CHUYÊN ĐỀ 1 CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU * Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân t[.]
CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A- MỤC TIÊU * Hệ thống lại dạng toán phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải số tập phân tích đa thức thành nhân tử * Nâng cao trình độ kỹ phân tích đa thức thành nhân tử B - CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử Nhân, chia lũy thừa số Nhân đa thức Hằng đẳng thức đáng nhớ Nghiệm đa thức Chia đa thức C - CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN Phương pháp đặt nhân tử chung - Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) - Chú ý: Có ta phải đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 28a2b2 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab 3b + 2a) b) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y z) – 5y(y z) = (y – z)(2 5y) c) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2y2 – 6x2y3 + 9x2y2 b) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3 c) 12x2y - 18xy2 – 30y2 d) 5(x-y) – y(x-y) e) y(x-z) + 7(z-x) g) 27x2 (y-1)-9x3(1-y) Bài 2: Tìm x, biết: a) 5(x-3) – 2x(x-3) =0 b) 4x(x-2016) – x – 2016 c) (x+1) = x+1 d) x3 -13x = Phương pháp dùng đẳng thức skkn Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) b) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) c) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử: a) 36 – 12x + x2 b) 125 – x6 c) – 15x6 – y8 + 10x3y4 d) e) (x2 + 1)2 – 6(x2 +1) + g) 9(x+5)2 – (x+7)2 h) 49(y-4)2 – 9(y+2)2 i) 8x3 + Bài 2: Tìm x, biết a) (x-4)2 – 36 = c) x2 + 8x + 16 = Bài 3: Tính nhanh a) 752 – 252 c) 31,82 – 2.31,8.21,8 + 21,82 x2 – 5xy + 25y2 b) (x+8)2 = 121 d) 4x2 – 12x = -9 b) 532 – 472 d) 58,22 + 2.58,2.41,8 + 41,82 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) xy + xz + 3y + 3z b) 11x + 11y – x2 – xy c) x2 – 6x – y2 + d) 25 – 4x2 – 4xy – y2 e) ax2 + cx2 –bc2 + cd + bd – c3 g) ax2 +ay2 – bx2 – by2 + b – a Bài 2: Tính nhanh a) 13,5.5,8 – 8,3.4,2 – 5,8.8,3 + 4,2.13,5 b) 31 82 + 125.48 + 31.43 – 125.67 Phối hợp nhiều phương pháp Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên skkn Đặt nhân tử chung Dùng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) Bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x5 + x3 – x2 - b) x4 – 3x3 – x + b) x3 – x2y – xy2 + y3 d) 3x + 3y – x2 – 2xy – y2 Bài 2: Tìm x, biết a) x3 – 16x = b) x4 – 2x3 + 10x2 – 20x = c) (2x – 3)2 = (x+5)2 d) x2(x-1) – 4x2 + 8x – = II CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 1.1) Đối với đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c Cách (tách hạng tử bậc bx): Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = a i + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 2 3x + 8x + = 3x + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) skkn Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Tách thành số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách (tách hạng tử tự c) Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 4x thành nhân tử Hướng dẫn 2 Ta thấy 4x 4x = (2x) 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải 2 f(x) = (4x – 4x + 1) – = (2x – 1) – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) 1.2) Đối với đa thức bậc từ trở lên Trước hết, ta ý đến định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc tách số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải skkn Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Từ định lí trên, ta có hệ sau : Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có nhân tử x – Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác số nguyên Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 13x2 + 9x 18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ước 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) Dễ thấy , , , không số nguyên nên -3, ± 6, ± 9, ± 18 khơng nghiệm f(x) Chỉ cịn –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau : = (x – 3)(4x2 – x + 6) skkn Hệ Nếu f(x) = số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = ( , p, q Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 7x2 + 17x thành nhân tử Hướng dẫn Các ước –5 1, Thử trực tiếp ta thấy số khơng nghiệm f(x) Như f(x) khơng có nghiệm nghuyên Xét số , ta thấy nghiệm đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) 1.3) Đối với đa thức nhiều biến Ví dụ 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 5xy + 2y2 ; b) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) Hướng dẫn a) Phân tích đa thức này tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c Ta tách hạng tử thứ : 2x2 5xy + 2y2 = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y) = (x 2y)(2x y) b) Nhận xét z x = (y z) (x y) Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z) Chú ý : - Ở câu b) ta có thể tách y z = (x y) (z x) (hoặc z x= (y z) (x y)) - Đa thức ở câu b) là một những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng (Xem phần IV) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 7x + 12 b) x2 + 8x – 33 c) x2 – 9x + 18 d) x2 – 3x – 54 e) 20x2 + 7x – g) 18x2 + 21x – h)12x2 – 23xy + 10y2 i) x4 – 5x2y2 + 4y4 k) 6x3 – 11x2 – x – skkn Bài 2: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức P = (n2 – 3)2 + 16 số nguyên tố Thêm bớt hạng tử 2.1 Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) 2.2 Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x12 + b) 4x8 + c) x7 + x5 – d) x7 + x5 + e) x5 + x – g) x11 + x + Bài 2: Tìm tất số tự nhiên x để giá trị biểu thức A = x + có giá trị số nguyên tố skkn Phương pháp đổi biến Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – = x2 [(x2 + = y x2 + Đặt x - ) + 6(x - ) )+7] = y2 + 2, A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A = = Đặt = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4( ) + (xy + yz + zx)2 = Ví dụ 5: Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ) Ta có: skkn C = (m + c)3 – = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x2 + 3x)2 – 2(x2 +3x) – b) (x2+4x+10)2 – 7(x2 +4x+11) + c) (x2+5x-2)2 – 7(x2+5x – 2)(x2 +3) + 5(x2+3)2 d) (x2 – 3x + 5)2 – 7(x2 – 3x + 5) + 12x2 e) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 Bài 2: Chứng minh tích số nguyên liên tiếp cộng thêm số phương Bài 3: Cho x, y số nguyên Chứng minh giá trị biểu thức sau ln có giá trị khơng âm M = (x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y) + y4 Phương pháp hệ số bất định Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + thành nhân tử Nhận xét: số 1, không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd đồng đa thức với đa thức cho ta có: Xét bd = với b, d Z, b với b = d = hệ điều kiện trở thành Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) skkn = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nahu nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho đa thức A = x4 – 7x3 + 12x2 – x – Hãy phân tích A thành tích hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên hệ số cao dương Bài 2: Cho đa thức B = x5 + 3x4 – x3 – x2 + 13x + Hãy phân tích B thành tích hai đa thức với hệ số nguyên: Một đa thức bậc hai đa thức bậc ba biết hệ số cao thấp dương đa thức bậc ba khuyết hạng tử bậc hai Phương pháp xét giá trị riêng Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử còn lại Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y) Lời giải 2 Thay x y P = y (y – z) + y ( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi (đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x – y) chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) 10 skkn Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) M = xy(x-y) + yz(y-z) + zx(z-x) b) P = (a+b+c)3 – a3 – b3 – c3 Phương pháp đưa đa thức đặc biệt a) Đưa về đa thức : a3 + b3 + c3 3abc Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 3abc b) (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 Lời giải a) a3 + b3 + c3 3abc = (a + b)3 3a2b 3ab2 + c3 3abc = [(a + b)3 + c3] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) b) Đặt x y = a, y z = b, z x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 3abc = a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 = 3(x y)(y z)(z x) b) Đưa về đa thức : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 b) 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 Lời giải a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 = [(a + b) + c]3 a3 b3 c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) a3 b3 c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) (a + b)(a2 ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) (a2 ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) 11 skkn b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 a3 b3 c3 Theo kết quả câu a) ta có : (a + b + c)3 a3 b3 c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) 12 skkn ... Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + thành nhân tử Nhận xét: số 1, không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải... Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 9x2 – = (3x)2 –... số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ước hệ số tự Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải skkn Lần lượt