Bài 2 Giải tam giác Tính diện tích tam giác A Lý thuyết 1 Giải tam giác Như ta đã biết, một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong những dữ kiện sau – Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen gi[.]
Bài Giải tam giác Tính diện tích tam giác A Lý thuyết Giải tam giác Như ta biết, tam giác hoàn toàn xác định biết kiện sau: – Biết độ dài hai cạnh độ lớn góc xen hai cạnh đó; – Biết độ dài ba cạnh; – Biết độ dài cạnh độ lớn hai góc kề với cạnh Giải tam giác tính cạnh góc tam giác dựa kiện cho trước Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = Điểm M thuộc đoạn BC cho MC = 2MB a) Tính cos góc tam giác ABC b) Tính độ dài cạnh AM Hướng dẫn giải: a) Theo định lí cosin tam giác ABC ta có: cosB = AB2 BC2 AC2 42 62 (2 7) = = 2.4.6 2AB.BC ⇒ B = 60° AC2 BC2 AB2 (2 7) 62 42 cosC = = = 2AC.BC 2.2 7.6 AB2 AC2 BC2 42 (2 7) 62 cosA = = = 14 2AB.AC 2.4.2 b) Ta có: MC = 2MB ⇒ ⇒ MB = MB MB = ⇒ = MC BC 1 BC = = 3 Áp dụng định lí cơsin tam giác AMB ta có: AM2 = AB2 + BM2 – 2AB.BM.cosB = 42 + 22 – 2.4.2 = 12 ⇒ AM = 12 = Ví dụ: Cho tam giác ABC có B 35 ; C 50 cạnh AC = 15 cm Tính cạnh cịn lại tam giác ABC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) Hướng dẫn giải: Ta có: A + B + C = 180° (tổng ba góc tam giác) Suy ra: A = 180° – B – C = 180° – 35° – 50° = 95° Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: BC AC AB = = sin A sin B sin C Suy ra: BC = AC.sin A 15.sin 95 = ≈ 26,05cm sin 35 sin B AB = AC.sin C 15.sin 50 = ≈ 20,03cm sin 35 sin B Vậy BC = 26,05cm AB ≈ 20,03 cm Tính diện tích tam giác Cơng thức tính diện tích tam giác: • Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Khi đó, diện tích S tam giác ABC là: S= 1 bc.sinA = ca.sin = ab.sinC 2 Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = , A = 45°, B = 120° Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải: Ta có: A + B + C = 180° (tổng ba góc tam giác) Suy ra: C = 180° – A – B = 180° – 45° – 120° = 15° Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: AC AB BC = = sin A sin B sin C Suy ra: AC = BC.sin B 2.sin120 = = 3; sin 45 sin A AB = AC.sin C 3.sin15 = = 2 2; sin120 sin B Diện tích tam giác ABC là: S= 1 AC.AB.sinA = 3.(2 2).sin 45 = 12 (đơn vị diện tích) 2 • Cơng thức Heron: Cơng thức tốn học Heron sử dụng để tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh sau: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p abc Khi đó, diện tích S tam giác ABC là: S p(p a)(p b)(p c) Trong p nửa chu vi tam giác ABC Ví dụ: Chứng minh cơng thức Heron Hướng dẫn giải: Gọi a, b, c cạnh tam giác A, B, C góc đối diện cạnh Theo hệ định lý cosin, ta có: a b2 c2 cosC = 2ab Mà: sin2C + cos2C = a b2 c2 ⇒ sinC = cos C = = 2ab 4a b (a b c2 )2 2ab Ta có cơng thức tính diện tích tam giác ABC: S= absinC = ab 4a b (a b c2 )2 2ab = = (2ab (a b c2 ))(2ab (a b c2 )) = (c2 (a b) )((a b) c2 ) = (c (a b))(c (a b))((a b) c)((a b) c) = (a b c)(c a b)(c a b)(a b c) 4a 2b2 (a b2 c2 )2 = 1 1 (a b c) (a b c 2a) (a b c 2b) (a b c 2c) 2 2 = p(p a)(p b)(p c) Với p abc Suy S p(p a)(p b)(p c) (đpcm) Ví dụ: Cho tam giác ABC có BC = 9, CA = 6, AB = Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải: Nửa chu vi tam giác ABC là: p AB AC BC = = 10 2 Áp dụng cơng thức Heron, diện tích tam giác ABC là: S p(p AB)(p AC)(p BC) = 10(10 5)(10 6)(10 9) = 10 (đvdt) Áp dụng vào toán thực tiễn Trong thực tiễn, ta áp dụng hệ thức lượng tam giác vào toán tính khoảng cách hai vị trí, tính diện tích, giúp cho việc tính tốn trở nên xác nhanh chóng Chúng ta xem ví dụ sau: Ví dụ: Đường dây cao nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10 km, từ vị trí A đến vị trí C dài km, góc tạo hai đường dây 75° Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C (làm trịn đến chữ số thập phân thứ 2) Hướng dẫn giải: Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA = 82 + 102 – 2.8.10.cos75° 122,59 BC 11,07 Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 11,07 km B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Một hành khách ngồi máy bay, bay độ cao 10 km nhìn xuống hai thị trấn mặt đất Góc hợp phương ngang hai thị trấn 28° 55° (hình vẽ) Tính khoảng cách hai thị trấn Hướng dẫn giải: Đề yêu cầu tính độ dài CD Ta có CAD = 55° – 28° = 27° OAC = 90° – 55° = 35° Và cos OAC = AO AO 10 Do đó, AC = = ≈ 12,2km AC cosOAC cos35 ACO = 180° – AOC – OAC = 180° – 90° – 35° = 55° Trong tam giác ACD có ACD = 180° – OAC = 125° Và ADC = 180° – ( ACD + CAD ) = 180° – (125° + 27°) = 28° Áp dụng định lí sin tam giác ACD, ta có: 12,2sin 27 CD AC ⇔ CD = ≈ 11,79km sin 27 sin 28 sin 28 Vậy khoảng cách hai thị trấn 11,79km Bài Một cột điện cao 20 m đóng triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang góc 17° Người ta nối dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc Tính chiều dài dây cáp biết đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc 72 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) Hướng dẫn giải: Bài tốn mơ lại hình vẽ với A, B điểm cuối dốc, chân triền dốc; C, D chân đỉnh cột điện Suy chiều dài dây cáp đoạn AD Theo ta có: CD = 20 m, AB = 72 m, CAB = 17°, ABD = 90° ACB = 180° – CAB – ABD = 180° – 17° – 90° = 73° (tổng ba góc tam giác 180°) ACD = 180° – ACB = 180° – 73° = 107° Tam giác ABC vuông B ⇒ AC = AB cosCAB = 72 ≈ 75,3 (m) cos17 Áp dụng định lí cơsin tam giác ACD, ta có: AD2 = AC2 + CD2 – 2AC.CD cos ACD = (75,3)2 + 202 – 2.75,3.20.cos107° ≈ 6950,7 AD = 83,4m Vậy chiều dài dây cáp 83,4m B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 Diện tích tam giác ABC bằng: A SABC 16 ; B SABC 48 ; C SABC 24 ; D SABC 84 Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có: Nửa chu vi tam giác ABC là: p 21 17 10 24 (đvđd) Do Diện tích tam giác ABC là: S p p a p b p c 24. 24 21. 24 17 . 24 10 84 (đvdt) Câu Tam giác ABC có AB = cm, AC = 18 cm có diện tích 64 cm2 Giá trị sinA bằng: A sin A ; B sin A ; C sin A ; D sin A Hướng dẫn giải Đáp án là: D Ta có: 1 SABC AB.AC.sin A 64 8.18.sin A sin A 2 Câu Tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R = cm có diện tích bằng: A 13 cm ; B 13 cm2 ; C 12 cm ; D 15 cm Hướng dẫn giải Đáp án là: C Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh a Theo định lí sin, ta có: (đvđd) BC sin BAC 2R a 2.4 a 8.sin 60 sin 60 Vậy diện tích tam giác ABC là: 1 SABC AB.AC.sin BAC sin 60 12 cm 2 ... AC2 – 2AB.AC.cosA = 82 + 102 – 2.8 .10. cos75° 122,59 BC 11,07 Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 11,07 km B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Một hành khách ngồi máy bay, bay độ cao 10. .. = 55° – 28° = 27° OAC = 90° – 55° = 35° Và cos OAC = AO AO 10 Do đó, AC = = ≈ 12,2km AC cosOAC cos35 ACO = 180° – AOC – OAC = 180° – 90° – 35° = 55° Trong tam giác ACD có ACD = 180° – OAC =... là: p AB AC BC = = 10 2 Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác ABC là: S p(p AB)(p AC)(p BC) = 10( 10 5) (10 6) (10 9) = 10 (đvdt) Áp dụng vào toán thực tiễn Trong thực