Skkn một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ẩn

Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN LỜI GIỚI THIỆU Trong đề thi THPTQG năm gần (kể từ mơn Tốn thi trắc nghiệm) xuất nhiều toán hàm ẩn Lớp toán hàm ẩn rộng chuyên đề nghiên cứu phần nhỏ biến thiên hàm ẩn Trước hết giúp thân hệ thống dạng tốn xét tính đồng biến nghịch biến, qua phục vụ tốt cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn Vì tơi viết chun đề: ““MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày đạt hiệu hơn, đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục TÊN SÁNG KIẾN “MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Họ tên: Nguyễn Thị Quyên Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2-Tam Đảo- Vĩnh Phúc Số ĐT: 0984870862; E-Mail: nguyenthiquyen.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: thân tác giả LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chun đề mơn Tốn: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ giải dạng toán liên quan đến tính đồng biếnnghịch biến hàm ẩn có đề thi THPTQG NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Tháng năm 2019, mơn Tốn lớp 12 MƠ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến chia làm phần Phần Kiến thức sở Phần Một số dạng toán thường gặp PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tính đơn điệu hàm số skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== 1.1.1 Định nghĩa: Gọi K khoảng hàm số đoạn nửa khoảng xác định K Hàm số đồng biến (tăng) Hàm số nghịch biến(giảm) : Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K 1.1.2 Định lí 1: Cho hàm số có đạo hàm  Nếu hàm số đồng biến  Nếu hàm số nghịch biến 1.1.3 Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Cho hàm số  Hàm số có đạo hàm ) đồng biến phương trình có hữu hạn nghiệm thuộc  Hàm số nghịch biến phương trình có hữu hạn nghiệm thuộc (Chú ý: Dấu xảy điểm “rời nhau”) 1.1.4 Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu  Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng nửa đoạn ) liên tục đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  Nếu hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng nửa đoạn liên tục đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  Nếu hàm đoạn đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn liên tục 1.2 Đạo hàm hàm hợp 1.2.1 Hàm số hợp Cho hàm số xác định chứa tập có tập xác định , tập giá trị hàm số có tập Khi với giá trị ta có giá trị xác định cho skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Khi Hàm số ta nói hàm số gọi hàm số hợp hàm số theo biến số với theo thứ tự 1.2.2 Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số Đặt Ví dụ minh họa 1: Ví dụ minh họa 2: - Lưu ý giải tốn hàm hơp +) Nếu Ví dụ minh họa 3: PHẦN 2: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM DỰA Phương pháp giải Cho đồ thị , hỏi tính đơn điệu hàm  Tìm nghiệm (hồnh độ giao điểm với trục hoành);  Xét dấu (phần mang dấu dương; phần mang dấu âm);  Lập bảng biến thiên hàm số , suy kết tương ứng Bài 2.1 Cho hàm số có đạo hàm liên tục hình vẽ Mê ̣nh đề nào dưới sai? A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến skkn có đồ thị hàm Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== C Hàm số nghịch biến D Hàm số đồng biến Lời giải Từ đồ thị ta thấy (Phần đồ thị ứng với nằm phía (Phần đồ thị ứng với nằm phía ) ) Từ suy mệnh đề A, C, D B sai Cách khác: Để thuận lợi cho số tập phía sau tơi xin đưa môt cách giải khác Dựa vào đồ thị có (Trong nghiệm kép) Chọn Bảng biến thiên - -1 - + Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận:  Khi quan sát đồ thị hàm số làm hấp tấp em học sinh nhầm tính đồng biến-nghịch biến hàm số với tính đồng biến nghịch biến hàm số giáo viên nên lập bảng biến thiên để học sinh TRÁNH NHẦM LẪN  Với toán cho đồ thị hàm Phần đồ thị nằm phía trục hồnh ứng với hàm hồnh ứng với hàm số Bài 2.2 Cho hàm số đồng biến; phần đồ thị phía trục nghịch biến có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== A Hàm số nghịch biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Từ đồ thị hàm ta có Ta có bảng biến thiên - -2 0 + - + Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Bài 2.3 Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau + Hàm số -2 - -1 + - + nghịch biến khoảng khoảng đây? A B C D Lời giải Tính đạo hàm Hàm số nghịch biến Căn vào bảng biến thiên ta thấy Vậy ta chọn đáp án A 2.2 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số  Đọc đồ thị hàm số hỏi tính đơn điệu hàm hợp đề cho xác định skkn DỰA Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Suy  Tính đạo hàm ;  Giải bất phương trình (Quan sát đồ thị suy miền nghiệm);  Lập bảng biến thiên , suy kết tương ứng (Có thể thay bước giải phương trình dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm cho để xét dấu trực tiếp biểu thức ) Bài 2.4 (THPTQG-2019, Mã đề 101) Cho hàm số có bảng xét dấu hình bên -3 -1 + nghịch biến khoảng Hàm số A - B + C D Lời giải Bước Từ bảng biến thiên cho ta Bước Tính đạo hàm hàm Bước Giải bất phương trình Bước Lập bảng biến thiên - + y Kết luận từ bảng biến thiên suy đáp án B skkn - + Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Cách khác: Bạn đọc xem thêm cách giải khác thú vị sau Bước Dựa vào bảng biến thiên có nghiệm bội lẻ (các nghiệm phương trình đổi dấu liên tiếp qua môc Chọn ) Bước Tính đạo hàm hàm Bảng xét dấu - 0 Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số + nghịch biến khoảng Bình luận: Ví dụ cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm có cách giải Từ bảng biến thiên từ đồ thị suy miền âm hay dương hàm để từ suy miền âm hay dương Bài 2.5 Cho hàm số có đạo hàm hình vẽ Hàm số đồng biến khoảng đây? A C B D Lời giải Bước Từ đồ thị hàm số đồ thị hàm số ta thấy skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Bước Ta có: Bước Tìm cho -1 - 0 + - + - + + + + 0 Bước Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D Cách Bước Dựa vào đồ thị có (Trong nghiệm kép) Chọn Bước Tinh đạo hàm Cho (Trong có nghiệm kép) Bước Lập bảng biến thiên -1 10 skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== - + + Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D - - + Bình luận: Căn vào đồ thị hàm số có dạng đồ thị hàm đa thức bậc cắt trục hoành điểm tiếp xúc điểm nên ta chọn hàm Khi hàm số hàm đa thức ta xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu hàm dạng tích thương đa thức Bài 2.6 Cho hàm số Đồ thị hàm số Hàm số A hình bên nghịch biến khoảng khoảng sau ? B C Lời giải NX: Bước Dựa vào đồ thị, suy Bước Tính đạo hàm Bước Giải phương trình 11 skkn D Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Lập bảng biến thiên + - - 0 - + + + - + ta chọn A Bình luận:  Với có chứa nên ta chọn cách giải thứ cách giải thứ giải nhiều bất phương trình chứa phức tạp  Hàm hàm dạng tích thương đa thức làm để xét dấu biểu thức khoảng cụ thể? Cách xét dấu sau: Ví dụ xét khoảng dựa vào đồ thị ta chọn ta thấy Khi Các nghiệm phương trình nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu hàm phức tạp ta nên thử tương tự tất khoảng Bài 2.7 Cho hàm số Hàm số có bảng xét dấu -2 0 + - sau: + đồng biến khoảng đây? A B Lời giải Bước Tính đạo hàm hàm số 12 skkn C D Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Khoảng cịn lại (loại) Vậy chọn Đáp án B Bình luận:  Đối với tốn cho bảng biến thiên hàm số ta dựa vào điểm đồ thị để xác định vị trí tương đối đường cong để suy dấu đạo hàm  Đối với toán cho bảng xét dấu đạo hàm ta thử trực tiếp dấu biểu thức 4.4 Tính đơn điệu hàm hợp có chứa tham số “Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng ”: Phương pháp giải + Tính đạo hàm hàm số + Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình (hoặc Bước 1: Cơ lập tham số m, nghĩa đưa bất phương trình ) dạng (hoặc Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số khoảng (hoặc ) Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy giá trị cần tìm tham số m Bài 2.12 [VD] Cho hàm số tham số có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị để hàm số nghịch biến khoảng Hướng dẫn giải: + Từ đồ thị hàm số khoảng ta có dấu Cụ thể đồ thị có dáng xuống , lên hai khoảng nên 19 skkn ; Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== + Tính đạo hàm hàm : + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng cho trước kỹ thuật cô lập m, giải tốn tìm m để bất phương trình nghiệm với Lời giải  Từ đồ thị hàm số ta có   Dễ thấy có hữu hạn nghiệm, nên hàm số nghịch biến đồng biến [0;1] nên hệ tương đương  Hàm số Vậy khơng có Binh luận: thỏa mãn u cầu tốn + Từ đồ thị hàm số , ta thấy bất phương trình nghiệm suy + Ta tương tự hóa dạng học sinh học đến hàm mũ, logarit,… + Nếu hàm số có hàm số , dấu xảy hữu hạn đồng biến khoảng Bài 2.13 Cho hàm số hình vẽ sau: có đạo hàm Tìm tất giá trị tham số khoảng bảng xét dấu đạo hàm để hàm số ? Lời giải   Hàm số nghịch biến khoảng 20 skkn nghịch biến Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Vậy Bài 2.14 Cho hàm số giá trị tham số có đạo hàm Tìm tất để hàm số nghịch biến khoảng Hướng tiếp cận: Với dạng tập ta thực theo bước sau: + Tính đạo hàm + Thay giả thiết ta có + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu khoảng cho trước kỹ thuật cô lập m, giải tốn tìm m để bất phương trình nghiệm với Lời giải Ta có Hàm số nghịch biến khoảng (dấu xảy hữu hạn điểm khoảng đúng) Xét hàm số Ta có Bảng biến thiên: 016 Từ bảng biến thiên ta có Bàn luận: 21 skkn - Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== + Vì hàm số liên tục đơn điệu đoạn thiên, ta nên khơng lập bảng biến diễn đạt: + Ta tương tự hóa dạng học sinh học đến hàm mũ, logarit Bài 2.15 Cho hàm số tham số có đạo hàm Tìm tất giá trị để hàm số nghịch biến Lời giải Trên ta có Hàm số nghịch biến Xét hàm số nghịch biến , có Mà nên hàm số suy Bài 2.16 Cho hàm số có đạo hàm tất giá trị tham số Tìm để hàm số Lời giải Ta có đồng biến Hàm số đồng biến , , (vì ) , Đặt , nên , , Dễ thấy , , Bàn luận: Bài tốn mở rộng theo ý tưởng sau: Bài 2.17 Cho hàm số có Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 22 skkn đồng biến khoảng Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Hướng tiếp cận: Vì ta cần xét tính đơn điệu hàm số + Từ giả thiết nên cần biết dấu suy + Thay vào biểu thức + Suy ngược công thức Từ suy tính đơn điệu hàm Lời giải  Ta có Suy Nghĩa  Hàm số đồng biến khoảng (Dấu “ ” xảy hữu hạn điểm - ln đúng) (vì ) Với dấu “=” xảy , Do (*) 2.5 CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 18 (Mã đề 104-BGD-2019) Cho hàm số -1 + - Hàm số , bảng xét dấu sau: + đồng biến khoảng đây? A B Bài 2.19 Cho hàm số - D có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Hàm số C + - 0 - + - đồng biến khoảng A B 23 skkn C D Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Bài 2.20 Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ bên Hàm số nghịch biến khoảng đây? A B Bài 2.21 Cho hàm số C Đồ thị hàm số D hình bên Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau ? A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị, suy Ta có Xét Vậy đồng biến khoảng Bài 2.22 Cho hàm số có đạo hàm Chọn D có đồ thị hàm số hình vẽ bên: y O x 4 Hàm số nghịch biến khoảng đây? 24 skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== A B Bài 2.23 Cho hàm số  C D  có bảng biến thiên sau: -2 + 0 - + -1 Hàm số nghịch biến khoảng đây? A B Bài 2.24 Cho hàm số C liên tục D Biết hàm số có đồ thị hình vẽ bên dưới: Hàm số A Bài Cho hàm số Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau đây? B Hàm số C có đồ thị hình vẽ nghịch biến khoảng 25 skkn D Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== A Bài 2.25 B Cho hàm số C Hàm số D có đồ thị hình bên Hàm số nghịch biến khoảng đây? A B Bài 2.26 Cho hàm số hình vẽ bên Hàm số A C liên tục có D và có đồ thị hàm số đồng biến khoảng B C Lời giải Chọn D Đă ̣t 26 skkn D Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Dựa vào đồ thị hàm số và đồ thị hàm số ta có: Bảng biến thiên: 0 - + + Dựa vào bảng biến thiên, hàm số Bài 2.27 Cho hàm số đồng biến khoảng có bảng biên thiên hình vẽ -2 + - + -2 Hàm số nghịch biến khoảng khoảng sau? A B Bài 2.28 Cho hàm số C có đạo hàm liên tục D Bảng biến thiên hàm số hình vẽ Hàm số -1 nghịch biến khoảng khoảng sau ? A B Bài 2.28 Cho hàm số hình bên C có đạo hàm liên tục 27 skkn D Đồ thị hàm số Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau ? A B C D Lời giải Ta có Số nghiệm phương trình đường thẳng số giao điểm đồ thị hàm số (như hình vẽ bên dưới) Dựa vào đồ thị, suy Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với nằm phía đường thẳng biến Bài 2.28 Cho hàm số nên Chọn B có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số hình bên Hỏi hàm số đồng biến khoảng khoảng sau ? A B 28 skkn đồ thị hàm số ) hàm số đồng Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== C D Lời giải Ta có Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng (như hình vẽ bên dưới) Dựa vào đồ thị, suy u cầu tốn đường thẳng (vì phần đồ thị nằm phía ) Đối chiếu đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn Chọn B Bài 2.29 Cho hàm số có đạo hàm liên tục hình bên Hỏi hàm số nghịch biến khoảng khoảng sau ? A B C D Lời giải Ta có 29 skkn Đồ thị hàm số Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Để Đặt Kẻ đường thẳng Quan sát , bất phương trình trở thành cắt đồ thị hàm số đồ thị ta Đối chiếu đáp án ta chọn B 30 skkn thấy ba điểm bất phương trình Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== NHỮNG THƠNG TIN BẢO MẬT (KHƠNG CĨ) CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sách giáo khoa, ghi, máy tính cầm tay tài liệu tham khảo 10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ Khi tiến hành dạy theo chuyên đề cho lớp 12A1 dạy giáo án bình thường lớp 12A3, tơi tiến hành kiểm tra đánh giá 15 phút thu kết sau (Hình thức trắc nghiệm): Lớp 12A1 Sĩ số 38 12A3 38 Giỏi 0% 0% Khá 13.2% 5.3% TB 15 39.5% 17 44.7% Yếu 21.1% 10 26.3% Kém 10 26.2% 23.7% Sau tham gia rèn luyện tiết buổi chiều Trong tiết truyền thu học sinh lĩnh hội kiến thức, kết sau cho học sinhlamf 20 câu kiểm tra trác nghiệm Thống kê chung sau: Lớp 12A1 Sĩ số 38 12A3 38 Giỏi 21,1% 15.8% Khá 18 43,37% 20 52.6% TB 10 26,3 % 21.1% Yếu 5,3% 10.5% Kém 0% 0% Với kết thực tế làm học sinh tơi nhận thấy phương pháp mà tơi đưa có kết tốt, giúp học sinh cảm thấy tự tin gặp tốn tính đồng biến nghịch biến hàm ẩn đề thi THPTQG Mặc dù cố gắng q trình tìm tịi nghiên cứu, hạn chế mặt lực thời gian trình bày sáng kiến khơng tránh khỏi thiếu sót, việc khai thác chắn chưa triệt để Kính mong nhận xét, bổ sung góp ý kiến q thầy 11 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 31 skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== Nguyễn Thị Quyên GV THPT Tam Đảo Mơn Tốn học Lớp 12A1 THPT Tam Đảo Mơn Tốn học Lớp 12A3 THPT Tam Đảo Mơn Tốn học TÀI LIỆU THAM KHẢO Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán - Trần Phương ( chủ biên)-Nhà xuất Hà Nội, 2006 Phương pháp giải toán - Lê Hồng Đức ( chủ biên) - Nhà xuất Hà Nội, 2005 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Mơn Tốn – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên)Nhà xuất Hà Nội, 2012 Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao – Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 Sách tập Giải tích 12 Nâng cao - Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên)- Nhà xuất Giáo dục, 2008 Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: http:// www.facebook.com 32 skkn Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo ======================================= ========================== ., ngày tháng năm Tam Đảo, ngày 20 tháng 10 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Quyên 33 skkn ... khoảng hàm số đoạn nửa khoảng xác định K Hàm số đồng biến (tăng) Hàm số nghịch biến(giảm) : Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K 1.1.2 Định lí 1: Cho hàm số có đạo hàm  Nếu hàm số. .. khoảng đơn điệu biết đồ thị hàm Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số , hỏi tính đơn điệu hàm số ,  Tính ;  Căn đồ thị hàm Các điểm cực trị hàm Xét phần đồ thị hàm Nếu nằm hàm số đồng biến, nằm hàm. .. 2.2 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số  Đọc đồ thị hàm số hỏi tính đơn điệu hàm hợp đề cho xác định skkn DỰA Nguyễn Thị Quyên