Giáo trình toán cao cấp

Mưc lưc CC KÞ HI›U H€M SÈ NHI—U BI˜N SÈ 1.1 1.2 1.3 Kh¡i ni»m mð ¦u Khæng gian metric 1.1.2 ành nghắa hm số n bián số 10 1.1.3 Giợi hÔn cừa hm nhiÃu bián 1.1.4 Sỹ liản tửc cừa hm nhiÃu bián Ôo hm riảng v  vi ph¥n 10 11 12 1.2.1 nh nghắa Ôo hm riảng 12 1.2.2 Vi ph¥n to n ph¦n 1.2.3 13 Ôo hm riảng v vi phƠn cĐp cao 14 1.2.4 Cỉng thùc Taylor èi vỵi h m nhi·u bi¸n 16 Cüc trà cõa h m nhi·u bi¸n 16 1.3.1 Cüc trà tü cõa h m nhi·u bi¸n 16 1.3.2 Cüc trà câ i·u ki»n cõa h m nhi·u bi¸n 20 1.3.3 GiĂ tr lợn nhĐt v nhọ nhĐt cừa hm nhiÃu bián trản miÃn õng, b chn 22 Bi têp chữỡng TCH PH…N K’P V€ TCH PH…N ×ÍNG LO„I II 2.1 2.2 2.3 25 29 Tẵch phƠn kp 29 2.1.1 ành ngh¾a 29 2.1.2 CĂch tẵnh tẵch phƠn kp hằ tồa ở ÃcĂc 31 2.1.3 êi bi¸n sè tẵch phƠn kp 35 Ùng döng cõa tẵch phƠn kp 41 2.2.1 Ùng dưng h¼nh håc v  cì hồc cừa tẵch phƠn kp 41 Tẵch phƠn ữớng loÔi hai 46 2.3.1 nh nghắa v tẵnh chĐt 46 2.3.2 C¡ch t½nh 48 2.3.3 Cæng thùc Green 2.3.4 i·u kiằn  tẵch phƠn ữớng khổng phử thuởc ữớng lĐy tẵch phƠn 54 2.3.5 Trữớng hủp ữớng lĐy tẵch phƠn l mởt ữớng khổng gian 56 Bi têp chữỡng PH×ÌNG TRNH VI PHN 3.1 1.1.1 Phữỡng trẳnh vi phƠn c§p 49 58 63 63 3.1.1 Ôi cữỡng và phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp 63 3.1.2 Phữỡng trẳnh khuyát 64 3.1.3 Ph÷ìng trẳnh vi phƠn cĐp mởt cõ bián số phƠn ly(Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởt tĂch bián ) 66 MệC LệC 3.1.4 Phữỡng trẳnh vi phƠn ng cĐp cĐp (Phữỡng trẳnh vi phƠn thuƯn nhĐt cĐp 1) 3.2 68 3.1.5 Ph÷ìng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp 69 3.1.6 Phữỡng trẳnh Becnully 71 3.1.7 Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp ton phƯn 71 73 3.2.1 Ôi cữỡng và phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp 73 3.2.2 Ph÷ìng trẳnh khuyát 74 3.2.3 Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hai cõ hằ số thay ời 3.2.4 Phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp hai cõ hằ số khổng ời Phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp Bi têp chữỡng 76 79 84 MA TRŠN - ÀNH THÙC - H› PH×ÌNG TRœNH TUY˜N TNH 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Ma trªn 87 87 4.1.1 Kh¡i ni»m ma trªn 87 4.1.2 Mởt số dÔng c biằt cừa ma trªn 87 4.1.3 Ph²p to¡n tr¶n ma 89 4.1.4 Bián ời sỡ cĐp trản ma ành thùc 4.2.1 nh nghắa 4.2.2 Tẵnh chĐt 4.2.3 Tẵnh nh thực bơng bián ời sỡ cĐp 91 92 92 92 95 Ma trªn nghàch £o 96 4.3.1 ành ngh¾a 96 4.3.2 Tẵnh chĐt 96 4.3.3 T¼m ma nghch Êo bơng phử Ôi số 98 4.3.4 T¼m ma nghch Êo bơng phữỡng phĂp Gauss-Jordan 99 HÔng cừa ma 100 4.4.1 ành ngh¾a 4.4.2 Tẳm hÔng cừa ma bơng bián ời sỡ cĐp 100 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh 100 101 4.5.1 ành ngh¾a 4.5.2 GiÊi hằ phữỡng trẳnh bơng ma nghch Êo 102 4.5.3 Gi£i h» ph÷ìng trẳnh bơng phữỡng phĂp Cramer 102 4.5.4 GiÊi hằ phữỡng trẳnh bơng phữỡng phĂp Gauss 4.5.5 GiÊi v biằn luên hằ phữỡng trẳnh dỹa vo nh lỵ Kronecker-Capelli 4.5.6 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt 107 Bi têp chữỡng 101 104 105 108 A PH’P TNH VI, TCH PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ PH’P TNH VI, TCH PH…N H€M SÈ MËT BI˜N SÈ 121 121 A.1 nh xÔ v hm số 121 A.1.1 CĂc nh nghắa và Ănh xÔ v hm sè 121 A.1.2 H m sè c§p 123 A.2 Php tẵnh vi phƠn hm mởt bián 127 A.2.1 Ôo hm v vi phƠn cĐp mởt 127 A.2.2 Ôo hm v vi phƠn cĐp cao 134 A.2.3 CĂc nh lỵ và giĂ tr trung b¼nh v  mët sè ùng dưng cõa chóng 135 A.3 Php tẵnh tẵch phƠn h m mët bi¸n 143 A.3.1 Tẵch phƠn bĐt nh 143 MƯC LƯC A.3.2 T½ch ph¥n x¡c ành 147 A.3.3 Tẵch phƠn suy rởng trữớng hủp cên lĐy tẵch phƠn l vổ hÔn TI LI›U THAM KHƒO 157 159 Danh sĂch hẳnh v 1.1 Vẵ dử 1.11 23 1.2 V½ dư 1.12 24 2.1 nh nghắa tẵch phƠn kp 29 2.2 Tẵch phƠn miÃn tờng quĂt 33 2.3 Tẵch phƠn miÃn têng qu¡t 33 2.4 ời thự tỹ tẵch phƠn 33 2.5 V½ dư 2.3 34 2.6 V½ dö 2.4 34 2.7 V½ dư 2.5 34 2.8 V½ dö 2.6 36 2.9 V½ dư 2.7 36 2.10 Mi·n quÔt 37 2.11 MiÃn quÔt 37 2.12 MiÃn quÔt 37 2.13 V½ dư 2.8 a) 38 2.14 V½ dư 2.8 b) 38 38 2.16 V½ dư 2.10 39 2.17 Chó þ 39 2.18 V½ dư 2.11 41 2.19 V½ dư 2.12 41 2.20 Di»n t½ch m°t cong 42 2.21 V½ dư 2.13 43 2.22 V½ dư 2.14 43 2.23 V½ dư 2.15 44 2.24 V½ dư 2.16 45 2.25 V½ dư 2.17 45 2.26 V½ dư 2.18 46 2.27 V½ dư 2.19 46 2.28 nh nghắa tẵch phƠn ữớng loÔi 47 2.15 V½ dư 2.9 2.29 V½ dö 2.20 a) 48 2.30 V½ dư 2.20 b) 48 2.31 V½ dư 2.21 a) 49 2.32 V½ dư 2.21 b) 49 2.33 Cæng thùc Green 51 2.34 Cæng thùc Green 51 2.35 Cæng thùc Green 52 2.36 Cæng thùc Green 52 2.37 V½ dư 2.22 52 2.38 V½ dư 2.23 52 2.39 Tẵch phƠn khổng phử thuởc ữớng lĐy tẵch phƠn 54 2.40 Tẵch phƠn khổng phử thuởc ữớng lĐy tẵch phƠn 54 DANH SCH HœNH V“ 2.41 Tẵch phƠn khổng phử thuởc ữớng lĐy tẵch phƠn 55 2.42 H» qu£ 2.5 56 A.1 H m l÷đng gi¡c 124 A.2 H m arctan A.3 H m arccotan 125 A.4 ành nghắa tẵch phƠn xĂc nh 148 125 DANH SCH HœNH V“ CC KÞ HIU N: Têp cĂc số tỹ nhiản; N : Têp cĂc số nguyản dữỡng; R : Têp cĂc số thỹc; R∗ : Tªp c¡c sè thüc kh¡c 0; R∗+ : Têp cĂc số thỹc dữỡng; R+ : Têp cĂc số thỹc khổng Ơm; : Bưt Ưu chựng minh;  : Kát thúc chựng minh ? : nh nghắa : nh lỵ : Mằnh à 5: Hằ quÊ ã: Vẵ dử : Chú ỵ DANH SCH HNH V Ch÷ìng H€M SÈ NHI—U BI˜N SÈ 1.1 Kh¡i ni»m m Ưu 1.1.1 Khổng gian metric Kỵ hiằu Rn x = (x1 , x2 , , xn ), m  ta công gåi l  c¡c iºm x = (x1 , x2 , , xn ) v  y = (y1 , y2 , , yn ) cõa Rn l  biºu thùc l  tªp c¡c bë câ thù tü n sè thüc Ta gåi kho£ng c¡ch giúa hai iºm È (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + + (xn yn )2 d(x, y) = Dạ thĐy khoÊng cĂch Rn ữủc cho bi (1.1) cõ ba tẵnh ch§t cì b£n sau cõa metric: (a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn , d(x, y) = ⇔ x = y; (b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ Rn ; (c) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ Rn Nhữ vêy têp Rn (1.1) vợi khoÊng cĂch ữủc cho bði cæng thùc (1.1) l  khæng gian metric [2, tr 39] Gi£ sû x∗ ∈ Rn v  ε > Ta gồi - lƠn cên cừa x l têp hñp sau cõa Rn : Vε (x∗ ) = {x ∈ Rn |d(x, x∗ ) < ε} Ta gåi l¥n cên cừa x cừa x ữủc kỵ hiằu l ∗ ∗ V n ∗ l  måi tªp cõa R chựa ữủc mởt - lƠn cên no õ cừa x LƠn cên (x ) Têp V (x ) = Vε (x∗ )\{x∗ } ÷đc gåi l  ε- lƠn cên thừng cừa x V (x ) = V (x )\{x } ữủc gồi l lƠn cên thừng cõa x∗ n ∗ Gi£ sû D ⊂ R iºm x ∈ D ÷đc gåi l  iºm cừa Têp x D náu tỗn tÔi mởt - lƠn cên cừa nơm hon ton D Têp D ữủc gồi l m náu mồi im cõa D ·u l  iºm cõa nâ iºm y Rn ữủc gồi l im biản cừa D náu mồi - lƠn cên cừa x Ãu vứa chựa iºm thuëc D, vøa chùa iºm khæng thuëc D iºm bi¶n cõa D câ thº thc D, cơng câ thº khổng thuởc D Têp cĂc im biản cừa D ữủc gồi l biản cừa nõ v ữủc kỵ hiằu l D Têp D ữủc gồi l õng náu nõ chựa tĐt cÊ cĂc im biản cừa nõ l têp m Ta gồi V (x ) l quÊ cƯu m tƠm x , bĂn kẵnh n n Biản cừa quÊ cƯu Đy l têp cĂc im x ∈ R cho d(x, x ) = ε Tªp {x ∈ R |d(x, x ) ≤ ε} Vẵ dử - lƠn cên V (x ) cừa x l mởt têp õng v ữủc gồi l quÊ cƯu õng tƠm x , bĂn kẵnh HM Sẩ NHIU BIN Sẩ 10 Têp D ữủc gồi l b chn náu tỗn tÔi mởt quÊ cƯu chựa nõ Têp D ữủc gồi l liản thổng náu cõ th nối hai im bĐt ký cừa D bơng mởt ữớng liản tửc nơm hon ton D Têp D liản thổng ữủc gồi l ỡn liản náu biản cừa nõ gỗm mởt mt kẵn, ữủc gồi l a liản náu biản cừa nõ gỗm nhiÃu mt kẵn rới tứng ổi mởt 1.1.2 nh nghắa hm số n bián số GiÊ sỷ D Rn nh xÔ f : D → R (x1 , x2 , xn ) 7→ u = f (x1 , x2 , , xn ) ÷đc gồi l hm số n bián số Têp D ữủc gåi l  tªp x¡c ành, x1 , x2 , , xn ữủc gồi l cĂc bián ởc lêp, u ữủc gåi l  bi¸n phư thc cõa h m H m hai bi¸n thữớng ữủc kỵ hiằu l z = f (x, y), cỏn hm ba bián thữớng ữủc kỵ hiằu l u = f (x, y, z) V· sau ngo i c¡c cĂi nhữ x, y, z, ta cỏn kỵ hiằu c¡c iºm cõa Rn b¬ng c¡c c¡i in M, N, P, Cụng giống nhữ vợi hm mởt bián số, vợi hm nhiÃu bián số ta cõ quy ữợc Náu hm nhiÃu bián số ữủc cho bơng biu thực giÊi t½ch u = f (x1 , x2 , , xn ) v khổng hoa nhữ sau: nõi gẳ thảm và têp xĂc nh cừa hm số õ thẳ ta quy ữợc têp xĂc nh cừa nõ l têp tĐt cÊ n c¡c iºm M ∈ R , cho f (M ) cõ nghắa Vẵ dử 1.1 ã Têp xĂc ành cõa h m z= p − x2 − y l  tªp c¡c iºm (x, y) ∈ R2 tho£ m¢n − x2 − y ≥ ⇔ x2 + y ≤ â l  h¼nh trán tƠm O(0,0), bĂn kẵnh bơng 1.1.3 Giợi hÔn cừa h m nhi·u bi¸n C¡c kh¡i ni»m mưc n y, mưc 1.1.4, v cĂc phƯn 1.2, 1.3 ữủc trẳnh by cho hm hai bián Chúng cõ th ữủc m rởng cho hm nhiÃu hỡn hai bián nh nghắa 1.1 ? v viát Mn M0 Dạ thĐy rơng n dƯn án vổ Mn M0 (n ) xn → x0 , yn → y0 (n → ∞) ành ngh¾a 1.2 ? Mn (xn , yn ) ∈ R2 , n N , dƯn án im M0 (x0 , y0 ) ∈ R2 cüc hay Mn → M0 (n → ∞) n¸u d(Mn , M0 ) → 0(n → ∞) Ta nâi d¢y iºm Gi£ sû h m z = f (x, y) M0 (x0 , y0 ) Ta nõi hm f cõ giợi hÔn l lim f (x, y) = l hay lim f (M ) = l n¸u iºm (x,y)→(x0 ,y0 ) Mn ∈ V (M0 ), ∀n M →M0 ∈ N ∗ , Mn → M0 (n → ∞) V (M0 ) cõa M(x,y) dƯn án M0 (x0 , y0 ) v viát måi d¢y iºm Mn (xn , yn ) thäa m¢n xĂc nh lƠn cên thừng vợi ta Ãu câ lim f (xn , yn ) = l n→∞ nh nghắa hm cõ giợi hÔn vổ cỹc tữỡng tỹ nhữ nh nghắa trản Nhên xt 1.1 CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm số nhữ: giợi hÔn cừa tờng, hiằu, tẵch, thữỡng, nh lỵ kàp, văn cỏn úng vợi giợi hÔn cừa hm hai bián Vẵ dử 1.2 • (4 − r ) −π/2 −π/2 = π/2 R 2dϕ − −π/2 • π/2 R −π/2 π/2 = 2π − sinϕdϕ = 2ϕ|−π/2 + cos ϕ|π/2 V½ dư 2.10 T½nh I = RR xdxdy , D l  mi·n thäa m¢n D y x2 + y ≤ 2y, y ≤ x Líi gi£i (Xem h¼nh 2.16) Chuyºn sang tåa ë cüc, °t § x = r cos ϕ y = r sin , r = 2sin õ phữỡng trẳnh ữớng trán tåa ë cüc l  r = 2sinϕ y=x π ; ≤ r ≤ sin ϕ Mi·n D' ÷đc x¡c ành bði ≤ ϕ ≤ sin ϕ π/4 π/4 sin R R R ϕ r3 r cos ϕdr = cos ϕ · dϕ Do â I = dϕ 0 0 π/4 R Rπ sin4 ϕ π/4 = cos ϕ sin ϕdϕ = sin ϕd (sin ϕ) = = 30 x Chú ỵ: Náu D l miÃn giợi hÔn bi ữớng elip x2 y2 + = 1, a > 0, b > thẳ thỹc hiằn php ời bián a2 b ă x = a.r.cosϕ tåa ë cüc suy rëng b¬ng c¡ch °t y = b.r.sinϕ, â J = abr v  mi·n D ÷đc x¡c ành bði: ≤ ϕ < 2π; ≤ r ≤ (x N¸u D l  miÃn giợi hÔn bi ữớng trỏn a)2 + (y b)2 = R2 thẳ thỹc hiằn php ời bián: § x = a + r cos ϕ y = b + r sin ϕ O H¼nh 2.16 sang h» y b x -a O b H¼nh 2.17 a TCH PH…N K’P V€ TCH PH…N ×ÍNG LO„I II 40 â J = r v  mi·n D' ÷đc x¡c ành bði 0≤ϕ < 2π; 0≤r≤R 2.2 Ùng döng cừa tẵch phƠn kp 41 2.2 ng dửng cừa tẵch phƠn kp 2.2.1 ng dửng hẳnh hồc v cỡ hồc cừa tẵch phƠn kp 2.2.1.1 ng dửng hẳnh hồc cừa tẵch phƠn kp a Tẵnh diằn tẵch hẳnh phng Diằn tẵch S cừa hẳnh phng D ữủc cho bi cổng thực: ZZ dxdy S= (2.17) D ã Vẵ dử 2.11 y Tẵnh diằn tẵch hẳnh phng D giợi hÔn bði c¡c ÷íng x=e y= ln x, y = 0, x = e Líi gi£i y=lnx (Xem h¼nh 2.18) x ≤ x ≤ e; ≤ y ≤ ln x ln Re Re Rx Re x dx = ln xdx S = dx dy = y|ln Mi·n D ữủc xĂc nh Vêy = ln x.x|e1 Re ã Vẵ dử 2.12 O 1 x e Re dx = ln x.x|e1 − dx = x Hẳnh 2.18 y Tẵnh diằn tẵch h¼nh ph¯ng D x¡c ành bði 2x ≤ x2 + y ≤ 4x; ≤ y ≤ x Líi gi£i (Xem h¼nh 2.19) Chuyºn sang tåa ë cüc, °t ¨ x x = r.cosϕ y = r.sinϕ O Phữỡng trẳnh hai ữớng trỏn tồa ở cỹc lƯn lữủt l: r = 2cos v r = 4cos MiÃn D ữủc xĂc nh bi: Hẳnh 2.19 ≤ ϕ ≤ , 2cosϕ ≤ r ≤ 4cosϕ π 4cosϕ Z Z4 S= dϕ π Z4 =3 2cosϕ π π Z4 rdr = 4cosϕ r dϕ 2cosϕ Z4 =6 cos2 ϕdϕ  ‹ ... x2 + y Ta suy A ≈ + (−0.02) + 0.01 ⇒ A 4.996 5 1.2.3 Ôo hm riảng v vi phƠn cĐp cao 1.2.3.1 Ôo hm riảng cĐp cao GiÊ sỷ hm f(x,y) cõ cĂc Ôo hm riảng fx0 v fy0 trản têp m D R2 CĂc Ôo hm riảng... , y0 ) Náu f cõ dÔng f = A∆x + B∆y + o(ρ), â A, B l  c¡c sè thüc khỉng phư thc v o cịng b² bªc cao hìn ρ ρ ∆x (1.2) ∆y , = v dƯn án 0, thẳ hm f ữủc gåi l  kh£ vi p ∆x2 + ∆y , o() l tÔi Mo... ny chúng tổi giợi thiằu mởt ựng dửng cừa vi phƠn ton phƯn GiÊ sỷ hm f(x,y) khÊ vi tÔi b o() bêc cao hìn ρ Mo (xo , yo ) Khi â sè gia ton phƯn f cõ dÔng (1.2) Bọ qua vổ ta ữủc cổng thực xĐp x