồng phơi nhúng đồng phơi đồng thời phép nhúng; tức tồn không gian L Y đồng phôi f ′ : X → L cho f = iL f ′ 1.1.4 Định nghĩa Cho X không gian tôpô A không gian X Khi ánh xạ liên tục f : X → A phép co f thu hẹp vào A f ánh xạ đồng A; tức f ( a ) = a với a ∈ A Khi ta gọi A co X 1.1.5 Định nghĩa Nếu tồn tập mở U cho A ⊂ U ⊂ X A co U A gọi lân cận co X 1.1.6 Định nghĩa Một không gian X gọi lân cận co tuyệt đối với không gian định chuẩn Y nhúng vào X tập đóng X lân cận co Y 1.1.7 Định nghĩa Một tính chất tôpô gọi di truyền với khơng gian X có tính chất tập X phải có tính chất 1.1.8 Định nghĩa Hai tập A B không gian tôpô X gọi tách A∩ B =∅ = A∩ B 1.1.9 Định nghĩa Hai tập A B không gian tôpô X gọi phân tách hoàn toàn tồn hàm liên tục f : X → I thỏa f ( x ) = với x ∈ A f ( x ) = với x ∈ B Khi ta nói f tách hai tập A B 1.1.10 Định nghĩa Một họ A s∈S s { As }s∈S tập tập X gọi phủ X = X Nếu X không gian tôpô tập As tập mở (đóng) ta gọi phủ { As }s∈S phủ mở (đóng) 1.1.11 Định nghĩa Một phủ = { Bt }t∈T khác tập X gọi lọc phủ = { As }s∈S tồn s ∈ S cho t ⊂ s Khi ta nói làm mịn 1.1.12 Định nghĩa Một phủ ′ = { As′ }s′∈S ′ X phủ phủ = { As }s∈S X S ′ ⊂ S As′ = As với s ∈ S ′ Nói riêng, phủ lọc 1.1.13 Định nghĩa Một phủ khơng gian tơpơ gồm tập mở (đóng) phiếm hàm gọi phủ hàm mở (đóng) 1.1.14 Định nghĩa Gọi = { As }s∈S phủ tập X Ta nói tập M ⊂ X liên hệ với tập St ( M , ) = { As : M ∩ As ≠ ∅} Tập tập điểm {x} liên hệ với gọi điểm x liên hệ với ký hiệu St ( x, ) Ta gọi phủ = { Bt }t∈T tập X lọc phủ = { As }s∈S với t ∈ T tồn s ∈ S cho St ( Bt , ) ⊂ As Nếu với x ∈ X tồn s ∈ S cho St ( x, ) ⊂ As ta nói lọc trọng tâm Hiển nhiên lọc lọc trọng tâm lọc trọng tâm lọc 1.1.15 Định nghĩa Ảnh ngược tập điểm qua ánh xạ f gọi thớ f 1.1.16 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi compact phủ mở X có phủ hữu hạn Nghĩa với phủ mở {U s }s∈S không gian X tồn tập hữu hạn {s1 , s2 ,…, sk } ⊂ S cho X = U s1 ∪ U s2 ∪…∪ U sk 1.1.17 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi compact địa phương với x ∈ X tồn lân cận U x cho U không gian compact X Do không gian compact U không gian T1 nên tập { x} đóng U Điều suy { x} đóng X Tức không gian compact địa phương không gian T1 1.1.18 Định nghĩa Một ánh xạ đóng liên tục f : X → Y gọi hoàn chỉnh X không gian Hausdorff thớ f −1 ( y ) tập compact X 1.1.19 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thông X viết dạng X ⊕ X X X tập khác rỗng X ⊕ ký hiệu tổng trực tiếp 1.1.20 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi liên thông địa phương với x ∈ X lân cận U điểm x tồn tập liên thơng C ⊂ U cho x ∈ IntC 1.1.21 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông đường với cặp điểm x1 , x2 X tồn ánh xạ liên tục f : I → X từ đoạn đơn vị đóng I tới không gian X thỏa f ( ) = x1 f (1) = x2 1.1.22 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông đường địa phương với x ∈ X lân cận U x tồn lân cận V x cho với y ∈V tồn ánh xạ liên tục f : I → U thỏa f ( ) = x f (1) = y 1.1.23 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông cung với cặp điểm phân biệt x1 , x2 X tồn đồng phơi nhúng h : I → X từ đoạn đơn vị đóng I vào không gian X thỏa h ( ) = x1 h (1) = x2 1.1.24 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thông cung địa phương với x ∈ X lân cận U x tồn lân cận V x cho với y ∈V \ { x} tồn đồng phôi nhúng h : I → U thỏa h ( ) = x h (1) = y 1.1.25 Định nghĩa Một không gian X gọi liên thơng đơn liên thơng đường với ánh xạ liên tục f : S = ∂D → X mở rộng thành f : D → X (trong D – đĩa S đường tròn biên) 1.1.25 Định nghĩa Thành phần liên thông liên thông điểm x không gian tôpô X hợp tất không gian liên thông chứa x X Thành phần liên thông liên thông hai điểm phân biệt khơng gian tơpơ X trùng phân biệt Do thành phần liên thơng liên thơng tạo thành phân tích khơng gian X thành tập liên thông đôi rời gọi thành phần liên thông không gian X 1.1.27 Định nghĩa Thuật ngữ thành phần hầu liên thông điểm x không gian tôpô X dùng để giao tập vừa đóng vừa mở chứa x X Thành phần hầu liên thơng tập đóng X Thành phần hầu liên thông hai điểm phân biệt khơng gian tơpơ X trùng phân biệt Do tất thành phần hầu liên thơng tạo thành phân tích khơng gian X thành tập đóng đơi rời gọi thành phần hầu liên thông không gian X 1.1.28 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi không liên thông di truyền X khơng chứa tập liên thơng có số phần tử lớn Do đó, không gian X không liên thông di truyền thành phần liên thông điểm x ∈ X chứa điểm x Vì thành 10 phần liên thơng khơng gian đóng nên khơng gian khơng liên thơng di truyền không gian T1 1.1.29 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi – chiều X không gian T1 không rỗng có sở gồm tập vừa đóng vừa mở Hiển nhiên, không gian – chiều không gian Tychonoff 1.1.30 Định nghĩa Một không gian tôpô X gọi – chiều mạnh X không gian Tychonoff khác rỗng phủ hàm mở {U i }i =1 X có lọc mở hữu hạn k {Vi }i=1 m cho Vi ∩ V j = ∅ Hiển nhiên, lọc {Vi }i =1 gồm tập vừa đóng vừa m mở phủ hàm mở X 1.1.31 Định nghĩa Một không gian X gọi hồn tồn khơng liên thơng cấu trúc thành phần hầu liên thông điểm x ∈ X chứa điểm x 1.1.32 Định nghĩa Một ánh xạ liên tục f : X → Y nhẹ (0 – chiều) thớ f −1 ( y ) không liên thông di truyền (0 – chiều rỗng) 1.1.33 Định nghĩa Cho f : X → Y g : X → Y ánh xạ liên tục hai không gian tôpô X Y Ánh xạ f g gọi đồng luân tồn ánh xạ liên tục H : X × [ 0,1] → Y cho H ( x,0 ) = f ( x ) H ( x,1) = g ( x ) với x ∈ X Ánh xạ H với tính chất gọi phép đồng luân f g 1.1.34 Định nghĩa Cho X không gian Tychonoff gọi n ký hiệu cho số nguyên lớn hay −1 Ta có : ... này, đề c? ?p đến kết liên quan đến tác động nhóm p – adic lên continuum Peano từ nêu kết tổng quát cho nhóm compact chiều tác động lên continuum Peano 3 Ngoài ra, nhóm p – adic Ap tác động cách... p số p – adic Khi α biết cách tìm khai triển p – adic Nếu α p p ≤ > ta giả sử α p = pk với k > Xét β = p kα với β p = β có khai triển p – adic β =β + β1 p + β p + phía Khi α= β0 p k + β1 p. .. Chuẩn p ký hiệu p p 1.2.7 Định nghĩa Đĩa đơn vị quanh ∈ p t? ?p số nguyên p – adic { p = α ∈ p : α p } ≤1 1.2.8 Mệnh đề T? ?p số nguyên p – adic p vành p Mọi phần tử p giới hạn dãy số