Skkn hướng dẫn học sinh giải bài toán bất đẳng thức bằng kĩ thuật chọn điểm rơi

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc  - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI Quảng Bình, tháng 12 năm 2018 skkn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc  - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI Họ tên : Hồng Thị Minh Huệ Chức vụ : Tổ phó chun môn Đơn vị công tác: Trƣờng THPT Đào Duy Từ Quảng Bình, tháng 12 năm 2018 skkn MỤC LỤC Trang PHẦN I MỞ ĐẦU : 1.1 Lý chọn đề tài : 1.2 Mục đích nghiên cứu : 1.3 Phạm vi nghiên cứu : 1.4 Phương pháp nghiên cứu : PHẦN NỘI DUNG : 2.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Bunhiacopxki 2.2 Hiểu điểm rơi 2.3 Các toán : PHẦN KẾT LUẬN: 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO:…………………………………………………… 19 skkn skkn MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Bất đẳng thức chuyên đề khó chương trình phổ thơng Qua nhiều năm giảng dạy, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận nhiều học sinh, kể học sinh giỏi tiếp cận với toán bất đẳng thức ngại Ngoài số lượng bất đẳng thức tên tuổi cịn nhiều kĩ thuật khó, chưa kể phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng lại với Phải người có tư tốt nhiều kinh nghiệm xử lí Trong số kĩ thuật nói trên, kĩ thuật sử dụng điểm rơi quan trọng Người ta ví rằng, bạn du khách nước ngoài, muốn biết đường đến hồ Gươm tay có đồ Thành phố Hồ Chí Minh cố gắng tìm kiếm điều hồn tồn vơ vọng Ít bạn phải có đồ địa phương có địa điểm Bất đẳng thức vậy, ta khơng khoanh vùng khó để tìm hướng giải Điều ta làm dựa vào đặc điểm toán chọn điểm rơi thích hợp Từ sử dụng biến đổi khác để chứng minh hay tìm kiếm kết Vì vậy, với mong muốn tìm hiểu áp dụng để truyền đạt cho học sinh, lựa chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải toán bất đẳng thức kĩ thuật chọn điểm rơi” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh giỏi sử dụng thành thạo bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hợp với kĩ thuật chọn điểm rơi điểm rơi giả định để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 1.3 Phạm vi nghiên cứu Giải số toán chứng minh bất đẳng thức tốn tìm cực trị bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hợp với kĩ thuật chọn điểm rơi 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu: - Đọc hiểu tài liệu tham khảo - Trao đổi, semina với đồng nghiệp vấn, trao đổi với học sinh giỏi Tìm hiểu kỹ giải toán chuyên đề học sinh giỏi Trang skkn NỘI DUNG 2.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM (BĐT Cauchy) bất đẳng thức Bunhiacopxki a) Bất đẳng thức AM-GM • Bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm: Cho hai số không âm a, b ta  ab có BĐT a  b  ab  ab    Đẳng thức xảy a  b   • Bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm: Cho ba số khơng âm a, b, c ta  abc có BĐT a  b  c  abc  abc    Đẳng thức xảy a  b  c   3 • Bất đẳng thức AM-GM tổng quát cho n số không âm: Cho n số không âm  a  a   an  a1 , a2 , , an ta có BĐT a1  a2   an  n a1.a2 an  a1.a2 an    n   n n Đẳng thức xảy a1  a2   a n b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi đó: a b  a 1 b2    an bn    a12  a22    an2   b12  b22    bn2  Đẳng thức xảy a1 a2 a    n b1 b2 bn 2.2 Hiểu điểm rơi Chọn điểm rơi nghĩa dự đoán dấu đẳng thức xảy để ta có đánh giá từ đưa phương pháp hợp lí Trong q trình chứng minh bất đẳng thức, kĩ thuật chọn “điểm rơi” kĩ thuật quan trọng Việc phức tạp bất đẳng thức chứa biến có “tính đối xứng hốn vị vòng quanh” Trong số trường hợp bất đẳng thức khơng có tính chất trên, ta dùng mở rộng phương pháp này, gọi “điểm rơi giả định” Để chọn điểm rơi, thường ta ý đến điều kiện toán đặt từ ban đầu Nếu tốn có biến điểm rơi giá trị biến dấu “=” xảy Nếu toán chứa nhiều biến có tính đối xứng hốn vị vịng quanh ta chia giá trị cho số biến điểm rơi giá trị chia Trang skkn Nếu tốn khơng có điều kiện ban đầu điều kiện ban đầu không đủ để dự đốn, ta quan sát tiếp bất đẳng thức cần chứng minh Điểm rơi biến biến có tính đối xứng Dựa kinh nghiệm đó, ta xét vài ví dụ sau: 2.3 Các tốn Bài 1: Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  3x  4x Giải: Nhìn qua đơn giản Theo thói quen, nhiều học sinh làm sau: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương 3x, S  3x  ta được: 4x 1  3x   hay S  4x 4x Tuy nhiên phải nhắc nhở em dấu xảy nào? Rõ ràng xét dấu xảy 3x  1 (không thỏa mãn điều kiện đặt ban x 4x 12 đầu tốn) Từ giáo viên đưa cách giải đúng: Nhận xét với điều kiện ban đầu x  S đạt giá trị nhỏ x  Trong biểu thức S, ta tìm minx khơng đánh giá trực tiếp Do ta nghĩ đến việc khử x 4x mẫu bất đẳng thức AM-GM Muốn đẳng thức xảy số hạng vế trái phải Khi phải tìm số k cho x Vì x  nên  k 4x k  Vậy S  11x  x  11.1 13 13     2  MinS  x  4  4x  4.4 Bài 2: Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  Giải: Trang skkn x2 2 Sai lầm: S  x  x  1 1  3 S  x  x   Dấu xảy x 2 x 1 x  Do x  (khơng thỏa mãn điều kiện đặt ban đầu x toán) Cách giải đúng: Chọn điểm rơi x  Khi phải tìm số k cho S x x   Suy k  k k x2 3x  x x  3.2      33  Dấu "  " xảy x  8 x  64 Bài 3: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  S  x  y  z  Tìm giá trị nhỏ 1   x y z Giải: Sai lầm: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số thực dương x, y, z, S  x y z 1 , , x y z 1 1 1    6 x  y  z      Min S = x y z x y z Kết có “đẹp” dấu “=” xảy nào? Min S =  x  y  z  1  x y    x  y  z   trái với giải thiết z Như nhìn qua, ta có cảm giác tốt ta khử biến cách nhẹ nhàng Tuy nhiên viết thấy khơng hợp lí điều kiện tốn khơng cho phép Vậy ta phải khai thác cho điều kiện ban đầu Cách giải đúng: Do S biểu thức đối xứng với x, y, z nên dự đoán MinS đạt điểm rơi x  y  z  Khi phải tìm số k cho x 1  Vì x  nên k  k x Trang skkn Do đó: x 1  x   3x   3x   3x x x Tương tự: y y z 1  z   3z   3z   3z z z  4y   3y   3y   3y y Cộng vế theo vế ta được: 1 S  x  y  z      3x   y   3z  12  3( x  y  z ) x y z 15  12   2 Vậy MinS  15 x  y  z  2 a, b, c  Bài 4: Cho  Tìm GTNN a  b  c   S  a2  1  b2   c  2 b c a Giải Sai lầm thƣờng gặp:     S  33 a2  12 b2  12 c2  12  36  a2  12   b2  12   c2  12  b  c a    b  c  a    36  a2 12   b2 12   c2 12   36   MinS =  b  c  a  Khi MinS =  a  b  c  1     a  b  c   trái với giả thiết a b c Lời giải đúng: Trang skkn Quan sát S biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán minS đạt a bc   a  b2  c        4   b2  c   a      16  Lời giải S  a2  1    2 16 b 16 b    b2  1    2 16 c 16 c    16  1717 a   16 1 1 1 2  17 b  17 c 2 17 17 16 b 16b2 16 c 16c2 16 a 16a2       16 16  a2 b2 c2 a b c 17 17  17  17  17  17 16  17 16  17 16 16 32 16 32 16 32  16 b 16 b 16 c 16 a 16 c 16 a   17 3 17  1   16 a  16a2  16 16  1717 c2  a 17 b 17 c  a 17  17 17 5  16 16 16 16 b 16 c 16 a  16 a b c 2.17 2a2b2c    17 15  2a  2b  2c      17 2.17  Dấu “ = ” xảy a  b  c   Min S = 17 Bài 5: Cho a, b số thực dương Chứng minh a b 8ab   4 b a ( a  b) Giải: Mong muốn ta phải khử biến mẫu Đối với số hạng thứ thứ hai mẫu khử nhờ vào tử số hạng thứ ba Nhưng mẫu Trang skkn    số hạng thứ ba chưa thể thực Vì ta quy đồng hai số hạng đầu để xuất tổng a  b Trong toán này, điều kiện ban đầu đơn giản nên không đủ để ta dự đoán điểm rơi Tuy nhiên lại thấy vế trái bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng a, b Do ta dự đốn dấu “=” xảy a  b Từ ta phải tìm k, l cho ab ab 8ab   kb la ( a  b) Mà a  b nên k  l  Vậy ab ab 8ab    33  b a ( a  b) hay a b 8ab 1 1 6 b a ( a  b) Suy a b 8ab    b a ( a  b) Bài Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh rằng: a(b  3c)  b(c  3a)  c(a  3b)  Giải: Nhận xét: vế trái bất đẳng thức có tính chất “xoay vịng” Ta dự đốn điểm rơi: a  b  c  Khi b  3c  c  3a  a  3b  Ta có khéo léo chèn thêm vào thức 4a(b  3c)  4a  b  3c 4b(c  3a)  4b  c  3a Trang skkn 4c(a  3b)  4c  a  3b Vậy 4a(b  3c)  4b(c  3a)  4c( a  3b)  4a  b  3c 4b  c  3a 4c  a  3b   2  8a  8b  8c 8.3   12 2 Tức a(b  3c)  b(c  3a)  c(a  3b)  Bài 7: Cho a, b, c số dương thoả mãn a  2b  3c  20 Chứng minh abc    13 a 2b c Giải: Dự đoán a  2, b  3, c  Tìm m, n, p cho a b c  ,  ,  m a n 2b p c a 3  hay   m  m a m b 9  hay   n  n 2b n c 4  hay   p  p c p a Khi a  b  c    3a   b   c  a 2b 3c           2b c  a   2b   c  4 3 a  2b  3c 20      2.1   3 2 2  13 2 4 Bài 8: Chứng minh a, b số thực dương thỏa mãn a  b2  a  b6  Trang skkn Giải: Nhận thấy biểu thức bất đẳng thức không đối xứng nên khó dự đốn điểm rơi Vì ta áp dụng phương pháp điểm rơi giả định Giả sử a  x, b  y Khi a  a  x3  3a x  a  3 x  ax 2 b6  y  y  3b2 y Suy a  b6  y  x3  a x  3b y 2 a  b6  a x  3b y  y  x 2 Để sử dụng giả thiết hệ số a , b2 phải Khi 3x  3y2  3x x    3y Giải hệ  ta có  y 1  x  y  Do a3  b6  3a  3b    Bài 9: Cho số dương a, b, c Chứng minh 10a  10b2  c2  4(ab  bc  ca) Giải: Bất đẳng thức Nhận thấy a, b có vai trị bình đẳng nên giả định a  b  x, c  y Ta có a  b2  2ab  a xy  b2 xy  2abxy Trang skkn a y  c x  2acxy b2 y  c x  2bcxy Cộng vế theo vế ta a ( xy  y )  b2 ( xy  y )  2c x  2xy(ab  bc  ca)  2xy Khi ta có hệ  xy  y 2 x  (1)   10  x.x  xy  yx  (2) y  y y (1)  xy  y  20 x      20    x x x 2 (2)  x  x.4 x    x  Suy y 3 20 2 (a  b )  c   10a  10b  c  9 Bài 10: Cho x, y, z, t số thực dương thỏa mãn xy  yz  zt  tx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  10 x  y  10 z  t Giải: Quan sát biểu thức P , ta thấy hệ số x z nhau, có nghĩa x z có vai trị Do ta giả sử P đạt x  z  a, y  b, t  c Khi đó: bx  bz  ay, cx  cz  at Áp dụng bất đẳng thức AM-GM b2 x2  a y abxy  a y  b2 z abyz  Trang 10 skkn c z  a 2t aczt  actx  a 2t  c x 2 Nếu cộng vế theo vế ta không đưa Do cần thêm bước biến đổi sau: b2 x2  a y abcxy  c abcyz  a y  b2 z c c z  a 2t abczt  b a 2t  c x abctx  b Cộng vế theo vế ta có: abc( xy  yz  zt  tx)  (b2 x  a y ).c  (a y  b z ).c  (c z  a 2t ).b  (a 2t  c x ).b (b 2c  bc )( x  z )  2a 2cy  2a 2bt abc  Hay (b2c2  bc2 )( x  z )  2a 2cy  2a 2bt  2abc Đối chiếu với biểu thức P cho, ta cần chọn hệ số a, b, c cho b 2c  bc 2a 2c 2a 2b   10 Khi ta có hệ  bc(b  c) a 2c   2a 2b (1)  bc(b  c) a c    2a b     10  10 ab  ba  ac  ca  a(b  c)  (2)  2 Trang 11 skkn Từ (1) suy b  4c thay vào (2) a.5b  1 a 10b b.4b.5b   Suy  2  b  10 100b  10b   b4  1 b c ,a 100 10 10 10 Khi 16  1 1 4 1    (x  z2 )    y 2  t  2     10  10 10 10 10 10 10 10  10 10 10 10  Vậy P  10  10 P  Dấu “=” xảy x  y  z  ,t  10 10 Điểm rơi không sử dụng bất đẳng thức AM-GM mà cịn dùng với bất đẳng thức Bunhiacopxki Sau số ví dụ Bài 11: Cho x số thực dương thỏa mãn x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x2  x2 Giải: Sai lầm: A  x  1  x   Min A   x  Trái giả thiết x x Cách giải đúng: Dựa vào điều kiện ta chọn điểm rơi x = Mặt khác, nhận thấy biểu thức A có dạng tổng hai bình phương nên ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức Bunhicopxki với chiều ngược lại Giả sử với số α,β ta có 1  1   A x   x   (   )  x     x    x     x Trang 12 skkn Ta cần chọn hai số α,β cho giá trị nhỏ A đạt x = Từ ta có: x      x      x  Do 2 1 1 1 1  x 15 x   15  17 A  x    x   (42  12 )   x          1    x 17  x  17  x  17  x  17  2 Vậy GTNN A 17  x  Bài 12: Cho x, y số thực dương thỏa mãn mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x2  1  y2  2 x y Giải: Sai lầm: A  x  1  y2     2 x y A  2  x  y  Trái giả thiết Lời giải đúng: Dự đoán A đạt GTNN x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki x2  1  x 2  2  1 2  x        x  2  2     x   x  y2  1  y 2  2   2  y        y  2  2     y   y  Ta tìm số  ,  cho Trang 13 skkn  x  y     x        x y    y  Khi A  1 2   2  x  4 1    y  4 1  x  y  17  17    1  1  1  4x    4y     4( x  y )    x y x y 17  17  17      4( x  y )    17 x y 17  Vậy A  17  x  y  Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  2abc  10 Chứng minh S 9b c a 9c a 2b 9a b c         6 a2 b2 c2 Giải: Biểu thức S có tính hốn vị Do ta dự đốn dấu xảy a  b  c  9b c a    a2  x2  y  z 9b c a   a2  2 x 3by caz      2  x y z  a Suy phải tìm x, y, z cho 2 3b ca  2 a    x  y  z  x y z  a  b  c  Trang 14 skkn x2  y  z Chọn x  1, y  3, z  Ta có 9b c a    a 12 9b c a 2  2 9b ca           a2 12  a 2  4    9b  ca  24  a  Tương tự 9c a 2b 4       9c  ab  b 24  b  9a b c 4       9a  bc  c 24  c  Cộng vế theo vế ta có: S   1 1   a  b  c   9(a  b  c)  ab  bc  ca  24        4  4   a  a    b  b    c  c    2a  bc    2b  ca    2c  ab   6(a  b  c)  24          2.2  2.2  2.2  abc  abc  abc  6(a  b  c)   24   12  2abc  6(a  b  c)  24  72  (12  60)   6 24 24  Trang 15 skkn KẾT QUẢ Chuyên đề năm sử dụng để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi bước đầu cho thấy có số kết Khi chưa tiếp xúc với chuyên đề, học sinh thấy khó khăn toán bất đẳng thức Nhiều em thấy toán bất đẳng thức có cảm giác nản Có học sinh nói rẳng “nếu em gặp toán bất đẳng thức đề thi em bỏ qua” Tuy nhiên sau bồi dưỡng phần này, em cảm thấy tự tin hứng thú tốn bất đẳng thức Các em nói bất đẳng thức khó thật hay Nếu đề khơng q khó ln cố gắng để làm Chính điều cho thấy dạng tập lộ đường để khơng người ta mà thấy thú vị bước đường Đó lí bất đẳng thức khó mà tơi hay đồng nghiệp em học sinh muốn tìm tịi nghiên cứu chuyên đề này, mà người ta nói “vẻ đẹp Tốn học” Để thấy rõ kết này, cho học sinh làm kiểm tra trước sau bồi dưỡng Sau kết việc bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề TT Họ tên Trước kiểm tra Sau kiểm tra Đỗ Trần Minh Chu 4,0 7,0 Nguyễn Thanh Hùng 4,5 8,0 Hoàng Thị Thanh Huyền 5,0 7,5 Huỳnh Huy Thành 4,5 8,0 Hoàng Quang Tiến 5,5 8,0 Nguyễn Khánh Toàn 3,0 7,0 Nguyễn Hữu Tuấn 6,0 9,0 Trần Hiếu Nghĩa 5,0 7,5 Nguyễn Tiến Anh 3,0 8,0 Trang 16 skkn Thành tích Giải nhì HSG lớp 11 cấp tỉnh năm 2018 Giải KK HSG lớp 11 cấp tỉnh 2015 10 Đồn Kim Nhân 4,0 8,5 Giải nhì HSG lớp 12 cấp tỉnh 2017 11 Phan Nữ Hải Đường 3,5 7,0 Giải KK HSG lớp 11 cấp tỉnh 2017 12 Đặng Long Nhật 3,0 7,5 Giải KK HSG lớp 11 cấp tỉnh 2017 Trang 17 skkn KẾT LUẬN Cũng thứ, “điểm rơi” khơng phải ngẫu nhiên có, mà phải qua quan sát, tính tốn Tuy nhiên với biểu thức khơng q phức tạp việc tính tốn điểm rơi điều khơng khó, hồn tồn vừa sức học sinh Chỉ cần em có kĩ nhận điểm rơi Nhờ mà tốn giải cách tự nhiên, khơng gượng ép Bất đẳng thức mà không xa lạ Ở viết này, tơi trình bày lời giải số tốn liên quan chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN mà đó, kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức Bunhiacopxki điểm mấu chốt Vì thời gian hạn chế nên tơi chưa thể trình bày nhiều dạng phương pháp khó tránh khỏi sai sót Kính mong quan tâm, góp ý độc giả để viết hồn thiện Cuối cùng, tơi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến đồng nghiệp quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để hoàn thành viết Trang 18 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao (2012)- Nxb giáo dục Việt Nam Võ Quốc Bá Cẩn- Trần Quốc Anh (2013), Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức- Nxb Đại học sư phạm Trần Đức Huyên (2012), Tài liệu chun tốn trung học phổ thơng chun đề: Bất đẳng thức toán min- max- Nxb giáo dục Việt Nam T.S Lê Hồnh Phị (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 10Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Trang 19 skkn Trang 20 skkn PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ I Nhận xét, đánh giá Hội đồng khoa học trƣờng THPT Đào Duy Từ Nhận xét: Xếp loại: II Nhận xét, đánh giá Hội đồng khoa học Sở GD ĐT Quảng Bình skkn ... cho học sinh, lựa chọn đề tài ? ?Hướng dẫn học sinh giải toán bất đẳng thức kĩ thuật chọn điểm rơi? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh giỏi sử dụng thành thạo bất đẳng thức AM-GM bất đẳng thức. .. với kĩ thuật chọn điểm rơi điểm rơi giả định để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 1.3 Phạm vi nghiên cứu Giải số toán chứng minh bất đẳng thức tốn tìm cực trị bất đẳng. .. giỏi Tìm hiểu kỹ giải toán chuyên đề học sinh giỏi Trang skkn NỘI DUNG 2.1 Giới thiệu bất đẳng thức AM-GM (BĐT Cauchy) bất đẳng thức Bunhiacopxki a) Bất đẳng thức AM-GM • Bất đẳng thức AM-GM cho