i Tóm tắt Cho (R,m) là một vành giao hoán, Noether địa phương Cho M là một R môđun hữu hạn sinh chiều d và A là một R môđun Artin Luận án tập trung nghiên cứu hai vấn đề Thứ nhất, chúng tôi giới thiệu[.]
i Tóm tắt Cho (R, m) vành giao hốn, Noether địa phương Cho M R-mơđun hữu hạn sinh chiều d A R-môđun Artin Luận án tập trung nghiên cứu hai vấn đề Thứ nhất, giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy M Chúng tơi chứng minh sp(M ) chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Chúng nghiên cứu thay đổi kiểu đa thức dãy M qua đầy đủ hóa, qua địa phương hóa tính khơng tăng sp(M/xM ) x phần tử tham số Chúng tơi tính tốn sp(M ) thông qua môđun khuyết thiếu M Vấn đề nghiên cứu thứ hai số khả quy môđun Noether môđun Artin Trước hết, đưa chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt kiểu đa thức dãy mơđun Noether M nhỏ Sau đó, so sánh số khả quy môđun M số khả quy đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M Luận án chia thành ba chương Chương dành để nhắc lại số kiến thức sở môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen- ii Macaulay suy rộng dãy Trong Chương 2, giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), thông qua kiểu đa thức môđun thương lọc chiều Chúng nghiên cứu kiểu đa thức dãy tác động địa phương hóa đầy đủ m-adic Tiếp theo, nghiên cứu mối quan hệ sp(M ) sp(M/xM ) với x phần tử tham số M Khi R thương vành Gorenstein địa phương, chúng tơi tính tốn kiểu đa thức dãy M thơng qua chiều kiểu đa thức môđun khuyết thiếu M Trong Chương 3, nghiên cứu số vấn đề số khả quy môđun Trước hết, đưa công thức chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt q M với sp(M ) ≤ Phần cuối Chương dành để nghiên cứu số khả quy môđun Artin đưa so sánh số khả quy môđun M với số khả quy Đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M iii Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Trần Đức Dũng iv Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy tôi: GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy dìu dắt tơi từ bước chập chững đường nghiên cứu khoa học, hướng dẫn từ làm luận văn thạc sĩ luận án tiến sĩ Phương pháp đọc sách, cách phát giải vấn đề, ý tưởng toán học mà Thầy bảo giúp tơi trưởng thành nghiên cứu hồn thành luận án Trong công việc, Thầy nghiêm khắc với học trị, sống thầy ln dành cho học trị tình cảm ấm áp yêu thương Bên cạnh kiến thức toán học, Thầy người cha dạy cho biết cách làm người tử tế sống nhân hậu Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Cơ tơi: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô gương nỗ lực gian khó người truyền cảm hứng cho tơi Tốn học nói chung Đại số giao hốn nói riêng tơi cịn ngồi giảng đường Đại học Cô bỏ nhiều công sức kiên nhẫn để không dẫn dắt, giảng dạy cho kiến thức, kinh nghiệm tư người làm Tốn, mà cịn tạo điều kiện, giúp đỡ cho công việc, sống Sự tận tâm với nghề, với học trị đích để tơi noi theo phấn đấu Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình hai người Thầy: GS TSKH Nguyễn Tự Cường GS.TS Lê Thị Thanh v Nhàn Một lần nữa, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô cố gắng để xứng đáng với công lao Thầy Cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin, Phịng Sau Đại học, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp để tơi vừa hồn thành việc học tập, vừa đảm bảo cơng việc giảng dạy Trường Tơi xin cảm ơn PGS.TS Phạm Hùng Quý, TS Đoàn Trung Cường, TS Trần Nguyên An, TS Trần Đỗ Minh Châu dành cho tơi tình cảm thân thiết giải đáp nhiều thắc mắc chuyên môn cho suốt chặng đường dài làm NCS Xin cảm ơn anh chị nhóm Đại số giao hốn Thái Ngun trao đổi quý báu trình làm luận án Cuối cùng, xin bày tỏ biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ Đặc biệt Vợ Phạm Thùy Linh công chúa nhỏ Trần Phạm Ngân Khánh, người hy sinh nhiều, lo lắng, mong mỏi tiến ngày, tháng Luận án xin dành tặng cho người mà yêu thương Tác giả Trần Đức Dũng Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 11 1.2 Môđun Cohen-Macaulay kiểu đa thức 16 1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Chương Kiểu đa thức dãy môđun 19 23 2.1 Lọc chiều dãy lọc quy chặt 24 2.2 Kiểu đa thức dãy qua địa phương hóa đầy đủ hóa 31 2.3 Mối quan hệ sp(M ) sp(M/xM ) với x phần tử 2.4 tham số 46 Tính chất đồng điều kiểu đa thức dãy 54 Chương Chỉ số khả quy môđun 58 3.1 Chỉ số khả quy môđun Noether 59 3.2 Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ 62 3.3 Chỉ số khả quy môđun Artin đối ngẫu Matlis 76 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 89 Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán, Noether địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Ta ln có depth M ≤ dim M Khi depth M = dim M mơđun M gọi mơđun Cohen-Macaulay Lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm Đại số giao hoán xuất nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác Tốn học Hình học đại số, Lý thuyết Tổ hợp, Lý thuyết bất biến Chú ý M Cohen-Macaulay `(M/xM ) = e(x; M ) với (và với mọi) hệ tham số x M Một mở rộng quan trọng lớp môđun Cohen-Macaulay lớp mụun Buchsbaum J Stă uckrad v W Vogel [49] giới thiệu, lớp mơđun M thỏa mãn giả thuyết đặt D.A Buchsbaum: `(M/xM ) − e(x; M ) số không phụ thuộc hệ tham số x Sau đó, N.T Cường, P Schenzel N.V Trung [48] giới thiệu lớp môđun M thỏa mãn supx (`(M/xM )−e(x; M )) < ∞, gọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng Năm 1991, N.T Cường [5] giới thiệu khái niệm kiểu đa thức M , kí hiệu p(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay M , từ phân loại nghiên cứu cấu trúc môđun hữu hạn sinh vành địa phương Nếu ta quy ước bậc đa thức khơng −1, M Cohen-Macaulay p(M ) = −1 M Cohen-Macaulay suy rộng p(M ) ≤ Một mở rộng quan trọng khác lớp môđun Cohen-Macaulay lớp Cohen-Macaulay dãy, R.P Stanley [41] giới thiệu cho trường hợp phân bậc P Schenzel [39], N.T Cường, L.T Nhàn [11] nghiên cứu cho trường hợp địa phương: M Cohen-Macaulay dãy thương Di /Di+1 Cohen-Macaulay, D0 = M Di+1 mơđun lớn M có chiều nhỏ dim Di với i ≥ Tiếp theo, N.T Cường L.T Nhàn [11] nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy cách thay điều kiện môđun thương Di /Di+1 Cohen-Macaulay điều kiện Di /Di+1 Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích luận án giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy M , kí hiệu sp(M ), để đo tính khơng Cohen-Macaulay dãy M Chúng tơi sp(M ) chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy M R thương vành Cohen-Macaulay địa phương Chúng nghiên cứu thay đổi kiểu đa thức dãy M qua địa phương hố, qua đầy đủ hóa tính khơng tăng sp(M/xM ) x phần tử tham số Chúng tơi tính tốn sp(M ) thông qua chiều kiểu đa thức môđun khuyết thiếu M Chú ý báo [8], N.T Cường, Đ.T Cường H.L Trường nghiên cứu bất biến M thông qua số bội, vành sở thương vành Cohen-Macaulay địa phương bất biến kiểu đa thức dãy M Gần đây, S Goto L.T Nhàn [21] đưa đặc trưng tham số kiểu đa thức dãy Mục tiêu thứ hai luận án nghiên cứu số tốn số khả quy mơđun hữu hạn sinh vành địa phương Một môđun N M bất khả quy N 6= M N viết thành giao hai môđun thực chứa Khi đó, định lý thứ hai E Noether [29] nói mơđun N M phân tích thành giao hữu hạn môđun bất khả quy số môđun bất khả quy xuất phân tích bất khả quy thu gọn (tức thành phần bất khả quy không thừa) bất biến khơng phụ thuộc vào phân tích N Bất biến gọi số khả quy N M kí hiệu irM (N ) (xem [23],[14]) Nếu q iđêan tham số M , irM (qM ) gọi số khả quy q M Chặn cho số khả quy iđêan tham số cho lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [14], [15], [22], [23], [28], [37]) Đặc biệt, kết gần P.H Quý, phát biểu p(M ) ≤ tồn chặn cho số khả quy iđêan tham số M Tuy nhiên, với n ≥ 3, S Goto N Suzuki [23] xây dựng vành địa phương (R, m) với p(R) = n R Cohen-Macaulay dãy (tức sp(R) = −1) cho supq irR (q) = ∞ Vì thế, p(M ) ≥ 3, ta xét chặn cho số khả quy tất iđêan tham số, mà xét iđêan tham số tốt giới thiệu N.T Cường Đ.T Cường [6] Chú ý rằng, nghiên cứu cấu trúc môđun CohenMacaulay dãy Cohen-Macaulay suy rộng dãy (thường môđun trộn lẫn, tức iđêan nguyên tố liên kết có chiều khác nhau), hệ tham số tốt đóng vai trò quan trọng Sự chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt chứng minh H.L Trường [43] cho lớp môđun Cohen-Macaulay dãy (tức sp(M ) = −1) P.H Quý [36] cho lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy (tức sp(M ) ≤ 0) Trong luận án này, nghiên cứu tồn chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt sp(M ) ≤ Đây mở rộng không tầm thường cho kết [37] Ngồi ra, chúng tơi nghiên cứu số khả quy phạm trù môđun Artin so sánh số khả quy môđun M với số khả quy Đối ngẫu Matlis môđun thương tương ứng M Đây vấn đề lần nghiên cứu luận án Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu kiểu đa thức dãy chúng tơi khai thác tính chất lọc chiều mơđun, dãy lọc quy chặt giới thiệu N.T Cường, M Morales L.T Nhàn [10] tính chất đặc thù mơđun Artin, đặc biệt môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại (Khái niệm lọc chiều giới thiệu P Schenzel [39] điều chỉnh N.T Cường, L.T Nhàn [11] để thuận tiện cho việc sử dụng) Để nghiên cứu chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt sp(M ) nhỏ, sử dụng lý thuyết hệ tham số tốt giới thiệu N.T Cường, Đ.T Cường [6], tính chất đồng điều kiểu đa thức dãy kết J.D Sally [38] số phần tử sinh tối thiểu môđun Luận án chia thành chương Chương nhắc lại số kiến thức Đại số giao hoán nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung luận án chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, biểu diễn thứ cấp môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Nội dung Chương trình bày kiểu đa thức dãy môđun dựa theo báo [33] Trong chương này, giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy mơđun M , kí hiệu sp(M ), độ đo tốt xem mơđun gần với tính Cohen-Macaulay dãy Chúng tơi nghiên cứu thay đổi kiểu đa thức dãy M qua địa phương hố, qua đầy đủ hóa tính khơng tăng sp(M/xM ) x phần tử tham số Phần cuối chương, tính tốn sp(M ) thơng qua mơđun khuyết thiếu M Nhắc lại lọc Hm0 (M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M ... Chương Chỉ số khả quy môđun 58 3.1 Chỉ số khả quy môđun Noether 59 3.2 Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ 62 3.3 Chỉ số khả quy môđun Artin đối ngẫu Matlis 76 Kết luận. .. công thức chặn cho số khả quy iđêan tham số tốt q M với sp(M ) ≤ Phần cuối Chương dành để nghiên cứu số khả quy môđun Artin đưa so sánh số khả quy môđun M với số khả quy Đối ngẫu Matlis môđun. .. qua số bội, vành sở thương vành Cohen-Macaulay địa phương bất biến kiểu đa thức dãy M Gần đây, S Goto L.T Nhàn [21] đưa đặc trưng tham số kiểu đa thức dãy Mục tiêu thứ hai luận án nghiên cứu số