Đang tải... (xem toàn văn)
Tröôøng Cao Ñaúng Kyõ Ngheä DL Tp 1 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH NGUYEÃN HUYØNH NGOÏC XUAÂN BIEÅU DIEÃN SOÁ NGUYEÂN TOÁ BÔÛI CAÙC DAÏNG TOAØN PHÖÔNG[.]
-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN HUỲNH NGỌC XUÂN BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN TỐ BỞI CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG BẬC HAI NGUYÊN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 604605 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mỵ Vinh Quang Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2006 Luan van -2- MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa .1 Muïc luïc .2 Mở đầu .3 Chương 1: Kiến thức baûn 1.1 Ký hiệu Legrendre 1.2 Ký hiệu Jacobi 10 1.3 vành số nguyên đại số 11 Chương 2: Tình Euclide vành số nguyên đại số bậc hai 14 2.1 Mieàn Euclide .14 2.2 Ví dụ miền Euclide .15 2.3 Ví dụ miền không Euclide 27 Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dạng toàn phương bậc hai nguyên 33 3.1 Bổ đề 33 3.2 Bổ đề 34 3.3 Định lý .36 3.4 Định lý 37 3.5 Định lý 39 3.6 Một số hàm số học 41 Tài liệu tham khaûo .47 Luan van -3- MỞ ĐẦU Một số nguyên n gọi biểu diễn dạng toàn phương bậc hai nguyên: ax2 + bxy + cy2 (a, b, c ∈ Z) có số nguyên x, y cho n = ax2 + bxy + cy2 Bài toán biểu diễn số nguyên tố dạng toàn phương bậc hai nguyên toán quan trọng có nhiều ứng dụng lý thuyết số Trong luận văn nghiên cứu tính Euclide vành số nguyêncủa trường mở rộng bậc 2, trường số hữu tỉ Q sau ứng dụng để nghiên cứu số cách biểu diễn số nguyên tố p dạng toàn phương bậc hai nguyên Luận văn gồm có chương: Chương 1: Kiến thức Nêu định nghóa tính chất ký hiệu Legendre Jacobi Định nghóa mô tả vành số nguyên đại số trường Q ( m ) Chương 2: Tính Euclide vành số nguyên đại số bậc hai Chúng nghiên cứu vành số nguyên đại số bậc hai miền Euclide không miền Euclide Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dạng toàn phương bậc hai nguyên Áp dụng chương chương để xét xem số nguyên tố p biểu diễn dạng toàn phương bậc hai nguyên cho trước số n ta tính ước d n biểu diễn tổng ước Tôi xin gởi lời cảm ơn đến thầy, cô khoa toán trường ĐH Sư phạm TP.HCM thầy cô tham gia giảng dạy suốt trình học tập Đặc biệt PGS.TS Mỵ Vinh Quang nhiệt tình dành nhiều thời gian để hướng dẫn, giúp đỡ việc chọn đề tài thực luận văn Luan van -4- CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Ký hiệu Legendre 1.1.1 Định nghóa Đối với phương trình đồng dư bậc hoàn toàn biết phương trình có nghiệm hay không có có nghiệm Ta có phương trình dạng Ax2 + Bx + C = (mod P) (p số nguyên tố lẻ) đưa dạng x2 = a (modp) (1) Do xét đến dạng (1) Nếu phương trình (1) có nghiệm ta a thặng dư bậc hai theo modun p phương trình (1) vô nghiệm ta nói a bất thặng dư bậc hai theo modun p Trong hệ thặng dư thu gọn theo modun p có ⎛ p −1 ⎞ đồng dư với số 1, 22… ⎜ ⎟ vaø ⎝ ⎠ p −1 thặng dư bậc hai tương ứng p −1 bất thặng dư bậc 2 Ví dụ: Tìm thặng dư baäc hai theo modun ⎧⎪ 2 ⎛ p − ⎞2 ⎫⎪ 2 Đặt s’ = ⎨1 ,2 ⎜ ⎟ ⎬ = ,2 ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩ { } ⇒ 1, thặng dư 2, bất thặng dư bậc theo modun Tìm thặng dư bất thặng dư baäc theo modun { 2 s’ = ,2 ,3 } ⇒ Thặng dư bậc theo modun laø 1, 4, vaø 3, 5, bất thặng dư theo modun Để xét xem phương trình x2 = a (modp), (a;p) = có nghiệm hay không, ⎛a⎞ Legendre đưa vào ký hiệu ⎜ ⎟ (ký hiệu Legendre) xác định sau: ⎝p⎠ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = a thặng dư bậc theo modun p ⎝p⎠ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = -1 a bất thặng dư bậc hai theo modun p ⎝p⎠ 1.1.2 Tính chất ký hiệu Legendre p −1 ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ≡ a (modp) ⎝p⎠ Luan van -5⎛a⎞ * Neáu a thặng dư bậc theo modun p ta coù ⎜ ⎟ = hay coù x0 cho a ≡ ⎝p⎠ x (modp) ⇒ a (modp) ⇒ a p −1 p −1 ≡ x 0p−1 (modp), mặt khác (xo, p) =1 nên theo định lý Fecma ta có x 0p−1 ≡ ⎛a⎞ ≡ x 0p−1 ≡ (modp) maø ⎜ ⎟ = neân a ⎝p⎠ p −1 ⎛a⎞ ≡ ⎜ ⎟ (modp) p ⎝ ⎠ p −1 ⎛a⎞ Vaäy ⎜ ⎟ ≡ a (modp) ⎝p⎠ ⎛a⎞ * Nếu a bất thặng dư bậc theo modun p ta coù: ⎜ ⎟ = -1 ⎝p⎠ (a, p) = ⇒ ap-1 ≡ (modp) ⎛ p2−1 ⎞ ⎛ p2−1 ⎞ ⇔ ⎜ a − 1⎟ ⎜ a + 1⎟ ≡ (modp) ⎝ ⎠⎝ ⎠ Ta lại có thặng dư thỏa Z Nên a p −1 p −1 ≡ (modp) bất thặng dư không thỏa ≡ -1 (modp) (Vì a bất thặng dư theo modun p) p −1 ⎛a⎞ Vậy ⎜ ⎟ ≡ a (modp) ⎝p⎠ ⎛a⎞ ⎛b⎞ Neáu a ≡ b (modp) ta có ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝p⎠ ⎝p⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = với p nguyên tố lẻ ⎝p⎠ Chứng minh: Thật vậy, phương trình x2 ≡ (modp) có ngheäim ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ = ( −1) p ⎝ p −1 ⎠ Chứng minh: Áp dụng tính chất (1) với a = -1 Ta có: p −1 ⎛ 1⎞ − ≡ − ( ) ⎜ ⎟ ⎝ p⎠ (modp) Hai vế đồng dư thức lấy giá trị -1 p số nguyên tố lẻ nên -1 khác lớp theo modun p ñoù ta coù p −1 ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ = ( −1) ⎝ p⎠ ⎛ a1a2 ak p ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ a1 ⎞⎛ a2 ⎞ ⎛ a3 ⎞ ⎛ ak ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ Luan van -6- Chứng minh: ⎛ a1a2 ak p ⎝ p −1 ⎞ a a a ≡ ⎟ ( k ) (modp) (tính chất 1) ⎠ ⇔ ⎛ a1a2 ak ⎜ p ⎝ p −1 p −1 p −1 p −1 ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎟ ≡ a1 a2 ak (modp) maø ⎜ ⎟ ≡ (mod p) p ⎠ ⎝ ⎠ neân ⎛ a1a2 ak ⎜ p ⎝ ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ a2 ⎞ ⎛ ak ⎞ ⎟ ≡ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (modp) ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⇒ ⎛ a1a2 ak ⎜ p ⎝ ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ a2 ⎞ ⎛ ak ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ Ta coù: ⎜ ⎛ b2 ⎞ ⎛ b2 ⎞ ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎡1.1 = Hệ quả: ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎢ ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⎣(−1)(−1) = ⎝ p ⎠ ⎛ ab2 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ b2 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ ab2 ⎞ a ⎛a⎞ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝p⎠ ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ p Bổ đề Gao-xơ: Gọi μ số dãy a, 2a… tuyệt đối nhỏ theo modp âm p −1 a mà có thặng dư giá trị ⎛a⎞ Thế ta có: ⎜ ⎟ = (-1)μ ⎝p⎠ Chứng minh: Đặt p1 = p −1 – Ta xét đồng dư thức: 1.a ≡ ε1r1 (modp) 2.a ≡ ε2r2 (modp) … (2) p1a ≡ εp1rp1 (modp) Trong đó: εi = ±1 vaø ≤ ri ≤ p1 Trong p1 số ε1 có μ số âm, lại p1 – μ số dương Để chứng minh mệnh đề ta ⎛a⎞ chứng minh ⎜ ⎟ = ε1.ε2… εp1 ⎝p⎠ Luan van -7- – Ta xét dãy: a, -a, 2a, -2a… p1a, -p1a Đó hệ thặng dư thu gọn theo modp, thặng dư giá trị tuyệt đối nhỏ theo mod p tương ứng ε1r1, -ε1r1, ε2r2, -ε2r2… εp1rp1, -εp1rp1 Trong thặng dư phải trùng với số 1, 2… p1 sai khác thứ tự, ta có: r1.r2… rp = 1.2… p1 = p1! Nhân đồng dư thức (2) vế với ta được: p1 !a ≡ ε1ε ε p p1 ! (mod p) p1 ⇒ ap1 ≡ ε1 ε2…εp1 (modp) p −1 ⎛a⎞ ⎛a⎞ Maø ⎜ ⎟ ≡ a = ap1 (modp) ⇒ ⎜ ⎟ ≡ ε1 ε2…εp1 (modp) hai vế đống dư thức ⎝p⎠ ⎝p⎠ -1 p số nguyên tố lẻ nên -1 hai lớp khác theo modun p ⎛a⎞ ta có: ⎜ ⎟ = ε1 ε2…εp1 ⎝p⎠ p1 ⎡ ka ⎤ p −1 ⎛a⎞ (a −1)+ ∑ ⎢ ⎥ p⎦ ⎜ ⎟ = ( −1) k =1 ⎣ ⎝p⎠ Chứng minh: để chứng minh công thức ta chứng minh: p1 ⎡ ka ⎤ p2 − μ≡ (a − 1) + ∑ ⎢ ⎥ (mod 2) k =1 ⎣ p ⎦ – Ta xét dãy đẳng thức: a = q1p + γ1 2a = q2p + γ2 (3) … P1a = qp1p + γp1, ≤ γi < p Nhö p1 số γi có μ số lớn p – ri ta có: p1 p1 i =1 i =1 p −1 Ta có γi ri ∑ γ i = ∑ εi ri + μp Neáu εi >0 => γi = ri εi γi = p - γi – Như cộng đẳng thức (3) vế ta được: Luan van -8- ( p1 + 1) p1 a = p p1 ⎡ ka ⎤ + ( p1 + 1) p1 p − p −1 = ∑ ⎢ ⎥ ∑ ε1ri + μp (*) p = nên k =1 ⎣ p ⎦ i =1 (*) ⇔ a Đặt A= p1 p1 ⎡ ka ⎤ p1 p2 − = p∑ ⎢ ⎥ + ∑ ε1ri + μp k =1 ⎣ p ⎦ i =1 ∑ r ; -B = ∑ r εi > i εi < (4) (A, B > 0) i p1 ( p1 + 1) p2 − = A + B = ∑ ri = + + + p1 = i =1 p1 p1 ∑ ε r = A − B = A + B − 2B = i i i =1 p2 − − 2B Thay kết vào đẳng thức (4), ta được: a ⇔ p1 ⎡ ka ⎤ p2 − p2 − = p∑ ⎢ ⎥ + − 2B + μp 8 k =1 ⎣ p ⎦ ( a − 1) p1 p1 ⎡ ka ⎤ ⎡ ka ⎤ p2 − + p∑ ⎢ ⎥ = 2p∑ ⎢ ⎥ - B + μp k =1 ⎣ p ⎦ k =1 ⎣ p ⎦ Ta lại có p số nguyên tố lẻ nên p ≡ (mod2) Lấy đồng dư thức theo modun hai vế (4) ta : ⎛ p2 − ⎞ p1 ⎡ ka ⎤ ⎟+∑⎢ ⎥ ⎝ ⎠ k =1 ⎣ p ⎦ μ ≡ (a – 1) ⎜ (mod2) Áp dụng công thức ta được: p1 ⎡ ka ⎤ p −1 ⎛a⎞ ( a −1) + ∑ ⎢ ⎥ μ ⎣p⎦ 1 = − = − ( ) ( ) = k ⎜ ⎟ p ⎝ ⎠ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝p⎠ p2 −1 Chứng minh: Áp dụng công thức với a = Vì k = 1, 2… k< ⇒ p −1 neân p −1 ⇒ ak = 2k ≤ (p – 1) < p ⎡ ka ⎤ p −1 ⎢ p ⎥ = 0, ∀k = 1, 2… ⎣ ⎦ p1 ⎡ ka ⎤ p −1 p −1 ⎛2⎞ ( −1) + ∑ ⎢ ⎥ p ⎦ = ( −1) ⎣ = − ( ) = k ⎜ ⎟ ⎝p⎠ 2 Luan van -9- Neáu p, q hai số nguyên tố lẻ phân biệt ta coù p −1 q −1 ⎛q⎞ ⎛p⎞ ⎜ ⎟ = ( −1) 2 ⎜ ⎟ ⎝p⎠ ⎝q⎠ Chứng minh: ⎛q⎞ ⎛p⎞ Ta chứng minh ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝p⎠ ⎝q⎠ p −1 q −1 2 Theo công thức 7, ta coù: ⎛q⎞ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝p⎠ p−1 p−1 2 ⎡ kq ⎤ p2 −1 ( q −1) + ⎢ ⎥ p⎦ k =1 ⎣ ∑ q−1 ⎛p⎞ ⎡ kq ⎤ ⎢ ⎥ p ⎦ (vì (q – 1) số chẵn) = ( −1)∑ k =1 ⎣ ⎛q⎞ ⎛p⎞ ⎡ lp ⎤ Tương tự: ⎜ ⎟ = ( −1)∑ ⎢⎣ q ⎥⎦ nên ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝p⎠ ⎝q⎠ ⎝q⎠ p−1 q −1 ⎡ kq ⎤ ⎡ lp ⎤ ∑ ⎢ ⎥+ ∑ ⎢ ⎥ k =1 ⎣ p ⎦ l=1 ⎣ q ⎦ l=1 Ta chứng minh: p −1 q −1 p − q − ⎡ kq ⎤ ⎡ lp ⎤ = ∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥ 2 k =1 ⎣ p ⎦ l =1 ⎣ q ⎦ Ta xeùt p −1 q −1 p −1 q −1 số có dạng kq.lp với k = 1, 2… ; l = 1, 2… 2 2 Trong số kq - lp hiển nhiên số Gọi số số dương s1 số số âm s2, ta có: s1 + s = p −1 q −1 2 Mặt khác ta có s1 số số l cho kq – lp > với k = 1, 2… kq p −1 số l cho l < , k = 1, 2… ⇒ s1 = p p −1 ⎡ kq ⎤ ∑⎢ p ⎥ k =1 ⎣ ⎦ Và tương tự s2 số số k cho kq – lp < với l = 1, 2… số k cho k < p −1 lp q −1 với l = 1, 2… ⇒ s2 = q ⎡ kq ⎤ Vaäy s1 + s2 = ∑ ⎢ ⎥ + k =1 ⎣ p ⎦ q −1 ⎡ lp ⎤ ∑⎢ q ⎥ l =1 ⎣ p −1 nghóa số ⎦ Luan van q −1 ⎡ lp ⎤ ∑⎢ q ⎥ l =1 ⎣ ⎦ q −1 nghóa số - 10 - ⇔ p −1 q −1 = 2 p −1 ⎡ kq ⎤ ∑⎢ p ⎥ k =1 ⎣ ⎦ ⎛q⎞ ⎛p⎞ Do ta có: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝p⎠ ⎝q⎠ ⇒ + q −1 ⎡ lp ⎤ ∑⎢ q ⎥ l =1 ⎣ ⎦ p −1 q −1 2 p −1 q −1 ⎛q⎞ ⎛p⎞ ⎜ ⎟ = ( −1) 2 ⎜ ⎟ ⎝p⎠ ⎝q⎠ 1.2 Ký hiệu Jacobi 1.2.1 Định nghóa Cho p số lẻ lớn p = p1.p2… pr dạng phân tích p thành thừa số nguyên tố (p1, p2… pr: trùng nhau) cho (a, p) = Khi ký hiệu Jacobi xác định đẳng thức: ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ p ⎠ ⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠ ⎝ p r ⎠ ⎛a⎞ ⎟ ký hiệu Legendre ⎝ pi ⎠ Trong ⎜ 1.2.2 Các tính chất ⎛a⎞ ⎛a ⎞ Nếu a ≡ a1 (modp) ta có ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝p⎠ ⎝ p ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = ⎝p⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ = ( −1) p ⎝ p −1 ⎠ ⎛ a1a2 an ⎞ ⎛ a1 ⎞⎛ a2 ⎞ ⎛ an ⎞ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ p ⎝ ⎠ ⎝ p ⎠⎝ p ⎠ ⎝ p ⎠ ⎜ ⎛ b2 ⎞ ⎛ ab2 ⎞ ⎛ a ⎞ Hệ quả: ⎜ ⎟ = 1; ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ p⎠ ⎝ p ⎠ ⎝p⎠ p −1 ⎛2⎞ ⎜ ⎟ = ( −1) ⎝p⎠ Neáu P, Q hai số lẻ nguyên tố ta có: p −1 Q −1 ⎛P⎞ ⎛Q⎞ 2 = − ( ) ⎜ ⎟ ⎜Q⎟ ⎝P⎠ ⎝ ⎠ Luan van ... đại số trường Q ( m ) Chương 2: Tính Euclide vành số nguyên đại số bậc hai Chúng nghiên cứu vành số nguyên đại số bậc hai miền Euclide không miền Euclide Chương 3: Biểu diễn số nguyên tố dạng toàn. .. số nguyên tố dạng toàn phương bậc hai nguyên Áp dụng chương chương để xét xem số nguyên tố p biểu diễn dạng toàn phương bậc hai nguyên cho trước số n ta tính ước d n biểu diễn tổng ước Tôi xin... toán biểu diễn số nguyên tố dạng toàn phương bậc hai nguyên toán quan trọng có nhiều ứng dụng lý thuyết số Trong luận văn nghiên cứu tính Euclide vành số nguyêncủa trường mở rộng bậc 2, trường số