Skkn một số bài toán véc tơ áp dụng trong giảng dạy học sinh giỏi toán 10

MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu .2 Tên sáng kiến: Tác giả sáng kiến: .2 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: .2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: .2 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Mô tả chất sáng kiến: 7.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 7.2 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ 7.3 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ 10 Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): 19 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 19 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu được: .19 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 19 KẾT LUẬN .20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 skkn BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vị trí, vai trị quan trọng, môn học bản, môn học cơng cụ Nếu học tốt mơn Tốn tri thức với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, ngồi việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết; mơn tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo bồi dưỡng óc thẩm mĩ Với nguyện vọng giúp học sinh nâng cao tư mơn tốn tơi tập trung khai thác tốn khó véc tơ thuộc kiến thức hình học 10 Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh lớp 10 có thêm phương pháp giải số tốn khó Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÉC TƠ ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Minh Huệ - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên - Số điện thoại: 0915727568 E_mail:nguyenminhhue.c3binhxuyen.@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Thị Minh Huệ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy lớp chọn Các thầy cô học sinh sử dụng tốn đề tài làm toán gốc để đặt giải tập tương tự Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng năm 2019 trực tiếp giảng dạy lớp 10A2 Mô tả chất sáng kiến: - Về nội dung sáng kiến chia thành phần 7.1 Kiến thức 7.2 Một số tập hay liên quan đến phép toán véc tơ 7.3 Một số tập hay liên quan đến tích vơ hướng hai véc tơ Sau đây, tác giả trình bày nội dung cụ thể phần skkn 7.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN Các phép toán véc tơ  Quy tắc ba điểm: với điểm A, B, C tùy ý ta có:  Quy tắc trừ: với điểm A, B, C tùy ý ta có:  Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành  Tính chất trung điểm đoạn thẳng: + M trung điểm đoạn thẳng AB + M trung điểm đoạn thẳng AB với điểm O ta có:  Tính chất trọng tâm tam giác: + G trọng tâm tam giác ABC + Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm O ta có:  Điều kiện hai vectơ phương: phương ,( R)  Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng cho ,( R)  Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương: Cho hai vectơ khơng phương Khi vectơ phân tích cách theo hai vectơ , nghĩa có cặp số h, k cho Tích vơ hướng hai vectơ  Định nghĩa: Đặc biệt:  Tính chất: Với + kR, ta có: ; + ; + ; + + ; + ; + + =0 Biểu thức toạ độ tích vơ hướng  Cho = (a1, a2), = (b1, b2) Khi đó:  ; ;   Cho Khi đó: skkn 7.2 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ Bài 1: (Đề thi hsg Hải Dương 2012-2013) Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng Lời giải: Vì Giả sử Mà nên Vì B, K, E thẳng hàng (B ) nên có m cho Do có: Hay Do khơng phương nên Từ suy Vậy Bài 2: (Đề thi hsg cấp trường – Con Cuông – Nghệ An 2014-2015) Cho tam giác ABC; M điểm thuộc cạnh BC cho MC = 2MB, N điểm thuộc cạnh AC cho NA = 2NC Gọi K giao điểm MA BN Chứng minh rằng: AK = 6.KM Lời giải: Đặt: Khi đó: ; Do B, N, K thẳng hàng nên skkn Suy (đpcm) Bài 3: (Đề thi hsg cấp trường – Tân Kỳ – Nghệ An 2015-2016) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC cho , N thuộc BM cho , P thuộc BC cho Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng Lời giải: Ta có: Ba điểm A, N, P thẳng hàng Bài 4: Cho tứ giác Lời giải: cạnh Tính vectơ , lấy điểm theo hai vectơ , , cho Ta chứng minh toán sau: Gọi , trung điểm , ta có: Thật vậy, ta có: Gọi , trung điểm skkn Khi áp dụng kết tốn ta có: Bài 5: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tứ giác ABCD khơng hình thang Gọi M, N điểm thuộc cạnh AD, BC cho Tìm số thực Lời giải: Theo ta có Ta có (2) Cộng theo vế (1) (2) ta thỏa mãn ; (1) Mà không phương nên (p,q) Vậy p = 2017/2018, q = 1/2018 Bài 6: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn tâm O G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB G’ trọng tâm tam giác MNP Chứng minh O, G, G’ thẳng hàng Lời giải: Kết bản: cho tam giác ABC trọng tâm G Khi với điểm O ta có Do M, N, P trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB nên: Cộng vế hệ thức ta được: thẳng hàng Bài 7: Cho tam giác ABC có trực tâm H, D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Lời giải: Ta có: Vì D đối xứng với B qua O nên D thuộc đường tròn tâm (O) AD // DH (cùng vng góc với AB) AH // CD (cùng vng góc với BC) Suy ADHC hình bình bành Vậy skkn Bài 8: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB; H trực tâm tam giác ABC L trọng tâm tam giác MNP Chứng minh ba điểm O, H, L thẳng hàng Lời giải: A P N H B O C K M D Kẻ đường kính AD, tứ giác BHCD hình bình hành nên trung điểm K BC trung điểm HD, tam giác AHD có OH đường trung bình nên Ta có đẳng thức tương tự ta được: suy O, H, L thẳng hàng Bài 9: Tam giác tam giác nhọn có đường cao Chứng minh Lời giải: A B Đặt A C skkn Ta thấy hai vecto chúng hai vecto đối Vậy Bài 10: Cho tứ giác ABCD a Xác định điểm O cho ngược hướng độ dài vecto nên b Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức Lời giải: a Ta có: Gọi I trung điểm BD Khi Vậy hay Từ suy vị trí điểm O b Mà theo câu a Do  MO = MA Vậy tập hợp điểm M đường trung trực OA Bài 11: Cho tam giác , trọng tâm , gọi trung điểm thoả mãn: Tìm tập hợp điểm Lời giải: Ta có: Vậy tập hợp điểm Bài 12: Cho thoả hệ thức đường trung trực Tìm tập hợp điểm cho: Lời giải: A A Gọi điểm thỏa mãn N C Gọi , trung điểm , Ta được: cố định nên tập hợp điểm Bài 13: Cho tam giác đường trịn tâm Tập hợp điểm , bán kính cho: skkn Lời giải: Gọi điểm cạnh cho , ta có: Vậy nằm đường trịn tâm , bán kính với nằm cạnh cho skkn 7.3 MỘT SỐ BÀI TẬP HAY LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ Bài 1: (Đề thi hsg Đà Nẵng 2010-2011) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b Các điểm M, N xác định Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với Lời giải: Ta có: Tương tự ta có: Vậy:     Bài 2: (Đề thi hsg Hải Dương 2012-2013) Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M cho biểu thức ( Lời giải: ) đạt giá trị lớn Kẻ đường cao AH, ta có nên Do đó: Suy Kết hợp giả thiết suy hay Do điểm I thỏa mãn gt I thỏa mãn A trung điểm IH Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: (*) bình phương vơ hướng vế (*), ý ta có: Từ có Mặt khác Tương tự cho yMB2; zMC2 cộng đẳng thức lại ta có Thay số có: Dấu xảy M trùng I Bài 3: (Đề thi hsg Hà Tĩnh 2012-2013) Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b Trung tuyến CM vng góc với phân giác AL Tính Lời giải: Ta có: 10 skkn Theo giả thiết: Khi đó: Bài 4: (Đề thi hsg cấp trường – Liễn Sơn– Vĩnh Phúc 2015-2016) Cho tam giác cạnh Lấy điểm cạnh cho Chứng minh Lời giải: Ta có : Suy (đpcm) 11 skkn Bài 5: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tam giác ABC khơng cân, có trọng tâm G ngoại tiếp đường tròn tâm I Biết BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh IG vng góc với IC Lời giải: Học sinh chứng minh Do đó: Suy IG vng góc với IC Mà nên Bài 6: (Đề thi hsg cấp trường – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc 2017-2018) Cho tam giác ABC cạnh Gọi M, N điểm cạnh AB, AC cho Tính độ dài đoạn thẳng AM theo a, biết hai đường thẳng CM BN vng góc với Lời giải: A M N B C Ta có Do Với Bài 7: (Đề thi hsg cấp trường – Sáng Sơn – Vĩnh Phúc 2018-2019) Cho tam giác ABC có AB =6; BC=7; CA=5 M điểm thuộc cạnh AB cho AM= 2MB; N thuộc AC cho Tìm k để CM vng góc với BN Lời giải: 12 skkn Suy Bài 8: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2009-2010) Cho tam giác ABC không với ba cạnh Gọi O G theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; S R theo thứ tự diện tích bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC nên Suy Mà , tương tự với hai hệ thức cịn lại Từ suy Bài 9: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2010-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm Tìm tọa độ điểm M trục hồnh cho góc AMB Lời giải: Giả sử tọa độ Khi Theo giả thiết ta có Vậy ta có hai điểm cần tìm Bài 10: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho tam giác nhọn ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn Gọi G M trọng tâm tam giác ABC trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng OG vng góc với đường thẳng OM Lời giải: 13 skkn Áp dụng quy tắc trọng tâm quy tắc trung điểm ta có: Khi (chú ý ) Bài 11: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014) Cho tam giác , dựng phía ngồi tam giác hai tam giác vng với , cho tam giác đồng dạng với tam giác Gọi trung điểm , chứng minh vng góc với Lời giải: F E A B C M Ta có Ta có Do Vậy Bài 12: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2015-2016) Cho hình vng điểm Tìm điểm đường thẳng cho khơng trùng với thẳng vng góc với đường thẳng trung đường Lời giải: 14 skkn Gọi độ dài cạnh hình vng ABCD Đặt sử Giả Suy Ta có Vậy, điểm nằm thỏa mãn Bài 13: (Đề thi hsg cấp tỉnh Vĩnh Phúc 2016-2017) Cho tam giác tâm Gọi Biết trung điểm vng góc với nội tiếp đường tròn điểm thỏa mãn Tính góc Lời giải: Ta có Gọi tương ứng trung điểm đoạn Do Khi suy Bài 14: Cho tam giác Lấy điểm giao điểm Lời giải: Chứng minh thỏa mãn Gọi 15 skkn Ta có phương nên ; phương nên ta có Khi có: ; Ta có: (ĐPCM) Bài 15: Cho hình vng tâm cạnh Tìm tập hợp điểm thỏa mãn Lời giải: Vậy tập hợp điểm Bài 16: Trong mặt phẳng toạ độ Tìm tọa độ giao điểm Lời giải: đường tròn tâm Cho tam giác đường thẳng bán kính với , , với đường phân giác góc A I Ta có B Suy C Do trung điểm 16 skkn Suy Vậy Bài 17: Trong mặt phẳng toạ độ Tìm Lời giải: đoạn thẳng Nhận xét Mà thuộc đoạn , cho tam giác cho có , có chung đường cao nên nên hướng với Vậy Bài 18: Cho hai véc tơ , , thỏa mãn điều kiện , Tìm tất giá trị Đặt cho Lời giải: 17 skkn Bài 19: Trong hệ tọa độ , cho hai điểm trục hoành cho chu vi tam giác Lời giải: Cách 1: Do trục hồnh , Tìm tọa độ điểm nhỏ , , Ta có chu vi tam giác : Dấu xảy Cách 2: Lấy đối xứng Dấu xảy qua ta Ta có trùng với giao điểm với Bài 20: Cho , Lời giải: Do , Tìm cho nhỏ Ta có: ; Suy ; Do đó: Giá trị nhỏ Dấu Vậy xảy 18 skkn Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10 có học lực tốt mơn Tốn nắm kiến thức Hình chương lớp 10 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Đề tài học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải số tập khó véc tơ 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Đề tài học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải số tập khó véc tơ 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá nhân Nguyễn Thị Minh Huệ Bình Xuyên, ngày 20/01/2020 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Tổ Toán – THPT Bình Xuyên - Giảng dạy tập nâng cao hình véc tơ cho học sinh lớp 10A2 trường THPT Bình Xuyên , ngày tháng .năm Bình Xuyên, ngày 31/12/2019 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Minh Huệ 19 skkn KẾT LUẬN KẾT LUẬN - Trên tập mà đúc rút trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10 trường THPT Bình Xuyên - Đề tài kiểm nghiệm năm học này, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải dạng toán trắc nghiệm Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt - Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn ! KIẾN NGHỊ - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi vào phịng thư viện để giáo viên học sinh nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Tổ chuyên môn cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy mảng chuyên đề hay buổi họp tổ chuyên môn để học hỏi kinh nghiệm - Học sinh cần tăng cường tính tự giác học tập, ôn nhà để nâng cao chất lượng học tập Tơi xin chân thành cám ơn ! Bình Xun, ngày 31/12/2019 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Minh Huệ 20 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Website: http://dethi.violet.vn/ [2] Hình học 10 – Tác giả: Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành Trần Đức Huyên – Nhà xuất Đại học Sư phạm; [3] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo dục; [4] Các đề thi thử chuyên đề Toán 10 trường chuyên nước [5] Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10 tỉnh năm trước   21 skkn ... sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÉC TƠ ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Minh Huệ - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên - Số điện thoại:... vực áp dụng sáng kiến: Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh giỏi lớp 10 vòng tỉnh hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy lớp chọn Các thầy học sinh sử dụng toán. .. 7.2 Một số tập hay liên quan đến phép toán véc tơ 7.3 Một số tập hay liên quan đến tích vơ hướng hai véc tơ Sau đây, tác giả trình bày nội dung cụ thể phần skkn 7.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN Các phép toán