BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Luan[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh VỀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Luan van LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Trần Tuấn Nam, người hết lòng giúp đỡ tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN- SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn tất thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Đại số lý thuyết số khóa 22 Thành phố Hồ Chí Mịnh, ngày 17 tháng 09 năm 2013 Học viên Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh Luan van MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG CÁC KÍ HIỆU LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin .7 1.2 Hàm tử Tor 1.3 Hàm tử xoắn 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 1.5 Đối ngẫu Matlis 1.6 Giới hạn ngược đầy đủ 10 1.7 Môđun đầy đủ I- adic 12 1.8 Độ dài môđun .13 1.9 Iđêan nguyên tố đối liên kết 14 1.10 Giá môđun 14 CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MƠĐUN ARTIN16 2.1 Mơđun đồng điều địa phương suy rộng 16 2.2 Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin .17 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 Luan van BẢNG CÁC KÍ HIỆU R vành giao hốn có đơn vị Rˆ vành đầy đủ R Tori R ( A, B ) tích xoắn i chiều R môđun A B Hi ( X ) môđun đồng điều thứ i phức X Hi (X ) môđun đối đồng điều thứ i phức X lim M t giới hạn ngược {M t , f rt } lim M t giới hạn thuận {M t , f rt } Hom ( A, B ) tập hợp đồng cấu từ môđun A đến mơđun B Ext Ri ( A, B ) tích mở rộng i chiều R môđun A B ΓI ( M ) hàm tử I - xoắn H Ii ( M , N ) môđun đối đồng điều địa phương suy rộng M , N I AssR ( M ) tập iđêan nguyên tố liên kết môđun M depthI ( M ) độ sâu môđun M iđêan I widthI ( M ) chiều rộng môđun M iđêan I R (M ) độ dài môđun M D(M ) đối ngẫu Matlis môđun M E ( R / m) bao nội xạ R / m ΛI ( M ) đầy đủ I - adic môđun M N dim ( M ) chiều noether môđun M ← t → t Luan van Coass ( M ) tập iđêan nguyên tố đối liên kết với môđun M Supp ( M ) giá môđun M CosR ( M ) đối giá môđun M V (I ) {P ∈ SpecR P ⊇ I } H iI ( M , N ) môđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i M , N GrJ ( R ) vành phân bậc liên kết R J pd ( M ) chiều xạ ảnh môđun M AnnR ( M ) 0} { x ∈ R xM = :K x 0} {a ∈ K ax = I Luan van LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta biết lý thuyết đồng điều địa phương đối ngẫu lý thuyết đối đồng điều địa phương A Grothendieck Lý thuyết đồng điều địa phương suy rộng nghiên cứu phát triển ngày mạnh J P C Greenless, J P May, L Alonso Tarrio, A Jeremias Lopez, J Lipman, J Herzog, N T Cuong, T T Nam… Cho R vành noether giao hoán với phần tử đơn vị khác không Lấy I iđêan R, M, N R-môđun, mơđun đồng điều địa phương suy rộng thứ i H iI ( M , N ) M, N I định nghĩa: H iI ( M , N ) = lim Tori R (M/ I t M , N ) ← t Định nghĩa mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng mở rộng đồng điều địa phương thông thường Nhiều kết quan trọng mơđun đồng điều địa phương suy rộng tìm ra, bên cạnh nhà tốn học nghiên cứu tìm kết mơđun đồng điều địa phương suy rộng Từ định nghĩa môđun đồng điều địa phương suy rộng, luận văn nghiên cứu số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho mơđun artin tính artin, tính noether Phần luận văn tìm hiểu số tính chất mơđun đối đồng điều địa phương từ tính chất mơđun đồng điều địa phương thơng qua đối ngẫu Matlis Bên cạnh đó, luận văn cịn mơ tả chiều rộng WidthI ( M ) , độ sâu depthI ( M ) môđun M dựa vào đồng điều địa phương suy rộng Nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương cung cấp trình bày lại khái niệm, số mệnh đề tính chất nhằm mục đích sử dụng chứng minh chương Vì lý nên chương tính chất, mệnh đề thừa nhận mà không chứng minh Chương 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin Luan van Mục đích chương nghiên cứu vài tính chất mơđun đồng điều địa suy rộng cho mơđun artin: tính artin, tính noether dựa vào đồng điều địa phương suy phương để mô tả chiều rộng mơđun M Bên cạnh chúng tơi dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Vì mục đích nên chương chia làm phần: Phần một: Trình bày định nghĩa môđun đồng điều địa phương suy rộng Phần hai: Trình bày số tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin, dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu vài tính chất đối đồng điều địa phương suy rộng Dù cố gắng cịn nhiều hạn chế nhận thức nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp, phê bình, bổ sung q thầy cơ, bạn để luận văn hoàn chỉnh thêm Sau nội dung luận văn Luan van CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun noether môđun artin Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị dãy khớp ngắn R- môđun 0→ N →M →P→0 Khi M mơđun noether (artin) N P môđun noether (artin) Mệnh đề 1.1.2 Mỗi R- môđun hữu hạn sinh vành noether R- môđun noether Mệnh đề 1.1.3 Cho M môđun vành giao hốn R i) Nếu M mơđun noether môđun môđun thương M môđun noether ii) Nếu M mơđun artin mơđun môđun thương M môđun artin 1.2 Hàm tử Tor Mệnh đề 1.2.1 Cho M, N R- mơđun Khi Tor0R ( M , N ) ≅ M ⊗ R N Định lí 1.2.2 i) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → G R-mơđun ta có dãy khớp dài sau: E* → Tori +1 (G, N ) → Tori +1 (G, L) → Tori (G, M ) → Tori (G , N ) → E* → Tor1 (G, L) →G ⊗ M → G ⊗ N → G ⊗ L → ii) Cho dãy khớp R-môđun → M → N → L → A R-mơđun ta có dãy khớp dài sau: Luan van E* → Tori ( M , A) → Tori ( N , A) → → Tori +1 ( N , A) → Tori +1 ( L, A) E* →M ⊗ A → N ⊗ A → L⊗ A → → Tor1 ( L, A) 1.3 Hàm tử xoắn Định nghĩa 1.3.1 Cho R vành giao hoán, M R- môđun, I iđêan R, tập Γ I (M ) = (0 :M I n ) , tập tất phần tử M bị linh hóa lũy thừa n∈ I Rõ ràng, Γ I ( M ) môđun M → N , ta có f (Γ I ( M )) ⊆ Γ I ( N ) Như vậy, f Với R- đồng cấu môđun f : M cảm sinh đồng cấu thu hẹp Γ I ( M ) , định bởi: Γ I ( f ) : Γ I ( M ) →Γ I ( N ) f ( m) m Nếu g : M → L R- đồng cấu mơđun, ta có: → N h : N ΓI ( h g ) = ΓI ( h) ΓI ( g ) ΓI ( h + g ) = ΓI ( h) + ΓI ( g ) Γ I ( rh ) = r Γ I ( h ) ∀r ∈ R Γ I ( Id M ) = Id Γ I ( M ) Từ nhận xét trên, ta thấy Γ I trở thành hàm tử hiệp biến cộng tính, R- tuyến tính cộng tính từ phạm trù R- mơđun vào Γ I cịn gọi hàm tử I - xoắn Nếu Γ I ( M ) = ta nói M I - không xoắn, Γ I ( M ) = M ta nói M I xoắn Từ đó, với R- mơđun M , mơđun Γ I ( M ) I - xoắn M Γ I ( M ) I không xoắn Mệnh đề 1.3.2 Cho M R- mơđun I- xoắn Khi tồn phép giải nội xạ M cho thành viên R- môđun I- xoắn Luan van ... sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Tốn Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN- SĐH trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm... Tuấn Nam Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Luan van LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS TS Trần Tuấn Nam, người hết lịng giúp đỡ tận tình hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi... hợp thành Định nghĩa 1.8.2 Nếu R- mơđun M có dãy hợp thành tất dãy hợp thành M có độ dài Khi độ dài dãy hợp thành M gọi độ dài mơđun M kí hiệu R ( M ) Nếu R- mơđun M khơng có dãy hợp thành