(Luận văn thạc sĩ) một lớp bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM KHÔNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 Luan van LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “Một lớp tốn biên hai điểm khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai” thực với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, không chép Nội dung luận văn tham khảo, trình bày lại kết nhà toán học: A.G Lomtatidze, Robert Hakl Manuel Zamora từ tài liệu liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực HUỲNH VĂN AN Luan van LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thạc sĩ Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên Trường nhiệt tình truyền đạt kiến thức quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn hướng dẫn suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Thạc sĩ Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, khuyến kích tơi suốt trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn Luan van MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu GIỚI THIỆU Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TỐN (1.1), (1.2) 1.1 Các kết cho toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.1 Định lý 1.2 Hệ 1.3 Hệ 1.4 1.2 Các bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.5 Bổ đề 1.6 11 Bổ đề 1.7 13 Bổ đề 1.8 18 Bổ đề 1.9 19 1.3 Chứng minh kết 19 Chứng minh Định lý 1.2: 19 Chứng minh Hệ 1.3: 22 Chứng minh Hệ 1.4: 29 Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (2.1), (2.2) 32 Luan van 2.1 Các kết cho toán (2.1), (2.2) 32 Định nghĩa 2.1 32 Định lý 2.2 32 2.2 Các bổ đề bổ trợ 33 Bổ đề 2.3 33 Bổ đề 2.4 39 Bổ đề 2.5 43 Bổ đề 2.6 43 Bổ đề 2.7 45 Bổ đề 2.8 49 2.3 Chứng minh kết 49 Chứng minh Định lý 2.2 49 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Luan van DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  ℕ tập số tự nhiên, ℝ tập số thực, ℝ+ = [0, +∞)  𝐿([𝑎, 𝑏]; 𝐷) với 𝐷 ⊆ ℝ tập hàm 𝑝: [𝑎, 𝑏] → 𝐷 khả tích Lebesgue [𝑎, 𝑏]  𝐿𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏); 𝐷) với 𝐷 ⊆ ℝ tập hàm 𝑝: (𝑎, 𝑏) → 𝐷 thỏa 𝑝 ∈ 𝐿([𝛼, 𝛽]; 𝐷) với [𝛼, 𝛽] ⊂ (𝑎, 𝑏)  𝐿∞ 𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏); ℝ+ ) tập hàm 𝑝: (𝑎, 𝑏) → ℝ+ bị chặn hoàn toàn đoạn chứa (𝑎, 𝑏)  𝐶([𝑎, 𝑏]; 𝐷) với 𝐷 ⊆ ℝ tập hàm liên tục 𝑢: [𝑎, 𝑏] → 𝐷  𝐶𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏); ℝ) tập hàm 𝑢: (𝑎, 𝑏) → ℝ thỏa 𝑢 ∈ 𝐶([𝛼, 𝛽]; ℝ) với [𝛼, 𝛽] ⊂ (𝑎, 𝑏)  𝐴𝐶 ([𝑎, 𝑏]; 𝐷) với 𝐷 ⊆ ℝ tập hàm 𝑢: [𝑎, 𝑏] → 𝐷 liên tục tuyệt đối đạo hàm cấp liên tục tuyệt đối (𝐼; 𝐷) với 𝐼 ⊆ (𝑎, 𝑏), 𝐷 ⊆ ℝ tập hàm 𝑢: 𝐼 → 𝐷 thỏa mãn  AC𝑙𝑜𝑐 𝑢 ∈ 𝐴𝐶 ([𝛼, 𝛽]; 𝐷) với [𝛼, 𝛽] ⊆ 𝐼  𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏) × 𝐷 × ℝ; ℝ) với 𝐷 ⊆ ℝ lớp Carathéodory, nghĩa hàm 𝑓: (𝑎, 𝑏) × 𝐷 × ℝ → ℝ thỏa 𝑓(𝑡,∙,∙): 𝐷 × ℝ → ℝ liên tục hầu khắp nơi 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑓(∙, 𝑥, 𝑦): (𝑎, 𝑏) → ℝ liên tục với (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 × ℝ sup{|𝑓(∙, 𝑥, 𝑦)|: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷0 } ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏); ℝ+ ) với tập compact 𝐷0 ⊂ 𝐷 × ℝ 1 2  [𝑝]− = (|𝑝| − 𝑝), [𝑝]+ = (|𝑝| + 𝑝)  𝑢(𝑠 +) 𝑢(𝑠 −) giới hạn phải giới hạn trái hàm 𝑢 điểm 𝑠 Luan van GIỚI THIỆU Lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân thường đời từ kỉ 18, nhiên đến phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật khác như: khí, điện tử, vật lý, sinh học, nông nghiệp, ….[1], [3], [4], [6] – [8], [18] – [20] Một mục đích việc nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân xem xét tồn nghiệm, tính chất nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch hay phương trình vi phân khơng quy Bài tốn biên cho phương trình vi phân khơng quy nghiên cứu nhiều nhà tốn học đến từ Cộng hịa Grugia, Cộng hịa Séc,… I Kiguradze, A Lomtatidze, R Hakl Mục đích luận văn hệ thống trình bày lại cách chi tiết hai báo A Lomtatidze R Hakl 1) A Lomtatidze and P J Torres, On a two-point boundary value problem for second order singular equations, Czechoslovak Math J 53 (2003), 19 – 43 2) R Hakl and Manuel Zamora, Existence of a solution to the Dirichlet problem associated to a second-order differential equation with singularities: The method of lower and upper functions, Georgian Math J 20 (2013), 469 – 491 Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Tính giải cho toán (1.1), (1.2) Chương xây dựng điều kiện đủ số trường hợp điều kiện cần đủ cho tính giải tốn giá trị biên: 𝑢′′ = 𝑓(𝑡, 𝑢) + 𝑔(𝑡, 𝑢)𝑢′ (1.1) 𝑢(𝑎 +) = 0, 𝑢(𝑏 −) = (1.2) 𝑓, 𝑔 ∈ Car𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏) × (0, +∞); ℝ) Luan van Nghiệm toán (1.1), (1.2) hàm 𝑢 không bị chặn, 𝑢 ∈ AC𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏); (0; +∞)) thỏa mãn phương trình (1.1) hầu khắp nơi (𝑎, 𝑏) thỏa mãn điều kiện biên (1.2) Chương Tính giải cho toán (2.1), (2.2) Chương xây dựng điều kiện đủ cho tính giải tốn giá trị biên: 𝑢′′ = 𝑓(𝑡, 𝑢) + 𝑔(𝑡, 𝑢)𝑢′ (2.1) 𝑢(𝑎 +) = 0, 𝑢(𝑏 −) = (2.2) 𝑓, 𝑔 ∈ Car𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏) × (0,1); ℝ) Nghiệm toán (2.1), (2.2) hàm 𝑢 bị chặn, 𝑢 ∈ AC𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏); ℝ), < 𝑢(𝑡) < 1, 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏) thỏa mãn phương trình (2.1) hầu khắp nơi (𝑎, 𝑏) thỏa mãn điều kiện biên (2.2) Luan van Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (1.1), (1.2) Trong chương này, ta xây dựng điều kiện đủ số trường hợp điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm khơng bị chặn tốn giá trị biên: 𝑢′′ = 𝑓(𝑡, 𝑢) + 𝑔(𝑡, 𝑢)𝑢′ (1.1) 𝑢(𝑎 +) = 0, 𝑢(𝑏 −) = (1.2) Trong 𝑓, 𝑔 ∈ Car𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏) × (0, +∞); ℝ) 1.1 Các kết cho toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.1 Hàm liên tục 𝜎: (𝑎, 𝑏) → (0, +∞) hàm (trên) phương trình (1.1) ∈ 𝐴𝐶𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏)\{𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 }; (0, +∞)), 𝑎 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 < 𝑏, tồn giới hạn hữu hạn 𝜎(𝑎 +), 𝜎(𝑏 −), 𝜎′(𝑡𝑖 +), 𝜎 ′ (𝑡𝑖 −), 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛, 𝜎 ′ (𝑡𝑖 −) < 𝜎′(𝑡𝑖 +) ( 𝜎 ′ (𝑡𝑖 −) > 𝜎′(𝑡𝑖 +)), 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛, hkn 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏) ta có: 𝜎 ′′ (𝑡) ≥ 𝑓(𝑡, 𝜎(𝑡)) + 𝑔(𝑡, 𝜎(𝑡))𝜎 ′ (𝑡) (𝜎′′(𝑡) ≤ 𝑓(𝑡, 𝜎(𝑡)) + 𝑔(𝑡, 𝜎(𝑡))𝜎′(𝑡)) Định lý 1.2 Giả sử 𝜎1 𝜎2 hàm hàm phương trình (1.1) và: 𝜎1 (𝑡) ≤ 𝜎2 (𝑡), 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝜎1 (𝑎 +) = 0, 𝜎1 (𝑏 −) = 0, 𝜎2 (𝑎 +) ≠ 0, 𝜎2 (𝑏 −) ≠ (1.3) Giải sử thêm, với < 𝜂 < min{𝜎2 (𝑡): 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏} tồn 𝛾 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑝𝜂 , 𝑞𝜂 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐 ((𝑎, 𝑏); ℝ+ ) thỏa mãn: Luan van ... luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài ? ?Một lớp toán biên hai điểm khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai? ?? thực với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, không chép Nội dung luận văn tham khảo, trình. .. PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... [20] Một mục đích vi? ??c nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân xem xét tồn nghiệm, tính chất nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch hay phương trình vi phân khơng quy Bài